張 軍，趙林玉，羅德昌

(1.安徽理工大學人工智能學院，安徽省淮南市泰豐大街168號 232001；2.安徽理工大學機械工程學院，安徽省淮南市泰豐大街168號 232001)

弦類樂器是依靠琴弦振動來的發(fā)聲，并借助于共鳴箱加以放大。國內外學者對弦類樂器的發(fā)聲原理進行了很多研究，Ahmed,SA等[1]人通過研究樂器材料在不同的濕度環(huán)境下對樂器振動特性的影響；Debut V等[2]人建立吉他的模型，對模型進行弦的張力計算和共鳴箱的有限元分析。Kusumaningtyas I等[3]人研究不同前面板材料下的吉他的聲學特性，發(fā)現(xiàn)培東竹作為吉他前面板的材料最合適。國內學者陳超[4]對吉他進行實驗研究，將實驗與有限元結果進行了比較，說明了聲音采集系統(tǒng)的可靠性；矯盼盼[5]搭建雙高速相機非接觸式光學測量系統(tǒng)，測量在撥弦狀態(tài)下吉他標定點的琴弦上的振動特性，證明了纏弦振動衰減緩慢。

壓電阻抗技術的應用領域主要在結構損傷識別和結構健康檢測上。為驗證該技術在樂器領域研究的可行性，文中通過有限元分析軟件對吉他共鳴箱音孔大小、共鳴箱的前面板厚度及材料和弦的張力、直徑、有效長度進行變量控制，分析得出這些變量對吉他本身的影響，可以靠這些變量進行結構優(yōu)化，然后搭建吉他的壓電阻抗和聲學實驗進行模態(tài)頻率驗證，最后應用各弦的模態(tài)頻率進行弦直徑的預測，得出壓電阻抗技術可以用于改善吉他的振動特性的結論。

1 壓電阻抗技術(簡稱EMI技術)

1.1 結構壓電耦合電阻抗原理

壓電效應是壓電材料在電場的作用下發(fā)生極化現(xiàn)象，內部電荷發(fā)生移動。去除電場后，壓電材料內部仍存在極化電荷，這使得壓電材料具有了壓電效應[6-9]。當有力加在壓電元件上時，將引起壓電元件內部電荷發(fā)生相對運動產生電信號，這種將壓電材料由機械能轉換成電能的現(xiàn)象稱為正壓電效應，相反，當在壓電元件表面上施加電壓，導致壓電元件的機械變形，這種將壓電材料由電能轉換成機械能的現(xiàn)象稱為逆壓電效應。壓電阻抗技術就是運用了壓電的逆效應現(xiàn)象。

由于文中的PZT壓電陶瓷片既要做接收器同時又要做發(fā)射器，因此選擇PZT-4。

以PZT-4和單自由度SMD系統(tǒng)進行結構壓電耦合對壓電耦合后電阻抗原理進行闡述，原理如圖1所示。

圖1 PZT-4與單自由度SMD系統(tǒng)耦合模型Fig.1 Coupling model of PZT-4 and single-degree-of-freedom SMD system

PZT-4的電阻抗Z的表達式為[10-13]

(1)

通過公式推導，結構壓電耦合后電阻抗與PZT片尺寸、自身機械阻抗、結構機械阻抗、激振頻率都存在一定的關系。

1.2 弦的振動理論

弦的簡化模型如圖2所示[14]。

圖2 弦的理想化模型Fig.2 An idealized model of a string

弦傳播振動時所發(fā)出聲波的基頻頻率

(2)

式中，T為琴弦受到的張力；P為弦的線密度；L為弦的有效弦長。

弦的線密度為

(3)

式中：d為弦的直徑；ρ為弦的密度。

聲波的基頻頻率可以表示為

(4)

通過轉化得出張力T的表達式

T=f2d2L2πρ

(5)

通過以上公式可得出弦的固有頻率與弦的張力、直徑和有效弦長有關，為后文仿真的變量設置提供理論基礎。

1.3 吉他共鳴箱的振動理論

通過把吉他共鳴箱模型的振動形式簡化為一個二維自由度模型[15]，其簡化后的模型如圖3所示：

圖3 吉他共鳴箱的二自由度模型Fig.3 2-DOF model of guitar sound box

吉他共鳴箱的簡化模型的振動方程可表示為：

(6)

式中，mp為共鳴箱前面板質量；mh為空氣的質量；kp為前面板的剛度；Ap為前面板的有效面積；Ah為音孔的面積；μ為比例系數(shù)；F為琴弦通過琴碼傳遞給共鳴箱的等效力。

由公式(6)得到共鳴箱的振動影響因素與前面板的質量、有效面積，音孔的大小有關，共鳴箱所使用的材料、自身的結構也會影響其振動特性，為后文吉他共鳴箱的模態(tài)分析設置變量提供依據。

2 吉他的結構有限元分析優(yōu)化

2.1 弦的諧響應分析

吉他弦的基頻通過理論音高由十二平均律計算，標準音高a1的頻率為440.0000Hz，計算出的音高和頻率如表1所示：

表1 各弦在空弦時的音高和頻率

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

圖41-6弦的諧響應結果

Fig.4Theharmonicresponseresultsof1-6strings

由圖4所示，1-6弦出現(xiàn)峰值的頻率點分別是330Hz，250Hz，195Hz，150Hz，110Hz，85Hz為基本頻率，比表1理論計算出的各弦頻率基本吻合。觀察各弦的其他峰值，分別為各弦基頻的倍數(shù)形式出現(xiàn)，這是因為弦在振動中基頻決定音高，弦的音色通過諧音列決定，在仿真過程中施加力的點是人為確定的，因此出現(xiàn)這種倍頻現(xiàn)象。

2.2 弦的仿真實驗分析優(yōu)化

實驗以吉他為例，它的有效弦長為648mm，弦枕和弦柱的距離約為62mm，弦的總長為710mm。

將其帶入到公式(6)中得出1-6弦的張力如表2所示。

表2 1-6弦的張力理論計算值Tab.2 Theoretical calculation values of the tension of strings 1-6

為驗證弦固有頻率的影響因素，下面以1弦為例，設置以下三個變量實驗運用Workbench進行模態(tài)試驗，首先模型的建立與諧響應分析一致，導入到Workbench中后進行材料設置，網格的劃分，邊界條件為一端固定，另一端施加一個Z軸方向的張力，模態(tài)仿真實驗通過得到的結果取前6階，通過origin繪制出圖形。

實驗1：在處于空弦時保證它的張力為標準值且其他結構尺寸保持不變，在solidworks中改變弦的直徑分別為0.3mm，0.4mm，0.6mm，0.8mm，1.0mm以及1.3mm進行模態(tài)試驗，結果如圖5所示。

圖5 弦直徑的影響Fig.5 Influence of chord diameter

實驗2：在保證弦的張力和直徑不變的情況下，改變弦長分別為670.2mm、632.6mm、597.1mm、563.6mm、532.1mm和502.1mm進行模態(tài)試驗，結果如圖6所示。

圖6 弦長度的影響Fig.6 Effect of chord length

實驗3：保證弦的直徑、長度不變，將張力分別設置為101.26N，111.26N，121.26N，131.26N，141.26N，151.26N進行模態(tài)試驗，結果如圖7所示。

圖7 弦張力的影響Fig.7 The effect of string tension

由圖5、圖6、圖7可知，弦的直徑越大，弦的固有振動頻率就越小；弦的長度越長，弦的固有振動頻率就越小。弦所受的張力越大，弦的固有振動頻率就越大。當共鳴箱一定時，可適當調整弦的直徑、長度、張力使得共鳴箱達到較好得放大效果。

2.3 共鳴箱的仿真實驗分析優(yōu)化

在共鳴箱的振動理論中可知，共鳴箱的固有頻率與共鳴箱的材料、前面板的厚度、音孔的大小有關。為驗證理論的正確性，下面設置三組共鳴箱的變量模態(tài)實驗，模態(tài)仿真的流程和弦一致，其中模態(tài)結果取前30階。通過origin軟件繪制出圖形，實驗如下：

實驗4：變共鳴箱的材料的模態(tài)實驗，實驗選用輕木、云杉、松木和白蠟木四種材料進行模態(tài)試驗，得到的結果如圖8所示。其中材料的基本參數(shù)如表3所示。

表3 材料的基本參數(shù)

圖8 材料的影響Fig.8 Effect of materials

實驗5：變前面板厚度的模態(tài)實驗，保證其他因素一致，改變前面板的厚度分別為5mm、10mm、15mm以及20mm后進行模態(tài)分析，得到的結果如圖9所示。

圖9 前面板厚度的影響Fig.9 Influence of front panel thickness

實驗6：變音孔大小的模態(tài)實驗，保證其他因素一致，改變音孔的直徑大小分別為80mm，100mm，120mm，140mm后對共鳴箱進行模態(tài)分析，得到的結果如圖10所示。

圖10 音孔直徑的影響Fig.10 Influence of sound hole diameter

由以上實驗得出以下結論：

實驗4：如圖8所示，其他因素保持一致時，共鳴箱的模態(tài)頻率隨著輕木、云杉、松木和白蠟木的順序逐漸升高，當共鳴箱的材料為白蠟木時，它的音域范圍也會增加。為了保證弦類樂器的低音品質，可用輕木進行制作；為了保證弦類樂器的高音品質，可用白蠟木進行制作。

實驗5：如圖9所示，其他因素保持一致的情況時，共鳴箱的模態(tài)頻率隨吉他前面板厚度的增加而增加。已知剛度與模態(tài)頻率成正比，當厚度增加時，自身的剛度也會增加，即模態(tài)頻率也會增加。在厚度為10mm、15mm、20mm時它們的變化程度有所減小，這是由于厚度增加的同時，它的重量也在增加，已知重量與模態(tài)頻率成反比，因此出現(xiàn)變化量減小的現(xiàn)象。為了保證弦類樂器的低音品質，可用適當降低面板厚度，為了保證弦類樂器的高音品質，可用適當增加面板厚度。

實驗6：如圖10所示，其他因素保持一致的情況時，音孔的直徑大小對共鳴箱模態(tài)頻率幾乎沒有影響。音孔的主要作用是在琴弦振動時，可以將振動通過空氣介質順利地傳播到共鳴箱內后與共鳴箱產生共振，從而起到共鳴箱地放大作用，但在圖中共鳴箱地模態(tài)頻率變化不大是因為微調音孔直徑對共鳴箱及箱內的空氣影響不大。

2.4 共鳴箱的模態(tài)仿真實驗

通過十二平均律可以確定6根弦的振動頻率主要在0～1000Hz之間，這點也可以從6根弦的諧響應分析中看出，因此在用workbench對吉他進行模態(tài)實驗時，只取處于這個頻率之間的模態(tài)頻率。

當6根弦的振動頻率點與共鳴箱的模態(tài)頻率點對應時共鳴箱可以產生較好的聲音放大效果。

2.5 共鳴箱的壓電耦合仿真

在進行共鳴箱的壓電耦合仿真時，吉他上貼上PZT-4后在PZT-4的外表面施加1V電壓，內表面施加0V電壓后進行諧響應仿真，其中掃頻的范圍為0～1000Hz,由于PZT-4的極化方向為Z軸，所以得到的結果以Z軸為準，結果如圖11所示：

圖11 共鳴箱的諧響應結果Fig.11 Harmonic response results of the sound box

由圖11可知，在頻率點120.09Hz，225.08Hz，275.07Hz，320.07Hz，360.06Hz，370.06Hz，580.04Hz，650.04Hz，720.03Hz，750.02Hz，845.02Hz，910.01Hz，965Hz,在共鳴箱的模態(tài)頻率中都有很好的對應，可以得出了仿真實驗的正確性，也可以得出共鳴箱在這些頻率點處有較好得放大效果。

3 壓電阻抗技術的吉他振動特性實驗

3.1 吉他聲學實驗

實驗器材：吉他、聲級計、高速數(shù)據采集卡、計算機以及LabVIEW可視化程序。

實驗主要通過撥弦的方式使吉他發(fā)出聲音，然后聲級計測量將聲音信號轉換為電信號，最后由高速采集卡將聲級計的數(shù)據返回上位機軟件，經過快速傅里葉變換將時域信號變?yōu)轭l域信號，搭建的聲學實驗平臺如圖12。實驗以吉他1弦為例做聲學實驗，得出的結果如圖13所示：

圖12 聲學實驗平臺Fig.12 Acoustic experimental platform

圖13 1弦空弦頻譜圖Fig.13 Spectrum of empty strings of 1 string

通過聲學實驗得出的結果可知，出現(xiàn)峰值的頻率點分別為323.33Hz，646.67Hz，971.11Hz，對比諧響應分析出的出現(xiàn)峰值的頻率點330Hz，660Hz，990Hz，幾乎對應，存在的誤差原因是聲學實驗對環(huán)境的要求較高，實驗過程中達不到，此處也驗證實驗和仿真的一致性。

3.2 共鳴箱壓電阻抗實驗

實驗儀器：被測吉他、PZT片、WK6500B阻抗儀、導電銀膠、電焊臺、鉛絲及導線若干。

實驗步驟：首先將魚鰾膠均勻涂抹在方形銅箔片上后將其粘貼在吉他的指定位置上，然后在PZT片上均勻地涂抹上導電銀膠和硬化劑的混合膠體，將PZT片貼在方形銅箔片上。等到膠體完全凝固后，用電烙鐵在方形銅箔上和PZT片上分別焊接上導線后并將導線的另一端連接在阻抗分析儀上；實驗前設置好相關參數(shù)后進行實驗，每組數(shù)據應該多做幾遍，比較結果；將實驗數(shù)據導出保存后，用Origin繪制實驗所得的阻抗頻譜圖。阻抗實驗如14所示。

吉他共鳴箱的最低音為56.96Hz，由此劃分出吉他的低音區(qū)為20～100Hz，之后將100～1000Hz均分為3個音區(qū)，即100～400Hz為吉他的中音區(qū)，400～700Hz為吉他的高音一區(qū)，700～1000Hz為吉他的高音二區(qū)。以上劃分出的4個音區(qū)通過WK6500B阻抗儀掃頻出的阻抗圖如圖15所示。

圖14 吉他的阻抗實驗平臺Fig.14 An impedance test platform for guitar

(a) (b)

(c)

(d)

實驗結論：

圖15依次為吉他的低音區(qū)、中音區(qū)、高音一區(qū)和高音二區(qū)。

從低音區(qū)的阻抗圖中可以看出，在0～100Hz范圍內由于儀器受到工頻信號的干擾較大，不能較好的反映出實質問題，故不作討論，以下主要討論中音區(qū)、高音一區(qū)和高音二區(qū)。

由壓電效應可知當機械阻抗發(fā)生明顯的變化則被測結構得到的振幅應該增強或變弱，即電阻抗變化處的頻率為被測結構的固有頻率。從吉他共鳴箱的中音區(qū)和高音一區(qū)的阻抗圖中可以看出，該頻率段雖然也受到外界因素的影響但也可以看出在280～300Hz，416～433Hz，433～450Hz，468～480Hz，480～500Hz，576～590Hz，640～673Hz，680～700Hz頻率范圍內產生共振現(xiàn)象，說明共鳴箱在這8個頻率段內的頻率對共鳴箱起到聲音放大的作用，其效果很好。

從高音二區(qū)中的阻抗圖中可以看出，在700～740Hz，920～980Hz這2個頻率段內的產生共振效果明顯且幅值較大，說明共鳴箱在這2個頻率段內有很好的聲音放大作用。

4 BP神經網絡預測

BP神經網絡又稱前饋神經網絡，它的優(yōu)點在于可以通過自身的訓練，確定輸入和輸出之間存在的關系，從而達到在給定輸入時可以得到最接近的期望輸出值。它屬于智能信息處理系統(tǒng)的一種，它的主要思想時利用梯度下降法，使得網絡的實際輸出值和期望輸出的誤差均方根最小[16]。

用matlab進行神經網絡的搭建，主要包括數(shù)據的輸入，歸一化處理、網絡參數(shù)的設置、訓練、預測、反歸一化。

以6根弦的直徑為變量，變量的值依次變化0.02mm后進行模態(tài)試驗得出45組數(shù)據，其中40組為訓練5組為預測。流程如圖16所示。

圖16 網絡流程圖Fig.16 Network flow chart

經過訓練最后得出測試的結果如圖17、圖18所示。

圖17 訓練結果Fig.17 Training results

圖18 測試結果Fig.18 The test results

由圖17、圖18可以看出預測和實際的值吻合度很高，通過BP神經網絡的預測如表4可知，最大的誤差為4.07%，其他誤差都較小，這說明了BP神經網絡對弦直徑進行識別。

表4 弦直徑預測與實際對比

5 結論

以吉他為研究對象，借助于EMI技術，得到了影響吉他共鳴箱的聲學特性相關影響因素，驗證了EMI技術在弦類樂器制作領域應用的可行性，得到了以下結論：

(1)影響吉他共鳴箱固有頻率的主要因素包括：共鳴箱的材料、前面板厚度，其中，共鳴箱的模態(tài)頻率隨著木材的密度及面板的厚度的增加而增加。因此，可以通過提高弦類樂器面板材料的密度、增加面板的厚度等方式來提高弦類樂器的高音特性；可以通過減小弦類樂器面板材料的密度、減小其面板的厚度等方式來改善弦類樂器的低音特性。影響弦固有振動頻率的主要因素為弦的直徑、張力和有效弦長，在共鳴箱一定的情況下可以適當修改弦的直徑張力和有效弦長進行聲音的放大。

(2)在壓電阻抗實驗中可以得出，吉他共鳴箱在280～300Hz，416～433Hz，433～450Hz，468～480Hz，480～500Hz，576～590Hz，640～673Hz，680～700Hz，700～740Hz，920～980Hz區(qū)域內的頻率信號能讓共鳴箱起到較好的放大效果，微調吉他的主要邊界參數(shù)，共鳴箱的放大作用非常顯著。

(3)通過BP神經網絡對弦的直徑進行預測時，結果可知BP神經網絡可以對弦的直徑進行識別。

(4)研究為其他弦類樂器的設計提供了依據。