范 倩, 龍 偉, 姚立忠, 李炎炎

(1.四川大學機械工程學院, 成都 610065; 2. 重慶科技學院電氣工程學院, 重慶 401331)

1 引 言

大型鋁電解生產(chǎn)過程能耗巨大并且電流效率并不理想[1]. 鋁電解槽內(nèi)部包含大量復雜的內(nèi)部物理化學反應(yīng)和不可預知的外部干擾, 且大多數(shù)槽內(nèi)參數(shù)難以檢測和及時調(diào)整, 故鋁電解決策參數(shù)優(yōu)化是一個多參數(shù)、高度非線性且機理模糊的復雜優(yōu)化問題[2-3]. 在保證鋁電解槽平穩(wěn)運行基礎(chǔ)下, 考慮如何提高電流效率和降低直流能耗已成為各大工廠的生產(chǎn)目標. 其難點在于選擇適應(yīng)的優(yōu)化算法來準確、高效地求解鋁電解制造系統(tǒng)工藝模型進而獲得工藝決策. 目前, 一些經(jīng)典優(yōu)化算法已被用于求解鋁電解制造過程中的多目標優(yōu)化問題. 如：文獻[4]融合比例加權(quán)系數(shù)法和簡約梯度法, 文獻[5]提出引入擁擠距離排序的多目標細菌覓食算法, 文獻[6]提出基于差分進化思想的PSO算法, 以噸鋁直流能耗和電流效應(yīng)作為優(yōu)化目標求解鋁電解制造系統(tǒng)的決策參數(shù). 但上述算法自適應(yīng)性不足, 選擇精英個體的壓力過大易導致解集陷入早熟或失衡. 非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ,multi-objective optimization algorithm)因其解的分布更均勻, 結(jié)構(gòu)易于理解而被視作多目標優(yōu)化的核心算法之一[7-8]. 但基本NSGA-Ⅱ在解決高維復雜非線性優(yōu)化問題時仍存在選擇壓力大, 交叉和變異算子設(shè)計的隨機性易讓優(yōu)秀解集被破壞等問題. 江岳春等[9]利用基于超平面投影的NSGA-Ⅱ(HP-NSGA-Ⅱ,Hyperplane Projection)提高綜合能源多主題化調(diào)度模型解集的分布性；耿志強等[10]用普通算術(shù)交叉代替SBX交叉使群體擁有更廣的多樣性. 然而, HP策略只針對三維及以上的高維優(yōu)化問題, 算術(shù)交叉比例系數(shù)的不確定性仍有破壞解集的風險.

對于鋁電解制造過程優(yōu)化, 現(xiàn)有研究基本只將噸鋁直流能耗和電流轉(zhuǎn)換效率(或CF4)作為優(yōu)化目標. 因此, 針對此二維復雜優(yōu)化問題, 本文提出一種基于函數(shù)型進化算子并融合擁擠熵排序的NSGA-Ⅱ多目標優(yōu)化算法(Non-dominated sorting genetic algorithm with Crowding Entropy Sorting based on Functional Evolution Operator, FEONSGA-Ⅱ-CES), 通過計算不同級別Pareto前沿面上種群個體的擁擠熵并進行更新來維護優(yōu)秀解集的多樣性. 為了克服基本選擇算子和交叉算子致使NSGA-Ⅱ早熟以及減緩系數(shù)隨機性帶來的不良影響, 本文采用基于迭代次數(shù)的新型算術(shù)交叉算子和高斯柯西變異算子, 并用四種標準測試函數(shù)檢驗FEONSGA-Ⅱ-CES有效性. 最后, 我們將本文所提算法與三種常用經(jīng)典算法運用于求解鋁電解雙目標優(yōu)化問題進行對比, 得出最優(yōu)運行指導參數(shù)集合.

NSGA-Ⅱ[11-12]相較于NSGA-I的改進在于：(1) 使用快速非支配排序, 使算法復雜度降低；(2) 在Pareto同級判斷優(yōu)劣準則中引入擁擠度概念, 減輕后代選擇壓力；(3) 采用精英策略, 擴大選擇空間, 防止信息丟失, 提高了優(yōu)化結(jié)果的精度.

本文引入基于擁擠熵的排序法緩解選擇壓力, 避免算法陷入未成熟收斂, 然后在選擇和交叉兩個進化算子方面做出改進.

本文帶入分布熵的概念計算擁擠距離, 再利用擁擠熵排序[13-14]精準反映優(yōu)秀解周圍的分布密度. 我們以圖1中個體N為例, 計算其分布熵EN.

圖1 點N擁擠程度示意圖

dlij和duij分別代表第i個解在第j個目標函數(shù)上與其上下相鄰解的距離. 分布熵計算過程如式(2)～式(4).

(2)

cij=dlij+duij

(3)

Eij=-[plijlog2(plij)+puijlog2(puij)]

(4)

按照上述式子計算分布熵后, 對每一目標函數(shù)的邊界值個體賦予無窮大的擁擠熵值, 保證其始終被選擇, 其余個體按式(5)計算其擁擠熵.

(5)

2.2 f(α)函數(shù)算數(shù)交叉算子

標準NSGA-Ⅱ算法使用的是SBX交叉. 該算子模擬浮點數(shù)編碼交叉過程, 即隨機生成一個閾值, 帶入公式按比例線性組合兩個父代個體. 本文采用函數(shù)型算術(shù)交叉算子[10]來取代原有交叉操作, 以確保更廣的搜索范圍. 其定義公式為：

(6)

為了提高交叉質(zhì)量, 我們構(gòu)造f(α)函數(shù)進行動態(tài)交叉, 見式(7).

(7)

f(α)為區(qū)間[0,1]上的一個值, 保證搜索范圍覆蓋決策變量的所有領(lǐng)域, 同時交叉比例隨著迭代次數(shù)增加而規(guī)律性地變化, 見圖2. 設(shè)α=t/β, 其中t為當前迭代次數(shù),β=T/10,T為最大迭代次數(shù). 由此我們得到新的交叉策略如式(8)所示.

(8)

圖2 f(α)函數(shù)曲線Fig.2 f(α) function curve

圖3顯示了交叉策略本質(zhì)過程, 值得一提的是,本文將算數(shù)交叉中的α比例系數(shù)改進為與迭代次數(shù)t相關(guān)的f(α)函數(shù). 由圖2與式(8)可知, 迭代到中期時,t很小, 導致f(α)接近0.5, 每個子代繼承父代各一半的基因. 更具多樣化的子代增大了得到性能優(yōu)秀個體的可能性. 隨著迭代次數(shù)增加,t變大, 導致f(α)逼近0, 父代基因基本不改變. 父代等位基因的少量交換可以增加算法的局部優(yōu)化能力. 這樣既能維持群體多樣性, 又能保證在迭代后期群體向全局收斂方向移動且不破壞最優(yōu)個體.

圖3 交叉過程示意圖Fig.3 Diagram of crossover process

2.3 高斯-柯西變異算子

雖然變異運算只是產(chǎn)生新個體的輔助方法, 但它決定了多目標進化算法的局部搜索能力, 維持優(yōu)秀前沿解向正確的方向加速收斂[15-16]. 本文采用多點變異, 變異值的隨機性會產(chǎn)生較大的無關(guān)聯(lián)擾動, 破壞原有優(yōu)良基因. 針對上述問題, 我們提出高斯柯西混合變異來增強變異解的質(zhì)量.

其中,G(x)為高斯分布函數(shù),C?(x)為柯西分布函數(shù),γ為比例系數(shù). 密度分布曲線如圖4所示.

由圖4可知, 標準高斯分布函數(shù)在原點處的峰值較大, 原點兩端分布較短. 高斯變異能產(chǎn)生距離原點很近的擾動, 具有較強的局部開發(fā)能力. 柯西函數(shù)分布特性與高斯相反, 且?值影響曲線特征. 柯西變異能夠在當前變異個體附近生成范圍更廣的擾動, 更容易跳出局部極值. 首先結(jié)合兩種函數(shù)的分布特性引入決策變量柯西變異公式[17-18]：

i=1,2,...,n

(9)

(10)

圖4 高斯和柯西函數(shù)分布Fig.4 Distributions of Gaussian and Cauchy functions

圖5 變異過程示意圖Fig.5 Diagram of mutation process

由于柯西函數(shù)的自適應(yīng)γ系數(shù)影響曲線峰值及原點兩端分布特性, 我們可以調(diào)節(jié)γ數(shù)值來隨機改變產(chǎn)生擾動的范圍. 由圖4可知,γ=0.3, 0.5, 0.7和1.0為差異較大的幾個臨界點, 故本文設(shè)置兩個區(qū)間. 當種群從0迭代到3/4T,γ在[0.7, 1.0]區(qū)間內(nèi)取值. 圖5用Parent1兩端基因來表示γ=[0.7, 1.0]時的突變極限范圍, 為了直觀顯示區(qū)別, 人為設(shè)定區(qū)間[0.010, 0.100]. 此區(qū)間可以產(chǎn)生較大擾動加強算法的全局搜索性能. 從3/4T迭代到進化結(jié)束,γ在[0.3, 0.5]區(qū)間選擇內(nèi)取值. 圖5用Parent2兩端基因來表示γ=[0.3, 0.5]時的突變極限范圍, 仍設(shè)定區(qū)間[0.005, 0.050]. 此區(qū)間函數(shù)曲線原點的兩端分布較短, 產(chǎn)生的擾動較小, 這便于在后期種群趨于穩(wěn)定時能增加局部搜索能力. 上述T代表最大迭代次數(shù), 具體調(diào)節(jié)方式如下：

當t: 0～3/4T時,γ∈[0.7, 1.0]; 當t: 3/4T～1T時,γ∈[0.3, 0.5]；然后將更新后的γ值帶入公式(9).

考慮到增強型NSGA-Ⅱ-CES具有較強的全局搜索能力和較高的搜索精度, 可通過以上三節(jié)所提出基于擁擠熵排序法、f(α)函數(shù)算數(shù)交叉算子和高斯-柯西變異等優(yōu)化策略提高所求 Pareto 最優(yōu)解集的分布均勻性. 具體的算法步驟如圖6所示.

圖6 FEONSGA-Ⅱ-CES算法流程Fig.6 Flow of FEONSGA-Ⅱ-CES

為檢測算法的可行性, 我們在MATLAB R2020a環(huán)境下利用NSGA-Ⅱ、MOPSO、MOEA/D以及本文提出的FEONSGA-Ⅱ-CES求解標準算例函數(shù)ZDT1、ZDT2、ZDT3及ZDT6[19]的Pareto前沿解, 用子代空間距離指標(GD)和均勻分布指標(SP)來衡量算法性能[20]. 每個算法均迭代計算300 次, 種群大小設(shè)置為 200.

(11)

(12)

其中,P為解集,P*為參考集,d(x,y)表示解集P中的點y到參考集P*中點x的歐氏距離.

圖7展示了FEONSGA-Ⅱ-CES求解四種標準函數(shù)的Pareto前沿, 其解準確且均勻, 特別是在優(yōu)化ZDT3時也可以得到擬合度較高的前沿解. 在相同的測試環(huán)境下, 對所選的4組測試函數(shù)分別獨立運行50次, 求其GD和SP的平均值, 見表 1.

(a) ZDT1

(b) ZDT2

(c) ZDT3

(d) ZDT6

表1 GD和SP測試結(jié)果

表1中GD統(tǒng)計結(jié)果表明, FEONSGA-Ⅱ-CES由于引入擁擠熵排序且對算術(shù)交叉中的比例因子α進行自適應(yīng)更新, 能更好地克服優(yōu)化算法本身存在的隨機性帶來的劣質(zhì)影響, 隨迭代次數(shù)改變平衡了算法的收斂性且偏差最小. 根據(jù)SP統(tǒng)計結(jié)果可知, 在對4個函數(shù)進行優(yōu)化時, 由于高斯柯西混合變異能避免算法陷入局部最優(yōu), FEONSGA-Ⅱ-CES能得到更小的SP值. 這表明本文提出的算法能更大程度地保證獲得分布更均勻的非支配解, 引導基因群向真實Pareto前沿逼近.

4 鋁電解應(yīng)用實例及仿真結(jié)果分析

4.1 多目標優(yōu)化模型

根據(jù)鋁電解企業(yè)提效減耗的要求, 本文以鋁電解直流能耗最小和電流效率最大為優(yōu)化目標, 通過課題組的預備實驗, 總結(jié)得到如下主要參數(shù)[5]：工作電壓U, 系列電流I, 分子比r, 電解溫度T, NB次數(shù)tNB, 出鋁量q, 鋁水平ha, 電解質(zhì)水平he. 具體樣本參數(shù)見表2.

鋁電解直流電耗是指產(chǎn)生一噸鋁所需要的直流能耗. 其最小可用數(shù)學式表示：DCmin=f1(I,r,tNB,ha,he,T,q,U).

電流效率CE=q/q0×100%,q為電解槽實際鋁產(chǎn)量,q0為理論產(chǎn)量. 其最大可用數(shù)學式表示:CEmax=f1(I,r,tNB,ha,he,T,q,U).

表2 225號電解槽樣本

考慮170kA系列電解槽生產(chǎn)工藝要求, 我們可知:

1 670A≤I≤1 720A,

2.35≤r≤2.60,

3 600mV≤U≤3 750mV,

930℃≤T≤970 ℃,

16cm≤ha≤21cm,

14cm≤he≤18cm,

610≤tNB≤710.

利用GA-WNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立鋁電解生產(chǎn)過程預測模型克服其高度非線性.GA采用錦標賽選擇, 算數(shù)交叉和實數(shù)離散變異, 設(shè)置參數(shù)如表3所示.表2中的前200組數(shù)據(jù)用于建立預測模型, 后23組作為檢測樣本, 擬合結(jié)果如圖8所示.

表3 模型的設(shè)置參數(shù)

鋁電解制造系統(tǒng)的目標預測模型精度決定了優(yōu)化后的Pareto前沿解的可參考性. 圖8中用GAWNN模型訓練的鋁電解能耗最大誤差為-0.357%,電流效率最大預測誤差為 0.002 7%, 滿足建模精度.

采用上述4種算法求解鋁電解制造系統(tǒng)中重要參數(shù)的一系列Pareto最優(yōu)解, 取部分結(jié)果列于表4. 通過對比表4可知, 當噸鋁直流能耗為1.050×104kW·h/t-Al時, 本文提出的優(yōu)化算法所得電流效率為98.93%, 比其他優(yōu)化算法優(yōu)化效果均有不同程度的提高, 比較符合提效減耗的優(yōu)化目標.

同時取4種算法綜合性能較高的一組數(shù)據(jù)與某鋁廠225號電解槽某段時間的實際監(jiān)測的平均值進行對比, 從圖9的仿真結(jié)果我們可明顯得出與表4一致的結(jié)論. 雖然NSGA-Ⅱ優(yōu)化后的直流能耗略微高于FEONSGA-Ⅱ-CES優(yōu)化的結(jié)果, 但是其電流效率也大幅度低于FEONSGA-Ⅱ-CES的優(yōu)化結(jié)果. 以上的實驗結(jié)果均表明在相同環(huán)境下將函數(shù)型的進化算子帶入NSGA-Ⅱ提高了該算法的準確性和收斂性.

本文優(yōu)化結(jié)果僅為決策者提供決策范圍, 在實際操作中, 人工經(jīng)驗和外部復雜因素[20]必須被考慮. 若要選擇決策者滿意的解, 需要基于 Pareto 前沿根據(jù)決策偏好選擇詳細的操作條件.

(a) 鋁電解能耗預測結(jié)果(a) Predicted resultsof energy consumption aluminum electrolytic

(b) 電流效率預測結(jié)果(b) Predicted resultsof the CE

(c) 鋁電解能耗誤差(c) Energy consumption errors of aluminum electrolysis

(d) 電流效率誤差(d) Energy consumption errors of the CE

表4 鋁電解制造系統(tǒng)部分優(yōu)秀仿真解

(a) 噸鋁直流能耗對比(a) Comparison ofenergy consumption aluminum electrolytic

(b) 電流效率對比(b) Comparison of the CE

5 結(jié) 論

針對NSGA-Ⅱ在求解復雜鋁電解多目標問題時缺乏自適應(yīng)性而容易導致結(jié)果不收斂或解集遭到破壞等問題, 本文提出FEONSGA-Ⅱ-CES增強型算法. 該算法引進了擁擠熵概念，更新子代避免算法陷入早熟；在算術(shù)交叉中，采用新型函數(shù)交叉算子以防止非支配解遭到破壞；使用隨迭代次數(shù)變比例系數(shù)的高斯柯西變異，擴大搜索區(qū)域和提高搜索精度. 通過4組標準算例驗證FEONSGA-Ⅱ-CES得到收斂性較好、分布較均勻的Pareto前沿解.

其次, 結(jié)合鋁電解生產(chǎn)過程特點, 利用GAWNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立鋁電解生產(chǎn)過程預測模型. 將FEONSGA-Ⅱ-CES 應(yīng)用到鋁電解的多目標優(yōu)化中, 對比仿真結(jié)果表明, FEONSGA-Ⅱ-CES算法求解得到的鋁電解槽平穩(wěn)運行時的決策參數(shù)投入到生產(chǎn)中后, 在一定程度上能提高電流效率并降低噸鋁直流能耗.

其他因素也影響著得到最終理想的解決方案, 例如廢氣排放等, 這是我們未來的研究方向.