張博 胥奇 李映輝

（西南交通大學力學與工程學院，成都 610031）

引言

工程中有大量的柔性懸臂結構，如空間機械臂、太陽能帆板等［1］.該類結構容易產(chǎn)生振動問題，影響其工作效率甚至使用壽命［2］.利用壓電材料控制柔性懸臂結構的振動是一種常見方法［3-7］，研究中關注更多的是壓電片作動器布局、數(shù)目以及尺寸優(yōu)化等［8-10］.在控制中，壓電作動器承受的電壓有限，使用多個作動器同時作用能夠獲得更好的控制效果［5，10］.另外控制中的信號傳輸、A/D 轉(zhuǎn)換等環(huán)節(jié)，不可避免會產(chǎn)生時滯［11-13］.即使很小的時滯，也可能讓控制律失效［14］.研究多個壓電作動器控制柔性結構振動，并考慮時滯有一定的意義.

本文以懸臂梁為對象，考慮時滯效應，利用雙壓電作動器對其低頻模態(tài)的振動進行狀態(tài)反饋控制，研究不同布局和時滯的雙作動器系統(tǒng)實現(xiàn)相同控制效果的等價關系.

1 系統(tǒng)建模

由圖1所示，兩個長為lp的壓電片左端分別位于梁的上表面x11和x21處，在輸入電壓的作用下，壓電片產(chǎn)生力矩可以表示為［8］

圖1 雙作動器懸臂梁模型Fig.1 A cantilever beam model with double actuators

其中，h（·）為Heaviside函數(shù)，Uj為第j個壓電作動器輸入電壓，系數(shù)Ka滿足

式中，d31和Ep分別是壓電片壓電常數(shù)和彈性模量.

忽略壓電片質(zhì)量和剛度對系統(tǒng)的影響，梁受壓電片作用的振動方程為

其中，Eb、ρ、Ib、S、y（x，t）分別為梁的彈性模量、密度、截面慣性矩、截面面積、橫向位移.梁橫向位移可進一步表示為

其中，φi（x）和qi（t）為其第i階正則模態(tài)和廣義坐標.利用模態(tài)正交性，第i階廣義坐標滿足

其中，ωi是梁的第i階固有頻率.由式（1）和式（5）得

2 懸臂梁的振動控制

2.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程

考慮梁的振動以低階模態(tài)為主，因此對其第一階模態(tài)，以雙壓電作動器對其進行控制.由式（6）得其狀態(tài)方程為

其中K為反饋增益.由式（7）和式（8）可知，反饋狀態(tài)X（t）為一階模態(tài)對應的廣義坐標與廣義速度，在實際應用中，該狀態(tài)量不能直接獲取，而需要使用多個傳感器測量懸臂梁不同位置的實際位移和速度來進行相對精確的預估，具體方法可以參考文獻［15］和文獻［16］.將式（8）代入式（7）可得懸臂梁狀態(tài)反饋控制方程為

2.2 無時滯系統(tǒng)振動控制

接下來采用極點配置法，給定系統(tǒng)（9）的極點為c和f，且反饋增益K滿足以下關系

將式（10）代入式（9）可知，此時不論作動器位置怎樣變化（即x11和x21發(fā)生改變），響應都將只與初始條件和極點值相關.在該配置方法下，若以K的第一行元素K11和K12為參數(shù)，可求出K的表達式為

其中，a=-（B11/B21），b和d由作動器布局即矩陣B和極點c、f確定.將式（11）代入式（8）得壓電片輸入電壓的關系

由式（12）可知當時間t確定的時候，兩作動器輸入電壓成線性關系.下面用表1參數(shù)對系統(tǒng)進行仿真.圖2給出了兩組不同作動器布局下的懸臂梁一階模態(tài)的響應曲線，可見布局改變，系統(tǒng)響應仍能保持一致.圖3給出了壓電片輸入電壓關系曲線，相同壓電片布局下，不同時刻，曲線斜率保持不變，與式（12）吻合.圖4給出了不同作動器布局下的壓電片輸入電壓在同一時刻的關系曲線，可見布局改變，曲線斜率隨之改變.

圖2 不同壓電作動器布局下的響應曲線Fig.2 Response curves for different actuator layouts

圖3 不同時刻下雙作動器輸入電壓的關系Fig.3 Relationship between input voltages of two actuators in different time

圖4 不同布局下雙作動器輸入電壓的關系Fig.4 Relationship between input voltages of two actuators in different layouts

表1 懸臂梁和壓電片的基本參數(shù)Table1 Basic parameters of cantilever beam and piezoelectric patch

2.3 時滯系統(tǒng)振動控制

當系統(tǒng)有時滯時，此時的控制方程為

式中τ是系統(tǒng)時滯，U（t-τ）是時滯輸入電壓.考慮到作動器的時滯效應，式（13）可進一步表示為無控和受控兩部分：

式中，Kd是時滯系統(tǒng)反饋增益，系統(tǒng)（13）中由于時滯存在，已無法直接利用2.2節(jié)的極點配置法.此時，我們將時滯系統(tǒng)受控部分（14.2）用狀態(tài)變量x（t）的無時滯系統(tǒng)進行等效，即

式中k是無時滯系統(tǒng)反饋增益，當u（t）=U（t-τ）且式（15）與式（14.2）的初始條件相同時，兩者完全等價，此時兩者的反饋增益有如下關系［14］

式中φ（t，τ）與φ（t，t-τ）為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，分別為e（A-Bk）（t-τ），e（A-Bk）τ.此時時滯系統(tǒng)反饋增益為分段函數(shù)，在第一段較短時間內(nèi)增益隨時間變化，之后增益便一直保持為常數(shù).其推導如下：

當τ≤t＜2τ時，有如下兩個等式

式中X0是時滯系統(tǒng)零時刻初始值.利用KdX（t-τ）=kx（t），得KdeA（t-τ）=kφ（t，τ）eAτ，由矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知矩陣 eA（t-τ）可逆，其逆為 eA（τ-t），所以有Kd=kφ（t，τ）eA（2τ-t）.

當t≥2τ時，同理易證Kd=kφ（t，t-τ）.

圖5給出了某布局下時滯系統(tǒng)和等效的無時滯系統(tǒng)的時間歷程圖，可見前者受控部分與后者響應完全重合.

圖5 時滯系統(tǒng)與無時滯系統(tǒng)響應曲線Fig.5 Response curves of systems with and without time delay

進一步分析兩組時滯雙作動器懸臂梁控制系統(tǒng).此時兩組系統(tǒng)的控制方程以及與其受控部分等效的無時滯控制方程可以寫成如下形式

式中，Bi為第i組時滯系統(tǒng)與無時滯系統(tǒng)的控制矩陣，跟壓電作動器布局相關，τi和Kdi是第i組時滯系統(tǒng)的時滯和時滯反饋增益，ki是第i組無時滯系統(tǒng)反饋增益.若讓兩組時滯不同的系統(tǒng)有相同的控制效果，可以讓第一組系統(tǒng)受控部分從τ2時刻開始（假定τ1＜τ2）.由式（16）可得時滯反饋增益與各自等效無時滯系統(tǒng)的反饋增益關系如下

引入與各自時滯系統(tǒng)受控部分完全等效的無時滯系統(tǒng)，再通過2.2節(jié)的極點配置令等效的無時滯系統(tǒng)有相同的控制效果，從而可以讓與之對應的時滯系統(tǒng)控制效果相同.圖6給出了某相同時滯不同作動器布局下的系統(tǒng)響應曲線，可見作動器布局改變，系統(tǒng)響應曲線仍能重合.當兩組時滯系統(tǒng)時滯不同時，利用式（17）和式（18）得到對應時滯系統(tǒng)分段的反饋增益，能夠讓兩組不同時滯的系統(tǒng)具有相同的控制效果.圖7給出了作動器布局相同時滯不同下的系統(tǒng)響應曲線，可見兩條曲線完全重合.圖8給出了作動器布局與時滯均不相同的系統(tǒng)響應曲線，此時兩組曲線完全重合，其控制效果完全一樣.

圖6 不同作動器布局下時滯系統(tǒng)響應曲線Fig.6 Response curves of time-delayed systems with different actuator layouts

圖7 相同作動器布局不同時滯下系統(tǒng)響應曲線Fig.7 System response curves with same actuator layouts and different time delays

圖8 不同作動器布局不同時滯下系統(tǒng)響應曲線Fig.8 System response curves with different actuator layouts and different time delays

3 結論

本文使用雙壓電作動器對柔性懸臂梁的振動進行控制，并研究了作動器位置、控制回路時滯等對控制效果的影響.研究表明，雙作動器在不同位置和時滯的情況下，都可以達到同樣的控制效果.文中給出了無時滯時作動器增益和電壓等應滿足的線性關系式，以及存在時滯時分段反饋控制的增益公式.不同時滯下，分段反饋控制的增益在大部分時間內(nèi)都是常數(shù)，這也有利于其控制律的實際應用.在單作動器的性能受限時，可采用本文的多作動器控制律對振動系統(tǒng)進行等效控制.此外，本文建模尚未考慮壓電作動器質(zhì)量和剛度的影響，以及傳感器的選擇、布局等的影響，對此作者將繼續(xù)展開相應研究.