張 索

（浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電氣電子工程學(xué)院，浙江 杭州 310053)

0 引言

在信道帶寬資源受限的情況下，信道帶寬無(wú)法承受系統(tǒng)所有數(shù)據(jù)的傳輸。若在某一固定時(shí)刻，需要同時(shí)傳輸?shù)臄?shù)據(jù)數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于信道帶寬所能傳輸?shù)臄?shù)據(jù)最大值時(shí)，就出現(xiàn)了通信訪問(wèn)約束的問(wèn)題。在訪問(wèn)約束情況下，由于無(wú)法同時(shí)傳輸所有數(shù)據(jù)，故要在合理的通信策略下，決定所要傳輸?shù)臄?shù)據(jù)。而通信策略的選擇會(huì)對(duì)系統(tǒng)的性質(zhì)和性能產(chǎn)生影響，因此，有必要在通信受限的情況下，對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行研究。

本文主要研究的是在輸入約束情況下，線性隨機(jī)系統(tǒng)的可調(diào)節(jié)性問(wèn)題。本文通過(guò)該對(duì)偶關(guān)系，考察輸入約束系統(tǒng)的可調(diào)節(jié)性問(wèn)題。關(guān)于可估計(jì)性的定義，章輝等[1]從信息論的角度，提出了系統(tǒng)在最小最大誤差熵（MMEE）意義下的可估計(jì)性定義，即狀態(tài)的實(shí)際值和估計(jì)值的互信息大于零。本文也進(jìn)一步證明了系統(tǒng)在MMEE意義下可估計(jì)性和可調(diào)節(jié)性之間的關(guān)系。理論分析和仿真結(jié)果表明，存在一個(gè)合理的靜態(tài)通信策略，使得訪問(wèn)約束系統(tǒng)是可調(diào)節(jié)的。

1 問(wèn)題描述

我們現(xiàn)要考察的是在輸入約束條件下的線性時(shí)不變隨機(jī)系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 輸入約束條件下的線性時(shí)不變隨機(jī)系統(tǒng)

2 輸入約束系統(tǒng)的可調(diào)節(jié)性判別陣

Yoram Baram證明了系統(tǒng)在最小均方估計(jì)（LMSE）意義下可估計(jì)性和可調(diào)節(jié)性的對(duì)偶關(guān)系，提出線性系統(tǒng)的可估計(jì)性與可調(diào)節(jié)性是線性系統(tǒng)的兩個(gè)對(duì)偶屬性。該對(duì)偶性質(zhì)可通過(guò)與系統(tǒng)的可估計(jì)性條件和可調(diào)節(jié)性條件，分別對(duì)應(yīng)的Lyapunov方程和Riccati方程體現(xiàn)出來(lái)。Baram等[2]還證明了，系統(tǒng)的可調(diào)節(jié)性格萊姆矩陣和可估計(jì)性格萊姆矩陣具有對(duì)偶關(guān)系[2]。

因此，若系統(tǒng)∑是可調(diào)節(jié)的，即可調(diào)節(jié)性格萊姆矩陣WR滿秩，則對(duì)偶系統(tǒng)∑'是可估計(jì)的（rankWR=rankWE=n）。我們把可估計(jì)性和可調(diào)節(jié)性的對(duì)偶關(guān)系用于輸入約束系統(tǒng)∑ρ。只要找到輸入約束系統(tǒng)（2）的對(duì)偶系統(tǒng)的可估計(jì)性判別矩陣，就可以找到它的可調(diào)節(jié)性判別矩陣。

3 MMEE意義下（最小最大誤差熵）可估計(jì)性和可調(diào)節(jié)性的關(guān)系

這一部分要考慮在MMEE意義下，即在最小最大熵準(zhǔn)則下，線性隨機(jī)系統(tǒng)可估計(jì)性和可調(diào)節(jié)性的關(guān)系。

章輝等[1]給出了在最小最大誤差熵（MMEE）準(zhǔn)則下系統(tǒng)可估計(jì)性的定義：系統(tǒng)狀態(tài)的實(shí)際值和估計(jì)值之間的互信息()大于零。章輝等[1]已經(jīng)證明，對(duì)于線性高斯系統(tǒng)，MMEE意義下的最優(yōu)估計(jì)等價(jià)于最小均方意義（LMSE）下的最優(yōu)估計(jì)，如下式所示：

4 輸入約束系統(tǒng)的可調(diào)節(jié)性分析

輸入約束情況下的可調(diào)節(jié)性矩陣Λk'(i(n+1)+n,i(n+1))的值，相當(dāng)于通信約束序列MρT(k)要從 Φkf,kTΠ'(k )B中挑選出wρ列。由于原系統(tǒng)的可調(diào)節(jié)性矩陣Λk(i(n+1)+n,i(n+1))是滿秩的，故一定可從該可調(diào)節(jié)性矩陣中取出n個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量，設(shè)其為當(dāng)i=0時(shí)，Λk(n，0)的n個(gè)線性無(wú)關(guān)向量集合為：

5 系統(tǒng)仿真

在輸入約束條件wρ=1時(shí)，表示任意時(shí)刻從控制器到被控對(duì)象只能傳輸1個(gè)數(shù)據(jù)。其通信序列Mρ（k）表示為一個(gè)周期為3的通信序列：

在輸入約束條件wρ=2時(shí)，表示任意時(shí)刻從控制器到被控對(duì)象能傳輸2個(gè)數(shù)據(jù)。其通信序列Mρ（k）表示為：

在這里，通過(guò)對(duì)偶系統(tǒng)的可估計(jì)性來(lái)考察該系統(tǒng)的可調(diào)節(jié)性問(wèn)題。若對(duì)偶系統(tǒng)是可估計(jì)的，則原系統(tǒng)一定是可調(diào)節(jié)的。這里使用了Kalman濾波器估計(jì)出對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)趨勢(shì)。圖1—2顯示了系統(tǒng)的3個(gè)狀態(tài)變量分別在通信約束條件wρ=1的情況下和wρ=2的情況下，狀態(tài)變量的真實(shí)值和估計(jì)值之間的關(guān)系。其中，實(shí)線表示系統(tǒng)狀態(tài)的實(shí)際值，點(diǎn)線表示系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)值。

圖1 輸入約束條件1情況下系統(tǒng)狀態(tài)的真實(shí)值與估計(jì)值

圖2 輸入約束條件2情況下系統(tǒng)狀態(tài)的真實(shí)值與估計(jì)值

從圖1—2可以看出，對(duì)偶系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)在有輸出約束的情況下，仍然可以通過(guò)找到合適的通信策略，使得系統(tǒng)是可估計(jì)的。因此，也一定能通過(guò)合理的輸出通信策略，使得原系統(tǒng)是可調(diào)節(jié)的。

以上仿真結(jié)果說(shuō)明，對(duì)于輸入約束系統(tǒng)，存在合理的通信策略，使得原系統(tǒng)是可調(diào)節(jié)的。

6 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)輸入約束情況下線性隨機(jī)系統(tǒng)，研究了線性離散隨機(jī)系統(tǒng)的可調(diào)節(jié)性問(wèn)題以及系統(tǒng)的可估計(jì)性和可調(diào)節(jié)性之間的關(guān)系。仿真結(jié)果表明，在輸入約束情況下，存在合理的通信策略，使得線性離散隨機(jī)系統(tǒng)保持可調(diào)節(jié)性。