白銀川, 楊 濤
(上海理工大學(xué) 環(huán)境與建筑學(xué)院,上海 200093)
以樁體為豎向增強(qiáng)體的復(fù)合地基技術(shù)不僅使地基承載力得到了極大提高,還會(huì)增強(qiáng)路基邊坡的穩(wěn)定性,減少地基沉降和工后沉降并加快其固結(jié)過程,在世界各國軟土地基加固工程中得到越來越廣泛的應(yīng)用。
復(fù)合地基固結(jié)理論一直是復(fù)合地基理論研究的核心問題之一。砂樁和碎石樁等散體材料樁的剛度較小但滲透性遠(yuǎn)大于樁間土,散體材料樁加速復(fù)合地基固結(jié)的機(jī)理較為明確。國內(nèi)外學(xué)者基于砂井地基固結(jié)理論,考慮樁體應(yīng)力集中效應(yīng)提出了大量散體材料樁復(fù)合地基的固結(jié)計(jì)算模型。CFG樁、低強(qiáng)度混凝土樁和水泥土樁都為不排水樁,剛度較大但不排水,不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)機(jī)理比較復(fù)雜。Horpibulsuk等[1]進(jìn)行了水泥土樁復(fù)合地基固結(jié)特性室內(nèi)模型試驗(yàn),發(fā)現(xiàn)端承樁復(fù)合地基比天然地基的固結(jié)要快很多,Chai等[2]認(rèn)為這主要是加固區(qū)復(fù)合固結(jié)系數(shù)遠(yuǎn)大于地基土固結(jié)系數(shù)的緣故。楊濤等[3]和章定文等[4]分別采用數(shù)值模擬和室內(nèi)模型試驗(yàn)的方法,對(duì)懸浮和打穿軟土的不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)特性作了比較分析,發(fā)現(xiàn)后者比前者固結(jié)更快,樁的貫入比較小時(shí)不排水懸浮樁復(fù)合地基的固結(jié)甚至比天然地基還要慢。盧萌盟等[5]和Gong等[6]分別在變荷載作用下得到端承不排水樁和懸浮水泥土樁復(fù)合地基的固結(jié)解析解。朱洵等[7]和陳宙翔等[8]分別建立了瞬時(shí)荷載下考慮樁間土非飽和和非線性的端承不排水樁復(fù)合地基固結(jié)解析解。楊濤等[9-10]給出了變荷載下懸浮釘形攪拌樁復(fù)合地基和瞬時(shí)荷載下多元不排水長–短樁復(fù)合地基的固結(jié)計(jì)算模型。張丹貝等[11]考慮真空作用,建立了懸浮不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)解析解。
上述不排水樁復(fù)合地基固結(jié)計(jì)算模型都是在樁土等豎向應(yīng)變假設(shè)下建立的。然而,在路堤等柔性基礎(chǔ)下以及帶柔性墊層的剛性基礎(chǔ)下的復(fù)合地基中,樁與樁間土的沉降不同,樁的沉降比樁間土小,路堤下復(fù)合地基中這種現(xiàn)象更為明顯。顯然,這些情況下等豎向應(yīng)變假設(shè)并不成立。李耀琨等[12]和Lang等[13]分別建立了剛性基礎(chǔ)下有墊層端承和懸浮剛性樁復(fù)合地基的固結(jié)解析解,可以考慮樁體上、下刺入的影響。目前,柔性基礎(chǔ)下不排水樁復(fù)合地基固結(jié)計(jì)算理論的研究成果較少。楊濤等[14-15]對(duì)此進(jìn)行了初步研究,在等應(yīng)力條件下給出路堤下端承不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)解析解,但解答中復(fù)合壓縮模量仍然采用基于等應(yīng)變假設(shè)的面積比公式計(jì)算,且解答不能揭示路堤荷載下樁土差異沉降的影響機(jī)理。顯然,進(jìn)一步研究柔性基礎(chǔ)下不排水樁復(fù)合地基固結(jié)計(jì)算方法是非常必要的。鑒于此,本文建立了考慮樁–土間差異沉降的端承不排水樁復(fù)合地基固結(jié)簡化解析解,可為同類實(shí)際工程設(shè)計(jì)提供參考。
公式推導(dǎo)采用如下基本假設(shè):
a.樁為不排水樁。樁和樁間土都為線彈性體,它們僅發(fā)生豎向變形,樁–土界面處不發(fā)生相對(duì)滑移。
b.樁間土是飽和的,僅發(fā)生豎向滲流,滲流符合達(dá)西定律。
c.外荷載p(t)大面積施加,在待加固地基中引起的豎向附加應(yīng)力σ(t)沿深度均布。
柔性基礎(chǔ)下復(fù)合地基的軸對(duì)稱固結(jié)模型如圖1所示。不排水樁的半徑和長度分別為rp和H,其彈性模量和壓縮模量分別為Epe和Ep。單樁影響區(qū)半徑為re,它與樁間距s及布樁方式有關(guān):三角形布樁時(shí)re=0.525 s,正方形布樁時(shí)re=0.565 s。不排水樁的置換率m=(rp/re)2。樁間土的豎向滲透系數(shù)、泊松比、彈性模量及壓縮模量分別為kv,μs,Ese和Es。由于是柔性基礎(chǔ),大面積均布荷載p(t)施加在復(fù)合地基表面上,任意時(shí)刻樁頂沉降為wp(t),同一時(shí)刻樁間土表面任一點(diǎn)的沉降為ws(r,t),后者大于前者。r和z為徑、豎向坐標(biāo)。
圖1 復(fù)合地基固結(jié)模型Fig.1 Consolidation model of the composite ground
根據(jù)Alamgir等[16]的研究,p(t)作用下柔性基礎(chǔ)下復(fù)合地基中樁頂沉降wp(t)和樁間土表面沉降ws(r,t)存在下述關(guān)系:
式中,αc(t)和βc為待定的位移參數(shù),前者隨加荷過程而變化。
根據(jù)任意時(shí)刻固結(jié)模型外邊界r=re上的剪應(yīng)力為0,可以得到βc滿足如下超越方程:
式(2)表明βc只與樁的置換率m有關(guān)。求解方程式(2)可以得到βc隨樁置換率m的變化規(guī)律,如圖2所示。擬合后可得到二者的如下關(guān)系:
圖2 βc隨不排水樁置換率變化曲線Fig.2 Variation of βc with area replacement ratio of undrained column
將軸對(duì)稱固結(jié)模型離散化,如圖3所示。將樁分成L個(gè)單元,各單元厚度ΔH=H/L;將樁間土分成L×N個(gè)環(huán)狀單元,其厚度等于樁單元的厚度,徑向?qū)挾??r=(re–rp)/N。參照Alamgir等[16]和楊濤[17]的推導(dǎo)過程,可以得到αc(t)的計(jì)算公式如下:
圖3 固結(jié)模型的離散Fig.3 Discretization of consolidation model
式中,ΔR=Δr/rp。
由于 σˉp(t)沿樁長并不均布,從式(4)可知αc(t)沿樁長也不均布。根據(jù)Alamgir等[16]的研究可知,它沿樁長的分布需要從上到下逐個(gè)對(duì)樁單元和模型外邊界處土單元進(jìn)行應(yīng)力計(jì)算才能獲得,工作量較大。參照楊濤[17]的研究,復(fù)合地基固結(jié)分析中可采用不隨樁長變化的 αˉc(t) ,計(jì)算公式如下:
柔性基礎(chǔ)下樁–土差異沉降隨距樁中心線距離的增加而逐漸增大。利用式(1)可計(jì)算出t時(shí)刻樁頂平面樁–土平均差異沉降δ(t):
式(9)表明,δ(t)隨加荷過程逐漸變化。
參照李耀琨等的研究[12],樁間土與樁的豎向應(yīng)變之間存在下述關(guān)系:
將式(9)代入式(10),并取 αc(t)=(t),有
式中,D為常數(shù),按下式計(jì)算:
吳慧明等[18]和方磊等[19]分別進(jìn)行了柔性基礎(chǔ)下不排水樁復(fù)合地基現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)和室內(nèi)模型試驗(yàn),李國維等[20]進(jìn)行了填砂路堤下水泥土攪拌樁復(fù)合地基現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)。這些試驗(yàn)發(fā)現(xiàn):柔性基礎(chǔ)下不排水樁復(fù)合地基樁土應(yīng)力隨荷載變化的規(guī)律與剛性基礎(chǔ)下的復(fù)合地基顯著不同,它隨荷載的增加先減小后增大然后趨于穩(wěn)定,最大值約為1.8,地基土的固結(jié)時(shí)間對(duì)其數(shù)值影響較小。此外,楊濤等[3]的研究表明,樁土應(yīng)力比的變化對(duì)柔性基礎(chǔ)下不排水樁復(fù)合地基固結(jié)速率的影響不大?;谶@些研究成果,建議固結(jié)分析時(shí)樁土應(yīng)力比n0(t)取2~3。
根據(jù)復(fù)合材料力學(xué)理論,待加固天然地基中豎向附加應(yīng)力σ(t)為復(fù)合地基的平均豎向應(yīng)力,則任意深度處σ(t)由樁和土共同承擔(dān),有
由式(11)和式(14)可得
由樁間土質(zhì)量守恒定律,有
式中,γw為水的重度。
將式(15)代入式(16)可得變荷載下柔性基礎(chǔ)下復(fù)合地基樁間土的固結(jié)控制方程:
式中,cv=kvEs/γw為樁間土的豎向固結(jié)系數(shù)。
考慮復(fù)合地基頂面排水底面不排水,變荷載下固結(jié)方程(18)的定解條件為
a.豎向邊界條件。
b.初始條件。
在定解條件式(19)~(21)下不易求解非齊次的固結(jié)方程式(17)。為便于數(shù)學(xué)上求解,進(jìn)行如下函數(shù)變換:
將式(22)代入固結(jié)方程式(17)和定解條件式 (19)~(21),有
由于上述變荷載下復(fù)合地基平均超靜孔壓定解問題的數(shù)學(xué)表述與相同荷載下天然地基一維固結(jié)問題定解問題的數(shù)學(xué)表述在形式上完全相同,根據(jù)Lu等[21]天然地基一維固結(jié)理論,容易解得復(fù)合地基平均超靜孔壓為
式中,M=(2i–1)π/2,i=1, 2,3,···,∞。
將式(27)代入式(22),得到樁間土的平均超靜孔壓:
利用式(27)給出的復(fù)合地基平均孔壓解答,按式(30)計(jì)算變荷載柔性基礎(chǔ)下復(fù)合地基的整體平均固結(jié)度:
式中,σu為待加固地基中豎向附加應(yīng)力的最終值。
特殊地,考慮單級(jí)加荷情況。圖4給出單級(jí)外荷載作用下待加固天然地基豎向附加應(yīng)力σ(t)隨時(shí)間變化的曲線,它可表示為
圖4 單級(jí)荷載下豎向附加應(yīng)力曲線Fig.4 Vertical additional stress curve under ramp loading
式中,tc為加載時(shí)間。
將式(31)代入式(27),得到單級(jí)荷載下復(fù)合地基的平均超靜孔壓:
將式(32)代入式(22)即可得到單級(jí)荷載下樁間土的平均超靜孔壓:
將式(31)和式(32)代入式(30),得到單級(jí)荷載下復(fù)合地基的整體平均固結(jié)度:
工程設(shè)計(jì)中將路堤視為柔性基礎(chǔ),故算例選取路堤下端承水泥土樁復(fù)合地基進(jìn)行固結(jié)分析。軟土地基厚度為H=20 m,無黏性土路堤高度為4 m,重度為 17 kN/m3。水泥土樁半徑rp=0.25 m,單樁影響區(qū)半徑re=0.7 m,相應(yīng)的置換率m=12.8%。水泥土樁、路堤填土和樁間土的壓縮模量、泊松比和滲透系數(shù)列于表1中。路堤單級(jí)填筑,每層0.5 m,總填筑時(shí)間tc=90 d。
表1 各材料參數(shù)Tab.1 Parameters of different materials
對(duì)路堤下水泥土樁復(fù)合地基進(jìn)行比奧固結(jié)有限元分析,采用ABAQUS有限元軟件進(jìn)行計(jì)算。由于固結(jié)模型具有對(duì)稱性,取其右半部分進(jìn)行計(jì)算,如圖5所示。模型左、右邊界分別為對(duì)稱軸和外邊界,數(shù)值計(jì)算時(shí)約束左、右邊界的徑向位移,底部徑、豎向位移均約束。復(fù)合地基的表面排水,二側(cè)邊界和底邊界均不排水。各材料均采用線彈性模型,其彈性模量Et可根據(jù)它們的壓縮模量E1和泊松比μ按式Et=(1+μ)(1–2μ)E1/(1–μ)近似估算。路堤土和樁用軸對(duì)稱4結(jié)點(diǎn)四邊形單元(CAX4)離散,樁間土用軸對(duì)稱4結(jié)點(diǎn)四邊形應(yīng)力–孔壓耦合單元(CAX4P)離散,共剖分6720個(gè)單元,結(jié)點(diǎn)數(shù)為6989個(gè)。圖6給出復(fù)合地基有限元網(wǎng)格示意圖。
圖5 有限元模型Fig.5 Finite element model
圖6 有限元網(wǎng)格Fig.6 Finite element mesh
圖7給出本文解析解和有限元解獲得的路堤荷載下端承水泥土樁復(fù)合地基整體平均固結(jié)度U隨無量綱時(shí)間因數(shù)Tv=cvt/H2的變化曲線,解析解計(jì)算時(shí)n0=2.0,L=20,N=6。圖中也給出了盧萌盟等[5]基于等應(yīng)變假設(shè)的固結(jié)解析解的計(jì)算結(jié)果。從圖7中可以看出,本文固結(jié)度解析解計(jì)算的復(fù)合地基固結(jié)度曲線與有限元數(shù)值解的結(jié)果非常接近,兩者之差的絕對(duì)值不超過1.7%,說明本文解析解具有較高的計(jì)算精度。由于采用了等應(yīng)變假設(shè),盧萌盟等[5]解析解計(jì)算的復(fù)合地基固結(jié)度數(shù)值大于本文解析解和有限元解,它與有限元解之差的絕對(duì)值不超過5.9%。假設(shè)樁土等應(yīng)變后固結(jié)度的數(shù)值偏大,原因在于高估了柔性基礎(chǔ)下復(fù)合地基的剛度,即高估了不排水樁剛度的影響。本算例Ecsp=107 MPa,數(shù)值要小于樁的壓縮模量Ep=150 MPa。此外,圖7還表明,等應(yīng)變假設(shè)下端承不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)速率與路堤下復(fù)合地基固結(jié)速率的數(shù)值差別并不大。
圖7 不同解析解與有限元解的比較Fig.7 Comparison of various analytical solutions with FEM result
圖8給出由本文解析解、李耀琨等[12]解析解和盧萌盟等[5]等應(yīng)變解析解獲得的復(fù)合地基固結(jié)度曲線的比較。李耀琨等[12]的解答考慮了設(shè)置墊層的剛性基礎(chǔ)下復(fù)合地基樁–土沉降的不同,利用半無限彈性地基上圓形基礎(chǔ)沉降計(jì)算公式計(jì)算復(fù)合地基樁–土差異沉降,沒有考慮相鄰樁的影響。圖8表明,采用李耀琨等[12]解析解計(jì)算的水泥土樁復(fù)合地基的固結(jié)速率要大于本文解析解的計(jì)算結(jié)果,二者最大差值約4.3%,較之有限元解,二者最大相差約5.1%,其固結(jié)度曲線更靠近盧萌盟等[5]的等應(yīng)變解答。
圖8 本文解析解與其他解析解的比較Fig.8 Comparison of the proposed solution with several existing solutions
為考察樁土應(yīng)力比對(duì)復(fù)合地基固結(jié)速率的影響,用本文解析解計(jì)算出不同樁土應(yīng)力比下水泥土樁復(fù)合地基的固結(jié)度曲線,如圖9所示,樁土應(yīng)力比n0取2,3,5和7。圖9表明,不同樁土應(yīng)力比下復(fù)合地基的固結(jié)度曲線較為接近,說明對(duì)于諸如路堤等柔性基礎(chǔ)下的水泥土樁復(fù)合地基,其固結(jié)速率對(duì)樁土應(yīng)力比的變化不敏感,這與楊濤等[3]的數(shù)值模擬結(jié)果是一致的。n0從2變化到7時(shí)復(fù)合地基固結(jié)度略微增大,最大增幅不超過2.5%。圖9表明本文固結(jié)解析解中樁土應(yīng)力比n0取值2~3是合理的。
圖9 樁土應(yīng)力比對(duì)固結(jié)速率的影響Fig.9 Influence of column-soil stress ratio on the consolidation rate
a.建立了柔性基礎(chǔ)下端承不排水樁復(fù)合地基固結(jié)解析解,可用于路堤荷載下不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)分析。
b.本文固結(jié)度解析解與有限元解具有較好的一致性,計(jì)算精度高于現(xiàn)有的考慮樁–土差異沉降的固結(jié)計(jì)算模型。
c.樁土應(yīng)力比對(duì)固結(jié)速率的影響不大。對(duì)柔性基礎(chǔ)下的水泥土樁復(fù)合地基可取2~3。
d.基于等應(yīng)變假設(shè)的不排水樁復(fù)合地基固結(jié)計(jì)算模型更適合剛性基礎(chǔ)下復(fù)合地基的固結(jié)分析。如果將它們用于路堤荷載下端承不排水樁復(fù)合地基固結(jié)分析,計(jì)算出的固結(jié)速率數(shù)值偏大。