董偉, 李揚(yáng), 辛克浩, 殷德政, 宋龍龍, 高彤

1.北京航天長(zhǎng)征飛行器研究所, 北京100076;2.西北工業(yè)大學(xué) 航宇材料結(jié)構(gòu)一體化設(shè)計(jì)與增材制造裝備技術(shù)國(guó)際聯(lián)合研究中心, 陜西 西安710072

飛行器儀器艙中，設(shè)備安裝板是安裝和支承工作儀器的結(jié)構(gòu)，往往也作為艙體的輔助承載結(jié)構(gòu)。除結(jié)構(gòu)減重需求外，為避免大過載機(jī)動(dòng)飛行中產(chǎn)生過大變形，設(shè)備安裝板必須具備足夠的結(jié)構(gòu)剛度。為此，必須通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)設(shè)備安裝板的高承載性能和輕量化設(shè)計(jì)。

近年來(lái)，點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)因其輕質(zhì)、高比剛度、減振吸能等優(yōu)勢(shì)在飛行器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域受到了廣泛關(guān)注，發(fā)展了一系列宏微觀多尺度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法是一種在給定的載荷條件、約束條件和性能指標(biāo)下優(yōu)化給定區(qū)域內(nèi)材料分布的數(shù)學(xué)方法[1]，目前已廣泛應(yīng)用于航空、航天等[2-3]領(lǐng)域。多尺度拓?fù)鋬?yōu)化方法是指在宏觀層級(jí)和微(細(xì))觀層級(jí)對(duì)多孔結(jié)構(gòu)進(jìn)行并行優(yōu)化的方法。在宏觀層級(jí)優(yōu)化上，優(yōu)化整體結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)形式；在微(細(xì))觀層級(jí)優(yōu)化上，優(yōu)化微結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型。多孔結(jié)構(gòu)的微觀拓?fù)錁?gòu)型和宏觀結(jié)構(gòu)形式在優(yōu)化過程中相互影響，從而達(dá)到提高材料利用率、滿足周期性多孔結(jié)構(gòu)在特定載荷工況下的力學(xué)性能的優(yōu)化目標(biāo)。在近年的多尺度拓?fù)鋬?yōu)化研究成果中，Liu等[4]提出了一種宏觀結(jié)構(gòu)與微結(jié)構(gòu)多尺度設(shè)計(jì)的并發(fā)拓?fù)鋬?yōu)化方法，Xia等[5]提出了基于非線性多尺度模型的雙尺度協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。此外，Yan和Guo等[6]提出了一種熱彈性耦合場(chǎng)下的多尺度優(yōu)化方法；Zhang等[7]提出了基于梯度式分層模型的梯度點(diǎn)陣材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法；為避免多尺度拓?fù)鋬?yōu)化中的尺度分離問題，F(xiàn)u和Wu等[8-9]基于子結(jié)構(gòu)法對(duì)多層級(jí)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法展開了研究。 研究表明，純點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的減振性能、面/體載荷承載效率優(yōu)于傳統(tǒng)加筋結(jié)構(gòu)，但傳遞集中載荷的性能不足。點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)則是能夠兼具二者優(yōu)勢(shì)的新型結(jié)構(gòu)方案。然而，目前點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法仍停留在先實(shí)體優(yōu)化、再點(diǎn)陣填充的階段[10]，關(guān)于二者匹配設(shè)計(jì)的研究開展的較少，需尋求更合理的點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法。

為解決點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)的多尺度匹配設(shè)計(jì)問題，本文提出一種將點(diǎn)陣微結(jié)構(gòu)等效為虛擬均質(zhì)材料，通過多材料拓?fù)鋬?yōu)化來(lái)求解點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)布局的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。20世紀(jì)以來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了各種多材料拓?fù)鋬?yōu)化求解策略。Thomsen[11]在1992年首先提出多材料拓?fù)鋬?yōu)化概念，并運(yùn)用均勻化方法解決了雙材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題。此后，在密度法框架下，Sigmund和Torquato[12]基于SIMP(solid isotropic material with penalization)插值模型利用遞歸思路構(gòu)造了一種三材料插值模型，Stegmann和Lund[13]提出了一種更便于擴(kuò)展的多材料插值模型(discrete material optimization,DMO)；高彤和張衛(wèi)紅等[14]對(duì)上述2種方法進(jìn)行了對(duì)比并提出了多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的質(zhì)量約束模型，實(shí)現(xiàn)了多種材料用量自動(dòng)匹配。此外， Wang和Luo[15]發(fā)展出一種基于水平集方法的多材料結(jié)構(gòu)形狀/拓?fù)鋬?yōu)化方法。

本文以某高超聲速飛行器儀器艙設(shè)備安裝板為例，提出一種基于點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)宏觀力學(xué)性能等效和多材料拓?fù)鋬?yōu)化的點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)多尺度匹配優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。通過與傳統(tǒng)加筋結(jié)構(gòu)的比較，驗(yàn)證點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)的性能優(yōu)勢(shì)，同時(shí)為同類結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供新思路與新方法。

1 設(shè)備安裝板模型及設(shè)計(jì)要求

本文研究的設(shè)備安裝板模型如圖1所示，通過螺栓安裝在飛行器儀器艙艙體中，具體結(jié)構(gòu)包括三部分：與飛行器進(jìn)行連接固定的上安裝板、用來(lái)搭載工作設(shè)備的下安裝板和連接上下板的連接部分。設(shè)備安裝板整體采用鋁合金材料(性能見表1)，原實(shí)心板方案總質(zhì)量為9.962 kg。

表1 設(shè)備安裝板材料特性

圖1 設(shè)備安裝板模型

圖2 設(shè)備安裝板有限元模型

設(shè)備安裝板有限元模型如圖2所示。采用六面體單元對(duì)設(shè)備安裝板進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，在安裝孔處創(chuàng)建螺栓連接。設(shè)備在各自重心處等效為質(zhì)量點(diǎn)(各20 kg)，分別為A,B,C；質(zhì)量點(diǎn)通過剛性連接單元連接于設(shè)備安裝孔。設(shè)備安裝板主要載荷為高速機(jī)動(dòng)導(dǎo)致的大慣性過載及艙體結(jié)構(gòu)通過儀器艙安裝孔傳遞而來(lái)的載荷。本文主要考慮的設(shè)計(jì)載荷為沿安裝板y軸負(fù)方向25倍的重力加速度、沿x軸正方向35倍的重力加速度。同時(shí)，在艙體結(jié)構(gòu)外表面施加0.1 MPa的均布?jí)毫?，模擬實(shí)際工作時(shí)的氣動(dòng)載荷，艙體變形會(huì)在設(shè)備安裝板安裝孔處產(chǎn)生彎扭載荷。艙體后端施加固定約束。

為滿足輕量化要求，限定設(shè)備安裝板質(zhì)量上限為4 kg。設(shè)備安裝板結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)考核包括：最大結(jié)構(gòu)應(yīng)力不超過400 MPa，最大位移不超過20 mm。同時(shí)，需要對(duì)簡(jiǎn)諧掃頻激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行校核。

2 設(shè)備安裝板結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

本節(jié)分別針對(duì)傳統(tǒng)加筋結(jié)構(gòu)方案和新型點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案，采用密度法對(duì)設(shè)備安裝板進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2.1 加筋結(jié)構(gòu)方案

2.1.1 優(yōu)化模型

(1)

式中，p為懲罰因子,通過調(diào)整懲罰因子,可以使單元偽密度值聚集在0或1附近。當(dāng)偽密度為1時(shí),表示為單元材料存在;偽密度為0時(shí),表示沒有單元材料。DS為實(shí)體材料自身的彈性矩陣,Dmin表示材料為空時(shí)的彈性矩陣,為防止計(jì)算時(shí)結(jié)構(gòu)剛度矩陣出現(xiàn)奇異,通常取一個(gè)比較小的數(shù)值。

以質(zhì)量約束下設(shè)備安裝板整體剛度最大(即整體柔順度最小)建立拓?fù)鋬?yōu)化模型

(2)

ρ(xi)=xiρS

(3)

結(jié)構(gòu)的整體柔順度C(x)定義為

C(x)=UTKU

(4)

式中,U為有限元平衡方程中的節(jié)點(diǎn)位移向量,整體剛度矩陣K可表示為

(5)

式中，Bi為單元i的應(yīng)變矩陣。

Fa和Ft分別為與材料布局無(wú)關(guān)的外力載荷(如氣動(dòng)壓力)和設(shè)計(jì)相關(guān)載荷(即慣性力)的載荷向量。設(shè)at為慣性過載向量,則相應(yīng)的設(shè)計(jì)相關(guān)載荷向量為

(6)

式中，Mi表示單元i的質(zhì)量矩陣;通常材料的質(zhì)量矩陣與設(shè)計(jì)變量呈線性關(guān)系,如下所示

Mi=xiMS

(7)

式中，MS為填充實(shí)體材料時(shí)的單元質(zhì)量矩陣。

結(jié)構(gòu)柔順度對(duì)單元偽密度的靈敏度可表示為

(8)

2.1.2 優(yōu)化結(jié)果與重構(gòu)結(jié)果

本文采用GCMMA(globally convergent method of moving asymptotes)算法對(duì)優(yōu)化問題進(jìn)行求解,整體柔順度和安裝板質(zhì)量的迭代曲線如圖3所示。最終得到設(shè)備安裝板加筋結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)結(jié)果如圖4所示。根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中實(shí)體材料(紅色)的布局形式,重構(gòu)得到的設(shè)備安裝板加筋結(jié)構(gòu)方案如圖5所示,結(jié)構(gòu)質(zhì)量為3.996 kg。

圖3 加筋結(jié)構(gòu)方案:整體柔順度和安裝板質(zhì)量的優(yōu)化迭代曲線

圖4 加筋結(jié)構(gòu)方案:優(yōu)化結(jié)果(偽密度)

圖5 加筋結(jié)構(gòu)方案:重構(gòu)設(shè)計(jì)

2.2 點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案

本文提出一種點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)匹配優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,主要思想是將點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)等效為一種虛擬的均質(zhì)材料,通過多材料拓?fù)鋬?yōu)化方法,尋找給定質(zhì)量約束下虛擬材料與實(shí)體材料合理布局,從而確定點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。

2.2.1 優(yōu)化模型

本文選取如圖6所示的BCC型點(diǎn)陣結(jié)構(gòu),微結(jié)構(gòu)等效密度ρL=140.5 kg/m3。采用與實(shí)體加筋結(jié)構(gòu)相同的金屬材料,利用均勻化方法[16]計(jì)算得到的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)等效彈性矩陣為

DL=

(9)

圖6 BCC單胞結(jié)構(gòu)形式及尺寸

(10)

xi=1表示單元由實(shí)體材料構(gòu)成,即加筋結(jié)構(gòu);xi=0表示單元完全由虛擬材料構(gòu)成,即點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)。

以質(zhì)量約束下點(diǎn)陣-加筋設(shè)備安裝板整體柔順度最小為目標(biāo)建立拓?fù)鋬?yōu)化列式

(11)

式中，ρ(xi)是虛擬材料單元密度ρL和加筋結(jié)構(gòu)實(shí)體材料單元密度ρS的函數(shù)

ρ(xi)=xi(ρS-ρL)+ρL,xi∈[0,1]

(12)

此時(shí),單元i的質(zhì)量矩陣表示為

Mi=xi(MS-ML)+ML,xi∈[0,1]

(13)

式中：ML代表純點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單元質(zhì)量矩陣；MS代表加筋結(jié)構(gòu)單元質(zhì)量矩陣。

結(jié)構(gòu)柔順度對(duì)單元偽密度的靈敏度可表示為

(14)

2.2.2 優(yōu)化結(jié)果與重構(gòu)結(jié)果

本文采用GCMMA算法對(duì)優(yōu)化問題進(jìn)行求解分析，安裝板整體柔順度和質(zhì)量的迭代曲線如圖7所示。最終得到點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)布局優(yōu)化結(jié)果如圖8所示，其中紅色部分代表加筋結(jié)構(gòu)，青色部分代表點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)。根據(jù)優(yōu)化結(jié)果，結(jié)合工程設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)(如板式結(jié)構(gòu)在優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)多采用橫跨的連續(xù)筋條結(jié)構(gòu)、需要考慮點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)和加筋結(jié)構(gòu)的連接過度方式等)，對(duì)模型進(jìn)行重構(gòu)，所得設(shè)備安裝板點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)如圖9所示。重構(gòu)完成的設(shè)備安裝板點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)質(zhì)量為3.978 kg，滿足設(shè)計(jì)要求。

圖7 點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案：整體柔順度和安裝板質(zhì)量的優(yōu)化迭代曲線

圖8 點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案：優(yōu)化結(jié)果(偽密度)

圖9 點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案：重構(gòu)設(shè)計(jì)

3 設(shè)備安裝板結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案仿真分析與對(duì)比

由于點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的微結(jié)構(gòu)較多，直接使用實(shí)體模型進(jìn)行仿真計(jì)算效率極低；因此，本文采用常用的梁?jiǎn)卧Ⅻc(diǎn)陣結(jié)構(gòu)模型。加筋結(jié)構(gòu)全部采用六面體實(shí)體單元建模。

3.1 大過載下的力學(xué)性能對(duì)比

2種結(jié)構(gòu)位移與應(yīng)力仿真結(jié)果如表2所示。加筋結(jié)構(gòu)最大位移為13.07 mm，最大應(yīng)力為355 MPa；點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)最大位移為11.61 mm，最大應(yīng)力為311 MPa。對(duì)比發(fā)現(xiàn)：由于點(diǎn)陣將各條加強(qiáng)筋連為一體，其最大變形降低11.17%、剛度更大，同時(shí)應(yīng)力水平更低、應(yīng)力分布更均勻。

表2 大過載下設(shè)備安裝板結(jié)構(gòu)方案的力學(xué)性能對(duì)比

3.2 模態(tài)振型對(duì)比

加筋結(jié)構(gòu)與點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)前6階固有頻率對(duì)比見圖10，相應(yīng)振型見表3。對(duì)比發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案前6階固有頻率均明顯高于加筋結(jié)構(gòu)，二者振型具有較高的相似性。

表3 設(shè)備安裝板結(jié)構(gòu)方案的前6階振型對(duì)比

3.3 加速度激勵(lì)下結(jié)構(gòu)響應(yīng)對(duì)比

分析2種結(jié)構(gòu)的一階振型云圖可知，加筋結(jié)構(gòu)與點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案的最大位移均出現(xiàn)在末端中心點(diǎn)處。因此，將此位置作為測(cè)量點(diǎn)提取位移響應(yīng)。施加大小為20 m/s2、頻率為10～150 Hz的簡(jiǎn)諧加速度掃頻激勵(lì)，2種結(jié)構(gòu)測(cè)量點(diǎn)處沿y軸方向的位移響應(yīng)幅值如圖11所示。加筋結(jié)構(gòu)測(cè)量點(diǎn)處位移響應(yīng)幅值的峰值為83.35 mm，而點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案相應(yīng)數(shù)據(jù)僅為21.83 mm、降低73.81%，顯然后者抗振性能顯著提高。

圖11 簡(jiǎn)諧加速度掃頻激勵(lì)下設(shè)備安裝板結(jié)構(gòu)方案的位移響應(yīng)對(duì)比

4 結(jié) 論

本文提出了一種點(diǎn)陣-加筋板式結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化方法。針對(duì)給定點(diǎn)陣單胞構(gòu)型，通過均勻化等效方法將其等效為一種虛擬材料并計(jì)算其宏觀等效彈性性能；然后，利用多材料拓?fù)鋬?yōu)化方法，實(shí)現(xiàn)整體質(zhì)量約束條件下的結(jié)構(gòu)剛度最大化設(shè)計(jì)。以某高超聲速飛行器設(shè)備安裝板為例分別完成了傳統(tǒng)加筋結(jié)構(gòu)和點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案設(shè)計(jì)，靜動(dòng)力學(xué)數(shù)值分析表明：

1) 基于拓?fù)鋬?yōu)化方法，2種設(shè)計(jì)方案均能滿足設(shè)計(jì)要求。

2) 點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案的剛度和強(qiáng)度性能均顯著優(yōu)于加筋結(jié)構(gòu)方案，其原因在于點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的引入將整個(gè)安裝板連為一體，能夠?qū)⑤d荷更均勻地分散至整個(gè)結(jié)構(gòu)。

3) 點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案固有頻率顯著高于加筋結(jié)構(gòu)方案、動(dòng)響應(yīng)顯著降低，表明在本文的設(shè)備安裝板設(shè)計(jì)中，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能得到了提升。

本文提出的基于拓?fù)鋬?yōu)化的點(diǎn)陣-加筋板結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法具有普適性，為飛行器儀器艙設(shè)備安裝板及同類結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了一種新思路和新技術(shù)，在未來(lái)的研究中考慮引入結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的影響，完善點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。