孟 瑩 丁 虎 陳立群，2)

* (上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，上海 200444)

? (上海大學(xué)上海市能源工程力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200444)

** (上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072)

引言

近年來，低功耗電子設(shè)備和無線傳感器網(wǎng)絡(luò)在民用和軍事領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-2].然而，這些設(shè)備大多依靠電池作為電源，到目前為止，化學(xué)電池仍有許多問題待解決，例如壽命短、體積大、對環(huán)境污染嚴(yán)重.此外，更換電池或?yàn)殡姵爻潆姺浅Ｂ闊?，有時(shí)甚至不切實(shí)際，例如人體內(nèi)部的傳感器[3-4].因此，為了避免更換電池，延長設(shè)備使用壽命，用于自供電的能量采集技術(shù)得到廣泛應(yīng)用.

目前，機(jī)械振動(dòng)[5]由于不易受自然環(huán)境影響，且儲量豐富，是當(dāng)前最具吸引力的能源選擇.根據(jù)轉(zhuǎn)換方法的不同，機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能的方法可分為壓電[6]、電磁[7]和靜電[8]轉(zhuǎn)換.壓電能量采集技術(shù)因其強(qiáng)大的機(jī)電耦合效應(yīng)、能量轉(zhuǎn)換效率高和結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點(diǎn)，成為最具有潛力的電池替代品.因此，在本研究中，選擇壓電轉(zhuǎn)換作為能量采集方法.

隨著能量采集技術(shù)的發(fā)展，懸臂梁結(jié)構(gòu)受到普遍關(guān)注[9-12].與懸臂梁結(jié)構(gòu)相比，壓電圓板因其軸對稱結(jié)構(gòu)和雙向應(yīng)變等優(yōu)勢吸引了研究者的關(guān)注[13-14].例如，一些學(xué)者研究了承受壓力波動(dòng)的壓電圓板能量采集器的采集性能[15-17]，這些研究為參數(shù)優(yōu)化提供了有用的設(shè)計(jì)工具.Yuan 等[18]基于壓電控制方程，推導(dǎo)出壓電鼓式換能器在彎曲模式下的解析解，分析了換能器采集振動(dòng)能量的性能.Kan 等[19]利用Raleigh 方法建立了不同邊界的壓電圓板的解析模型，他們發(fā)現(xiàn)簡支邊界往往可以獲得更高的機(jī)電耦合系數(shù).Mohsen 和Hamid[20]研究了隨機(jī)激勵(lì)下固支壓電圓板能量采集器采集性能，成功將功率密度提高到3.2 mW/m2.

遺憾的是，上述文獻(xiàn)中能量采集器的固有頻率相較于低頻環(huán)境來說較高，導(dǎo)致了低發(fā)電效率.為了克服這個(gè)問題，Chen 等[21]，Palosaari 等[22]等發(fā)表了關(guān)于降低能量采集器固有頻率的評論，發(fā)現(xiàn)預(yù)應(yīng)力對于降低固有頻率和提高能量采集效率是必要的.基于上述發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)者對附加質(zhì)量的圓板能量采集器進(jìn)行了探究.一些文獻(xiàn)[23-27]借助于實(shí)驗(yàn)手段，采用不同的設(shè)計(jì)來提高能量采集器的采集性能.Liu等[23-24]分別將平坦的粘合區(qū)域更改為彎曲的粘合區(qū)域，將附加在中心的質(zhì)量塊更改為環(huán)形空心形狀，優(yōu)化了壓電圓板能量采集器的功率輸出.Han 等[25]發(fā)現(xiàn)，有凹槽的壓電圓板能量采集器相較于無凹槽的能量采集器，輸出功率明顯增加.Solovyev 和Duong[26]用ANSYS 和ACELAN 軟件對壓電雙晶圓板能量采集器建模，為設(shè)備的組裝技術(shù)提供指導(dǎo).值得注意的是，上述文獻(xiàn)均是通過實(shí)驗(yàn)或仿真完成，不能反映結(jié)構(gòu)參數(shù)與能量采集器采集性能的關(guān)系.因此，封閉形式的解析解是描述和優(yōu)化能量采集器的必要工具.Jiang 和Hu[27]使用壓電控制方程推導(dǎo)出中心帶有剛性質(zhì)量塊的雙晶壓電圓板能量采集器的解析解，結(jié)果表明調(diào)整參數(shù)可以提高能量采集器的采集性能.Yang 等[28-29]基于板振動(dòng)理論研究了附加質(zhì)量的壓電圓板的彎曲振動(dòng)，并通過仿真和實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證.

影響壓電圓板能量采集器的采集性能的參數(shù)有很多，包括基板厚度、半徑、質(zhì)量塊重量、壓電片外徑等.然而關(guān)于壓電片內(nèi)徑對能量采集器的采集性能的影響還鮮有報(bào)道.Xu 等[30]通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了壓電圓板能量采集器中的非均勻應(yīng)變分布會降低輸出功率.因此，他們減小壓電片尺寸并在中心挖孔，研究發(fā)現(xiàn)去除壓電片的低電壓輸出部分能夠提高采集效率.與上述文獻(xiàn)不同的是，本文使用能量法和有限元仿真來研究考慮附加質(zhì)量接觸面積的壓電圓板能量采集器的采集性能，并探究了壓電片內(nèi)徑對能量采集器采集性能的影響.

本文采用廣義哈密頓原理，推導(dǎo)出附加質(zhì)量的壓電圓板能量采集器的機(jī)電耦合方程，用伽遼金法對方程近似離散，通過離散方程得到輸出電壓、功率的閉合解.最后基于閉合解探討了負(fù)載阻抗、附加質(zhì)量塊、壓電板的內(nèi)、外徑對壓電能量采集器采集性能的影響，并用有限元仿真對結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證.以期為工程對象提供參考數(shù)據(jù).

1 壓電圓板能量采集器的理論模型

1.1 壓電圓板能量采集器機(jī)電耦合方程

由質(zhì)量塊和壓電復(fù)合板組成的能量采集器的剖視結(jié)構(gòu)如圖1 所示.復(fù)合板由兩個(gè)串聯(lián)的壓電陶瓷片鋪設(shè)在基板上組成，其中基層的半徑和厚度分別為rb和hb，壓電片內(nèi)、外半徑和厚度分別為rpi，rpo和hp.壓電復(fù)合板中心固定一個(gè)倒錐形質(zhì)量塊，質(zhì)量塊尖端半徑rm遠(yuǎn)小于復(fù)合板半徑，因此在理論建模中將質(zhì)量塊考慮為質(zhì)點(diǎn).基板被固支在振動(dòng)位移為y(t)基座上.

圖1 附加質(zhì)量塊的圓板能量采集器的剖面圖Fig.1 The cutaway view of the circular energy harvester considering proof mass

假設(shè)系統(tǒng)的撓度不足以引起非線性幾何項(xiàng)，考慮基礎(chǔ)位移的位移矢量為

式中，i和k分別表示沿r和z軸的單位向量.

基于基爾霍夫薄板理論，幾何方程為

遵循胡克定律，基板的物理方程為[20]

考慮壓電材料的壓電效應(yīng)，上壓電陶瓷的物理方程[31]

下壓電陶瓷的物理方程

z方向的電場強(qiáng)度與電壓之間的關(guān)系[31]

式中，v(t)為上下壓電板之間的電壓.

壓電圓板能量采集器的總動(dòng)能表示為[32]

式中，m0是附加質(zhì)量塊的質(zhì)量，m為壓電復(fù)合板單位面積的質(zhì)量，表示為

式中，ρb和ρp分別表示基板和壓電板的體積密度.

壓電圓板能量采集器的總勢能為[32]

串聯(lián)壓電陶瓷片的總電能為[32]

考慮內(nèi)部電能的廣義哈密頓原理為[31]

式中，δT，δU，δWie和δWnc分別為動(dòng)能、勢能、電能和非保守能的變分.在本研究中，由于在動(dòng)能中考慮了基礎(chǔ)激勵(lì)的影響，機(jī)械阻尼在后續(xù)研究中引入，因此非保守虛功為

將式(7)～ 式(9)和式(11)代入式(10)，忽略慣性矩和面內(nèi)慣性，機(jī)電耦合方程為

式中，RL表示負(fù)載阻抗;壓電陶瓷的電容

將橫向撓度假設(shè)為[33]

式中，qr(t)，φr(r) 分別表示r階模態(tài)坐標(biāo)和振型，考慮到由壓電片引起的幾何變化，φr(r) 可表示為(具體過程見附錄A)

將式(15)代入式(12)和式(14)，引入瑞利阻尼[31]，用伽遼金法對方程離散化得

式中，M，D=μΜ+γK，K分別表示質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，其中μ和γ是比例系數(shù)[31].θ和η分別代表反向耦合項(xiàng)和正向耦合項(xiàng)，表示為

1.2 電壓和功率輸出閉合解

式中，a和ω分別表示基礎(chǔ)激勵(lì)的加速度幅值和頻率.

基于線性機(jī)電假設(shè)，廣義坐標(biāo)和輸出電壓可表示為

式中，Θ，V分別表示響應(yīng)幅值和電壓幅值.

將式(19)、式(20)代入式(17)、式(18)，得到能量采集器在短路(RL→0)和斷路(RL→∞)狀態(tài)下的固有頻率、系統(tǒng)的響應(yīng)幅值和電壓幅值為

功率幅值可以定義為

2 結(jié)果與討論

本節(jié)，選擇黃銅為基體結(jié)構(gòu)，PZT-5H[31]為壓電層來研究附加質(zhì)量塊的壓電圓板能量采集器的采集性能.壓電圓板能量采集器的參數(shù)如表1 所示.

表1 圓板能量采集器的參數(shù)Table 1 The parameters of the circular energy harvester

2.1 收斂性研究

首先，收斂性研究來確定準(zhǔn)確預(yù)測出輸出電壓和功率的假設(shè)模態(tài)數(shù)量.圖2 繪制了不同模態(tài)數(shù)量對應(yīng)的電壓頻響圖，其他參數(shù)分別為rpi=2 mm，rpo=20 mm，RL=25 kΩ，m0=74.3 g 和a=0.1g.顯然，當(dāng)N≥ 3 時(shí)，結(jié)果趨于收斂，因此選擇N=3 進(jìn)行數(shù)值分析.

圖2 不同模態(tài)數(shù)下輸出電壓隨基礎(chǔ)激勵(lì)頻率變化Fig.2 The variation of the voltage output with base excitation frequency for different number of modes

2.2 有限元仿真和驗(yàn)證

為驗(yàn)證理論推導(dǎo)的正確性，采用有限元軟件COMSOL 建立了壓電圓板能量采集器有限元分析模型，如圖3 所示，其中，藍(lán)色和黃色分別表示壓電片和基體黃銅.接下來，使用壓電和固體力學(xué)模塊對壓電圓板能量采集器進(jìn)行模態(tài)分析，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析.

無附加質(zhì)量時(shí)圓板能量采集器固有頻率的解析計(jì)算與有限元計(jì)算結(jié)果對比，如表2 所示.從表2 中可以觀察到最大相對誤差為0.397%，這說明了理論計(jì)算與有限元計(jì)算結(jié)果高度一致，驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性.表3 總結(jié)了m0=74.3 g 時(shí)圓板能量采集器固有頻率的理論計(jì)算與有限元仿真結(jié)果，同時(shí)有限元仿真中考慮了附加質(zhì)量的接觸半徑，定義χ=rm/rb(質(zhì)量塊與壓電復(fù)合板的接觸半徑與基板半徑比值).分析可得，當(dāng)χ=1/28 時(shí)，最大相對誤差為1.141%，當(dāng)χ=1/14 時(shí)，最大相對誤差增大至5.87%.表明相對誤差隨著質(zhì)量塊與復(fù)合板的接觸半徑的增加而增加.產(chǎn)生誤差的主要原因是在理論模型中，將質(zhì)量塊考慮為中心質(zhì)點(diǎn)，而實(shí)際模型中，質(zhì)量塊與復(fù)合板的接觸半徑會影響能量采集器的固有頻率.綜上所述，隨著質(zhì)量塊與復(fù)合板接觸半徑的減小，理論模型和有限元模型一致性增強(qiáng).

表3 m0=74.3 g 時(shí)壓電圓板能量采集器的固有頻率理論值與仿真比較Table 3 Comparison of natural frequency of circular energy harvester with m0=74.3 g from theory and simulation

2.3 參數(shù)對能量采集器采集性能的影響

附加質(zhì)量塊的壓電圓板能量采集器的解析解是必不可少的，它可以根據(jù)具體的要求快速設(shè)計(jì)采集器.本節(jié)基于閉合解探討負(fù)載阻抗、附加質(zhì)量、壓電板的內(nèi)外徑對能量采集器采集性能的影響，并通過有限元仿真進(jìn)行驗(yàn)證.在有限元仿真中質(zhì)量塊與壓電復(fù)合板的接觸半徑rm=1 mm.

圖4 繪制了在短路和斷路共振頻率處激勵(lì)時(shí)，電壓和功率隨負(fù)載阻抗的變化，其余參數(shù)分別為rpi=0 mm，rpo=20 mm，a=0.1g，m0=74.3 g.給出的結(jié)果表明理論解(線)與有限元解(空心點(diǎn))高度一致.分析可知，給定基礎(chǔ)激勵(lì)頻率，電壓隨負(fù)載阻抗的增大而單調(diào)升高，進(jìn)而趨于穩(wěn)定.輸出功率先增大再降低，且不同基礎(chǔ)激勵(lì)頻率下系統(tǒng)的最優(yōu)阻抗也不同，通過方程(25)得到最優(yōu)阻抗.從圖4 中還可以觀察到，負(fù)載阻抗較小時(shí)，由于系統(tǒng)接近于短路，因而短路共振頻率激勵(lì)下(f=109.76 Hz) 的輸出電壓和功率相對較高.隨負(fù)載阻抗的增大，曲線交于RL=20.5 kΩ處，此時(shí)電壓和功率相等，越過該點(diǎn)后，由于負(fù)載阻抗較大，系統(tǒng)接近開路狀態(tài)，斷路共振頻率激勵(lì)下(f=125.56 Hz)的電壓和功率較大.

圖4 負(fù)載阻抗對輸出電壓和功率的影響Fig.4 The effect of the load resistance on the output voltage and power

附加質(zhì)量對壓電能量采集器輸出電壓和功率的影響如圖5 所示，其余參數(shù)分別為rpi=0 mm，rpo=20 mm，a=0.1g，RL=25 kΩ.顯然，與無質(zhì)量塊相比，附加20 g 質(zhì)量塊的能量采集器固有頻率從661.38 Hz 降低到228.228 Hz，輸出電壓和功率分別增長了187.74%和724.21%.這表明質(zhì)量荷載能夠有效降低采集器的固有頻率和增加其采集性能.然而，增加質(zhì)量荷載對提高采集器的采集性能是有限制的，具體而言，附加40 g 質(zhì)量塊的能量采集器輸出電壓和功率相較于20 g，分別提升了40% 和97%;而附加60 g 質(zhì)量塊的能量采集器的輸出電壓和功率相較于40 g，分別提升了23%和52%.顯然隨著質(zhì)量塊重量的提升，電壓和功率輸出增長率降低.且過重的質(zhì)量塊容易造成壓電陶瓷板破裂.

圖5 附加質(zhì)量對能量采集器采集性能的影響Fig.5 The influence of the mass on the harvesting performance of the energy harvester

壓電片外半徑對固有頻率、最大輸出電壓和功率的影響如圖6 所示，定義λ=rpo/rb(壓電片外半徑與基板半徑比值)，其余參數(shù)分別為rpi=0，a=0.1g，RL=25 kΩ，m0=74.3 g.圖6(a)顯示，能量采集器的固有頻率隨外半徑的增加而增大，當(dāng)λ大于0.928時(shí)，固有頻率斜率增大.圖6(b)和圖6(c)描繪了最大輸出電壓和功率隨λ的變化.顯然，在λ∈ (0.4，0.58)區(qū)域內(nèi)，隨λ的增加，最大輸出電壓和功率增加;在λ∈ (0.57，0.9)的區(qū)域內(nèi)，最大輸出電壓和功率隨著λ增大變化幅度較小;在λ∈ (0.9，1)區(qū)域內(nèi)，隨λ的增加，最大輸出電壓和功率降低，當(dāng)λ=1 時(shí)，最大輸出電壓和功率均為0.也就是說，完全覆蓋壓電層的固支圓板不能用作能量采集器，在文獻(xiàn)[15]中也發(fā)現(xiàn)了相同的現(xiàn)象.綜上所述，給定壓電片內(nèi)徑，在λ∈(0.55，0.62)區(qū)域內(nèi)，既可以降低能量采集器的固有頻率，又可以收獲較高的輸出電壓和功率.

圖6 壓電片外徑對能量采集器的固有頻率、最大輸出電壓和功率的影響Fig.6 The effect of the outer radius of the piezoelectric plate on the natural frequency，maximum output voltage and power of the energy harvester

圖7(a)和圖7(b)繪制了不同的外半徑下，最大輸出電壓和功率隨壓電板內(nèi)徑的變化.其余參數(shù)分別為m0=74.3 g，a=0.1g，RL=25 kΩ.分析可得，給定壓電片外徑，隨著內(nèi)徑的增大，最大電壓和功率的輸出先增大再降低.為了更具體地說明壓電片內(nèi)徑對能量采集器性能的影響，以外徑為20 mm 的壓電圓板為例具體分析，如圖7(c)和圖7(d)所示.隨著內(nèi)徑的增大，共振頻率降低，最大輸出功率和電壓增加，直至內(nèi)徑為3.5 mm，此時(shí)，共振頻率為100.6 Hz，輸出功率和電壓分別達(dá)到最大值0.313 mW 和2.797 4 V.隨著內(nèi)徑的進(jìn)一步增大，共振頻率持續(xù)降低，輸出電壓和功率開始下降.因此，相較于無孔的壓電片，內(nèi)徑位于2.5～ 4 mm 范圍內(nèi)的壓電片可以提高能量采集器的采集性能.

圖7 壓電片內(nèi)半徑對能量采集器采集性能的影響Fig.7 The effect of the inner radius of the piezoelectric plate on the harvesting performance of energy harvester

3 結(jié)論

基于基爾霍夫薄板理論，應(yīng)用廣義哈密頓原理建立了附加質(zhì)量塊的壓電圓板能量采集器的理論模型.采用數(shù)值分析和有限元仿真研究各參數(shù)對壓電圓板能量采集器的采集性能的影響.得到以下結(jié)論.

(1) 隨著質(zhì)量塊與復(fù)合板接觸半徑的減小，理論模型和有限元模型一致性增強(qiáng).

(2) 能量采集器的輸出電壓、功率受負(fù)載阻抗、附加質(zhì)量、壓電片內(nèi)外徑等的綜合影響.隨負(fù)載阻抗的增加，能量采集器的輸出電壓增加，直至趨于穩(wěn)定，輸出功率先增加再降低.不同基礎(chǔ)激勵(lì)頻率下系統(tǒng)的最優(yōu)阻抗也不同.

(3) 質(zhì)量塊的引入有效降低了能量采集器的固有頻率，提高了其采集性能.與無質(zhì)量塊相比，附加20g 質(zhì)量塊的能量采集器固有頻率降低了65%，輸出電壓和功率分別增長了187.74%和724.21%.

(4) 壓電片外徑的增加會增大能量采集器的固有頻率.設(shè)置壓電片內(nèi)徑為0，在λ∈ (0.55，0.62)區(qū)域內(nèi)，能量采集器的采集性能相對較高.

(5) 相較于無孔的壓電片，壓電片內(nèi)徑的合理選擇不僅可以降低能量采集器的固有頻率，還可以提高其采集性能.

附錄A

為得到壓電復(fù)合板的振型，將壓電復(fù)合板分為3 部分，每部分的力學(xué)行為和邊界條件如圖A1 所示.

式中J0，Y0，K0和I0均為零階貝塞爾函數(shù).

r=rpi處的邊界條件為