隨著現(xiàn)代信息技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)支撐能力的增強(qiáng)，教師的教學(xué)活動(dòng)不再局限于用靜態(tài)的板書進(jìn)行演示，用自然語言、符號(hào)語言解釋數(shù)學(xué)概念，也不再局限于用幻燈片演示，而是可以動(dòng)態(tài)可視化展示，使課堂更有趣味性與探究性。在這種情境下學(xué)習(xí)，學(xué)生掌握知識(shí)更加牢固。數(shù)字化教學(xué)還能激發(fā)學(xué)生的求知欲以及探索、實(shí)踐的積極性。除了大眾所熟知的幾何畫板、超級(jí)畫板外，GeoGebra等數(shù)學(xué)繪圖軟件也被快速推廣應(yīng)用，這些工具的適當(dāng)使用有利于提高教學(xué)效率。

一、GeoGebra在幾何教學(xué)中的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)

目前，多數(shù)教師執(zhí)教橢圓這一教學(xué)內(nèi)容時(shí)還是利用PPT進(jìn)行新課的講授。用PPT制作的課件，在動(dòng)態(tài)性、實(shí)時(shí)操作性上有一定的缺陷，不能實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與課堂的整合。例如，教師只能借助其他平臺(tái)制作動(dòng)畫，再將動(dòng)畫錄制成視頻引入PPT中播放，無法實(shí)現(xiàn)動(dòng)畫應(yīng)有的交互性。有些畫板軟件囿于版權(quán)以及對(duì)理論知識(shí)要求高等原因，用起來比較煩瑣。GeoGebra軟件具有開源、可視化程度高、簡(jiǎn)單易學(xué)等特點(diǎn)，逐漸獲得教師認(rèn)可。在人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)教材中，運(yùn)用的軟件正是GeoGebra。GeoGebra是什么？這個(gè)單詞由Geo和Gebra組成，也就是geometry（幾何）和algebra（代數(shù)）。顧名思義，它是一款結(jié)合幾何、代數(shù)甚至微積分的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件。GeoGebra在繪制動(dòng)態(tài)圖以及教學(xué)演示方面有其獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，可以作為可視化教學(xué)的工具。

筆者以橢圓為例，借助GeoGebra軟件，探究動(dòng)態(tài)課件的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)方法，建立可視化與抽象的聯(lián)系，以期突破“意會(huì)”與“言傳”的障礙，實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)課堂可視化教學(xué)，提升學(xué)生直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、橢圓動(dòng)態(tài)課件的設(shè)計(jì)

（一）設(shè)計(jì)目標(biāo)

首先，借助GeoGebra實(shí)現(xiàn)人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第105頁中的探究，即通過GeoGebra軟件將兩端被固定的一條彎曲繩子拉直。在彎曲的繩子上取一點(diǎn)，將繩子拉直后，移動(dòng)這一點(diǎn)，繪制點(diǎn)的軌跡。通過這一動(dòng)態(tài)過程展示橢圓的形成過程。

其次，利用GeoGebra的相關(guān)功能動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)橢圓的一些基本性質(zhì)，如、的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等。課堂上，通過GeoGebra實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)的演示，引導(dǎo)學(xué)生思考，做出猜想，最后借助GeoGebra軟件進(jìn)行論證。

在這過程中，教師應(yīng)用GeoGebra表格記錄功能以及跟蹤功能，開展探究性教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生思考參數(shù)、、是如何影響橢圓的扁平程度的，進(jìn)而引出離心率概念，并探究離心率數(shù)值的大小如何影響橢圓扁平程度。

（二）難點(diǎn)突破

需要處理的問題：如何實(shí)現(xiàn)任意曲線的繪制;如何實(shí)現(xiàn)曲線拉直這一過程;曲線拉直后如何繪制橢圓的軌跡。

制作過程中需要用到一些指令，如曲線、軌跡、位似、如果等，以及一些工具，如畫筆、折線、滑動(dòng)條、復(fù)選框等，運(yùn)用這些指令來解決問題，這是需要突破的難點(diǎn)。

1.曲線的繪制 ：使用GeoGebra的畫筆工具，自由繪制想要的曲線，模擬繩子。

2.曲線拉直的實(shí)現(xiàn)：使用折線工具，繪制橢圓焦點(diǎn)與橢圓上一點(diǎn)的折線，在曲線上取一點(diǎn)，過該點(diǎn)作軸的垂線與折線的交點(diǎn);建立滑動(dòng)條，利用位似指令實(shí)現(xiàn)曲線拉直的動(dòng)畫過程，并通過滑動(dòng)條實(shí)現(xiàn)這一過程的實(shí)時(shí)控制。

3.橢圓軌跡的繪制：利用曲線指令以及滑動(dòng)條實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的動(dòng)態(tài)繪制，再利用一些腳本指令，如啟動(dòng)動(dòng)畫、賦值等，優(yōu)化動(dòng)畫的展示過程。

三、橢圓動(dòng)態(tài)課件的GeoGebra實(shí)現(xiàn)

（一）實(shí)現(xiàn)橢圓形成的動(dòng)態(tài)過程

人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)教材對(duì)橢圓的定義是這樣的：將平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)（大于丨丨）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓（ellipse）。在教學(xué)過程中，學(xué)生很難進(jìn)行直觀想象;囿于常規(guī)教具，也很難實(shí)現(xiàn)這一動(dòng)態(tài)作圖過程。教師借助GeoGebra軟件，制作動(dòng)畫來演示這一過程，讓學(xué)生對(duì)橢圓的第一定義有更加直觀的認(rèn)識(shí)。

繪圖目標(biāo)：彎曲的繩子兩端被固定，在繩子上的取一點(diǎn)，將繩子拉直，拉之后進(jìn)行橢圓的動(dòng)態(tài)繪制。

繪制步驟如下：

1.利用滑動(dòng)條工具，建立滑動(dòng)條、，其區(qū)間分別設(shè)置為（0，10）和（0，），增量均為1。

2.在輸入框中輸入 ：^2/^2+^2/^2= 1，得到橢圓方程。

3.在輸入框中輸入：_1=焦點(diǎn)（），得到焦點(diǎn)和。

4.在輸入框中輸入：頂點(diǎn)（），得到橢圓的4個(gè)頂點(diǎn)分別為、、、。

5.用畫筆工具，以為起點(diǎn)，為終點(diǎn)，描一段彎曲的繩子，得到stroke1。

6.用折線工具，依次連接、、、，得到折線。

7.利用描點(diǎn)工具，在stroke1上描點(diǎn)，得到點(diǎn)。

8.在輸入框中輸入：交點(diǎn)（垂線（， 軸）， ），得到點(diǎn)。

9.利用滑動(dòng)條工具，建立滑動(dòng)條，其區(qū)間設(shè)置為（0，1），增量默認(rèn)不填，動(dòng)畫設(shè)置為“遞增（一次）”。

10.在輸入框中輸入：位似（， ， ），得到點(diǎn)。

11.在輸入框中輸入：軌跡（， ），得到軌跡loc1。

12.利用復(fù)選框工具，命名為隱藏輔助線，在繪圖區(qū)中分別點(diǎn)擊筆觸stroke1、點(diǎn)、折線。

13.利用滑動(dòng)條工具，建立角度滑動(dòng)條，將其區(qū)間設(shè)置為（0°，360°），增量為1°;將動(dòng)畫一欄速度設(shè)置為3，遞增（一次）。

14.在輸入框中輸入：曲線（cos（），sin（），，90°，90°+），得到參數(shù)曲線。

15.在輸入框中輸入：（ + 90°），得到點(diǎn)。

16.利用復(fù)選框工具，以標(biāo)題為頂點(diǎn)，在代數(shù)區(qū)單擊頂點(diǎn)、、、，實(shí)現(xiàn)通過復(fù)選框控制頂點(diǎn)的出現(xiàn)。

17.右擊滑動(dòng)條，選擇屬性，在腳本更新中輸入“啟動(dòng)動(dòng)畫[，==1]”。

18.右擊滑動(dòng)條，選擇屬性，高級(jí)顯示條件中輸入：==1。腳本中更新時(shí)輸入：如果（ == 0，賦值[，0°]）。

19. 利用折線工具，依次連接點(diǎn)、、、，得到折線。

20.按住Ctrl鍵，在代數(shù)區(qū)單擊點(diǎn)、折線，右鍵屬性，在高級(jí)顯示條件中輸入：=1。

按以上步驟，繪圖完畢。此時(shí)可以通過控制滑動(dòng)條，實(shí)現(xiàn)橢圓的動(dòng)態(tài)繪制過程。當(dāng)=0，是一條彎曲的“繩子”，的值從0到1的過程中，是實(shí)現(xiàn)“繩子”被拉直的過程。當(dāng)=1時(shí)滑動(dòng)條就會(huì)自動(dòng)啟動(dòng)，實(shí)現(xiàn)模擬橢圓的繪制過程（如圖1至圖4）。

（二）實(shí)現(xiàn)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的動(dòng)態(tài)演示

教學(xué)中，大部分教師使用PPT講授橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)時(shí)會(huì)參考一個(gè)表格（見表1）進(jìn)行動(dòng)態(tài)課件的展示。但是這樣操作無法讓學(xué)生獲得直觀的感受。GeoGebra的應(yīng)用為解決這一問題提供了便利，它不僅支持PPT中的動(dòng)畫功能，而且可以支持教師控制參數(shù)實(shí)現(xiàn)動(dòng)畫變化，使抽象的知識(shí)變得直觀，利于學(xué)生更好地理解和記憶。

表2呈現(xiàn)的是橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)動(dòng)態(tài)課件的實(shí)現(xiàn)結(jié)果。教師在GeoGebra 軟件的輸入框中輸入表2定義欄中的內(nèi)容后，通過復(fù)選框工具、文本工具以及表格文本指令，可以實(shí)現(xiàn)幾何性質(zhì)的動(dòng)態(tài)演示。教師通過控制滑動(dòng)條、改變橢圓的各個(gè)參數(shù)，從而改變橢圓的形狀;使用復(fù)選框工具，可實(shí)時(shí)控制每個(gè)基本性質(zhì)的顯示與隱藏。最后，所有的基本性質(zhì)被匯總在一個(gè)表格里系統(tǒng)地呈現(xiàn)。

動(dòng)態(tài)課件的整體展示如圖5所示，左側(cè)是控制區(qū)，也是數(shù)值顯示區(qū)，右側(cè)則是圖象顯示區(qū)與表格匯總區(qū)域。除了可以通過復(fù)選框控制基本性質(zhì)的展示外，教師還可以通過名為“關(guān)于軸對(duì)稱”“關(guān)于軸對(duì)稱”的兩個(gè)滑動(dòng)條，控制關(guān)于橢圓對(duì)稱性的動(dòng)畫演示。

教師還可以利用GeoGebra的“顯示跟蹤”功能，通過改變、的值，對(duì)橢圓的軌跡進(jìn)行跟蹤;同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考橢圓的扁平程度與參數(shù)、、之間的關(guān)系。教師借此引出離心率，讓學(xué)生結(jié)合剛剛的動(dòng)畫演示教學(xué)，總結(jié)離心率與橢圓的扁平程度規(guī)律。

教師可以控制滑動(dòng)條，利用GeoGebra自動(dòng)記錄數(shù)值的功能以及“跟蹤功能”，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的可視化展示（如圖6）。隨著值逐漸增大，離心率變小，橢圓就越圓。這有助于學(xué)生證明其猜想或推論正確與否。

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，用GeoGebra軟件制作可視化動(dòng)態(tài)課件有著廣闊的天地。教師科學(xué)應(yīng)用信息工具可實(shí)現(xiàn)抽象概念可視化，解題可視化，教學(xué)可視化。利用可視化的動(dòng)態(tài)課件可以創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生記錄、觀察，條件允許的情況下還可以讓學(xué)生動(dòng)手操作。軟件演示可為學(xué)生猜想、證明提供一定的幫助。教師在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行論證，得出結(jié)論，這樣效果更好。基于GeoGebra制作的動(dòng)態(tài)課件可用于可視化教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生思考?？梢暬换ビ欣趯W(xué)生交流思想，主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，引發(fā)其探究、論證。學(xué)生經(jīng)歷解決問題的全過程，對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)會(huì)更加扎實(shí)，成效會(huì)更顯著。

（作者系廣東省廣州市亞加達(dá)外國語高級(jí)中學(xué)教師）

責(zé)任編輯：祝元志