馬銘磷 劉 穎 李志軍

(湘潭大學(xué)自動(dòng)化與電子信息學(xué)院 湘潭 411105)

1 引言

1971年，美籍華裔科學(xué)家蔡少棠根據(jù)電路基本變量組合完備性原理預(yù)測(cè)了描述電荷與磁通關(guān)系元件的存在，并將其定義為憶阻器[1]。到2008年，惠普公司實(shí)驗(yàn)室研究人員首次物理實(shí)現(xiàn)了憶阻器并在《Nature》 雜志上進(jìn)行了報(bào)道[2]。憶阻器由于其非線性和記憶特性，在圖像加密[3,4]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[5-8]、語音通信[9,10]、邏輯運(yùn)算[11]、非線性混沌電路系統(tǒng)[12-14]等領(lǐng)域中都具有重大的潛在應(yīng)用價(jià)值。最近幾年，對(duì)于憶阻器模擬器電路設(shè)計(jì)的成果也很豐富，典型的如譚志平等人[15]提出的浮地型憶阻器模擬電路；Wang等人[16]提出的多分段線性憶阻模擬電路；Bao等人[17]提出的1階廣義電壓控制型憶阻器模型。由于憶阻器具有非線性和記憶特性，基于憶阻的混沌電路比傳統(tǒng)的非線性電路具有更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。

混沌系統(tǒng)不僅僅可以產(chǎn)生混沌吸引子，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)在特定的情況下，根據(jù)初始條件的不同系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡也可能發(fā)生變化，從而產(chǎn)生幾個(gè)獨(dú)立的吸引子，形成多吸引子共存現(xiàn)象[18]。由于不同的狀態(tài)變量初始值可以將系統(tǒng)引向不同的吸引子，每個(gè)吸引子所對(duì)應(yīng)的所有初始條件的集合就構(gòu)成其吸引域。當(dāng)系統(tǒng)的初始條件位于各個(gè)吸引域的邊界時(shí)，系統(tǒng)中只要有微小的噪聲存在都可能導(dǎo)致系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡發(fā)生變化，往往具有很復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，這就導(dǎo)致了系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡變得不可預(yù)測(cè)。在實(shí)際應(yīng)用中如果出現(xiàn)這種多吸引子共存現(xiàn)象會(huì)對(duì)電路的運(yùn)行造成很大的影響，值得深入了解和研究。

目前對(duì)于分岔理論的研究大多是針對(duì)光滑動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行的，而對(duì)于開關(guān)電路的動(dòng)力學(xué)行為研究較少。近年來人們發(fā)現(xiàn)在開關(guān)電路中存在著豐富的非線性現(xiàn)象，邊界碰撞分岔是開關(guān)系統(tǒng)中很常見的問題，在機(jī)械振蕩器[19]、分段線性電路[20,21]和電力電子設(shè)備[22,23]中都可以找到邊界碰撞分岔的例子。這些研究表明邊界碰撞分岔可以直接導(dǎo)致系統(tǒng)運(yùn)行軌跡發(fā)生變化。邊界碰撞中有一類特殊的分岔，其在分岔點(diǎn)同時(shí)產(chǎn)生多個(gè)共存吸引子[24]。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)平穩(wěn)變化時(shí)，在分岔點(diǎn)之后共存吸引子的吸引盆非常接近，以至于系統(tǒng)中存在的噪聲可以把系統(tǒng)運(yùn)行軌跡從一個(gè)吸引子轉(zhuǎn)移到另一個(gè)吸引子。這就導(dǎo)致不可能預(yù)測(cè)系統(tǒng)在分岔之后運(yùn)行軌跡將跟隨哪個(gè)吸引子，這是系統(tǒng)中不確定性的根本原因，稱這種分岔為多吸引子分岔。文獻(xiàn)[25]首次提出了一個(gè)具有多吸引子分岔的開關(guān)電路，在該系統(tǒng)分岔點(diǎn)之后出現(xiàn)了周期3極限環(huán)與混沌吸引子共存的現(xiàn)象，并驗(yàn)證了多吸引子分岔在電路中的可實(shí)現(xiàn)性。

開關(guān)電路是典型的非線性系統(tǒng)，本文在文獻(xiàn)[25]的基礎(chǔ)上提出了一種包含兩個(gè)參考電壓和一個(gè)憶阻器的開關(guān)電路。由于憶阻器對(duì)流經(jīng)的電荷具有記憶作用，因此基于憶阻器的電路能出現(xiàn)更豐富的非線性現(xiàn)象。本文提出的電路產(chǎn)生了非常復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為，文中論述了隨系統(tǒng)初始值的改變而出現(xiàn)的多吸引子共存行為，包括不同混沌吸引子的共存、不同周期極限環(huán)的共存，以及周期極限環(huán)與混沌吸引子共存等現(xiàn)象。電路中存在的多吸引子共存現(xiàn)象對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行可能帶來不可預(yù)計(jì)的破壞性，為了設(shè)計(jì)穩(wěn)定可靠的開關(guān)電路，有必要對(duì)其運(yùn)行機(jī)制進(jìn)行深入了解，避免其產(chǎn)生一些非理想的破壞性結(jié)果。本文為進(jìn)一步探索開關(guān)電路中混沌的應(yīng)用以及對(duì)多吸引子共存現(xiàn)象的研究具有重要意義。

2 電路描述

本文所提憶阻開關(guān)混沌電路如圖1所示，其中包含一個(gè)方波電壓源V(t)，兩個(gè)電容C1和C2，一個(gè)電感L，兩個(gè)電阻R和RC，兩個(gè)電壓比較器U1和U2、兩個(gè)參考電壓Vref和-Vref、兩個(gè)開關(guān)S1和S2、一個(gè)憶阻器RM。其中比較器U1和比較器U2分別控制開關(guān)S1和S2的閉合以及斷開。根據(jù)開關(guān)S1和開關(guān)S2的狀態(tài)不同，圖1所示開關(guān)電路的工作拓?fù)湟搽S之改變。

圖1 憶阻開關(guān)混沌電路圖

圖2所示為文獻(xiàn)[17]所提出的電壓控制型憶阻器RM的等效模型，其中包括1個(gè)運(yùn)算放大器U，3個(gè)電阻Ra, Rb和Rd, 1個(gè)電容C0以及2個(gè)乘法器M1和M2，值得一提的是，并聯(lián)電阻Rb可以避免直流電壓積分漂移，因此選用圖2所示憶阻器模型更適合硬件實(shí)驗(yàn)。圖2所示的憶阻電路是一個(gè)一端接地的單端電路，其電路方程如式(1)所示

圖2 憶阻器RM等效電路

則系統(tǒng)方程式(2)轉(zhuǎn)換后的無量綱狀態(tài)方程組為

則系統(tǒng)方程式(3)轉(zhuǎn)換后的無量綱狀態(tài)方程組為

則系統(tǒng)方程式(4)轉(zhuǎn)換后的無量綱狀態(tài)方程組為

在此電路中，當(dāng)開關(guān)S1和S2斷開時(shí)，由于其輸入電壓為方波，當(dāng)輸入電壓的幅值達(dá)到一定值時(shí)，此電路的工作狀態(tài)在圖3(a)、圖3(b)、圖3(c) 3種電路狀態(tài)下不停變換；同樣當(dāng)開關(guān)S1或S2閉合時(shí)，由于其輸入電壓為方波，電路的工作狀態(tài)也在圖3(a)、圖3(b)、圖3(c)3種電路狀態(tài)下不停變換，且在同一時(shí)間電路只工作在其中一種狀態(tài)下。

圖3 開關(guān)電路的工作狀態(tài)電路圖

3 仿真實(shí)驗(yàn)

該電路數(shù)值仿真得到的時(shí)序波形如圖4所示，當(dāng)開關(guān)S1和開關(guān)S2斷開時(shí)，即當(dāng)電阻R與電容C2兩端的電壓之和大于-Vref且小于Vref時(shí)，比較器U1和比較器U2的輸出端輸出為零，電路沒有達(dá)到發(fā)生邊界碰撞的條件，此時(shí)系統(tǒng)仿真時(shí)序波形圖如圖4(a)所示，系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)是周期的?？梢宰⒁獾狡渲蠽U1和VU2始終為0 值，即S1與S2始終保持為斷開的狀態(tài)，此時(shí)電路工作模式拓?fù)鋱D始終為圖3(a)所示。當(dāng)開關(guān)S1或開關(guān)S2被導(dǎo)通時(shí)，即當(dāng)電阻R與電容C2兩端的電壓之和小于-Vref或者大于Vref時(shí)，比較器的U1和U2的輸出端輸出不全為零，此時(shí)電路工作模式在圖3(a)，圖3(b)，圖3(c)3種電路模式下轉(zhuǎn)變。當(dāng)輸入電壓V(t)的電壓峰值小于3.29 V時(shí)，其數(shù)值仿真得到的時(shí)序波形圖如圖4(b)所示，VU1和VU2在0與1值之間無序跳變，此時(shí)系統(tǒng)的工作狀態(tài)處于混沌態(tài)。當(dāng)輸入電壓V(t)的電壓峰值大于3.7 V時(shí)，依據(jù)電路初值狀態(tài)的不同，電路的時(shí)序波形圖分別如圖4(c)、圖4(d)、圖4(e)所示，開關(guān)S1和開關(guān)S2被有序?qū)ǎ藭r(shí)系統(tǒng)中存在幾種不同的周期極限環(huán)共存。當(dāng)V(t)的電壓峰值等于3.7 V時(shí)，系統(tǒng)中發(fā)生了邊界碰撞，在V(t)的電壓峰值大于3.7 V時(shí)，依據(jù)系統(tǒng)初始狀態(tài)的不同，系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡也改變，這表明在V(t)的電壓峰值等于3.7 V時(shí)系統(tǒng)中出現(xiàn)了邊界碰撞分岔。

圖4 電路時(shí)序波形圖

當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)固定，各參數(shù)的初始狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)作軌跡也改變并形成不同的混沌吸引子，從而形成了多吸引子共存現(xiàn)象。選擇系統(tǒng)參數(shù)為a=50,b=5000,c=d=1×109,f=1/30,h=1/3×108,m=n=50000。用Ep表示參數(shù)E的正值，當(dāng)Ep增大時(shí)，該憶阻分段光滑系統(tǒng)狀態(tài)變量Z的分岔圖如圖5所示。圖5為共存分岔圖，其中紅色部分對(duì)應(yīng)系統(tǒng)初始狀態(tài)為(0, 0, 0, -1)、藍(lán)色部分對(duì)應(yīng)系統(tǒng)初始狀態(tài)為(0, 0, 1, -1)、綠色部分對(duì)應(yīng)系統(tǒng)初始狀態(tài)為(1, 1, 1, -1)；從 圖5可以看出，系統(tǒng)呈現(xiàn)了不同周期數(shù)的極限環(huán)共存、周期與混沌吸引子共存等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。

如圖5所示，當(dāng)Ep<0.28時(shí)，系統(tǒng)中存在3個(gè)單周期極限環(huán)的共存。從圖中可以看出當(dāng)選取系統(tǒng)初始值為(1, 1, 1, -1)時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡在Ep>0.28后開始變得不穩(wěn)定，在兩種單周期極限環(huán)之間跳變。隨著Ep的增大，在Ep=0.38，選取系統(tǒng)初始值為(0, 0, 0, -1)時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡也開始在兩種單周期極限環(huán)之間跳變。這種狀態(tài)持續(xù)到Ep=0.74時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生邊界碰撞，兩種系統(tǒng)運(yùn)行軌跡都進(jìn)入了混沌態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)中存在混沌態(tài)和單周期狀態(tài)的共存。當(dāng)Ep=1.4時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生邊界碰撞由原來的周期1極限環(huán)進(jìn)入混沌態(tài)。此時(shí)系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)為混沌態(tài)，系統(tǒng)具有良好的混沌魯棒性，一直持續(xù)到Ep=3.28時(shí)，系統(tǒng)由混沌態(tài)開始過渡到周期態(tài)。在3.283.7時(shí)，系統(tǒng)中存在著兩種穩(wěn)定的周期2極限環(huán)和周期5極限環(huán)的共存。

圖5 狀態(tài)變量Z隨參數(shù)E變化的系統(tǒng)共存分岔圖

圖6給出了隨系統(tǒng)參數(shù)E變化時(shí)，系統(tǒng)的XZ平面相軌圖，從此圖可以看出，在E相同而電容、電感、憶阻器的初始條件不同的情況下、系統(tǒng)產(chǎn)生了不同的共存吸引子。

當(dāng)E=±0.34時(shí)，系統(tǒng)的X-Z平面相軌圖如圖6(a)所示，存在3種單周期極限環(huán)共存。其中紅色部分、藍(lán)色部分和綠色部分所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)初始值分別為(0,0,0,-1)，(0,0,1,-1)和(1,1,1,-1)。當(dāng)E＝±1時(shí)，系統(tǒng)的X-Z平面相軌圖如圖6(b)所示，其中綠色部分與藍(lán)色部分的混沌吸引子重疊，可以看到系統(tǒng)中存在單周期與混沌吸引子的共存。當(dāng)E=±3.28時(shí)，系統(tǒng)的X-Z平面相軌圖如圖6(c)所示，系統(tǒng)中存在兩種不同的混沌吸引子共存現(xiàn)象。當(dāng)E=±3.4時(shí)，系統(tǒng)的X-Z平面相軌圖如圖6(d)所示，系統(tǒng)中存在兩種上下對(duì)稱的雙周期極限環(huán)共存。當(dāng)E=±4時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入了穩(wěn)定的周期態(tài)，系統(tǒng)的X-Z平面相軌圖如圖6(e)所示，系統(tǒng)中存在上下對(duì)稱的雙周期極限環(huán)和5周期極限環(huán)共存。

圖6 隨參數(shù)E變化的X-Z相軌圖

4 電路仿真

采用PSIM電路仿真軟件對(duì)圖1所示電路進(jìn)行電路模擬仿真，進(jìn)一步驗(yàn)證其動(dòng)力學(xué)特性，其模擬電路仿真原理圖如圖7所示。其中方波電壓源的頻率為30 kHz，占空比為50%，p為乘法器M2的比例因子，其他電路元件參數(shù)如表1所示。實(shí)驗(yàn)得到的電路時(shí)序波形如圖8所示，對(duì)應(yīng)得到的關(guān)于電感iL與電壓VC2的相圖如圖9所示。

圖9 電路的PSIM仿真相圖

表1 憶阻開關(guān)混沌電路的參數(shù)選取

圖7 PSIM仿真電路原理圖

如圖8(a)所示，當(dāng)V(t)=±1.2 V電路參數(shù)的初始值為(0,0,0,-1)時(shí)，電阻R和電容C2兩端的電壓值之和沒有達(dá)到參考電壓Vref和-Vref，此時(shí)比較器的輸出持續(xù)為零，開關(guān)S1和開關(guān)S2始終沒有被導(dǎo)通，電路工作在1個(gè)周期1的極限環(huán)狀態(tài)下。當(dāng)V(t)不變，電路參數(shù)的初始值為(0,0,1,-1)時(shí)，如圖8(b)所示，電阻R和電容C2兩端的電壓值之和在運(yùn)行過程中達(dá)到了參考電壓Vref和-Vref，比較器U1和U2輸出端輸出無序的高低電平，電路工作狀態(tài)為混沌態(tài)。這兩種狀態(tài)在V(t)=±1.2 V時(shí)在系統(tǒng)中共存。圖8(c)為當(dāng)V(t)=±2 V時(shí)的電路時(shí)序圖，圖8(d)為當(dāng)V(t)=±3.4 V時(shí)的電路時(shí)序圖，可以看出此時(shí)開關(guān)S1和開關(guān)S2也是無序的導(dǎo)通，電路工作在混沌態(tài)。圖8(e)和圖8(f)分別為當(dāng)V(t)=±4 V時(shí)的兩種周期2態(tài)，如圖8(e)所示，每?jī)蓚€(gè)周期，開關(guān)S1被導(dǎo)通兩次，開關(guān)S2被導(dǎo)通一次。而圖8(f)正好與之相反，每?jī)蓚€(gè)周期，開關(guān)S1被導(dǎo)通1次，開關(guān)S2被導(dǎo)通2次。圖8(g)為當(dāng)V(t)=±4 V時(shí)的另一種情況，每5個(gè)周期，開關(guān)S1被導(dǎo)通4次，開關(guān)S2被導(dǎo)通3次。在V(t)=±4 V時(shí)，這3種狀態(tài)在系統(tǒng)中共存。當(dāng)電路中存在噪聲時(shí)，這幾個(gè)吸引子之間很容易互相切換。

相圖如圖9所示，其中IL表示流過配電感的電流，VC2表示電容C2兩端的電壓。圖9(a)為V(t)=±1.2 V時(shí)對(duì)應(yīng)的單周期相圖。圖9(b)為V(t)=±1.2 V時(shí)對(duì)應(yīng)的混沌態(tài)的相圖?？梢钥闯鲈赩(t)=±1.2 V時(shí)，系統(tǒng)中存在單周期與混沌態(tài)的共存。當(dāng)V(t)=±2 V時(shí)，系統(tǒng)相圖如圖9(c)所示，系統(tǒng)工作在混沌態(tài)且隨著V(t)在1.4 V時(shí)發(fā)生邊界碰撞，此時(shí)電路工作的混沌態(tài)與V(t)=±1.4 V之前的混沌態(tài)不同，此時(shí)系統(tǒng)具有良好的混沌魯棒性。在V(t)=±3.4 V時(shí)，系統(tǒng)中還存在圖9(d)所示混沌態(tài)與圖9(c)所示混沌態(tài)共存。在V(t)=±4 V時(shí)得到圖9(e)、圖9(f)、圖9(g)的系統(tǒng)相圖，可以看出此時(shí)電路中存在上下對(duì)稱的周期2與周期極限環(huán)的共存。

5 結(jié)束語

本文構(gòu)建了一個(gè)具有多吸引子共存現(xiàn)象的憶阻開關(guān)電路，并將其建模為分段光滑的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行了Matlab數(shù)值仿真和PSIM電路仿真，其結(jié)果表明，當(dāng)電路中出現(xiàn)邊界碰撞時(shí)有可能導(dǎo)致系統(tǒng)中出現(xiàn)多吸引子分岔現(xiàn)象，在分岔點(diǎn)之后系統(tǒng)中可能出現(xiàn)不同形式的混沌吸引子共存，不同形式的周期極限環(huán)共存等現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了在開關(guān)電路中出現(xiàn)的多吸引子分岔現(xiàn)象，進(jìn)一步推進(jìn)了開關(guān)電路在混沌系統(tǒng)中的應(yīng)用。此外，所構(gòu)造的憶阻開關(guān)混沌電路其電路結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，相比于一般的混沌電路，該電路的動(dòng)力學(xué)行為更加復(fù)雜，在隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生、混沌保密通信、圖像加密中具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。