張旭強(qiáng)

(山西工程科技職業(yè)大學(xué),山西 晉中 030619)

在我國，磚石古塔形態(tài)多變、風(fēng)格各異、分布非常廣泛。這些修建于不同年代的建筑對(duì)于研究我國古代的建筑工藝、建筑歷史、建筑文化具有非凡的意義，而且對(duì)于研究我國古代的政治、經(jīng)濟(jì)、宗教、藝術(shù)等都具有重要的價(jià)值。

由于磚石古塔的建造高度比較高，長(zhǎng)細(xì)比大，同時(shí)受到建筑設(shè)計(jì)、工藝水平等內(nèi)在因素和人工活動(dòng)、不可抗力等外部條件的影響，許多保存至今的古塔都產(chǎn)生了不同程度的傾斜，“十塔九偏”是公認(rèn)的現(xiàn)實(shí)。為了對(duì)磚石古塔進(jìn)行有效的保護(hù)和修繕，探討磚石古塔，特別是位于濕陷性黃土地區(qū)的磚石古塔糾偏及加固技術(shù)顯得尤為急迫。

1 有限元模型的理論基礎(chǔ)

有限元法通過將連續(xù)體離散化為各個(gè)互不重疊的單元，單元和單元之間有聯(lián)結(jié)節(jié)點(diǎn)，通過聯(lián)結(jié)節(jié)點(diǎn)組成一個(gè)單元集合。假設(shè)在平面問題中，所有的節(jié)點(diǎn)都為鉸結(jié)點(diǎn)，所有作用在單元上的不同荷載，例如集中荷載、體積荷載和表面荷載等，都要作為等效荷載按虛功原理移置到節(jié)點(diǎn)上。最后得到的計(jì)算結(jié)果為相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)處的一系列離散型數(shù)值，利用這些離散型數(shù)值推算其他未確定的數(shù)值[1]。

1.1 設(shè)定形函數(shù)和位移函數(shù)

根據(jù)單元節(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)情況設(shè)定位移模式，設(shè)定位移函數(shù)，然后用節(jié)點(diǎn)位移表示位移函數(shù)中的待定系數(shù)，從而得到位移函數(shù)如下：

{f}=[N]{δ}e

(1)

上式中[N]為形函數(shù)矩陣，由各形函數(shù)組成。

1.2 應(yīng)力矩陣和應(yīng)變矩陣

根據(jù)幾何方程，再利用物理方程，將單元內(nèi)的應(yīng)力和形變用節(jié)點(diǎn)位移表示如下：

{ε}=[B]{δ}e

(2)

{σ}=[S]{δ}e

(3)

[S]=[D][B]，其中矩陣[D]是應(yīng)力應(yīng)變之間本構(gòu)關(guān)系的反映，[B]為形變轉(zhuǎn)換矩陣，[S]為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣。

1.3 單元?jiǎng)偠染仃?/h3>

解決幾何非線性問題，考慮虛位移，形變轉(zhuǎn)換矩陣[B]為單元節(jié)點(diǎn)位移列陣{δ}e的函數(shù)，應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系用單元?jiǎng)偠染仃噥肀硎?，采用增量形式可以表達(dá)如下：

(4)

2 彈性和彈塑性本構(gòu)關(guān)系

應(yīng)用有限元法分析土體的應(yīng)力和變形問題時(shí)，需要確定土體的本構(gòu)關(guān)系，尤其涉及土體非均質(zhì)性、非線性和復(fù)雜邊界等問題。土的力學(xué)本構(gòu)關(guān)系反映了土體變形的特性，是建立本構(gòu)模型[2]的根據(jù)，也是檢驗(yàn)本構(gòu)模型理論的客觀標(biāo)準(zhǔn)。

研究土體在受荷載作用時(shí)的變形特性，形成了彈性理論和彈塑性理論，和本構(gòu)關(guān)系結(jié)合建立為模型，一直以來不斷推動(dòng)土的本構(gòu)理論的發(fā)展。現(xiàn)階段，土體應(yīng)力-應(yīng)變-強(qiáng)度(時(shí)間)關(guān)系的本構(gòu)模型相對(duì)和實(shí)際接近，并且能有效地將變形特性和應(yīng)力分析相互結(jié)合，提高計(jì)算精度，解決復(fù)雜問題。

2.1 土的非線性彈性模型

實(shí)際非線性在工程中用來體現(xiàn)土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系比較貼切，也反映了應(yīng)力和應(yīng)變的復(fù)雜關(guān)系。依據(jù)廣義虎克定律，非線性彈性模型建立剛度矩陣[D]。由于屬于非線性關(guān)系，剛度矩陣[D]中的彈性常數(shù)v、E被當(dāng)作變量，而且是會(huì)隨應(yīng)力狀態(tài)而改變的。

理論上，非線性彈性模型有3種類型：Cauchy彈性模型、Hyperelastic超彈性模型和Hypoelastic次彈性模型。Duncan-Chang雙曲線模型在非線性模型中是最有代表性的模型。1970年Duncan和Chang提出了雙曲線模型，其依據(jù)土體常規(guī)三軸試驗(yàn)，只在一個(gè)方向施加應(yīng)力增量，從而得到的土體應(yīng)力-應(yīng)變曲線，見如下雙曲線方程來表示[3，4]：

(5)

式中：a，b—雙曲線函數(shù)參數(shù)；σ1—軸向應(yīng)力；(σ1-σ3)—主應(yīng)力差。

圖1 (σ1-σ3)-εa關(guān)系曲線

圖2 εa/(σ1-σ3)-εa關(guān)系曲線

最終推導(dǎo)得出Duncan-Chang模型(E-B模型)的切線模量方程為：

(6)

表達(dá)式中：K—試驗(yàn)常數(shù)；Et—切線模量；Rf—破壞比；Pa—大氣壓力器。

卸荷、重復(fù)加荷，此時(shí)彈性模量值的表述如下：

Eur=KurPa(σ3/Pa)n

(7)

式中：Kur—試驗(yàn)常數(shù)，一般情況下Kur=(1.2～3.0)K。

式(6)(7)是推導(dǎo)來的切線彈性模量方程，實(shí)際上也可以看出來是常規(guī)三軸試驗(yàn)應(yīng)力應(yīng)變曲線的切線斜率的反映，強(qiáng)度隨應(yīng)力水平的變化關(guān)系或隨固結(jié)壓力的變化關(guān)系都可以在上述公式中有所體現(xiàn)。至于Eur的應(yīng)用，實(shí)際上是一個(gè)屈服準(zhǔn)則的使用標(biāo)準(zhǔn)，不過略顯粗略。1980年Duncan根據(jù)不同土類試驗(yàn)分析把E-μ模型修正為E-B模型，并且提出了體積模量B的公式，如下：

B=KbPa(σ3/Pa)m

(8)

式中：Kb—體積模量系數(shù)；m—取值為0～1.0，無量綱。

上面提到的Duncan-Chang雙曲線模型能反映土體的主要變形特性，而切線的彈性常數(shù)通常是用試驗(yàn)曲線而定。土的非線性模型利用加載模量和卸載模量來部分反映，此處采用的參數(shù)物理意義也是比較明確的。盡管如此，Duncan-Chang雙曲線模型仍有許多方面的問題，例如，沒有反映土體變形的規(guī)律，也沒有反映土的剪脹性情況，更不能反映出主應(yīng)力對(duì)模量的影響程度，不能反映平均正應(yīng)力的變化對(duì)剪應(yīng)變的影響，也就是說不反映壓縮與剪切的影響，也不反映各向異性。

2.2 土的彈塑性模型

理論上，如果全部變形都是彈性的，這一假定反映了彈性非線性模型設(shè)立的初衷，如果要反映非線性，則相應(yīng)地改變彈性常數(shù)；而對(duì)于彈塑性模型，則要把變形分成兩部分：彈性變形和塑性變形。彈性變形部分用虎克定律來計(jì)算，塑性變形部分則用塑性理論來解決問題。

不同的彈塑性模型，假定也不同，主要體現(xiàn)在假定的形式上。但是一般要從幾個(gè)方面去假定，如破壞的準(zhǔn)則或屈服準(zhǔn)則、流動(dòng)法則、硬化規(guī)律等。在破壞準(zhǔn)則方面有Tresca準(zhǔn)則、Mises準(zhǔn)則等，其中一些受到廣泛應(yīng)用，因?yàn)橐袛嗥茐呐c否，而破壞又取決于土體應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)土的應(yīng)力狀態(tài)達(dá)到一定的屈服標(biāo)準(zhǔn)以后才能硬化，這時(shí)候的屈服就形成了塑性變形，用塑性變形來衡量硬化發(fā)生的程度，引入函數(shù)，結(jié)合起來反映硬化規(guī)律。屈服函數(shù)和硬化規(guī)律僅僅是給定了判斷屈服的標(biāo)準(zhǔn)和屈服后如何發(fā)展變化，但是沒有衡量變化的比例，這就需要確定應(yīng)變?cè)隽炕蜃兓姆较騿栴}，而流動(dòng)規(guī)則是用于確定塑性應(yīng)變?cè)隽糠较虻募俣ǖ?。彈塑性理論可以反映土體的各種變形特性，但是并非全面，也有其局限性，也依賴于選定的模型。

3 建立計(jì)算模型

磚石古塔靜力分析的幾何模型由塔體和地基兩部分組成，根據(jù)上部結(jié)構(gòu)的原始尺寸建立模型，然后調(diào)整傾斜值，形成實(shí)體模型。根據(jù)地質(zhì)勘察資料并結(jié)合地基土在深度方向上的分層特點(diǎn)建立地基模型，深度方向上地基模型與勘察一致，土層寬度方向上與古塔底面橫截面相關(guān)，取橫截面換算半徑的10倍。

圖3中，實(shí)體建模的方法采用自底向上。從基本的點(diǎn)、線、面構(gòu)造大象寺塔實(shí)體，使用程序運(yùn)算組合數(shù)據(jù)集，組建實(shí)體模型。

圖3 實(shí)體模型

3.1 選擇單元類型

磚石古塔靜力分析，要涉及塔體與相關(guān)地基，因而要選擇空間實(shí)體單元。目前常用的結(jié)構(gòu)空間單元比較多，例如SOLID65、SOLID95、SOLID147、SOLID185、SOLID186等。這些可選擇的單元類型的自由度和節(jié)點(diǎn)各不相同，本例選擇SOLID95單元作為塔體和地基的實(shí)體單元。

SOLID95單元包括20個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖5所示，各節(jié)點(diǎn)沿x、y、z有3個(gè)自由度，具有塑性、蠕變、應(yīng)力剛度、大變形和大應(yīng)變能力等特性。

圖5 SOLID95

3.2 定義材料特性

本例中上部塔體運(yùn)用線彈性模型，模型中參數(shù)有彈性模量E和泊松比μ。參數(shù)數(shù)值的確定參考同時(shí)代當(dāng)?shù)匾延袛?shù)據(jù)，根據(jù)陜西文物保護(hù)中心提供的數(shù)據(jù)顯示，西安市長(zhǎng)安區(qū)大雁塔材性參數(shù)取值如下：砌筑磚的標(biāo)號(hào)MU15，砂漿等級(jí)為M0.4，參照砌體規(guī)范中砌體的彈性模量[5]取值E=700f(其中，f=1.12MPa，f為砌體的抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值)，得到彈性模量E=784MPa，泊松比取值0.15，密度取值1 900kg/m3。

磚石古塔的地基土，模型參數(shù)的確定沒有已有經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)參照，根據(jù)土的變形模量E0與土體物理性指標(biāo)的關(guān)系，經(jīng)過整理統(tǒng)計(jì)土的物理性質(zhì)試驗(yàn)資料，得出相對(duì)接近的模量參數(shù)，即通過計(jì)算得到的變形模量E0[6]數(shù)值：

變形模量與物理性指標(biāo)之間的關(guān)系如下：

(9)

(10)

當(dāng)缺乏試驗(yàn)資料時(shí)，可按下式經(jīng)驗(yàn)方法確定μ0，即：

μ0=(1-sinφ′)/(2-sinφ′)

(11)

以上是土體本構(gòu)模型中彈性部分的參數(shù)確定過程，土的塑性本構(gòu)模型還未確定。由于土的受拉屈服強(qiáng)度[7]遠(yuǎn)小于受壓屈服強(qiáng)度，本例可采用Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則來計(jì)算。

采用DP模型，地基條件為黃土，基本參數(shù)為c、φ、ω、ρd等，根據(jù)室內(nèi)土工試驗(yàn)數(shù)據(jù)，不同干密度ρd時(shí)含水量和與c、φ值的試驗(yàn)對(duì)比如表1所示。

表1 不同干密度時(shí)含水量與黃土抗剪強(qiáng)度的試驗(yàn)對(duì)比

4 算例分析

大象寺塔位于陜西省合陽平政鄉(xiāng)安陽村東北，又名“大云禪院”(見圖4)，此塔建于唐代，磚塔為疊澀密檐式，呈方形。塔體共有13層，其中第一層內(nèi)有券洞，行可入內(nèi)洞，上層為封死實(shí)心磚，塔體頂層已損壞部分，不可修復(fù)，底層南面磚體損壞。塔高25.88m，下有長(zhǎng)寬各4.8m的方形基座。塔體明顯向東北方向傾斜：北偏東20°56′2″，垂直方向傾角3°51′28.8″，中心偏差1.595m。塔體的西南角比西北角高出26cm，東南角比東北角高出23cm。

圖4 大象寺塔

本例中地基模型為層狀，設(shè)置兩層地基土，依據(jù)前期地質(zhì)勘察獲得資料數(shù)據(jù)，結(jié)合室內(nèi)土工試驗(yàn)測(cè)定的土性指標(biāo)參數(shù)，每層設(shè)置厚度與實(shí)際的土層厚度保持一致。①黃土狀土為地面下第一層地基土：厚度1.69m～2.12m，黃褐色，大孔隙發(fā)育，含氧化鐵、絲狀碳酸鈣，土質(zhì)較為均勻，屬壓縮性黃土，中等具濕陷性，稍濕、硬塑～可塑，稍密。②地面下第二層為黃土狀土：厚度3.68m～4.48m，含氧化鐵呈褐黃色，蝸牛殼狀，為大孔隙發(fā)育，粉土占比明顯，土質(zhì)較為均勻，屬高壓縮性黃土，稍濕，硬塑～可塑，密實(shí)。如圖6網(wǎng)格化為有限元模型，然后對(duì)模型加載并計(jì)算得到結(jié)果。

圖6 有限元模型

從求解結(jié)果看，節(jié)點(diǎn)位移、約束反力及節(jié)點(diǎn)力都不同程度反映目前塔體受力情況，尤其變化明顯的部位是在塔體與塔基接觸處，真實(shí)反映了塔體和塔基受力情況，應(yīng)力分布規(guī)律[8]體現(xiàn)著與應(yīng)變相對(duì)應(yīng)關(guān)系。在圖7中，X方向?yàn)樯献畲笪灰瓢l(fā)生在抬升的塔體下部，數(shù)值為26.44mm，并向外擴(kuò)散，圖8應(yīng)力則主要集中在塔體和塔基接觸部位，尤其在傾斜明顯的一側(cè)。分析原因，古塔為磚石結(jié)構(gòu)，塔體自重大而強(qiáng)度又低，一旦發(fā)生傾斜，往往會(huì)造成傾斜明顯的一側(cè)地基應(yīng)力相對(duì)集中，而相對(duì)集中的應(yīng)力又會(huì)進(jìn)一步加速建筑物的傾斜程度。同時(shí)磚材料組成的結(jié)構(gòu)墻體在不同的水平截面上的壓應(yīng)變是不同的，收縮量也不同，因而壓應(yīng)變的分布也不是均布的，多個(gè)截面的差異變形累積，造成結(jié)構(gòu)初始偏心。利用程序?qū)Ω鱾€(gè)分析結(jié)果進(jìn)行整理，X方向結(jié)構(gòu)應(yīng)力最大的點(diǎn)19節(jié)點(diǎn)為88 291Pa，應(yīng)變最大的點(diǎn)17節(jié)點(diǎn)為-0.16622E-03。在古塔糾偏時(shí)參照位移、應(yīng)力、應(yīng)變列表對(duì)塔體結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的薄弱部分進(jìn)行加固。

圖7 X方向位移分布云圖

圖8 X方向應(yīng)力分布云圖

圖9 X方向節(jié)點(diǎn)位移列表

圖10 節(jié)點(diǎn)應(yīng)力列表

5 結(jié)論

①利用有限單元法進(jìn)行數(shù)值分析，涉及土的本構(gòu)模型的選擇，典型的土的本構(gòu)模型有非線性彈性模型和彈塑性模型兩種，分析黃土的變形特性，相比非線性彈性，地基土體彈塑性模型比較合適本例數(shù)值計(jì)算。②有限元模擬分析，在對(duì)磚石古塔糾偏時(shí)，地基模型選擇有限地基模型。有限地基模型與古塔底面橫截面相關(guān)，取橫截面換算半徑的10倍。③運(yùn)用有限元靜力分析古塔的傾斜原因，探討塔體和地基的位移、應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)，為選擇合理的糾偏加固方法、制定糾偏加固技術(shù)方案提供依據(jù)。