王志斌楊立云錢桂安李芹濤徐輝東

1. 中國礦業(yè)大學(xué)(北京)力學(xué)與建筑工程學(xué)院,北京 100083;

2. 中國科學(xué)院力學(xué)研究所非線性力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190;

3. 中國黃金集團(tuán)有限公司萊州匯金礦業(yè)投資有限公司,山東萊州 261400;

4. 中煤礦山建設(shè)集團(tuán)有限公司,安徽合肥 230000

尺寸效應(yīng)是指材料的力學(xué)性能隨幾何尺寸發(fā)生變化,破壞時的強(qiáng)度值不再是一個材料常數(shù)[1]。大量研究表明,混凝土力學(xué)性能與試件幾何尺寸密切相關(guān)[2-4]。在實(shí)際工程中,混凝土結(jié)構(gòu)的尺寸通常較大,因試驗(yàn)條件和技術(shù)水平的限制,難以進(jìn)行全尺寸結(jié)構(gòu)模型試驗(yàn),只能進(jìn)行縮尺模擬,且樣本數(shù)量有限,因此確定混凝土構(gòu)件縮尺模擬結(jié)果的適用性至關(guān)重要。由于混凝土內(nèi)部存在大量裂隙、孔洞及微細(xì)觀上的非均質(zhì)性,試驗(yàn)測得混凝土強(qiáng)度的離散性很大,尺寸效應(yīng)也更加明顯。

許多學(xué)者對混凝土抗拉和抗壓強(qiáng)度尺寸效應(yīng)進(jìn)行了大量研究。Ba?ant 等[5]采用高度相同、直徑不同的混凝土圓柱體開展劈裂試驗(yàn),并根據(jù)Ba?ant 尺寸效應(yīng)建立了混凝土劈裂抗拉強(qiáng)度與直徑的關(guān)系,試驗(yàn)表明劈裂強(qiáng)度有隨直徑的增加先減小后增大的變化趨勢。錢覺時等[6]分別對不同邊長的高強(qiáng)混凝土試樣進(jìn)行彎拉強(qiáng)度測試,得出了高強(qiáng)混凝土彎拉強(qiáng)度的尺寸效應(yīng)規(guī)律。安明喆等[7]對3 種不同尺寸的活性粉末混凝土(RPC)進(jìn)行了彎拉強(qiáng)度試驗(yàn),結(jié)果顯示RPC 的抗彎強(qiáng)度具有明顯的尺寸效應(yīng)現(xiàn)象。張軍等[8]對4 種自密實(shí)混凝土進(jìn)行尺寸效應(yīng)試驗(yàn),研究發(fā)現(xiàn)隨著試件尺寸提高,混凝土抗壓強(qiáng)度均逐步降低。以上研究雖然在一定程度上得出了尺寸與強(qiáng)度之間的關(guān)系,但在分析混凝土尺寸效應(yīng)時沒有考慮強(qiáng)度的離散性。而混凝土作為一種典型的準(zhǔn)脆性材料具有強(qiáng)度離散性和尺寸效應(yīng)2 個顯著特征?；炷翉?qiáng)度離散性是由巖石內(nèi)部微觀缺陷的隨機(jī)分布造成的。從概率統(tǒng)計出發(fā),尺寸效應(yīng)也與缺陷的隨機(jī)分布有關(guān)?；炷两Y(jié)構(gòu)尺寸越小,包含微觀缺陷的概率就越小,對應(yīng)巖石破壞時的強(qiáng)度越高;反之,混凝土結(jié)構(gòu)尺寸越大,混凝土內(nèi)部包含的微觀缺陷越多,其破壞時的強(qiáng)度越低。因此,采用統(tǒng)計方法來評價巖石強(qiáng)度尺寸效應(yīng)是十分必要的。

近年來Lei 等[9-12]提出的廣義最弱鏈公式為評價混凝土等準(zhǔn)脆性材料的尺寸效應(yīng)提供了強(qiáng)有力的手段。該方法不僅可以解釋強(qiáng)度的隨機(jī)變化,而且在給定失效概率條件下,通過測試有限數(shù)量的小尺寸試件強(qiáng)度可以預(yù)測大尺寸試件強(qiáng)度,具有重要的工程價值。

本文將介紹Lei 提出的廣義最弱鏈理論,并在Lei 研究的基礎(chǔ)上,結(jié)合3 個案例中的試驗(yàn)數(shù)據(jù),研究巴西劈裂法、四點(diǎn)彎法和單軸壓縮3 種加載方式下,混凝土材料的劈裂抗拉強(qiáng)度、彎拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度與試件尺寸之間的關(guān)系,建立相應(yīng)的尺寸效應(yīng)統(tǒng)計模型。

1 尺寸效應(yīng)統(tǒng)計方法

1.1 最弱鏈理論

最弱鏈理論是Lei 提出的尺寸效應(yīng)統(tǒng)計方法的基礎(chǔ)。該理論認(rèn)為,結(jié)構(gòu)是由若干體積或面積的單元串聯(lián)而成(圖1),單元與單元之間是相互獨(dú)立的。只有當(dāng)所有這些單元都完整時結(jié)構(gòu)才不會失效;反之,任意單元的失效將導(dǎo)致整個結(jié)構(gòu)失效。由最弱鏈理論可知,材料破壞時強(qiáng)度的離散性本質(zhì)上應(yīng)符合一定的統(tǒng)計規(guī)律。

圖1 串聯(lián)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Tandem structure diagram

1.2 尺寸效應(yīng)統(tǒng)計方法

材料中缺陷的空間分布直接影響脆性斷裂的累積失效概率,以最弱鏈理論為基礎(chǔ),Lei 提出了在缺陷服從泊松分布或均勻分布假設(shè)下材料廣義最弱鏈統(tǒng)計公式[9]:

其中,V為斷裂過程區(qū)體積;p(σ,V0)為材料內(nèi)部某一個微單元發(fā)生破壞的概率;σ為微單元所受的拉應(yīng)力;V0為一個缺陷所占的平均體積。

V的大小主要與材料破壞時服從的破壞準(zhǔn)則有關(guān)。例如,在最大拉應(yīng)力準(zhǔn)則下,斷裂過程區(qū)的體積為拉伸應(yīng)力大于0 的區(qū)域(σ1＞0)。

由格里菲斯理論[13]可知,斷裂臨界應(yīng)力與缺陷長度存在如下關(guān)系:

式中,ac為臨界缺陷長度;k為阻止缺陷發(fā)生擴(kuò)展的系數(shù),與材料特性有關(guān)。

顯然,p(σ,V0)取決于微缺陷尺寸a或應(yīng)力σ,V0破壞的概率可表示為

式中,ac(σ1)為應(yīng)力值為σ1條件下引發(fā)缺陷擴(kuò)展的臨界缺陷尺寸;amax為應(yīng)力達(dá)到引發(fā)斷裂的門檻值σth時缺陷發(fā)生擴(kuò)展的最大尺寸。

這里以缺陷分布形式服從均勻分布為例,闡述Lei 提出的累計失效概率的推導(dǎo)過程[11-12]。設(shè)代表一個缺陷所占的平均體積為V0,在缺陷分布為均勻分布下,微元體δV含有缺陷的數(shù)量為δV/V0。令微元體失效的概率為δP,由最弱鏈理論可知,微元體不發(fā)生破壞的概率為[11]

材料全尺寸不發(fā)生破壞的概率為[11]

式中,p(σi,V0)≠1,當(dāng)N→∞時,式(6)可寫成式(1)。將V0失效概率使用3 參數(shù)的Weibull 分布表示為[12]

式中,m為形狀參數(shù);σ0為尺度參數(shù);m和σ0只與材料性質(zhì)有關(guān)。

當(dāng)σth=0 時,將式(7)代入式(1),則在假設(shè)材料內(nèi)部缺陷均勻分布下,全尺寸失效概率為[14]

根據(jù)2 種缺陷分布所對應(yīng)的累計失效概率進(jìn)一步分析:結(jié)合式(7),令σth=0,由第一積分中值定理,式(1)和式(2)可改寫為[14]

式中,ξ為一個應(yīng)力值;k為一個常數(shù)(0 ＜k≤1);σN為發(fā)生破壞時的名義強(qiáng)度。

由式(9)和式(10)可以看出,等式的左邊與材料內(nèi)部缺陷的分布形式有關(guān),等式的右邊只與名義強(qiáng)度有關(guān),這為建立尺寸與名義強(qiáng)度之間的關(guān)系提供了一種方法(圖2),即尺寸效應(yīng)統(tǒng)計方法。

圖2 尺寸效應(yīng)統(tǒng)計方法Fig.2 Statistical method of size effect

2 案例分析

2.1 巴西劈裂法加載下混凝土抗拉強(qiáng)度與尺寸關(guān)系

Kanos 等[15]進(jìn)行了3 種尺寸混凝土巴西圓盤劈裂試驗(yàn),研究了混凝土劈裂抗拉強(qiáng)度與尺寸的關(guān)系,試件尺寸和每個試件對應(yīng)的劈裂強(qiáng)度見表1,所測得名義強(qiáng)度為

表1 試件尺寸及試件劈裂強(qiáng)度Tab.1 Specimen size and tensile splitting strength results obtained

式中,F為施加的荷載;D為圓盤直徑;B為圓盤厚度。

混凝土在劈裂加載方式下的破壞主要受拉應(yīng)力控制,其破壞服從最大拉應(yīng)力準(zhǔn)則,因此認(rèn)為其可能發(fā)生破壞的區(qū)域?yàn)閿嗔堰^程區(qū),即最大主應(yīng)力大于零的區(qū)域。對圓盤試件在劈裂加載方式下應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行數(shù)值模擬(選取直徑76 mm 試件所測結(jié)果:彈性模量E=38.4 GPa,泊松比μ=0.119),從應(yīng)力云圖(圖3)中可以看出,劈裂加載方式下斷裂過程區(qū)的體積V接近于全體積。

圖3 彈性力學(xué)第一主應(yīng)力云圖Fig.3 Stess contour in split loading mode

每組試件破壞時的強(qiáng)度所對應(yīng)的累計失效概率由式(12)計算[10],計算結(jié)果如圖4 所示。σi為每一組n個強(qiáng)度值由小到大排列的第i個強(qiáng)度值,該案例中n分別為5、4、5。

圖4 圓盤劈裂強(qiáng)度經(jīng)驗(yàn)概率Fig.4 Empirical Probability of Disc Splitting Strength

假設(shè)混凝土內(nèi)部缺陷分布形式服從均勻分布或泊松分布,將圖4 中數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為式(9)、式(10)的函數(shù)關(guān)系。從2 種分布假設(shè)下的擬合結(jié)果(圖5)中可以看出,不同尺寸的圓盤試件所測得名義強(qiáng)度的對數(shù)值(lnσN)與失效概率和尺寸的復(fù)合參數(shù)和之間存在線性關(guān)系。在缺陷均勻分布假設(shè)下,線性擬合m=5.89,·V0=e21.68MPa·mm3,決定系數(shù)R2=0.90;在缺陷泊松分布假設(shè)下,線性擬合m=5.09,·V0=e20.96MPa·mm3,決定系數(shù)R2=0.89。2 種分布形式下R2值均大于0.8,擬合情況較好。因此,在該案例中,假設(shè)混凝土缺陷服從均勻分布或泊松分布,圓盤劈裂強(qiáng)度與尺寸的關(guān)系分別為

圖5 2 種缺陷分布下的擬合結(jié)果Fig.5 The assumed fitting results under two defect distributions

2.2 四點(diǎn)彎加載下RPC 的抗折強(qiáng)度與尺寸關(guān)系

張立軍[16]使用3 種不同尺寸的活性粉末混凝土(RPC 混凝土)進(jìn)行抗折試驗(yàn),研究尺寸對RPC混凝土彎拉強(qiáng)度的影響。該試驗(yàn)樣本總計81 個(12 組50 mm×50 mm×200 mm、12 組100 mm×100 mm×400 mm 和3 組150 mm×150 mm×600 mm,每組3 個試件),所有樣本均采用相同的配合比及養(yǎng)護(hù)條件。每個試件彎拉強(qiáng)度和累計失效概率關(guān)系如圖6 所示。

圖6 抗折強(qiáng)度經(jīng)驗(yàn)概率Fig.6 Empirical probability of flexural strength

在四點(diǎn)彎加載方式下,試件破壞受拉應(yīng)力控制,發(fā)生彎曲破壞時所測強(qiáng)度為抗折強(qiáng)度或彎拉強(qiáng)度,材料破壞依然服從最大拉應(yīng)力準(zhǔn)則。因此,該種加載方式下,斷裂區(qū)體積采用純彎段受拉區(qū)體積[14],即V=0.5h3,計算結(jié)果見表3。圖7 為2 種缺陷形式下的擬合結(jié)果。

表3 RPC 試樣尺寸Tab.3 Size of RPC specimens

圖7 2 種缺陷分布下的擬合結(jié)果Fig.7 The assumed fitting results under two defect distributions

從圖7 可以看出,缺陷均勻分布下模型參數(shù)m=12.97,·V0=e52.43MPa·mm3,相關(guān)系數(shù)R2=0.92,數(shù)據(jù)基本擬合在一條直線;缺陷泊松分布假設(shè)下模型參數(shù)m=10.97,·V0=e46.75MPa·mm3,R2=0.83,數(shù)據(jù)擬合較分散?；谌毕菥鶆蚍植蓟虿此煞植枷碌腞PC 混凝土彎拉強(qiáng)度與尺寸的關(guān)系可由式(15)或式(16)表示,但對比2 種缺陷分布假設(shè)下的擬合效果,均勻分布假設(shè)更符合RPC 混凝土內(nèi)部缺陷分布的真實(shí)情況。

2.3 混凝土抗壓強(qiáng)度尺寸效應(yīng)統(tǒng)計模型

陳寶春等[17]為研究超高性能混凝土抗壓強(qiáng)度尺寸效應(yīng),分別對立方體和圓柱體共6 種尺寸的試件開展抗壓強(qiáng)度試驗(yàn),每種規(guī)格有12 個試件(3 種立方體試件邊長分別為150 mm、100 mm 和70.7 mm,3 種圓柱體直徑分別為70 mm、100 mm 和150 mm)。試驗(yàn)獲得強(qiáng)度值和累計失效概率關(guān)系如圖8 所示。本案例中的超高性能混凝土也是一種活性粉末混凝土,本文僅對材料內(nèi)部缺陷服從均勻分布假設(shè)下分析。由于混凝土受壓破壞機(jī)理較為復(fù)雜,為了簡化分析,這里認(rèn)為其破壞受拉行為控制,破壞準(zhǔn)則依然采用最大主應(yīng)力準(zhǔn)則。

圖8 經(jīng)驗(yàn)概率Fig.8 Empirical probability

采用同案例1、2 相同的方法對立方體和圓柱體抗壓強(qiáng)度數(shù)據(jù)分別進(jìn)行線性擬合,如圖9 所示。從圖9(a)中可以得出,立方體試塊抗壓強(qiáng)度尺寸效應(yīng)統(tǒng)計模型中,m=26.2,·V0=e151.15MPa·mm3,決定系數(shù)R2=0.87。從圖9(b)中可以得出,圓柱體試塊抗壓強(qiáng)度尺寸效應(yīng)統(tǒng)計模型中,m= 29.2,·V0=e166.4MPa·mm3,決定系數(shù)R2=0.89。2種形狀所測抗壓強(qiáng)度數(shù)據(jù)也擬合在一條直線上。該案例中,立方體和圓柱體2 種形狀RPC 抗壓強(qiáng)度與尺寸的關(guān)系可分別由式(17)和式(18)表示。

圖9 2 種形狀的尺寸效應(yīng)擬合結(jié)果Fig.9 Fitting results of two shapes of size effect

3 結(jié) 論

根據(jù)廣義最弱鏈公式所建立的尺寸效應(yīng)統(tǒng)計方法適用于混凝土材料抗拉和抗壓強(qiáng)度的尺寸效應(yīng)分析;建立的模型還能同時考慮混凝土強(qiáng)度的離散性,實(shí)現(xiàn)了給定失效概率下混凝土不同尺寸試件強(qiáng)度的預(yù)測。

(1) 在普通混凝土劈裂抗拉強(qiáng)度尺寸效應(yīng)統(tǒng)計分析中,2 種分布情況下的擬合結(jié)果差別不大。缺陷均勻分布情況下得到的結(jié)果略好,但由于分析所用的數(shù)據(jù)量較少,所以結(jié)果離散性稍明顯,存在一定的誤差。

(2) 對RPC 抗拉強(qiáng)度數(shù)據(jù)的分析結(jié)果表明,缺陷均勻分布下尺寸效應(yīng)分析結(jié)果更優(yōu)于泊松分布。均勻分布假設(shè)下所建立的尺寸效應(yīng)統(tǒng)計模型可以很好地反映出RPC 彎拉強(qiáng)度與尺寸的關(guān)系。同時,該方法進(jìn)一步反映出RPC 材料內(nèi)部分布形式更接近均勻分布。

(3) 假設(shè)缺陷服從均勻分布,RPC 抗壓強(qiáng)度與尺寸的關(guān)系也可以采用尺寸效應(yīng)統(tǒng)計模型來描述。