□黃 維

（嘉興市第四高級中學，浙江 嘉興 314000）

直觀想象是數(shù)學學科六大核心素養(yǎng)之一，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論和解決數(shù)學問題的重要素養(yǎng)，其具體表現(xiàn)是能利用圖形探索并解決數(shù)學問題，構建數(shù)學問題的直觀模型.然而在平時的教學中，教師由于擔心學生的作圖用圖能力，過于強調計算，忽略了直觀想象能力的培養(yǎng)，這對培育學生的核心素養(yǎng)，對學生的可持續(xù)發(fā)展，是弊大于利的.

數(shù)學問題鏈教學，試圖通過問題去激發(fā)學生對學習價值的體驗[1]，為達成預定的教學目標，先在課外預設，然后在課堂上以多種方式呈現(xiàn)有序的主干問題序列帶.它為學生提供有效的系列問題，引導學生深入思考數(shù)學知識，為學生多樣的思維與探索提供了可能性.問題鏈的設計應堅持以學生的認知能力為基礎、以核心知識為主體的原則，將若干問題經過比較、提煉、打磨、整合、建構，形成一系列具有內在聯(lián)系的問題鏈條[2].在向量教學中，通過貫穿教學各環(huán)節(jié)的問題鏈設計，充分挖掘向量問題中的幾何意義，可以引領學生思維發(fā)展，促進核心素養(yǎng)的落實.

一、新知引入問題鏈：鋪設情境，指向明確目標

新知引入應著眼于大多數(shù)學生的認知能力.教師通過問題鏈的設計，將復雜問題的切入點落在基礎的情境問題上，可以讓知識點的銜接更加流暢，讓教學目標、教學方法更明確，進而激活學生的思維，提高其數(shù)學核心素養(yǎng).作為課堂引入的問題鏈設計，應關注問題的相通性和范圍，遵循從熟悉的知識到不太熟悉的知識、從研究較小的范圍過渡到研究包含該問題的更大的范圍這一層層遞進的邏輯順序.

向量本身具有數(shù)與形的雙重特性，試題命制時也常常以這兩種形式呈現(xiàn).遇到以圖形為主干知識的命題，或者能直接在題目中挖掘幾何圖象的命題，教師要善于將此類問題解剖成幾何知識，讓學生用熟悉的圖形來描述問題，并借助問題推廣鏈擴大討論范圍，培養(yǎng)學生的直觀想象力.

例1已知向量a≠b,|b|=1,對任意m∈R,有 |a-mb|≥ |a-b|,則()

A.a⊥bB.(a+b)⊥(a-b)

C.a⊥(a-b)D.b⊥(a-b)

若期望學生能用幾何的思想去解答例1，可設計如下問題鏈.

問題1：在△ABC中，你能找到熟悉的向量關系式嗎？請在圖形中描出.

（以常見知識入手，強調基礎圖形）

問題2：在△ABC中，你能作出的圖形嗎？觀察其與的關系.

（繼續(xù)作圖，訓練作圖能力，強化幾何意識）

問題3：在△ABC中，當m變化時，你能找到與的數(shù)量關系嗎？

（從認知上看，學生最不容易明白如何用字母變量替換定值，有了問題2的設計，學生可以嘗試用不同的m值,畫出不同的圖形，并觀察數(shù)量關系的變化）

問題4：在△ABC中，若對于任意的m∈R，都有,則∠ACB=()

（從圖形的變化中，體現(xiàn)一般到特殊的思想）

問題5：能否借問題4解決例1提出的問題？

（類比問題4，重溫思考過程，熟悉解題方法）

問題6：你能用其他方法解決上述問題嗎？比較方法的差異.

（比較幾何法和代數(shù)法的異同，體會幾何法的本質，促進直觀想象能力的提升）

例1不是一個很直觀的幾何描述形式，學生可以用建系運算的方法解決問題，但運算量較大.基于本節(jié)課的教學目標是有針對性地使用幾何法解決向量問題，因此，筆者在引入部分就設計好問題，將學生的思維暫時集中在圖形方面，通過問題鏈的設計，指導學生嘗試將符號語言圖形化，并通過幾何語言的轉化，發(fā)現(xiàn)問題的幾何本質是一樣的，進而從幾何角度找到解決問題的方法，提升數(shù)學核心素養(yǎng).

二、新知探究問題鏈：層層遞進，激發(fā)學生思維

在對新知進行探究時，教師要引導學生自主探究解題方法，進而揭示數(shù)學問題背后的數(shù)學思想、數(shù)學方法.因此，教師在設計新知探究問題鏈時，要充分掌握學情，由淺入深，層層遞進，既要符合學生的認知水平，又要引入一定的認知沖突，讓學生在探索中找尋規(guī)律、發(fā)現(xiàn)方法.例如，可以通過從特殊到一般的設問，讓學生找尋知識的相關性，進而形成知識脈絡，發(fā)展數(shù)學思維.

遇到題干沒有明確圖形的問題時，教師要有意識地借助問題引申鏈，引導學生用特殊圖形來理解，然后一步一步地去解決問題，并在問題解決的過程中感悟直觀想象.

在新知探究時，筆者設計了如下問題鏈.

問題7：已知向量=1,,若，試探究C點的運動軌跡.

（根據(jù)初中知識，可知其運動軌跡是圓，進行知識和方法的雙重儲備）

問題8：已知向量,若=60°,試探究C點的運動軌跡.

（經歷了例1的研究后，學生形成了通過研究特殊圖象問題，找到一般問題的解題方法.問題7和8再次體現(xiàn)了特殊到一般的數(shù)學思想）

問題9：請描述問題7和8隱藏的幾何知識，能否總結規(guī)律？

（聚焦方法）

問題10：已知向量=2,若=90°,試求的取值范圍.

（在直角坐標系中，條件向量的一般化對圖形會產生影響，讓學生探究解題方法是否也會發(fā)生變化）

問題11：已知向量a,b,c滿足|a|=|b|=a?b=2,(a-c)?(b-2c)=0,求|b-c|的最大值.

（作圖的難度有所增加，部分學生不能畫出圖象，教師適時進行輔導）

問題12：問題10和11的本質問題是什么？你能找出或編出類似的題目嗎？

（追問問題本質，讓學生找題、編題則是為了培養(yǎng)學生善于觀察、善于發(fā)現(xiàn)的能力）

針對平面向量中的模長、垂直等問題，很多學生首先想到的是坐標法，或是看到模長馬上想到平方，再借助向量數(shù)量積展開運算，過程較為煩瑣，要把問題轉化為一個單純的運算問題，而且在算出結果后，也不知道其最值的含義是什么.筆者通過問題鏈設計，將學生的思考方向往圖形上引導，讓他們發(fā)現(xiàn)模長、垂直等問題的本質往往與圓相關，再讓學生結合圓的幾何含義來分析問題，這樣能更好地幫助學生理解問題，培養(yǎng)他們數(shù)形結合的能力.

三、新知鞏固問題鏈：厘清方法，掌握核心知識

建構主義認為，學習的各種能力都是基于經驗的積累.在知識鞏固階段，教師應設計與教學主體知識相關的問題鏈，結合適當?shù)脑u價標準，來判斷學生對核心知識的掌握程度.同時，教師還要厘清核心思想、核心方法，引導學生構建知識體系，幫助學生進行深度學習.

本節(jié)課學生要形成的學科素養(yǎng)是：能用幾何的觀點描述問題，思考問題，解決問題.因此，在問題鏈的設計上，教師要借助綜合鏈來引導學生畫出圖形，讓他們從圖形的角度將代數(shù)問題幾何化，發(fā)現(xiàn)幾何意義，并在圖形中揣摩、求證，快速找到答案.筆者設計了如下問題鏈.

問題13：如何理解|a-b|=1，它的圖象是什么？

（回顧知識探究時得到的收獲，再次加深學生對幾何意義及圖象有機結合的認識）

問題14：能理解|c-a-b|=1嗎？請描述它的幾何含義.

（根據(jù)問題13的啟示，學生基本能聯(lián)想到圓.注意提醒學生|c-(a+b)|與|(c-a)-b|等不同形式下幾何意義的區(qū)別）

問題15：已知單位向量a,b的夾角為60°,設向量c=xa+yb,x,y∈R,若|c-a-b|=1,試畫出c的圖象.

（在問題14的基礎上，將代數(shù)問題幾何化，讓學生畫出圓的圖形，考查學生是否具有運用幾何法思考并解決問題的能力，落實本節(jié)課幾何法的素養(yǎng)）

問題16：在問題15的基礎上，求x+2y的最大值.

（繼續(xù)進行代數(shù)問題的幾何化，將二元變量的問題轉化為圓切線或線性規(guī)劃的問題）

問題17：矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若，則λ+μ的最大值為（ ）

（類似問題16的文體變式描述，再次鞏固解題方法）

問題18：比較問題16和17，感受偏代數(shù)和偏幾何不同描述形式對解題思維形成的啟發(fā)，體會挖掘幾何元素對解題的幫助.

（通過研究表象形式不同但內涵相同的問題，幫助學生歸納方法，總結思想）

對于平面向量基本定理的系數(shù)問題和向量差的模長問題結合在一起的題目，學生由于作圖能力還有欠缺，直接入手較為困難.但本節(jié)課的核心思想就是培養(yǎng)學生用幾何法解決向量問題的能力，培養(yǎng)學生數(shù)形結合、直觀想象的能力.因此，在設計問題鏈時，筆者充分考慮學生的已有知識，抓住解決問題的方法幾何法，確立解題的關鍵是將題中條件轉化為幾何圖形，在圖形具象化后，再讓學生借助圖形的相關知識解決問題.這比代數(shù)法更形象易懂，更簡單明了.

四、新知遷移問題鏈：融會貫通，發(fā)展創(chuàng)新思維

數(shù)學知識的遷移應基于基礎知識的掌握，注重內在思維的遷移.因此，教師在設計知識遷移問題鏈時，應著重體現(xiàn)知識的內在聯(lián)系，突出思想方法的運用，拓展學生的想象空間，提升其邏輯推理能力，發(fā)展其創(chuàng)新思維.

教學向量時，教師要引導學生構建與原問題等價或有關的“幾何模型”，在數(shù)與形之間架設橋梁，以達到解決問題的目的.在問題鏈的設計上，教師要借助問題深化鏈來深化學生對數(shù)學概念或模型的理解，使他們能將所學的知識融會貫通.讓學生經歷模型構造的過程，有助于學生把握事物的本質，培養(yǎng)直觀想象能力.

在向量幾何知識遷移時，筆者設計了如下問題鏈.

問題19：已知|m|=1,若a·m=4,探究a的軌跡并解釋其幾何意義.

（向量投影法是向量幾何意義的重要體現(xiàn)之一，要讓學生充分理解）

問題20：已知m，n是單位向量，夾角為90°，若同一平面內向量a滿足a?m=2，a?n=，探究a的軌跡.

（單一投影變二維投影，讓學生體會圖象的變化以及知識的變遷）

問題21：在問題20中，把條件同一平面改成空間向量，你能體會從二維平面到三維空間的類比關系嗎？

（類比平面幾何，將常見方法、知識等拓展到三維空間，是學習幾何知識和獲得空間想象能力的重要途徑）

問題22：已知m⊥n,且|m|=|n|=1,若a?m=4,a?n=3,|a|=,則對任意實數(shù)λ1,λ2,|a-λ1m-λ2n|的最小值是（ ）

（作圖建立對應長方體的數(shù)學模型，在模型中解決數(shù)量問題）

問題23：已知m,n是單位向量,夾角為60°,若空間向量a滿足a?m=2,a?n=,對于任意的x,y,有|a-(xm+yn)|≥1,則|a|=____.

（進一步強化建模意識，建立平行六面體的模型，體會用模型解題的妙處）

問題24：你能嘗試變化題中的條件，構建新的數(shù)學模型嗎？

（開放式的問題，讓學生自由發(fā)揮，形成數(shù)學建模的思想）

對于相同向量與不同向量的數(shù)量積問題，根據(jù)公式，學生想到的大多是夾角不同，而幾何法揭示的則是投影的問題.因此，教師在設計問題鏈時，要引導學生從投影的角度出發(fā)，將問題指向圖形，然后啟發(fā)學生從圖形的角度思考問題，并從平面圖形遷移到空間圖形，同時將特殊延伸到一般，將直角坐標系推廣為仿射坐標系，讓空間幾何體的模型映入腦海，將所學的知識方法等融會貫通.這樣，更能體現(xiàn)構建模型的數(shù)學思想.

五、小結

總之，教師在利用問題鏈進行教學時，設計循序漸進的問題鏈，將向量系列問題幾何元素的挖掘過程置于問題鏈呈現(xiàn)的內容中，啟發(fā)并幫助學生形成幾何思想，既能引導學生解決實際問題，又能促進他們舉一反三能力的提升，進而逐步培養(yǎng)學生的直觀想象能力.

杜威說：“教育的本質是經驗的改造和重組.”偏離學生實際經驗的教學往往是空中樓閣.在日常教學中，教師要找準契機，幫助學生盡可能多地經歷直觀想象的過程.而通過有針對性的問題鏈設計，將直觀想象分步驟、分層次、有難度、有深度地進行培養(yǎng)，可以提升學生的數(shù)形結合能力，促使他們形成運用圖形思考問題、解決問題的意識，發(fā)展他們的幾何直觀和空間想象能力，進而幫助他們獲得更多的可持續(xù)發(fā)展的素養(yǎng).□◢