陳 赟， 陳 勇， 闕瑞義， 么鳴濤， 管繼富， 王旭鵬

(1中國南方工業(yè)研究院，北京102209;2北京理工大學 機械與車輛學院，北京 100081)

為了研究車輛在極限工況下的失穩(wěn)機理，基于車輛當前狀態(tài)或者預估狀態(tài)進行車輛穩(wěn)定性分析是十分必要的[1-3].基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論研究系統(tǒng)平衡點處的穩(wěn)定性，從而獲得車輛的局部穩(wěn)定點.在不同初始狀態(tài)無控制輸入情況下，獲得狀態(tài)變化相平面圖軌跡，進而分析車輛平衡點處的局部穩(wěn)定性[4-5]是穩(wěn)定性控制的重要依據(jù).基于輪胎非線性動力學模型，利用相平面圖對車輛運動狀態(tài)進行可視化.判定車輛穩(wěn)定性常用的兩種相平面圖[6-7]分別為：質(zhì)心側(cè)偏角-質(zhì)心側(cè)偏角速度相平面圖和質(zhì)心側(cè)偏角-橫擺角速度相平面圖.Inagaki和Hoffman等[8-9]基于實車測試繪制了質(zhì)心側(cè)偏角-質(zhì)心側(cè)偏角速度不同穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向條件下的相平面軌跡，從而獲得了穩(wěn)定性界限.Inagaki提出的穩(wěn)定性分析結(jié)合了平衡點幾乎都在質(zhì)心、側(cè)偏角速度為零的工況.隨著高精度組合測試技術的發(fā)展，橫擺角速度、質(zhì)心側(cè)偏角可以通過車載傳感器直接獲得.質(zhì)心側(cè)偏角-橫擺角速度相平面圖作為車輛穩(wěn)定性判斷依據(jù)廣泛應用到車輛穩(wěn)定性分析中.

Gerdes等[10]證明了質(zhì)心側(cè)偏角-橫擺角速度相平面圖鞍點(the saddle points)是引起車輛失穩(wěn)的本質(zhì)，并指出鞍點是由于車輛輪胎側(cè)向力飽和引起.根據(jù)平衡點的位置可以區(qū)分出穩(wěn)定性區(qū)域和非穩(wěn)定性區(qū)域.在質(zhì)心側(cè)偏角-橫擺角速度相平面圖的基礎上，劃分了平行四邊形穩(wěn)定性區(qū)域，上下邊界是由路面附著和車速條件下的最大橫擺角速度決定，左右邊界則由輪側(cè)偏角保持在非線性邊界和線性邊界的約束決定.Klomp等[11]將基于相平面圖分析的穩(wěn)定性邊界用于車輛電子控制系統(tǒng)和主動轉(zhuǎn)向控制系統(tǒng).Gerdes等[12]通過由最大穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向角確定的橫擺角加速度零點的最大和最小后輪側(cè)偏角進一步擴展了穩(wěn)定性區(qū)域，實現(xiàn)了橫擺角速度超調(diào)不穩(wěn)定的控制.

文中首先介紹帶有非線性輪胎模型的車輛動力學模型，然后，基于現(xiàn)代控制理論求解車輛非線性系統(tǒng)的平衡點，并基于李雅普諾夫第一法分析平衡點的穩(wěn)定性，最后，分析不同車速和前輪轉(zhuǎn)角下初始狀態(tài)的相軌跡變化，從而得到車輛的穩(wěn)定性區(qū)域和非穩(wěn)定性區(qū)域.

1 非線性車輛動力學模型

基于車輛二自由度單軌模型，如圖1所示，利用質(zhì)心側(cè)偏角-橫擺角速度相平面圖分析穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向下車輛的穩(wěn)定性.假設車輛具有恒定車速且考慮輪胎非線性特性，則考慮橫擺和側(cè)向運動的二自由度車輛模型可由如下微分方程描述.

圖1 車輛二自由度模型

(1)

(2)

式中：m表示車輛的質(zhì)量；Izz為橫擺轉(zhuǎn)動慣量；lf和lr分別是前輪到車輛質(zhì)心的距離和后輪到質(zhì)心的距離；u,β,r分別為車輛縱向速度、質(zhì)心側(cè)偏角和橫擺角速度；Fyf和Fyr分別為前輪和后輪胎側(cè)向力.

(1)、(2)兩式的狀態(tài)空間形式為

(3)

Fy=Tire(α,Fz,u,μ),

(4)

式中：Tire(·)為Fiala輪胎模型；Fy為車輛輪胎側(cè)向力；Fz為輪胎垂向力；α為輪胎側(cè)偏角；μ為路面附著系數(shù).

前輪側(cè)偏角αf和后輪側(cè)偏角αr可由輪胎運動狀態(tài)獲得.

(5)

(6)

式中：δf為前輪轉(zhuǎn)角.

忽略左右輪之間的載荷轉(zhuǎn)移,則輪胎垂向載荷可由如下公式得到.

(7)

(8)

因此，所研究的車輛非線性狀態(tài)方程為

(9)

2 車輛系統(tǒng)平衡點分析

假設非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為xeq，則需要滿足

f(xeq,δf,u,μ,t)=0.

(10)

即通過以下方程獲取車輛平衡狀態(tài)，

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：上標eq表示各個狀態(tài)量的平衡態(tài).

利用以上方程求解在不同車速、前輪轉(zhuǎn)角和路面附著系數(shù)下的車輛平衡狀態(tài).

平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問題，即平衡點處的穩(wěn)定性問題，是現(xiàn)代控制理論中一個重要的分支.對于線性系統(tǒng)來說，一般平衡點只有一個，所以，平衡點處的穩(wěn)定性問題也就是線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.但是，非線性系統(tǒng)可能存在多個平衡點，不同的平衡點表現(xiàn)出不同的穩(wěn)定性，因此，分析各個平衡點的穩(wěn)定性是必要的.基于李雅普諾夫第一法判斷系統(tǒng)在不同平衡點處的穩(wěn)定性，即通過非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程的數(shù)值解判斷其穩(wěn)定性.

為了討論非線性系統(tǒng)在平衡點xeq處的穩(wěn)定性，將非線性矢量函數(shù)f(x,δf,u,μ,t)在平衡點xeq臨域內(nèi)進行一階泰勒展開.

(15)

設Δx=x-xeq，對非線性系統(tǒng)線性化可得到

(16)

基于非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判定依據(jù)，通過一次逼近，將平衡點處的雅克比矩陣可以近似為

(17)

矩陣A0的特征方程為

s2+ps+q=0，

(18)

從以上公式計算平衡點處的p和q，由公式(18)可知，p始終是正值.平衡點處的穩(wěn)定性僅有q的穩(wěn)定性決定.隨著質(zhì)心側(cè)偏角變大，q由正值變?yōu)樨撝?，使得平衡點出現(xiàn)不穩(wěn)定.當q<0時，有下列關系式成立.

(19)

由李雅普諾夫第一穩(wěn)定性可知，如果一個系統(tǒng)平衡點處的雅克比矩陣的所有特征值都具有負實部，則系統(tǒng)在該平衡點處是漸進穩(wěn)定的.如果一個平衡點的雅克比矩陣的特征值中至少有一個具有正實部，非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的.

3 車輛系統(tǒng)相平面圖

圖2(a)-(d)表示了車輛速度為10 m/s，路面附著系數(shù)為0.55，不同前輪轉(zhuǎn)向角度下車輛的平衡狀態(tài).圖中有兩類平衡點，記作第一類平衡點和第二類平衡點.它們分別用五角星和菱形表示：五角星表示了第一類平衡點，即穩(wěn)定平衡狀態(tài)；菱形表示第二類平衡點，即非穩(wěn)定平衡點.質(zhì)心側(cè)偏角隨著車輪轉(zhuǎn)角增大而增大，但是前輪胎側(cè)向力和后輪胎側(cè)向力在第一類平衡點沒有飽和，因為平衡點處的輪胎側(cè)向力沒有超出輪胎摩擦極限，平衡點對應于正常轉(zhuǎn)向下的穩(wěn)定狀態(tài).當后輪胎側(cè)向力飽和，并且在這些平衡點處是常數(shù)，前輪側(cè)向力與后輪側(cè)向力成比例增大，從而也達到了飽和狀態(tài).如果轉(zhuǎn)向角繼續(xù)增加，質(zhì)心側(cè)偏角急劇增大，橫擺角速度達到極限值，這是由于側(cè)向輪胎力飽和導致發(fā)生側(cè)滑，而無法提供足夠大的側(cè)向力.

圖2 質(zhì)心側(cè)偏角-橫擺角速度相平面圖的平衡點

非線性系統(tǒng)不同于線性系統(tǒng)，它的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關，還與系統(tǒng)的初始條件和外界擾動有關.因此，給定不同的初始條件，在無控制輸入下，基于李雅普諾夫方法分析車輛非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性.通過給定初始條件，結(jié)合平衡點區(qū)分車輛的穩(wěn)定性區(qū)域和非穩(wěn)定性區(qū)域.

作為非線性系統(tǒng)包絡控制的依據(jù)，質(zhì)心側(cè)偏角-橫擺角速度相平面圖是車輛動力學穩(wěn)定性控制研究重要內(nèi)容.車輛縱向速度和車輪轉(zhuǎn)角對質(zhì)心側(cè)偏角-橫擺角速度相平面圖有著非常重要的影響，通過在給定初始條件下，研究車輛縱向速度和車輪轉(zhuǎn)角對質(zhì)心側(cè)偏角-橫擺角速度相平面圖的影響.

圖3(a)-(d)表示了在無車輪轉(zhuǎn)角情況下，車輛縱向速度對質(zhì)心側(cè)偏角-橫擺角速度相平面圖的影響.兩類平衡點同圖2保持一致，用五角星和菱形表示.隨著車速的增加，兩個不穩(wěn)定平衡點(unstable saddle points)逐漸移動，距離變小，穩(wěn)定性區(qū)域也同時變小.穩(wěn)定點stable point始終在坐標原點，方向盤轉(zhuǎn)角為零，表明車輛處于直線行駛工況.

圖3 無車輪轉(zhuǎn)角下車輛縱向速度對質(zhì)心側(cè)偏角-橫擺角速度相平面圖

車輪轉(zhuǎn)角為零時，穩(wěn)定性平衡點剛好在原點，車輛能夠從初始狀態(tài)沿著一定的軌跡收斂到漸進穩(wěn)定平衡狀態(tài).

圖4(a)-(d)表示了車速為10 m/s時的相平面圖.給定一定的方向盤轉(zhuǎn)角，穩(wěn)定點的位置并不在原點，并且兩個不穩(wěn)定平衡狀態(tài)與平衡狀態(tài)的距離也不同，隨著車輪轉(zhuǎn)角的增大，其中一個不穩(wěn)定點向穩(wěn)定點移動.當車輪轉(zhuǎn)角為10°時，兩個平衡狀態(tài)結(jié)合成一個，并且在車輪轉(zhuǎn)角為15°時，穩(wěn)定性平衡點消失.在車輪轉(zhuǎn)角為15°，車輛從任意初始狀態(tài)都變得不穩(wěn)定.圖4(a)和(d)表明在車輪轉(zhuǎn)向相同，方向不同時，相平面圖的平衡狀態(tài)具有對稱性.

圖4 車速為10 m/s時,不同前輪轉(zhuǎn)角下的質(zhì)心側(cè)偏角-橫擺角速度相平面圖

4 結(jié) 論

基于質(zhì)心側(cè)偏角-橫擺角速度相平面圖進行車輪穩(wěn)定性分析，為車輛穩(wěn)定性控制提供了一個切實可行并且快速判斷的方法.當通過傳感器或者非線性狀態(tài)觀測車輛狀態(tài)超出穩(wěn)定的包絡范圍時，利用非線性控制方法對車輛施加主動控制防止車輛失穩(wěn)，提高車輛主動安全性能.

分析結(jié)果表明：當車輪轉(zhuǎn)向角小于分叉點對應的角度時，車輛狀態(tài)沿著圖中的實線移動，即車輛能夠很好地執(zhí)行駕駛意圖；當車輪轉(zhuǎn)向角大于分叉點對應的角度，穩(wěn)定平衡點消失，車輛狀態(tài)發(fā)散.在無控制情況下，則不能獲得比分叉點處的穩(wěn)定橫擺角速度更大的橫擺角速度.