白銀川， 楊 濤

（上海理工大學(xué) 環(huán)境與建筑學(xué)院，上海 200093）

以樁體為豎向增強(qiáng)體的復(fù)合地基技術(shù)不僅使地基承載力得到了極大提高，還會(huì)增強(qiáng)路基邊坡的穩(wěn)定性，減少地基沉降和工后沉降并加快其固結(jié)過程，在世界各國軟土地基加固工程中得到越來越廣泛的應(yīng)用。

復(fù)合地基固結(jié)理論一直是復(fù)合地基理論研究的核心問題之一。砂樁和碎石樁等散體材料樁的剛度較小但滲透性遠(yuǎn)大于樁間土，散體材料樁加速復(fù)合地基固結(jié)的機(jī)理較為明確。國內(nèi)外學(xué)者基于砂井地基固結(jié)理論，考慮樁體應(yīng)力集中效應(yīng)提出了大量散體材料樁復(fù)合地基的固結(jié)計(jì)算模型。CFG樁、低強(qiáng)度混凝土樁和水泥土樁都為不排水樁，剛度較大但不排水，不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)機(jī)理比較復(fù)雜。Horpibulsuk等[1]進(jìn)行了水泥土樁復(fù)合地基固結(jié)特性室內(nèi)模型試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)端承樁復(fù)合地基比天然地基的固結(jié)要快很多，Chai等[2]認(rèn)為這主要是加固區(qū)復(fù)合固結(jié)系數(shù)遠(yuǎn)大于地基土固結(jié)系數(shù)的緣故。楊濤等[3]和章定文等[4]分別采用數(shù)值模擬和室內(nèi)模型試驗(yàn)的方法，對(duì)懸浮和打穿軟土的不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)特性作了比較分析，發(fā)現(xiàn)后者比前者固結(jié)更快，樁的貫入比較小時(shí)不排水懸浮樁復(fù)合地基的固結(jié)甚至比天然地基還要慢。盧萌盟等[5]和Gong等[6]分別在變荷載作用下得到端承不排水樁和懸浮水泥土樁復(fù)合地基的固結(jié)解析解。朱洵等[7]和陳宙翔等[8]分別建立了瞬時(shí)荷載下考慮樁間土非飽和和非線性的端承不排水樁復(fù)合地基固結(jié)解析解。楊濤等[9-10]給出了變荷載下懸浮釘形攪拌樁復(fù)合地基和瞬時(shí)荷載下多元不排水長–短樁復(fù)合地基的固結(jié)計(jì)算模型。張丹貝等[11]考慮真空作用，建立了懸浮不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)解析解。

上述不排水樁復(fù)合地基固結(jié)計(jì)算模型都是在樁土等豎向應(yīng)變假設(shè)下建立的。然而，在路堤等柔性基礎(chǔ)下以及帶柔性墊層的剛性基礎(chǔ)下的復(fù)合地基中，樁與樁間土的沉降不同，樁的沉降比樁間土小，路堤下復(fù)合地基中這種現(xiàn)象更為明顯。顯然，這些情況下等豎向應(yīng)變假設(shè)并不成立。李耀琨等[12]和Lang等[13]分別建立了剛性基礎(chǔ)下有墊層端承和懸浮剛性樁復(fù)合地基的固結(jié)解析解，可以考慮樁體上、下刺入的影響。目前，柔性基礎(chǔ)下不排水樁復(fù)合地基固結(jié)計(jì)算理論的研究成果較少。楊濤等[14-15]對(duì)此進(jìn)行了初步研究，在等應(yīng)力條件下給出路堤下端承不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)解析解，但解答中復(fù)合壓縮模量仍然采用基于等應(yīng)變假設(shè)的面積比公式計(jì)算，且解答不能揭示路堤荷載下樁土差異沉降的影響機(jī)理。顯然，進(jìn)一步研究柔性基礎(chǔ)下不排水樁復(fù)合地基固結(jié)計(jì)算方法是非常必要的。鑒于此，本文建立了考慮樁–土間差異沉降的端承不排水樁復(fù)合地基固結(jié)簡化解析解，可為同類實(shí)際工程設(shè)計(jì)提供參考。

1 基本假定與軸對(duì)稱固結(jié)模型

1.1 基本假設(shè)

公式推導(dǎo)采用如下基本假設(shè)：

a.樁為不排水樁。樁和樁間土都為線彈性體，它們僅發(fā)生豎向變形，樁–土界面處不發(fā)生相對(duì)滑移。

b.樁間土是飽和的，僅發(fā)生豎向滲流，滲流符合達(dá)西定律。

c.外荷載p(t)大面積施加，在待加固地基中引起的豎向附加應(yīng)力σ(t)沿深度均布。

1.2 軸對(duì)稱固結(jié)模型

柔性基礎(chǔ)下復(fù)合地基的軸對(duì)稱固結(jié)模型如圖1所示。不排水樁的半徑和長度分別為rp和H，其彈性模量和壓縮模量分別為Epe和Ep。單樁影響區(qū)半徑為re，它與樁間距s及布樁方式有關(guān)：三角形布樁時(shí)re=0.525 s，正方形布樁時(shí)re=0.565 s。不排水樁的置換率m=(rp/re)2。樁間土的豎向滲透系數(shù)、泊松比、彈性模量及壓縮模量分別為kv，μs，Ese和Es。由于是柔性基礎(chǔ)，大面積均布荷載p(t)施加在復(fù)合地基表面上，任意時(shí)刻樁頂沉降為wp(t)，同一時(shí)刻樁間土表面任一點(diǎn)的沉降為ws(r,t)，后者大于前者。r和z為徑、豎向坐標(biāo)。

圖1 復(fù)合地基固結(jié)模型Fig.1 Consolidation model of the composite ground

2 固結(jié)方程及其解答

2.1 固結(jié)方程

根據(jù)Alamgir等[16]的研究，p(t)作用下柔性基礎(chǔ)下復(fù)合地基中樁頂沉降wp(t)和樁間土表面沉降ws(r,t)存在下述關(guān)系：

式中，αc(t)和βc為待定的位移參數(shù)，前者隨加荷過程而變化。

根據(jù)任意時(shí)刻固結(jié)模型外邊界r=re上的剪應(yīng)力為0，可以得到βc滿足如下超越方程：

式（2）表明βc只與樁的置換率m有關(guān)。求解方程式（2）可以得到βc隨樁置換率m的變化規(guī)律，如圖2所示。擬合后可得到二者的如下關(guān)系：

圖2 βc隨不排水樁置換率變化曲線Fig.2 Variation of βc with area replacement ratio of undrained column

將軸對(duì)稱固結(jié)模型離散化，如圖3所示。將樁分成L個(gè)單元，各單元厚度ΔH=H/L；將樁間土分成L×N個(gè)環(huán)狀單元，其厚度等于樁單元的厚度，徑向?qū)挾??r=(re–rp)/N。參照Alamgir等[16]和楊濤[17]的推導(dǎo)過程，可以得到αc(t)的計(jì)算公式如下：

圖3 固結(jié)模型的離散Fig.3 Discretization of consolidation model

式中，ΔR=Δr/rp。

由于 σˉp(t)沿樁長并不均布，從式（4）可知αc(t)沿樁長也不均布。根據(jù)Alamgir等[16]的研究可知，它沿樁長的分布需要從上到下逐個(gè)對(duì)樁單元和模型外邊界處土單元進(jìn)行應(yīng)力計(jì)算才能獲得，工作量較大。參照楊濤[17]的研究，復(fù)合地基固結(jié)分析中可采用不隨樁長變化的 αˉc(t) ，計(jì)算公式如下：

柔性基礎(chǔ)下樁–土差異沉降隨距樁中心線距離的增加而逐漸增大。利用式（1）可計(jì)算出t時(shí)刻樁頂平面樁–土平均差異沉降δ(t)：

式（9）表明，δ(t)隨加荷過程逐漸變化。

參照李耀琨等的研究[12]，樁間土與樁的豎向應(yīng)變之間存在下述關(guān)系：

將式（9）代入式（10），并取 αc(t)=(t)，有

式中，D為常數(shù)，按下式計(jì)算：

吳慧明等[18]和方磊等[19]分別進(jìn)行了柔性基礎(chǔ)下不排水樁復(fù)合地基現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)和室內(nèi)模型試驗(yàn)，李國維等[20]進(jìn)行了填砂路堤下水泥土攪拌樁復(fù)合地基現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)。這些試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：柔性基礎(chǔ)下不排水樁復(fù)合地基樁土應(yīng)力隨荷載變化的規(guī)律與剛性基礎(chǔ)下的復(fù)合地基顯著不同，它隨荷載的增加先減小后增大然后趨于穩(wěn)定，最大值約為1.8，地基土的固結(jié)時(shí)間對(duì)其數(shù)值影響較小。此外，楊濤等[3]的研究表明，樁土應(yīng)力比的變化對(duì)柔性基礎(chǔ)下不排水樁復(fù)合地基固結(jié)速率的影響不大?；谶@些研究成果，建議固結(jié)分析時(shí)樁土應(yīng)力比n0(t)取2～3。

根據(jù)復(fù)合材料力學(xué)理論，待加固天然地基中豎向附加應(yīng)力σ(t)為復(fù)合地基的平均豎向應(yīng)力，則任意深度處σ(t)由樁和土共同承擔(dān)，有

由式（11）和式（14）可得

由樁間土質(zhì)量守恒定律，有

式中，γw為水的重度。

將式（15）代入式（16）可得變荷載下柔性基礎(chǔ)下復(fù)合地基樁間土的固結(jié)控制方程：

式中，cv=kvEs/γw為樁間土的豎向固結(jié)系數(shù)。

2.2 定解條件

考慮復(fù)合地基頂面排水底面不排水，變荷載下固結(jié)方程（18）的定解條件為

a.豎向邊界條件。

b.初始條件。

2.3 變荷載下固結(jié)一般解

在定解條件式(19)～(21)下不易求解非齊次的固結(jié)方程式(17)。為便于數(shù)學(xué)上求解，進(jìn)行如下函數(shù)變換：

將式(22)代入固結(jié)方程式(17)和定解條件式 (19)～(21)，有

由于上述變荷載下復(fù)合地基平均超靜孔壓定解問題的數(shù)學(xué)表述與相同荷載下天然地基一維固結(jié)問題定解問題的數(shù)學(xué)表述在形式上完全相同，根據(jù)Lu等[21]天然地基一維固結(jié)理論，容易解得復(fù)合地基平均超靜孔壓為

式中，M=(2i–1)π/2，i=1, 2，3,···,∞。

將式（27）代入式（22），得到樁間土的平均超靜孔壓:

利用式（27）給出的復(fù)合地基平均孔壓解答，按式（30）計(jì)算變荷載柔性基礎(chǔ)下復(fù)合地基的整體平均固結(jié)度：

式中，σu為待加固地基中豎向附加應(yīng)力的最終值。

2.4 單級(jí)荷載下的解答

特殊地，考慮單級(jí)加荷情況。圖4給出單級(jí)外荷載作用下待加固天然地基豎向附加應(yīng)力σ(t)隨時(shí)間變化的曲線，它可表示為

圖4 單級(jí)荷載下豎向附加應(yīng)力曲線Fig.4 Vertical additional stress curve under ramp loading

式中，tc為加載時(shí)間。

將式（31）代入式（27），得到單級(jí)荷載下復(fù)合地基的平均超靜孔壓：

將式（32）代入式（22）即可得到單級(jí)荷載下樁間土的平均超靜孔壓：

將式（31）和式（32）代入式（30），得到單級(jí)荷載下復(fù)合地基的整體平均固結(jié)度：

3 算例驗(yàn)證

工程設(shè)計(jì)中將路堤視為柔性基礎(chǔ)，故算例選取路堤下端承水泥土樁復(fù)合地基進(jìn)行固結(jié)分析。軟土地基厚度為H=20 m，無黏性土路堤高度為4 m，重度為 17 kN/m3。水泥土樁半徑rp=0.25 m，單樁影響區(qū)半徑re=0.7 m，相應(yīng)的置換率m=12.8%。水泥土樁、路堤填土和樁間土的壓縮模量、泊松比和滲透系數(shù)列于表1中。路堤單級(jí)填筑，每層0.5 m，總填筑時(shí)間tc=90 d。

表1 各材料參數(shù)Tab.1 Parameters of different materials

對(duì)路堤下水泥土樁復(fù)合地基進(jìn)行比奧固結(jié)有限元分析，采用ABAQUS有限元軟件進(jìn)行計(jì)算。由于固結(jié)模型具有對(duì)稱性，取其右半部分進(jìn)行計(jì)算，如圖5所示。模型左、右邊界分別為對(duì)稱軸和外邊界，數(shù)值計(jì)算時(shí)約束左、右邊界的徑向位移，底部徑、豎向位移均約束。復(fù)合地基的表面排水，二側(cè)邊界和底邊界均不排水。各材料均采用線彈性模型，其彈性模量Et可根據(jù)它們的壓縮模量E1和泊松比μ按式Et=(1+μ)(1–2μ)E1/(1–μ)近似估算。路堤土和樁用軸對(duì)稱4結(jié)點(diǎn)四邊形單元（CAX4）離散，樁間土用軸對(duì)稱4結(jié)點(diǎn)四邊形應(yīng)力–孔壓耦合單元（CAX4P）離散，共剖分6720個(gè)單元，結(jié)點(diǎn)數(shù)為6989個(gè)。圖6給出復(fù)合地基有限元網(wǎng)格示意圖。

圖5 有限元模型Fig.5 Finite element model

圖6 有限元網(wǎng)格Fig.6 Finite element mesh

圖7給出本文解析解和有限元解獲得的路堤荷載下端承水泥土樁復(fù)合地基整體平均固結(jié)度U隨無量綱時(shí)間因數(shù)Tv=cvt/H2的變化曲線，解析解計(jì)算時(shí)n0=2.0，L=20，N=6。圖中也給出了盧萌盟等[5]基于等應(yīng)變假設(shè)的固結(jié)解析解的計(jì)算結(jié)果。從圖7中可以看出，本文固結(jié)度解析解計(jì)算的復(fù)合地基固結(jié)度曲線與有限元數(shù)值解的結(jié)果非常接近，兩者之差的絕對(duì)值不超過1.7%，說明本文解析解具有較高的計(jì)算精度。由于采用了等應(yīng)變假設(shè)，盧萌盟等[5]解析解計(jì)算的復(fù)合地基固結(jié)度數(shù)值大于本文解析解和有限元解，它與有限元解之差的絕對(duì)值不超過5.9%。假設(shè)樁土等應(yīng)變后固結(jié)度的數(shù)值偏大，原因在于高估了柔性基礎(chǔ)下復(fù)合地基的剛度，即高估了不排水樁剛度的影響。本算例Ecsp=107 MPa，數(shù)值要小于樁的壓縮模量Ep=150 MPa。此外，圖7還表明，等應(yīng)變假設(shè)下端承不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)速率與路堤下復(fù)合地基固結(jié)速率的數(shù)值差別并不大。

圖7 不同解析解與有限元解的比較Fig.7 Comparison of various analytical solutions with FEM result

圖8給出由本文解析解、李耀琨等[12]解析解和盧萌盟等[5]等應(yīng)變解析解獲得的復(fù)合地基固結(jié)度曲線的比較。李耀琨等[12]的解答考慮了設(shè)置墊層的剛性基礎(chǔ)下復(fù)合地基樁–土沉降的不同，利用半無限彈性地基上圓形基礎(chǔ)沉降計(jì)算公式計(jì)算復(fù)合地基樁–土差異沉降，沒有考慮相鄰樁的影響。圖8表明，采用李耀琨等[12]解析解計(jì)算的水泥土樁復(fù)合地基的固結(jié)速率要大于本文解析解的計(jì)算結(jié)果，二者最大差值約4.3%，較之有限元解，二者最大相差約5.1%，其固結(jié)度曲線更靠近盧萌盟等[5]的等應(yīng)變解答。

圖8 本文解析解與其他解析解的比較Fig.8 Comparison of the proposed solution with several existing solutions

為考察樁土應(yīng)力比對(duì)復(fù)合地基固結(jié)速率的影響，用本文解析解計(jì)算出不同樁土應(yīng)力比下水泥土樁復(fù)合地基的固結(jié)度曲線，如圖9所示，樁土應(yīng)力比n0取2，3，5和7。圖9表明，不同樁土應(yīng)力比下復(fù)合地基的固結(jié)度曲線較為接近，說明對(duì)于諸如路堤等柔性基礎(chǔ)下的水泥土樁復(fù)合地基，其固結(jié)速率對(duì)樁土應(yīng)力比的變化不敏感，這與楊濤等[3]的數(shù)值模擬結(jié)果是一致的。n0從2變化到7時(shí)復(fù)合地基固結(jié)度略微增大，最大增幅不超過2.5%。圖9表明本文固結(jié)解析解中樁土應(yīng)力比n0取值2～3是合理的。

圖9 樁土應(yīng)力比對(duì)固結(jié)速率的影響Fig.9 Influence of column-soil stress ratio on the consolidation rate

4 結(jié) 論

a.建立了柔性基礎(chǔ)下端承不排水樁復(fù)合地基固結(jié)解析解，可用于路堤荷載下不排水樁復(fù)合地基的固結(jié)分析。

b.本文固結(jié)度解析解與有限元解具有較好的一致性，計(jì)算精度高于現(xiàn)有的考慮樁–土差異沉降的固結(jié)計(jì)算模型。

c.樁土應(yīng)力比對(duì)固結(jié)速率的影響不大。對(duì)柔性基礎(chǔ)下的水泥土樁復(fù)合地基可取2～3。

d.基于等應(yīng)變假設(shè)的不排水樁復(fù)合地基固結(jié)計(jì)算模型更適合剛性基礎(chǔ)下復(fù)合地基的固結(jié)分析。如果將它們用于路堤荷載下端承不排水樁復(fù)合地基固結(jié)分析，計(jì)算出的固結(jié)速率數(shù)值偏大。