張曉東 於亞飛? 張智明

1) (華南師范大學(xué)信息光電子科技學(xué)院，廣東省微納米光子功能材料與器件重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510006)

2) (華南師范大學(xué)，廣東省量子調(diào)控工程與材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510006)

量子弱測(cè)量過程中適當(dāng)?shù)娜踔悼捎糜诜糯笪⑷跷锢韰?shù)并提高參數(shù)評(píng)估的精度，這種參數(shù)評(píng)估精度的提高可能來源于體系中的糾纏.本文借助Fisher 信息研究了系統(tǒng)中的糾纏和系統(tǒng)與探針間的糾纏對(duì)弱測(cè)量過程中系統(tǒng)與探針間耦合參數(shù)的評(píng)估精度的影響.分析了系統(tǒng)初態(tài)分別為類GHZ 態(tài)的糾纏純態(tài)和受退極化噪聲影響的糾纏混態(tài)的糾纏，以及系統(tǒng)和探針間的糾纏對(duì)參數(shù)評(píng)估的影響.研究表明，當(dāng)系統(tǒng)初態(tài)為類GHZ 態(tài)的糾纏純態(tài)和受退極化噪聲影響的糾纏混態(tài)時(shí)，F(xiàn)isher 信息隨系統(tǒng)初態(tài)糾纏度的增大而增大，且系統(tǒng)初末態(tài)均為最大糾纏態(tài)時(shí)，F(xiàn)isher 信息和后選擇概率均達(dá)到最大;但系統(tǒng)與探針的糾纏越弱，測(cè)量能獲得的Fisher 信息越多，參量估計(jì)的精度越高.此研究結(jié)果表明系統(tǒng)中的糾纏會(huì)提高參數(shù)評(píng)估精度，而系統(tǒng)與探針間的糾纏則會(huì)降低參數(shù)評(píng)估的精度.

1 引言

在量子物理中量子測(cè)量必然會(huì)對(duì)系統(tǒng)造成擾動(dòng)，根據(jù)對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)的大小可以把量子測(cè)量分為強(qiáng)測(cè)量和弱測(cè)量，其中對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)較大的量子測(cè)量被稱為強(qiáng)測(cè)量，反之稱為弱測(cè)量.強(qiáng)測(cè)量后系統(tǒng)狀態(tài)會(huì)被不可逆地投影到測(cè)量基上，而且測(cè)得觀察量的平均值會(huì)介于觀察量算符最小本征值和最大本征值之間.而弱測(cè)量是由Aharanov[1]于1988 年提出的概念，其測(cè)量過程通常分為3 個(gè)步驟:系統(tǒng)和探針初態(tài)的制備、系統(tǒng)和探針的相互作用、對(duì)系統(tǒng)的后選擇.在系統(tǒng)和探針相互作用過程中系統(tǒng)和探針之間的耦合通常很弱，因此對(duì)系統(tǒng)的擾動(dòng)很小.并且在后選擇過程中會(huì)拋棄大量的數(shù)據(jù)，僅保留少量的數(shù)據(jù)，但是幾乎所有待評(píng)估參數(shù)的信息都集中在這些少量數(shù)據(jù)中.例如，測(cè)量小的光束偏轉(zhuǎn)時(shí)，僅收集1%的光子就可以獲得99%的Fisher 信息[2].而且后選擇之后，會(huì)有一個(gè)有趣的現(xiàn)象，此時(shí)測(cè)得的“觀察量”，即觀察量算符在系統(tǒng)初末態(tài)之間的平均值，往往是超出特征值范圍的復(fù)數(shù)，這個(gè)復(fù)數(shù)被稱為弱值，這種測(cè)量過程又被稱為弱值放大[3，4].

到目前為止，弱值放大技術(shù)應(yīng)用于精密測(cè)量領(lǐng)域的諸多方面.如利用弱值能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出觀察量本征值范圍這一特性，弱值放大能被應(yīng)用于放大小的物理量，如對(duì)光束的橫向偏移[5，6]、激光的頻率[7]、角旋轉(zhuǎn)[8]、縱向速度[9]、溫度[10，11]以及系統(tǒng)和探針之間耦合參數(shù)的測(cè)量[12-17].測(cè)量這些小的物理量時(shí)人們通常關(guān)注于對(duì)這些小物理量的放大倍數(shù)、靈敏度、精度和信噪比.如在文獻(xiàn)[15]中白光也能用于測(cè)量縱向相移，并且靈敏度是阿秒量級(jí).在文獻(xiàn)[16]測(cè)量縱向相移過程中，在系統(tǒng)探針相互作用之前引入一個(gè)預(yù)耦合，會(huì)使得測(cè)量靈敏度高于文獻(xiàn)[15]所得靈敏度兩個(gè)量級(jí).在文獻(xiàn)[17]中非幺正演化相較于幺正演化有更高的參數(shù)評(píng)估精度和信噪比.雖然弱值放大能夠放大很多小參數(shù)，但幾乎正交的系統(tǒng)初末態(tài)會(huì)導(dǎo)致較低的后選擇概率，目前有幾種方案來解決這個(gè)問題.如文獻(xiàn)[18]在Sagnac 干涉儀中利用弱值放大技術(shù)測(cè)量光束的橫向偏移，通過在亮端口放置一個(gè)部分反射的功率鏡，可以將亮端口丟棄的數(shù)據(jù)反射，再經(jīng)過一個(gè)空間濾波鏡片將光的橫向輪廓刷新后回到弱值放大過程中，此方案在提高后選擇概率的同時(shí)也能提高信噪比，并且在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了功率循環(huán)的弱值放大[19].另一種方法是利用糾纏系統(tǒng)態(tài)來提高后選擇概率[20，21].

文獻(xiàn)[20，21]表明，增大系統(tǒng)維度能夠有效地增大后選擇概率，本文詳細(xì)研究了在弱測(cè)量中系統(tǒng)糾纏以及系統(tǒng)探針之間的糾纏對(duì)參數(shù)評(píng)估精度的影響.首先把系統(tǒng)初態(tài)選擇為糾纏態(tài)，探針初態(tài)選擇為高斯態(tài)，兩者在弱相互作用后對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行后選擇，通過分析系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度和后選擇后耦合參數(shù)總的Fisher 信息來討論系統(tǒng)糾纏對(duì)參數(shù)評(píng)估的影響.其次在弱測(cè)量過程中，系統(tǒng)和探針要進(jìn)行弱相互作用，弱相互作用會(huì)使得系統(tǒng)和探針糾纏起來，這里把系統(tǒng)選擇為單個(gè)比特，進(jìn)而度量系統(tǒng)與探針之間的糾纏來分析系統(tǒng)與探針的糾纏對(duì)耦合參數(shù)Fisher 信息的影響.

在分析系統(tǒng)糾纏對(duì)參數(shù)評(píng)估精度的影響時(shí)，我們的研究表明耦合參數(shù)的Fisher 信息隨著系統(tǒng)糾纏度的增大而增大.而在分析系統(tǒng)和探針間的糾纏對(duì)參數(shù)評(píng)估精度的影響時(shí)發(fā)現(xiàn)，隨著系統(tǒng)和探針之間的耦合參數(shù)g的增大，系統(tǒng)和探針間的糾纏度越大，能獲得的耦合參數(shù)的Fisher 信息反而越小.換句話說，系統(tǒng)中的糾纏有助于提高耦合參數(shù)的Fisher 信息，而系統(tǒng)與探針之間的糾纏會(huì)抑制耦合參數(shù)Fisher 信息的獲得.

本文的結(jié)構(gòu)如下:第2 節(jié)簡(jiǎn)潔地介紹弱測(cè)量的理論框架;第3 節(jié)討論在弱測(cè)量中系統(tǒng)糾纏對(duì)參數(shù)評(píng)估精度的影響，其中3.1 節(jié)討論系統(tǒng)初態(tài)為類GHZ 態(tài)的糾纏純態(tài)時(shí)的情況，3.2 節(jié)討論系統(tǒng)初態(tài)為受退極化噪聲影響的糾纏混態(tài)時(shí)的情況，3.3 節(jié)對(duì)直積系統(tǒng)初態(tài)和糾纏系統(tǒng)初態(tài)做了對(duì)比分析;第4 節(jié)討論系統(tǒng)和探針之間的糾纏對(duì)參數(shù)評(píng)估精度的影響;第5 節(jié)給出了本文的結(jié)論.

2 弱值放大的理論框架

首先簡(jiǎn)潔地介紹弱值放大基本原理.如圖1 所示，初始態(tài)被制備成 |Si〉?|T〉，|Si〉是系統(tǒng)初態(tài)，|T〉是探針初態(tài)，在動(dòng)量空間中探針初始的動(dòng)量分布可以寫成P(p)|T(p)|2的形式.探針初態(tài)中的其中p和δ分別是探針的動(dòng)量及動(dòng)量的方差.初始態(tài)制備之后系統(tǒng)和探針會(huì)通過弱相互作用耦合起來.總的哈密頓量為，其中是系統(tǒng)和探針的自由哈密頓量，是系統(tǒng)探針的相互作用哈密頓量.在相互作用繪景中演化算符可寫成這里是第i個(gè)系統(tǒng)比特觀察量算符.因此系統(tǒng)和探針弱耦合之后的聯(lián)合態(tài)可以寫成:

圖1 n 量子比特系統(tǒng)弱測(cè)量的原理圖.系統(tǒng)初始態(tài)為|Si〉，探針初始態(tài)為 |T〉 .系統(tǒng)和探針之間的演化算符為.演化后對(duì)系統(tǒng)做 |Sf〉的后選擇.探針末態(tài)為|Tf〉Fig.1.Schematic diagram of the weak measurement of the n qubit system.The initial state of the system is |Si〉，and the initial state of the pointer is |T〉 .The evolution operator is between the system and the pointer.After the evolution，the system is selected to |Sf〉 .The final state of the pointer is |Tf〉 .

對(duì)相互作用后的系統(tǒng)進(jìn)行后選擇，后選擇到態(tài)|Sf〉.根據(jù)測(cè)量理論，把投影算子|Sf〉〈Sf| 作用到(1)式可以得到歸一化的探針末態(tài)

在弱相互作用條件g|Aw|δ ?1 下，(3)式可以重新寫成:

其中Aw〈Sf||Si〉/〈Sf|Si〉是算符的弱值.當(dāng)預(yù)選擇態(tài)和后選擇態(tài)幾乎正交時(shí)，弱值會(huì)很大，但隨之而來的是較低的后選擇概率.

3 在弱測(cè)量中系統(tǒng)糾纏對(duì)參數(shù)評(píng)估的影響

下面分兩部分研究系統(tǒng)糾纏對(duì)參數(shù)評(píng)估的影響，3.1 節(jié)研究系統(tǒng)初態(tài)為類GHZ 態(tài)的糾纏純態(tài)時(shí)對(duì)參數(shù)評(píng)估的影響，3.2 節(jié)研究系統(tǒng)初態(tài)為受退極化噪聲影響的糾纏混態(tài)時(shí)對(duì)參數(shù)評(píng)估的影響，3.3 節(jié)對(duì)比分析直積系統(tǒng)初態(tài)與最大糾纏系統(tǒng)初態(tài)對(duì)耦合參數(shù)Fisher 信息的影響.

3.1 系統(tǒng)初態(tài)為糾纏純態(tài)

接著對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行后選擇|Sf〉cosφ|0〉?nsinφe-iε|1〉?n.成功后選擇到態(tài) |Sf〉的概率為

后選擇之后的探針末態(tài)可以寫成:

接著對(duì)后選擇之后的探針在動(dòng)量空間探測(cè)，在探測(cè)器上能得到歸一化的分布為

信息論中對(duì)g的最優(yōu)估計(jì)由CR 邊界(Cramer-Rao bound)給出，這里N是獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的次數(shù)，F(xiàn)tot是總的Fisher 信息.總的Fisher信息包含兩部分[22]，其中一部分為后選擇概率中g(shù)的Fisher信息，另一部分是動(dòng)量分布P(g，p) 中g(shù)的Fisher 信息

由(6)式和(8)式可知，后選擇概率以及后選擇后探針分布中均含有g(shù)的Fisher 信息，因此可以求得總的Fisher 信息Ftot.這里分析后選擇概率Pd和總的Fisher 信息Ftot隨θ和φ的變化情況.

從圖2(a)可以得知，后選擇概率在θ+φπ/2附近時(shí)，預(yù)選擇態(tài)和后選擇態(tài)幾乎正交，此時(shí)的后選擇概率最小;在θφ0 或θφπ/2 時(shí)，系統(tǒng)初末態(tài)均為 |0〉?n或 |1〉?n，此時(shí)的后選擇概率最大.而從圖2(b)可以看出，在θ+φπ/2 時(shí)，能獲得參數(shù)g的Fisher 信息最大;在θφ0 或θφπ/2時(shí)幾乎不能得到任何信息.從以上結(jié)果可以得知弱測(cè)量以犧牲后選擇概率為代價(jià)來獲得更多參數(shù)g的Fisher 信息.

圖2 (a)后選擇概率 Pd 隨θ 和φ 的變化趨勢(shì);(b)總的Fisher 信息 Ftot 隨θ 和φ 的變化趨勢(shì).圖中紅色的線表示θ+φ=π/2.參數(shù)選取為 n=2，δ=4×104 m-1 ，ε=0.01，g=0.88 μmFig.2.(a) Post-selection probability Pd as a function of θ and φ;(b) total Fisher information Ftot as a function of θ and φ.The red line represent θ+φ=π/2 .Parameters selection: n=2，δ=4×104 m-1 ，ε= 0.01，g=0.88 μm .

為了對(duì)參數(shù)g進(jìn)行最優(yōu)評(píng)估，選取φπ/2-θ進(jìn)行分析，此時(shí)系統(tǒng)末態(tài)為|S′f〉sinθ|0〉?ncosθe-iε|1〉?n，(6)式和(8)式改寫成以下形式:

在弱相互作用條件ngδcotε ?1 下，又可以把(9)式中的P(g，p) 重寫成以下形式:

初始探針分布P(p)中p的平均值0 .由(10)式可以得到平均值偏移量2gδ2|Aw|，與弱值A(chǔ)wincot(ε/2)的虛部成正比.測(cè)量P(g，p)下p的平均值〈p〉可以用來估計(jì)g，而參數(shù)的估計(jì)精度可以用Fisher 信息來衡量.通過(9)式可以求得后選擇概率和探針末態(tài)中的Fisher 信息分別為

參數(shù)g總的Fisher 信息為

由CR 邊界可知，F(xiàn)isher 信息越大，理論上能獲得g的精度越高.為了研究系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度對(duì)參數(shù)評(píng)估精度的影響，首先需要度量系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度.這里運(yùn)用對(duì)數(shù)負(fù)糾纏來度量系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度[23]:

其中下標(biāo)“s”表示系統(tǒng)，上標(biāo)“p”表示純態(tài).這里需要強(qiáng)調(diào)的是系統(tǒng)末態(tài)也具有相同的糾纏度.接下來分析系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度隨參數(shù)θ的變化，如圖(3)所示.

從圖3 可以看出，系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度隨θ角先增大后減小，當(dāng)參數(shù)θπ/4 時(shí)系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度最大，此時(shí)系統(tǒng)的初態(tài)為最大糾纏態(tài).

圖3 類GHZ 態(tài)的糾纏純態(tài)的糾纏度 隨參數(shù)θ 的變化曲線，繪制了 θ={0，π/2} 的范圍Fig.3.Entanglement of the entangled pure states of GHZ-like states as a function of the parameter θ .we have plotted the range of θ={0，π/2} .

為了進(jìn)一步分析后選擇概率和耦合參數(shù)g的Fisher 信息與系統(tǒng)初態(tài)糾纏度的關(guān)系，繪制了n2時(shí)后選擇概率和Fisher 信息隨糾纏度的變化曲線.

從圖4 可看出，后選擇概率和參數(shù)g的Fisher信息隨系統(tǒng)初末態(tài)糾纏度的增大而增大.當(dāng)系統(tǒng)初態(tài)糾纏度為零時(shí)，系統(tǒng)的初態(tài)為直積態(tài)|S0〉|0〉?n或 |S1〉|1〉?n，此時(shí)得不到參數(shù)g的Fisher 信息.然而當(dāng)系統(tǒng)的糾纏度最大時(shí)，系統(tǒng)初態(tài)和系統(tǒng)的末態(tài)(|0〉?n-均為最大糾纏態(tài)，此時(shí)的Fisher 信息和后選擇概率均達(dá)到最大，即在弱測(cè)量中，增大系統(tǒng)內(nèi)的糾纏度對(duì)參數(shù)g的評(píng)估精度有很好的增益.

圖4 藍(lán)色曲線表示后選擇概率隨糾纏度 的變化曲線，橙色曲線表示耦合參數(shù)g 的Fisher 信息隨糾纏度的 變 化 曲 線.參 數(shù) 選 取: δ=4×104 m-1，ε=0.01 ，g=0.88 μm，n=2 .Fig.4.Blue curve represents the post-selection probability as a function of entanglement ，and the orange curve represents the Fisher information of the coupling parameter g as a function of entanglement .Parameter selection: δ=4×104 m-1 ，ε=0.01，g=0.88 μm，n=2 .

從以上的分析可知，系統(tǒng)初末態(tài)均為最大糾纏態(tài)時(shí)后選擇概率和Fisher 信息均達(dá)到最大.然而在實(shí)驗(yàn)上制備最大糾纏態(tài)時(shí)難免會(huì)受到噪聲的干擾，因此接下來選定系統(tǒng)末態(tài)為來討論系統(tǒng)初態(tài)為糾纏混態(tài)時(shí)，系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度對(duì)參數(shù)評(píng)估的影響.

3.2 系統(tǒng)初態(tài)為糾纏混態(tài)

在制備最大糾纏的系統(tǒng)初態(tài)時(shí)，會(huì)受到噪聲的影響，這里僅考慮退極化噪聲的影響.此時(shí)的系統(tǒng)初態(tài)為混合態(tài)，這里的Q是純度參數(shù).同時(shí)把探針初態(tài)寫成密度矩陣的形式，因此總的初態(tài)為

系統(tǒng)和探針經(jīng)過弱相互作用后的態(tài)可以寫成以下形式

后選擇之后，對(duì)探針末態(tài)測(cè)量可以得到一個(gè)在動(dòng)量空間的概率分布:

根據(jù)(16)式和(17)式能夠得到總的Fisher信息.而對(duì)于系統(tǒng)初態(tài)為糾纏混態(tài)的情況，同樣使用對(duì)數(shù)負(fù)糾纏來度量其糾纏度[23]，得到的糾纏度為

其中下標(biāo)“s”表示系統(tǒng)，上標(biāo)“m”表示混態(tài).圖5 給出了n2 時(shí)系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度隨純度參數(shù)Q的變化曲線.

圖5 表明糾纏度隨著純度參數(shù)的增大而減小，當(dāng)Q≤2/3時(shí)，系統(tǒng)初態(tài)是糾纏態(tài)，當(dāng)Q ＞，系統(tǒng)初態(tài)已不再糾纏.

圖5 n=2時(shí)，系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度隨純度參數(shù)Q 的變化曲線Fig.5.Entanglement of the initial state of the system as a function of the purity parameter Q.Parameter selection: n=2 .

接下來分析系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度對(duì)參數(shù)評(píng)估精度的影響，并畫了n2， 4， 6 時(shí)后選擇概率以及Fisher 信息隨系統(tǒng)初態(tài)糾纏度的變化曲線.

從圖6 可以看出，當(dāng)系統(tǒng)初態(tài)為受退極化噪聲影響的糾纏混態(tài)時(shí)，參數(shù)的Fisher 信息隨初態(tài)糾纏度的增大而增大.當(dāng)初態(tài)的糾纏度達(dá)到1 時(shí)，參數(shù)g的Fisher 信息能夠達(dá)到最大.而且可以看出系統(tǒng)中糾纏的比特?cái)?shù)越大，參數(shù)g的Fisher信息越大.后選擇概率在n2和n4時(shí)隨著糾纏度的增大而減小，而在n6 時(shí)反而隨著糾纏度的增大而增大，這是由于當(dāng)比特?cái)?shù)小時(shí)，后選擇的概率主要是由極化噪聲導(dǎo)致的，而糾纏度與純度參數(shù)Q是呈負(fù)相關(guān)的，因而后選擇概率隨著糾纏度的增大而減小.隨著比特?cái)?shù)的增大，系統(tǒng)比特對(duì)后選擇概率的影響要比極化噪聲的大，因而后選擇概率隨著糾纏度的增大而增大.

圖6 藍(lán)色曲線表示后選擇概率隨糾纏度 的變化曲線，橙色曲線表示參數(shù)g 的Fisher 信息隨糾纏度 的變化曲線.參數(shù)選取: δ=4×104 m-1，ε=0.01 ，g=0.88 μmFig.6.Blue curve represents the post-selection probability as a function of entanglement ，and the orange curve represents the Fisher information of the parameter g as a function of entanglement . Parameter selection:δ=4×104 m-1，ε=0.01 ，g=0.88 μm .

表1 兩種方案后選擇概率和后選擇后指針分布的比較Table 1. Comparison of the post-selection probability and the post-selection pointer distribution of the two schemes.

3.3 系統(tǒng)初態(tài)為直積態(tài)與最大糾纏態(tài)對(duì)參數(shù)評(píng)估影響的比較

當(dāng)n≥2 時(shí)，糾纏系統(tǒng)初態(tài)方案的后選擇概率要大于直積系統(tǒng)初態(tài)方案.但后選擇后指針具有相同的分布形式.與此同時(shí)我們又比較了兩種方案在n2時(shí)的Fisher 信息.

從圖7 可以看出，當(dāng)系統(tǒng)初態(tài)為最大糾纏態(tài)時(shí)參數(shù)g的Fisher 信息要大于系統(tǒng)初態(tài)為直積態(tài)時(shí)參數(shù)g的Fisher 信息.綜上可以得出結(jié)論，在參數(shù)評(píng)估精度及后選擇概率方面糾纏系統(tǒng)初態(tài)的方案要優(yōu)于直積系統(tǒng)初態(tài)方案.

圖7 淺藍(lán)色曲線表示初態(tài)為糾纏態(tài)時(shí)參數(shù)g 的Fisher 信息隨耦合參數(shù)g 的變化曲線，深藍(lán)色曲線表示初態(tài)為直積態(tài)時(shí)參數(shù)g 的Fisher 信息隨耦合參數(shù)g 的變化曲線.參數(shù)選取: n=2，δ=4×104 m-1，ε=0.01Fig.7.Light blue curve represents Fisher information of the parameter g as a function of the coupling parameter g when the initial state is entangled，and dark blue curve represents Fisher information of the parameter g as a function of the coupling parameter g when the initial state is product state.Parameter selection: n=2，δ=4×104 m-1 ，ε=0.01.

4 量子弱測(cè)量中系統(tǒng)和探針之間的糾纏對(duì)參數(shù)評(píng)估的影響

弱測(cè)量中弱相互作用會(huì)使得系統(tǒng)和探針糾纏起來，但不同的相互作用強(qiáng)度會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)和探針之間的糾纏度不同，進(jìn)而導(dǎo)致加載到探針上關(guān)于參數(shù)g的Fisher 信息也會(huì)有所不同.因此本節(jié)研究系統(tǒng)和探針之間的糾纏對(duì)耦合參數(shù)g評(píng)估精度的影響.首先把系統(tǒng)初態(tài)選為|si〉探針初態(tài)選為|T〉〈T|.系統(tǒng)和探針的聯(lián)合態(tài)經(jīng)過弱相互作用可以寫成以下形式:

這里仍然使用對(duì)數(shù)負(fù)糾纏來度量系統(tǒng)和探針之間的糾纏度，并畫了系統(tǒng)探針間的糾纏度Est隨參數(shù)g的變化曲線以及參數(shù)g的Fisher 信息隨Est的變化曲線，如圖8 所示.

從圖8(a)可以看出，糾纏度Est隨著耦合參數(shù)g的增大而增大，也就是說系統(tǒng)和探針的耦合越強(qiáng)，系統(tǒng)和探針之間的糾纏度越大.而從圖8(b)可以看出，參數(shù)總的Fisher 信息隨糾纏度Est的增大先減小后增大，下降部分在弱相互作用域，上升部分為強(qiáng)相互作用域.而且在弱測(cè)量過程中，系統(tǒng)和探針之間的耦合很弱，由圖8(a)可知此時(shí)系統(tǒng)和探針之間的糾纏也很弱.由下降的這一段可以看出，隨著系統(tǒng)與探針間糾纏度的增大，參數(shù)g的Fisher信息反而減小，即系統(tǒng)與探針之間的糾纏對(duì)參數(shù)評(píng)估精度是具有抑制作用的.雖然文獻(xiàn)[16]通過系統(tǒng)和探針預(yù)耦合可以提高靈敏度，但是系統(tǒng)和探針之間的預(yù)耦合會(huì)使得系統(tǒng)和探針先糾纏起來，然后再經(jīng)過弱相互作用，這樣會(huì)使得系統(tǒng)和探針之間的糾纏更大，能夠獲得參數(shù)g的Fisher 信息會(huì)更小，不利于提高參數(shù)的評(píng)估精度.

圖8 (a) 系統(tǒng)探針之間的糾纏度 Est 隨耦合參數(shù)g 的變化曲線;(b)參數(shù)g 的Fisher 信息隨系統(tǒng)探針之間的糾纏度Est的變化曲線.參數(shù)選取為δ=4×104 m-1，ε=0.01Fig.8.(a) Entanglement Est between system and pointers as a function of the coupling parameter g;(b) the Fisher information of the parameter g as a function of the entanglement Est between system and pointers.Parameter selection: δ=4×104 m-1，ε=0.01 .

5 結(jié)論

本文在弱值放大過程利用Fisher 信息研究了系統(tǒng)中的糾纏以及系統(tǒng)與探針間的糾纏對(duì)耦合參數(shù)評(píng)估精度的影響.在研究系統(tǒng)的糾纏對(duì)耦合參數(shù)評(píng)估的影響時(shí)，把系統(tǒng)的初態(tài)分為類GHZ 態(tài)的糾纏純態(tài)和受退極化噪聲影響的糾纏混態(tài)兩種情況.結(jié)果表明，耦合參量的Fisher 信息隨著系統(tǒng)初態(tài)糾纏度的增大而增大;當(dāng)系統(tǒng)初末態(tài)處于最大糾纏態(tài)時(shí)，后選擇概率和耦合參數(shù)的Fisher 信息能夠達(dá)到最大.此結(jié)果說明，系統(tǒng)中的糾纏有助于提高耦合參數(shù)評(píng)估的精度.在研究系統(tǒng)和探針的糾纏時(shí)卻發(fā)現(xiàn)，隨著系統(tǒng)與探針之間的糾纏度的增大，耦合參數(shù)評(píng)估的Fisher 信息反而減小.結(jié)合文獻(xiàn)[16]中關(guān)于系統(tǒng)與探針間的預(yù)糾纏有助于提高參數(shù)評(píng)估的靈敏度，得到如下結(jié)論:雖然系統(tǒng)與探針間的糾纏能夠增大探針偏移量提高耦合參數(shù)評(píng)估的靈敏度，但系統(tǒng)與探針間的糾纏不利于提高耦合參數(shù)的評(píng)估精度.本文研究選取的參數(shù)均在合理的范圍內(nèi)[24]，可以應(yīng)用于光學(xué)系統(tǒng)，分別用動(dòng)量空間的高斯態(tài)和路徑自由度作為探針和系統(tǒng)，路徑自由度可以把系統(tǒng)初末態(tài)編碼為最大糾纏態(tài)[21].最后我們希望系統(tǒng)糾纏的弱測(cè)量方案能在離子阱中有所應(yīng)用.