關(guān) 聰，陳 英，王 哲

（廣西民族大學(xué)，廣西 南寧 530000）

1 問題背景

回焊爐是集成電路板等電子產(chǎn)品生產(chǎn)的重要工具之一。在生產(chǎn)過程中電子制造行業(yè)中印刷電路板（PCB）回流焊工藝是SMT技術(shù)重要的一環(huán)，回流焊溫度曲線會(huì)實(shí)時(shí)記錄焊接過程溫度的變化。在現(xiàn)實(shí)的生產(chǎn)過程中，不少企業(yè)認(rèn)為確?；亓骱笭t處于良好的制程狀態(tài)是質(zhì)量控制的關(guān)鍵，因此需要對(duì)回焊爐溫度曲線進(jìn)行持續(xù)的測(cè)量檢查，所以爐溫曲線的研究可以保證焊接質(zhì)量，降低測(cè)試成本，確?；亓骱笭t具有優(yōu)良的制程能力?；睾笭t截面示意圖如圖1所示。

圖1 回焊爐截面示意圖

2 目標(biāo)問題

本文旨在對(duì)工具機(jī)理模型進(jìn)行分析研究，為有效測(cè)量各溫區(qū)溫度值，并確定最優(yōu)傳送帶傳送速度，建立溫度變化規(guī)律數(shù)學(xué)模型，從而解決爐溫曲線相應(yīng)問題。

問題一：在給定各溫區(qū)溫度設(shè)定值條件下，計(jì)算焊接區(qū)域中心溫度變化情況，并畫出相應(yīng)爐溫曲線。制程界限如表1所示。

表1 制程界限

問題二：以峰值溫度為中心線的兩側(cè)超過217℃的爐溫曲線應(yīng)盡量對(duì)稱，結(jié)合給出的傳送帶最大過爐速度，畫出最優(yōu)曲線、各溫區(qū)設(shè)定的溫度及傳送帶過爐溫度及相應(yīng)指標(biāo)。

3 模型的假設(shè)

模型的假設(shè)如下：①集成電路板的邊界長(zhǎng)l=2.5 cm，且兩端邊界相等；②兩塊相等溫度的集成電路板邊界與間隙的最低溫度差值ΔT=170℃；③過爐速度勻速穩(wěn)定，不存在突變；④受傳熱影響，相同溫度的兩塊小溫區(qū)之間間隙中心溫度低于5℃；⑤假設(shè)受傳熱影響，第一個(gè)邊界略高于室溫為26℃；⑥不考慮電子元件材料等對(duì)溫度測(cè)量和焊接的影響；⑦假設(shè)更改小溫區(qū)溫度值后，加熱溫度最終趨于穩(wěn)態(tài)；⑧假設(shè)過爐過程中，電路板表面加熱溫度即為小溫區(qū)溫度；⑨假設(shè)調(diào)整小溫區(qū)非邊界溫度都能精確到設(shè)定值；⑩假設(shè)在調(diào)節(jié)溫區(qū)溫度時(shí)，原先速度始終為該狀態(tài)下最大過爐速度。

4 模型的建立與求解

4.1 模型的建立

4.1.1 穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)過程分析

4.1.1.1 導(dǎo)熱微分方程

滿足直角坐標(biāo)系一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無內(nèi)熱源、第一邊界條件下控制方程為：

將控制方程積分計(jì)算得出通解：

4.1.1.2 回焊爐內(nèi)熱傳導(dǎo)穩(wěn)態(tài)溫度分布分析

回歸本題中，假設(shè)將小溫區(qū)看成一有限長(zhǎng)的細(xì)狀熱源，回焊爐內(nèi)有以下情況的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)過程：爐前區(qū)域與第一小溫區(qū)之間、溫度相等的溫區(qū)之間、溫度由低到高的兩各溫區(qū)之間、溫度由高到低的溫區(qū)之間。

假設(shè)剛進(jìn)入爐前初始邊界溫度為T00，在每一段有限長(zhǎng)熱源的兩端靠近端點(diǎn)處都取一相同距離l位置的溫度，靠近左端點(diǎn)的溫度為Ti1，靠近右端點(diǎn)的位置為Ti2。x為小溫區(qū)與起始點(diǎn)距離，假設(shè)小溫區(qū)間隙為5 cm。

爐內(nèi)加熱過程如圖2所示。

圖2 爐內(nèi)加熱過程

根據(jù)圖2，小溫區(qū)有以下四個(gè)一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)過程：爐前區(qū)域起始溫度分布、溫度相等的相鄰小溫區(qū)區(qū)域的溫度分布、溫度升高的相鄰小溫區(qū)區(qū)域的溫度分布、溫度降低的相鄰小溫區(qū)區(qū)域的溫度分布。

過程一：爐前區(qū)域與小溫區(qū)區(qū)域溫度分布。

研究物體內(nèi)溫度分布（溫度分布為線性分布）：

過程二：溫度相等的相鄰小溫區(qū)區(qū)域的溫度分布。

根據(jù)熱傳導(dǎo)過程，相同溫度小溫區(qū)與間隙處于熱平衡狀態(tài)，小溫區(qū)釋放能量，間隙吸收能量，則間隙中點(diǎn)必然存在一個(gè)溫度最低點(diǎn)，即為間隙中點(diǎn)，間隙長(zhǎng)度為5 cm，間隙離中點(diǎn)距離為2.5 cm，設(shè)該點(diǎn)與溫區(qū)的溫度差ΔT=5℃。

利用導(dǎo)熱方程通解算出平衡狀態(tài)下溫度分布：

過程三：溫度升高的相鄰小溫區(qū)區(qū)域的溫度分布。

根據(jù)熱傳導(dǎo)過程，低溫小溫區(qū)與高溫小溫區(qū)區(qū)域存在溫度差，同時(shí)相鄰小溫區(qū)區(qū)域會(huì)達(dá)到熱平衡穩(wěn)態(tài)。

邊界條件為：

代入導(dǎo)熱方程通解算出平衡狀態(tài)下溫度分布：

過程四：溫度降低的相鄰小溫區(qū)區(qū)域的溫度分布。

同過程三，高溫小溫區(qū)與低溫小溫區(qū)區(qū)域存在溫度差，同時(shí)相鄰小溫區(qū)區(qū)域會(huì)達(dá)到熱平衡穩(wěn)態(tài)。邊界條件為：

代入導(dǎo)熱方程通解算出平衡狀態(tài)下溫度分布：

4.1.2 非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)過程分析

已知非穩(wěn)態(tài)有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱微分方程：

由于焊接點(diǎn)的厚度為0.15 mm，可忽略不計(jì)，則電路板焊接區(qū)域溫度在統(tǒng)一瞬間各點(diǎn)溫度基本相等，即t僅是的一元函數(shù)，與坐標(biāo)x、y、z無關(guān)，即：

從而：

界面上交換的熱量應(yīng)折算成整個(gè)物體的體積熱源，即-ΦV=Ah（T-T0）。

電路板進(jìn)入回焊爐內(nèi)時(shí)到達(dá)某一點(diǎn)時(shí)初始溫度與加熱溫度的關(guān)系式為：

整理一下得出以下關(guān)系式：

已知印刷電路板（PCB）體積，受熱表面積A，物性參數(shù)ρ、c、λ，熱交換系數(shù)h均為常數(shù)，令：

一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程變?yōu)椋?/p>

4.2 模型的求解

4.2.1 問題一的求解

首先，分析整個(gè)過程可以得出：爐內(nèi)傳送過程為穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)過程，集成電路板的瞬時(shí)加熱過程為非穩(wěn)態(tài)的熱傳導(dǎo)過程。假設(shè)傳送帶過爐速度為78 cm/min，各溫區(qū)溫度的設(shè)定值分別為173℃（小溫區(qū)1～5）、198℃（小溫區(qū)6）、230℃（小溫區(qū)7）和257℃（小溫區(qū)8～9）。

其次，將求解過程分為三個(gè)步驟：①將附件中的溫度曲線和加熱集成電路板的瞬時(shí)溫度與電路板的位置關(guān)系圖做出比較關(guān)系圖；②考慮所有過程的熱量損失問題，將熱傳導(dǎo)的兩個(gè)過程分別進(jìn)行數(shù)值計(jì)算；③最后根據(jù)不斷調(diào)試的熱量參數(shù)h，得到調(diào)試后的爐溫曲線圖。

解：根據(jù)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程，已經(jīng)畫出焊接區(qū)域的大概溫度曲線，如圖3所示。

圖3 焊接區(qū)域的大概溫度曲線

結(jié)合一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程與Matlab，根據(jù)題中所給的各參數(shù)的數(shù)值：175℃（小溫區(qū)1～5）、195℃（小溫區(qū)7）、255℃（小溫區(qū)8～9）及25℃（小溫區(qū)10～11），傳送帶的過爐速度為70 cm/min，由于δ的數(shù)值很難計(jì)算，可以先假設(shè)δ=0.006，可以看出當(dāng)電路板位于0～25 cm，穩(wěn)態(tài)溫度曲線與爐溫曲線的擬合程度最高。

同理，可以得出不同位置范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)溫度曲線與爐溫曲線擬合程度最高的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程系數(shù)：

通過改變不同位置段的δ值，將找到擬合程度最高的穩(wěn)態(tài)溫度曲線，如圖4所示。

圖4 穩(wěn)態(tài)溫度曲線

已知電路板（PCB）在進(jìn)入回焊爐之前的溫度為T0=25℃，假設(shè)爐前區(qū)域的起始溫度取T00=26℃，爐前區(qū)域的起始點(diǎn)為研究起始點(diǎn)，電路板上焊接區(qū)域中心每隔0.1 s之后，移動(dòng)的位移Δx=v·Δt=78 cm/min×0.1 s=0.013 cm，對(duì)照穩(wěn)態(tài)溫度曲線找出電路板移動(dòng)Δx后的位置的初始溫度T（x），則Tx-T0為始末溫度差溫度，再結(jié)合一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程，可以算出加熱溫度ΔT，從而解得這一位置焊接區(qū)域中心的溫度，該溫度也為下一位置的焊接區(qū)域中心未加熱前的初始溫度；利用迭代方法，從而求出每隔0.1 s后對(duì)應(yīng)位置上焊接區(qū)域中心的溫度。

根據(jù)問題一中所給參數(shù)的數(shù)值，變換各溫曲溫度的設(shè)定值分別為182℃（小溫區(qū)1～5）、198℃（小溫區(qū)6）、239℃（小溫區(qū)7）和257℃（小溫區(qū)8～9），畫出爐溫曲線。已知傳送帶過爐速度為78 cm/min，爐溫曲線再結(jié)合一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程，運(yùn)用迭代法，計(jì)算得出每隔0.1 s后對(duì)應(yīng)位置上焊接區(qū)域中心的溫度，結(jié)合Matlab畫出焊接區(qū)域中心的溫度變化曲線。分別計(jì)算小溫區(qū)3、6、7中點(diǎn)及小溫區(qū)8結(jié)束處距爐前區(qū)域起始點(diǎn)的位移xi（i=3，6，7，8），由算出電路板到達(dá)對(duì)應(yīng)位置所用的時(shí)間，再根據(jù)焊接區(qū)域中心的溫度變化曲線找出小溫區(qū)3、6、7中點(diǎn)及小溫區(qū)8結(jié)束處焊接區(qū)域中心的溫度，結(jié)果如表2和圖5所示。

表2 焊接區(qū)域中心的溫度

圖5 焊接區(qū)域中心的溫度變化圖

4.2.2 問題二的求解

探究焊接過程，在滿足制程界限的情況下，要使以峰值溫度為中心線的兩側(cè)超過217℃的爐溫曲線應(yīng)盡量對(duì)稱，需要算出合適的傳送帶過爐速度v和各溫區(qū)設(shè)定的溫度T有關(guān)，因此需要討論以下兩種情況。假設(shè)各溫區(qū)溫度的設(shè)定值分別為182℃（小溫區(qū)1～5）、203℃（小溫區(qū)6）、237℃（小溫區(qū)7）、254℃（小溫區(qū)8～9），傳送帶最大過爐速度v=79 cm/min。

第一種：探究同一次加熱情況下不同溫度對(duì)爐溫溫度的影響。

為了探究溫度的影響，采用控制變量法控制各溫區(qū)的溫度不變，恒定設(shè)置為182℃（小溫區(qū)1～5）、203℃（小溫區(qū)6）、237℃（小溫區(qū)7）、254℃（小溫區(qū)8～9），已知傳送帶的過爐速度調(diào)節(jié)范圍為65～100 cm/min，假設(shè)速度步長(zhǎng)為0.5 cm/min，調(diào)節(jié)溫度大小。此時(shí)根據(jù)問題一求解方法結(jié)合Matlab，可以得到此時(shí)的爐溫曲線，從而得到爐溫峰值的溫度Tmax以及焊接區(qū)域中心到達(dá)峰值時(shí)刻tmax；再利用爐溫曲線上217℃對(duì)應(yīng)的點(diǎn)得出升溫到217℃的時(shí)間ti1以及降溫到217℃的時(shí)間ti2，則算出升溫到217℃的點(diǎn)到爐溫峰值經(jīng)歷的時(shí)間tmax-ti1以及爐溫峰值降溫到217℃的點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間ti2-tmax，算出爐溫峰值到左右217℃溫度的點(diǎn)之間的時(shí)間偏差Δti1=（tmax-ti1）-（ti2-tmax），則位時(shí)間偏差越接近于0，圖像越趨于對(duì)稱。其中i=1，2，3，…，70。

傳送帶的過爐速度與時(shí)間偏差關(guān)系如圖6所示。

圖6 傳送帶的過爐速度與時(shí)間偏差關(guān)系

可以直觀看出過爐速度越大，偏差值越小，所以要取符合條件的最大速度，即最大傳送帶過爐速度v=79 cm/min。

第二種：探究同一傳送帶速度下改變小溫區(qū)7、8的溫度對(duì)爐值溫度的影響。

在已知的允許的最大傳送帶過爐速度下，改變溫區(qū)7、8的溫度T7i、T8i，其他溫區(qū)的溫度為了方便計(jì)算，設(shè)置成問題二中的所給溫度。根據(jù)問題一求解方法結(jié)合Matlab，可以得到此時(shí)的爐溫曲線，類比第一種情況的方法，算出時(shí)間偏差Δt2i。

以溫區(qū)7為x軸，溫區(qū)8為y軸，時(shí)間偏差Δx為z軸，畫出三者變量的散點(diǎn)關(guān)系圖，如圖7所示。

圖7 散點(diǎn)關(guān)系圖

由圖7可以直觀地看出當(dāng)溫區(qū)8溫度最高即T8=257℃，溫區(qū)7溫度最低即T7=225℃的情況下時(shí)間偏差最小，該爐溫曲線更符合題中所給要求的最優(yōu)情況。該題的指標(biāo)為在不同傳送帶速度和各溫區(qū)的不同溫度下升溫到217℃的點(diǎn)到爐溫峰值經(jīng)歷的時(shí)間tmax-ti1以及爐溫峰值降溫到217℃的點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間ti2-tmax的時(shí)間偏差，時(shí)間偏差越小，則越趨于對(duì)稱。

根據(jù)上述分析，將各溫區(qū)溫度的設(shè)定值分別為182℃（小溫區(qū)1～5）、203℃（小溫區(qū)6）、225℃（小溫區(qū)7）、257℃（小溫區(qū)8～9）。符合題意要求下允許的最大傳送帶過爐速度為v=79 cm/min時(shí)，區(qū)域最接近對(duì)稱，根據(jù)參數(shù)畫出如下爐溫曲線，如圖8所示。

圖8 焊接區(qū)域最接近對(duì)稱的爐溫曲線圖

此時(shí)曲線峰值溫度為245.9℃。

5 模型的應(yīng)用和推廣

模型一中運(yùn)用包含穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)過程與非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)過程。穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)模型運(yùn)用十分廣泛。本文穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)過程中主要運(yùn)用一維熱傳導(dǎo)方程。該模型在生活中運(yùn)用有密封材料的放熱、高溫作業(yè)衣物隔熱、一維穩(wěn)態(tài)傳熱過程類電流求解方法的討論、多層組件常壓隔熱性能實(shí)驗(yàn)研究、純金屬型連鑄模型試驗(yàn)研究，等等。

本題的整體研究方向?yàn)榛睾笭t爐溫曲線研究，旨在提高焊接工藝技術(shù)，延長(zhǎng)機(jī)器使用，保障企業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量，對(duì)同物理原理的機(jī)器研究具有同樣適用性。