張浩淼 任九生 張能輝

(上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，上海 200444)

(上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200444)

(上海市力學(xué)在能源工程中的應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200444)

梁柱結(jié)構(gòu)不僅是建筑工程和橋梁工程的主要結(jié)構(gòu)形式，也是輪船、飛機(jī)機(jī)翼和起重機(jī)等機(jī)械結(jié)構(gòu)中的重要承力構(gòu)件。鑒于梁彎曲變形是桿件結(jié)構(gòu)基本變形中最為復(fù)雜的變形形式，對(duì)梁彎曲變形的研究歷史也最為曲折，對(duì)其中最為關(guān)鍵的中性軸位置的確定也經(jīng)歷了諸多學(xué)者的努力和不斷探索。

梁的中性層是指彎曲變形時(shí)梁內(nèi)縱向長度不變的一層，或者說彎曲變形時(shí)梁內(nèi)既不伸長也不縮短的一層，而梁的中性軸指梁中性層與其橫截面的交線。由單一機(jī)械載荷作用下梁的純彎曲試驗(yàn)可知，彎曲后梁的縱線由直線變?yōu)榛【€，靠近梁頂面或梁底面一側(cè)的縱線伸長，而另一側(cè)的縱線縮短，因此彎曲變形時(shí)梁內(nèi)總有一層既不伸長也不縮短，即梁中性軸總是存在的[1-2]；在梁中性軸位置即坐標(biāo)軸確定之后，便可由經(jīng)典的單變量方法描述梁的彎曲正應(yīng)變，即ε=y/ρ，其中y為考察點(diǎn)距離中性軸的坐標(biāo)，ρ為中性軸處的曲率半徑；而后便可進(jìn)一步確定梁的彎曲正應(yīng)力分布，即在梁的中性軸處彎曲正應(yīng)力為零，在中性軸兩側(cè)，一側(cè)正應(yīng)力為正，而另一側(cè)正應(yīng)力為負(fù)，且正應(yīng)力的大小與到中性軸的距離成正比。

1 梁中性軸的早期認(rèn)識(shí)

最早在1620 年，比克門發(fā)現(xiàn)梁內(nèi)存在中性軸，提出中性軸的概念。而后著名力學(xué)家如伽利略在1638年、胡克在1678 年、馬略特在1686 年、伐里農(nóng)在1702 年、伯努利在1705 年、庫倫在1776 年等先后提出梁內(nèi)存在中性軸，但伽利略、馬略特、伐里農(nóng)等均把中性軸取在梁的下側(cè)，因此未能正確給出中性軸的位置[3-4]。帕倫在1713 年取得突破性的進(jìn)展，指出梁中性軸在梁的中間某個(gè)位置，如矩形截面梁的中性軸在梁的上側(cè)距離和梁高之比為9:11 的位置。直到1826 年，納維在《力學(xué)在機(jī)械與結(jié)構(gòu)方面的應(yīng)用》一書中給出正確答案，即當(dāng)材料服從胡克定律時(shí)，梁的中性軸通過截面形心。

對(duì)中性軸位置的正確回答要?dú)w功于胡克對(duì)梁中正應(yīng)力分布的正確認(rèn)識(shí)，1678 年胡克在《論彈簧》一書中指出梁中正應(yīng)力是以中性軸處為零的線性分布，一側(cè)受拉，而另一側(cè)受壓。然而，很難知道哪一層的正應(yīng)力為零，那么只好借助梁截面軸向力平衡條件，即梁上彎曲軸力或凈縱向力為零，或者說整個(gè)梁橫截面上的正應(yīng)力合力為零的條件，來確定中性軸位置。當(dāng)材料服從胡克定律時(shí)，根據(jù)梁中正應(yīng)力關(guān)于中性軸的分布方式可知，梁的中性軸必然通過截面形心。既然中性軸通過截面形心，當(dāng)材料服從胡克定律時(shí)確定中性軸位置就比較容易了。對(duì)于具有對(duì)稱結(jié)構(gòu)的梁而言，對(duì)稱軸就是中性軸；但對(duì)于具有非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的梁，中性軸的確定需要計(jì)算組合截面的形心位置。

2 梁中性軸的當(dāng)代進(jìn)展

面對(duì)工程中新材料和新結(jié)構(gòu)形式的大量使用，梁中性軸位置的確立又日益變得重要。當(dāng)梁結(jié)構(gòu)材料不服從單一的經(jīng)典胡克定律時(shí)，梁中正應(yīng)力關(guān)于中性軸的分布方式必然發(fā)生變化，導(dǎo)致梁的中性軸不再通過截面形心，中性軸位置一般仍然需由隔離體的軸向力平衡條件直接確定。而材料不服從單一胡克定律的情況也有諸多情形，有的是因?yàn)椴牧系姆蔷€性性質(zhì)引起，如雙模量梁、含損傷梁、彈塑性梁、功能梯度形狀記憶合金梁等；有的是因?yàn)閺?fù)雜加載條件或多物理場(熱機(jī)耦合、熱電耦合、磁電) 因素引起，如考慮熱擴(kuò)散影響的梁、考慮壓電影響的梁等；有的是因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)因素引起，如疊合梁和層合梁等。

對(duì)于非線性彈性梁，因其彈性模量是應(yīng)變依賴的，即E(ε) =E0+E1ε，則由于幾何中面軸向變形的約束使得橫截面上產(chǎn)生軸向力，從而導(dǎo)致梁的中性軸位置發(fā)生變化，且中性軸位置隨材料非線性程度Er=E0/E1而變化[5]。如圖1 所示，對(duì)于兩端固定的非線性彈性梁，其彎曲構(gòu)形上的兩個(gè)拐點(diǎn)把梁分成三部分，每一部分的中性軸位置都是連續(xù)變化的。圖中變量解釋詳見參考文獻(xiàn)，下同。

圖1 非線性彈性梁的中性軸位置[5]

對(duì)于混凝土、鑄鐵、金屬合金和橡膠等材料而言，其材料彈性系數(shù)在變形過程中是變化的，一般將受拉和受壓階段的彈性系數(shù)分別進(jìn)行線性化處理，用雙模量理論或不同模量理論表示。如圖2(a)所示，對(duì)于雙模量梁，中性軸總是偏向彈性模量高的一側(cè)；特別地，對(duì)受壓彈性模量大于受拉彈性模量的一般情況，中性軸總是偏向受壓區(qū)[6-7]。

對(duì)于含損傷梁，因結(jié)構(gòu)內(nèi)部受損后必然導(dǎo)致截面材料剛度不均勻變化，隨之中性軸位置發(fā)生變化。如圖2(b) 所示，如果是單邊損傷梁，其中性軸向未損傷的一側(cè)移動(dòng)，且損傷程度越大或載荷越大，中性軸偏離幾何中面的距離越大；但如果是對(duì)稱的多邊損傷梁，其中性軸位置不變[8-9]。

對(duì)于彈塑性梁，當(dāng)材料處于線彈性范圍內(nèi)時(shí)，中性軸必然是通過截面形心的；當(dāng)材料屈服后，中性軸會(huì)發(fā)生偏移，且偏移與載荷、截面形狀和材料模型均相關(guān)。如圖2(c) 所示，材料進(jìn)入塑性變形強(qiáng)化階段后，一般壓應(yīng)力大于拉應(yīng)力，從而造成拉壓不平衡，即拉應(yīng)力區(qū)和壓應(yīng)力區(qū)不再對(duì)稱，且中性軸位置偏向受壓區(qū)[10]。

圖2 不同材料梁中性軸的位置

對(duì)于由陶瓷和金屬組成的金屬在下側(cè)的功能梯度材料梁，如圖3 所示，在彈性變形階段，由于陶瓷材料彈性模量和屈服應(yīng)變低，中性軸向陶瓷側(cè)偏移，偏移值不隨外加彎矩變化而變化；在彈塑性變形階段，中性軸向受拉側(cè)逐漸偏移，且偏移值隨外加彎矩的增加而增大；在完全塑性變形階段，中性軸先向受拉側(cè)偏移，且偏移值隨外加彎矩的增加而增大，但偏移達(dá)到一個(gè)最大值后，偏移值卻隨外加彎矩的增加而減小，即向受壓側(cè)回移；在卸載階段，中性軸偏移量隨外加彎矩的減小單調(diào)變小，卸載結(jié)束后最終的偏移值取決于卸載初始時(shí)刻的彎矩值?？偟膩碚f，中性軸總是位于截面形心以上，即偏向陶瓷一側(cè)[11]。

圖3 功能梯度材料梁的中性軸位置[11]

對(duì)于考慮熱擴(kuò)散影響的梁，因溫度的升高或降低會(huì)在梁中產(chǎn)生軸向拉力或軸向壓力，如圖4 所示，考慮軸向壓力作用時(shí)，在軸向壓力作用下中性軸會(huì)向截面拉伸區(qū)偏移，且偏移大小與軸向壓力大小或溫度變化值有關(guān)[12]。

圖4 有軸向壓力作用時(shí)梁的中性軸位置

對(duì)于形狀記憶合金梁，因形狀記憶合金的馬氏體相變導(dǎo)致梁彈性模量減小，會(huì)造成拉壓不平衡，也就是拉壓應(yīng)力區(qū)不對(duì)稱，中性軸位置會(huì)發(fā)生偏移，且偏移情況隨材料相變不同發(fā)展階段而變化。如圖5所示，當(dāng)梁受拉側(cè)表層首先發(fā)生相變時(shí)，中性軸會(huì)向受壓側(cè)偏移；在僅有受拉側(cè)發(fā)生相變的一階相變階段，中性軸向受壓側(cè)的偏移逐漸增大；在受壓側(cè)和受拉側(cè)同時(shí)發(fā)生相變的二階相變階段，梁彈性模量減小到最小值，中性軸向受壓側(cè)偏移量達(dá)到最大；在僅有受拉側(cè)完全轉(zhuǎn)化為馬氏體相的三階相變階段，梁彈性模量逐漸增大，中性軸向受拉側(cè)的偏移逐漸回移；在受壓側(cè)和受拉側(cè)同時(shí)完全轉(zhuǎn)化為馬氏體相的四階相變階段，中性軸逐漸回移到初始位置[13]。

圖5 形狀記憶合金梁的中性軸位置[13]

土木工程中通常采用疊合、焊接和粘接等加固法形成疊合梁和層合梁對(duì)原有結(jié)構(gòu)進(jìn)行加固處理，若兩梁接觸面光滑則稱為疊合梁，若兩梁加固成整體且無相對(duì)滑動(dòng)則稱為層合梁。如圖6 所示，對(duì)于疊合梁而言，每根小梁有各自的中性軸，均通過各自的形心，且正應(yīng)力按各自的中性軸正比分布[14]；當(dāng)疊合梁中兩梁接觸面有摩擦?xí)r，上下梁的中性軸都由相應(yīng)的形心向接觸面偏移，即上梁中性軸位于其形心下方，下梁中性軸位于其形心上方[15]。對(duì)層合梁可由直接分析法，根據(jù)脫離體軸向力平衡條件或等效截面法(相當(dāng)截面法) 求得中性軸位置，其位置一般與各層面積和材料彈性模量有關(guān)。對(duì)兩類不同材料層合梁而言，中性軸會(huì)偏離幾何中心而向高彈性模量區(qū)移動(dòng)[16-17]。

圖6 雙層梁的中性軸位置

值得一提的是，在解決多物理場作用下新材料、新結(jié)構(gòu)的力學(xué)問題時(shí)，大多數(shù)研究采用單變量方法描述結(jié)構(gòu)的應(yīng)變場，但單變量方法限制坐標(biāo)系建立在中性軸上，所以中性軸的確定成為問題的關(guān)鍵，或者說，中性軸的位置成為力學(xué)模型中一個(gè)隱含的變量，可見需要發(fā)展更為簡潔的描述方法。

3 微納層合梁的中性軸問題

近年來，利用微納制造技術(shù)和現(xiàn)代傳感技術(shù)等制備的微梁層合結(jié)構(gòu)，因其具有無需標(biāo)記、快速、實(shí)時(shí)、高靈敏度和方便攜帶等優(yōu)點(diǎn)，在醫(yī)學(xué)檢測(cè)、環(huán)境監(jiān)測(cè)、醫(yī)藥開發(fā)和軍事安全等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注。正如前面所述，對(duì)于梁理論而言，如何描述梁的應(yīng)變場是關(guān)鍵所在。在經(jīng)典宏觀梁的單變量理論中，應(yīng)變場的度量或其坐標(biāo)系的基準(zhǔn)是中性軸，所以利用經(jīng)典方法時(shí)必須先確立梁中性軸的位置。但對(duì)于微納梁而言，由于具有較大的表體比，需要計(jì)入通常簡化為切向作用的表面應(yīng)力效應(yīng)，或需要引入表征非局部效應(yīng)的非經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)本構(gòu)關(guān)系[18-19]，加之需要考慮器件服役時(shí)多物理場的耦合作用，這些新的效應(yīng)給微納梁結(jié)構(gòu)中性軸的定位問題帶來了挑戰(zhàn)。

關(guān)于層合梁問題，針對(duì)熱適配問題，早在1925年，Timoshenko[20]提出了先在各層尋找中性軸再利用層間連續(xù)條件的疊加法，但當(dāng)結(jié)構(gòu)層數(shù)過多時(shí)，方程求解變得較為繁瑣；針對(duì)壓電層合結(jié)構(gòu)問題，Weinberg[21]放棄了將坐標(biāo)系建立在中性軸上的經(jīng)典思維范式，提出了以中性軸位置作為新變量顯示化在應(yīng)變場描述中的兩變量方法；Hsueh[22]將原來一個(gè)軸向力為零的平衡方程拆解為均勻應(yīng)變和彎曲應(yīng)變引起的軸力分別為零的兩個(gè)方程，提出了尋找彎曲軸的Hsueh 三變量法；針對(duì)功能梯度材料梁問題，Zhang 等[23]提出了與尋找彎曲軸方法類似的物理中面法；Zhang 等[24-25]基于兩個(gè)參考面提出了更為簡潔的張氏兩變量法，即ε=ε0-y/ρ，其中ε0為坐標(biāo)軸處的正應(yīng)變，ρ仍為中性軸處的曲率半徑；該方法既不同于將坐標(biāo)系建在中性軸上的經(jīng)典單變量方法[1-2]，也不同于Freund 提出的基于一個(gè)參考面描述應(yīng)變場的兩變量假設(shè)法[26]。目前張氏兩變量新方法已廣泛用于核冷卻系統(tǒng)、光伏電池、鉆井套管、電阻式存貯器、鋪設(shè)路面和熱障涂層等設(shè)計(jì)研究中[27-32]。

值得注意的是，當(dāng)分子或原子吸附在微梁的上下表面會(huì)形成表面應(yīng)力差，這個(gè)吸附表面應(yīng)力會(huì)引起微梁的彎拉或彎壓組合變形，變形后微梁的中性軸位置會(huì)發(fā)生變化，如圖7 所示，在微梁上表面受拉吸附應(yīng)力作用下，吸附穩(wěn)定后微梁的中性軸位置將下移，下移量取決于微梁功能層和基底層的厚度和彈性模量[33]。對(duì)于均勻溫度場和機(jī)械載荷作用下的層合微梁，如圖8 所示，隨著加載參數(shù)比λ的變化，零應(yīng)變軸是唯一的，但零應(yīng)力軸可能不唯一，換句話，零應(yīng)力軸的個(gè)數(shù)和位置取決于彈性模量、基底和膜的厚度比、力學(xué)和溫度加載條件[34-35]，這勢(shì)必給基于零應(yīng)力確立中性軸(即零應(yīng)變軸)位置的傳統(tǒng)單變量方法帶來挑戰(zhàn)，而借助上述Hsueh 三變量法[22]和張氏兩變量法[24-25]等可巧妙地規(guī)避這一難題。

圖7 表面應(yīng)力作用下微梁的中性軸位置[33]

圖8 在外部力矩和內(nèi)部熱應(yīng)力作用下雙層微梁不同軸線的比較[36]

4 結(jié)語

梁中性軸位置的確定是預(yù)測(cè)梁結(jié)構(gòu)變形和應(yīng)力分布的基礎(chǔ)，也是進(jìn)而解決梁強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題的關(guān)鍵。首先，諸多前輩基于中性軸概念，歷經(jīng)一百多年的探索，給出了描述應(yīng)變場的單變量方法，獲得了純彎曲均質(zhì)梁中性軸必然通過其截面形心的基本結(jié)論。后來隨著新材料和新結(jié)構(gòu)的不斷涌現(xiàn)，如雙模量梁、含損傷梁、彈塑性梁、層合梁、組合梁、考慮熱效應(yīng)的梁、壓電梁、功能梯度梁和形狀記憶合金梁等，使得中心軸的漂移成為必須解決的棘手問題。而近二十年微納梁結(jié)構(gòu)中的表界面效應(yīng)、非局部效應(yīng)和多物理場耦合效應(yīng)進(jìn)一步推動(dòng)發(fā)展了更為精確和簡便的Hsueh 三變量方法、物理中面法、張氏兩變量方法等。對(duì)于梁中性軸問題的歷史回顧和正確認(rèn)識(shí)對(duì)于合理有效地解決建筑、橋梁、機(jī)械結(jié)構(gòu)、微電子器件等相關(guān)問題有重要的現(xiàn)實(shí)意義。