戴繼生，尚河坤

（江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，鎮(zhèn)江 212013）

引 言

大規(guī)模多輸入多輸出（Multiple input multiple output，MIMO）系統(tǒng)具有較高的頻譜效率和能量效率，已成為下一代無線通信技術(shù)的重要組成部分［1?2］。能否精確地獲得信道狀態(tài)信息（Channel state in?formation，CSI）是制約大規(guī)模MIMO系統(tǒng)性能的重要因素之一。由于基站（Base station，BS）端天線數(shù)量眾多，而下行信道估計的訓(xùn)練開銷與BS端天線數(shù)量成正比，因此大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的下行信道估計變得異常困難?；跁r分雙工（Time division duplex，TDD）的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)在估計出上行信道后，可利用上/下行鏈路信道的互易性［1］獲得下行鏈路信道的估計值。然而，目前主流的通信系統(tǒng)通常采用了頻分雙工（Frequency division duplex，F(xiàn)DD）技術(shù)，基于TDD的互易信道估計方案無法直接應(yīng)用。

現(xiàn)有研究表明，由于無線傳播環(huán)境中的散射數(shù)量有限，大規(guī)模MIMO信道的有效維數(shù)遠小于BS端天線數(shù)。近年來，國內(nèi)外研究人員利用大規(guī)模MIMO信道在角度域的稀疏特性，提出了大量基于稀疏表示的下行信道估計方法［3?6］。例如：Rao等利用均勻線性陣列（Uniform linear array，ULA）流型的離散傅里葉變換（Discrete Fourier transform，DFT）具有的稀疏特性，提出了一種基于L1?norm最小化的大規(guī)模MIMO信道估計方法［5］。隨后，Wen等提出了一種基于DFT的近似消息傳遞大規(guī)模MIMO信道估計方法［7］。然而，大規(guī)模MIMO信道在有限維度的DFT字典矩陣上，僅存在近似稀疏表示，不可避免地存在能量泄漏的問題［8］，且基于DFT的信道估計方法僅適用于ULA。為了解決能量泄漏問題，Dai等提出了一種基于離格更新的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)（Sparse Bayesian learning，SBL）信道估計方法［9］，同時進一步討論了配置任意陣列的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的信道估計方案。實驗仿真結(jié)果表明，基于離格更新的SBL信道估計方法極大改善了下行信道估計性能［9］。

SBL方法在每一次迭代時，需要計算一個高維度的復(fù)矩陣逆，這將會導(dǎo)致較高的計算復(fù)雜度。Zhou等提出了一種基于酉矩陣變換的實值SBL方法［10］，該方法將復(fù)矩陣求逆轉(zhuǎn)化為實矩陣逆，有效地降低計算復(fù)雜度。在酉矩陣變換過程中，觀測矩陣的維度增加了一倍，Zhou等進一步利用信號空間和噪聲空間的正交性壓縮了觀測矩陣的維度［10］。然而，在實際應(yīng)用時，信號空間只能近似計算獲得，不可避免地帶來性能損失。

本文提出一種新的基于酉矩陣變換的實值SBL方法，該方法將信號空間矩陣看成一個變量，在迭代過程中自適應(yīng)地調(diào)整信號空間矩陣，從而獲得更好的信道估計性能。在貝葉斯推斷過程中，信號空間矩陣和稀疏信號矩陣高度耦合，使得傳統(tǒng)的SBL推斷方案無法適用。為了應(yīng)對該挑戰(zhàn)，本文引入了列向量獨立分解的貝葉斯變分假設(shè)［11］，從而成功地將信號空間矩陣和稀疏信號矩陣解耦。實驗仿真結(jié)果驗證了本文所提方法的有效性。

1 數(shù)據(jù)模型與實值SBL回顧

1.1 數(shù)據(jù)模型

大規(guī)模MIMO系統(tǒng)由一個具備Nt個發(fā)射天線的BS和若干個具備Nr個接收天線的移動用戶（Mo?bile user，MU）組成。由于各個MU接收的信號相互獨立，僅考慮其中一個用戶的信道估計問題。BS到MU的下行鏈路信道矩陣可以表示為［12?13］

式中：Nc為散射簇的數(shù)量；Ns為每個散射簇的子路徑數(shù)；ξc，s為在第c個散射簇中，第s個子路徑的信道增益；θc，s和φc，s分別為表示相應(yīng)的發(fā)射角（Angles of departure，AOD）和到達角（Angles of arrival，AOA），a(θc，s)∈CNt×1和b(φc，s)∈CNr×1分別為發(fā)射和接收陣列天線的導(dǎo)向矢量。MU接收到的下行鏈路信號Y∈CT×Nr可表示為

式中：X∈CT×Nt表示T時刻內(nèi)發(fā)送的導(dǎo)頻序列；N∈CT×Nr為零均值方差為σ2的復(fù)高斯白噪聲。

1.2 實值SBL方法回顧

Zhou等提出了一種基于酉矩陣變換的實值SBL方法［10］，該方法將復(fù)矩陣求逆轉(zhuǎn)化為實矩陣逆，其主要思想是在導(dǎo)頻矩陣X中引入酉矩陣實值變換矩陣，即

式中：G∈RT×Nt為隨機生成的并且服從實高斯分布；QNt表達式為

INt/2和JNt/2分別為單位陣和反對角線上全為1、其余元素全為0的矩陣。若選擇ULA的幾何中心作為導(dǎo)向矢量的參考點，a(θ)可寫為

式中：?(θ)=(-2πdλ)sinθ，λ為波長，d為相鄰兩個傳感器之間的距離。若定義aˉ(θ)=QNta(θ)，則有［15?16］

式中：Σs和Σn分別包含信號空間M個較大的奇異值和噪聲空間Min{T，2Nr}-M個較小的奇異值，Us和Vs分別對應(yīng)于信號空間的左和右奇異特征向量矩陣，Un和Vn分別對應(yīng)于噪聲空間的左和右奇異特征向量矩陣。此處，最大奇異值的η%作為閾值來確定該奇異值是否顯著。等式（9）兩邊同時右乘Vs，可將觀測矩陣的維度壓縮至M，即

2 新實值SBL方法

與現(xiàn)有實值SBL方法不同，為了避免Vs估計不準確帶來的性能損失，新實值方法將Vs看成一個變量，擬在迭代過程中自適應(yīng)地調(diào)整信號空間矩陣，從而獲得更好的信道估計性能。為此，在式（9）中引入一個變量矩陣V∈RM×K，即

式中K=2Nr。根據(jù)子空間理論，若V張開的空間與信號空間一致，式（9）與式（12）等價。本小節(jié)的目標是在恢復(fù)稀疏矩陣Wˉ的同時，自適應(yīng)調(diào)整V，使其趨近于真實的信號空間。由于引入了變量矩陣V，信號空間矩陣和稀疏信號矩陣高度耦合，使得傳統(tǒng)的SBL推斷方案無法適用。在貝葉斯推斷過程中，為了解決信號空間矩陣和稀疏信號矩陣的高度耦合問題，本文將引入列向量獨立分解的貝葉斯變分假設(shè)［11］，從而使得信號空間矩陣和稀疏信號矩陣成功解耦。

2.1 SBL建模

根據(jù)傳統(tǒng)的稀疏貝葉斯模型，有

2.2 變分貝葉斯推斷

2.3 網(wǎng)格更新

由此，獲得了一個離網(wǎng)模型［9］

2.4 分析與討論

本文所提方法計算復(fù)雜度的分析如下：（1）在更新式（23）中的U和Σ時，計算復(fù)雜度分別為在更新式（26，29，32，38）中的因此，本文所提方法在每一次迭代過程中總的計算復(fù)雜度為這與文獻［9，10］中的方法具有相同的計算復(fù)雜度，如表1所示。然而，值得注意的是：（1）本文所提方法涉及到的矩陣運算均為實值運算。因此，與原始的Off?grid SBL方法相比，本文所提方法可以節(jié)省大量的計算。（2）雖然本文所提方法與文獻［10］中的Real?valued SBL方法均為實值估計方法，具有相同的計算量。但是，本文所提方法能夠表現(xiàn)出較為優(yōu)異的估計性能。

表1 計算復(fù)雜度對比Table 1 Computational complexity comparison

由于式（23，26，29）的更新規(guī)則僅與U、Σ、?以及有關(guān)，所以只需要更新這幾個參數(shù)即可。根據(jù)文獻［19］提出的參數(shù)化轉(zhuǎn)換方法，對應(yīng)的子參數(shù)優(yōu)化問題可表示為

式中上標(?)()i表示第i次迭代對應(yīng)的值。根據(jù)文獻［20］中的定理2?b，交替優(yōu)化算法生成的迭代序列收斂到優(yōu)化問題（19）的一個鞍點解。

3 仿真結(jié)果與分析

將本文方法與下面4種方法進行比較：DFT方法［5，21］、Overcomplete DFT方法［8］、Off?grid SBL方法［9］以及Real?valued SBL方法［10］。3GPP空間信道模型（Spatial channel model，SCM）［13］將用于生成CSI，下行鏈路的頻率為2 170 MHz。為了確保信道估計結(jié)果具有統(tǒng)計特性，定義信道估計的標準化均方誤差（Normalized mean square error，NMSE）為

在實驗1中，假設(shè)基站由配有100個陣元的ULA組成，每個MU配備了4根天線。圖1中所有的結(jié)果對應(yīng)于500次Monte Carlo實驗的平均值，每一次實驗均在-90°~90°之間隨機產(chǎn)生2個散射簇，且每個散射簇有10個子路徑。將信噪比（Signal?to?noise rate，SNR）固定在0 d B。除了DFT方法外，其他方法的網(wǎng)格點數(shù)固定取值為150或200。圖1給了不同算法的NMSE隨訓(xùn)練導(dǎo)頻數(shù)的變化情況。根據(jù)仿真實驗結(jié)果可知，所有方法的NMSE都是隨著訓(xùn)練導(dǎo)頻數(shù)的增大而減小，其中DFT方法的性能最差，Overcomplete DFT方法次之。由于所提方法與現(xiàn)有SBL方法（Off?grid SBL方法、Real?valued SBL方法）均采用了離網(wǎng)模型，所以能夠表現(xiàn)出較為優(yōu)異的性能。特別是所提方法將信號空間矩陣看成一個變量，在估計過程中自適應(yīng)地調(diào)整信號空間矩陣，有效地增強了信道估計性能。

圖1 不同算法的NMSE隨訓(xùn)練導(dǎo)頻數(shù)變化情況Fig.1 NMSE curves of different algorithms versus number of training pilots

在實驗2中，除了將訓(xùn)練導(dǎo)頻數(shù)固定在50，其他所有的實驗條件與實驗1相同。圖2給了不同算法的NMSE隨網(wǎng)格點數(shù)的變化情況。除DFT方法外，由于其余方法均采用了離網(wǎng)模型，所以其NMSE均隨著網(wǎng)格點數(shù)的增大而呈現(xiàn)下降趨勢。但從仿真結(jié)果可以看出，本文所提方法與現(xiàn)有SBL方法在處理方向不匹配問題上表現(xiàn)更為優(yōu)異?？傮w來看，不管網(wǎng)格點的個數(shù)取多少，本文所提方法都會表現(xiàn)出比較優(yōu)異的信道估計性能。

圖2 不同算法的NMSE隨網(wǎng)格點變化情況Fig.2 NMSE curves of different algorithms versus number of grid points

在實驗3中，除了將訓(xùn)練導(dǎo)頻數(shù)和網(wǎng)格點數(shù)分別固定在50和150，其他所有的實驗條件保持不變。圖3給了不同算法的NMSE隨用戶天線數(shù)的變化情況。仿真結(jié)果表明，DFT方法的性能最差，Over?complete DFT方法次之，且這兩種方法的表現(xiàn)性能不受用戶天線數(shù)量的影響?；赟BL估計方法的NMSE均隨著用戶天線數(shù)量的增多而減小，Real?valued SBL方法較好于Off?grid SBL方法，本文所提方法估計性能顯著優(yōu)于其他方法。

圖3 不同算法的NMSE隨用戶天線數(shù)變化情況（Nc=2）Fig.3 NMSE curves of different algorithms versus num?ber of user antennas with(Nc=2)

在實驗4中，除了將訓(xùn)練導(dǎo)頻數(shù)、網(wǎng)格點數(shù)和用戶天線數(shù)分別固定在50、150和4，其他所有的實驗條件保持不變。圖4給了不同算法的NMSE隨信噪比的變化情況。仿真結(jié)果表明，Real?valued SBL方法和Off?grid SBL方法在高信噪比時的估計性能表現(xiàn)優(yōu)異，在低信噪比時的估計性能低于DFT方法和Overcomplete DFT方法。本文所提方法估計性能在低信噪比時顯著優(yōu)于其他方法，在高信噪比時與Real?valued SBL方法和Off?grid SBL方法的性能表現(xiàn)基本持平。

圖4 不同算法的NMSE隨信噪比變化情況（Nc=2）Fig.4 NMSE curves of different algorithms versus SNR with(Nc=2）

4 結(jié)束語

針對大規(guī)模MIMO系統(tǒng)下行信道估計中信號空間只能近似計算獲得、不可避免地帶來性能損失的問題，提出了一種具有較小計算復(fù)雜度的新實值化信道估計方法。該方法的主要思想是將信號空間矩陣看成一個變量，在估計過程中自適應(yīng)地調(diào)整信號空間矩陣。為了解決信號空間矩陣和稀疏信號矩陣高度耦合的難題，進一步引入列向量獨立分解的貝葉斯變分假設(shè)，成功將信號空間矩陣和稀疏信號矩陣解耦。實驗結(jié)果表明，基于變分貝葉斯推斷的新實值信道估計算法具有較優(yōu)的性能。