解玲蘭

摘 要 大概念內(nèi)涵豐富、形式抽象，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要的意義和價值。大概念包括核心概念和共通概念，主要有金字塔型、樹狀型以及網(wǎng)絡(luò)型三種。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)大概念、理解大概念、應(yīng)用大概念、遷移大概念，應(yīng)用大問題驅(qū)動、大主題統(tǒng)領(lǐng)、大結(jié)構(gòu)整合等方式，助推學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞 小學(xué)數(shù)學(xué) “大概念”教學(xué) 教學(xué)路徑

大概念不僅表現(xiàn)為概念的外延廣，更表現(xiàn)為概念的內(nèi)涵深。大概念不同于數(shù)學(xué)學(xué)科中的概念，而是一種認(rèn)知框架。大概念具有整合作用，并能將學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容進行有效遷移。在教育學(xué)的歷史上，大概念的提出可謂久遠(yuǎn)，如布魯納的“基本概念”“一概念”、奧蘇貝爾的“要領(lǐng)概念”、懷特海的“惰性概念”等[1]。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，大概念具有統(tǒng)攝作用和功能，它能統(tǒng)攝很多的小概念。一般來說，大概念具有廣泛的遷移性、普適性等特性。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要研究大概念，充分地應(yīng)用大概念，借助大概念落實數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。

一、數(shù)學(xué)大概念內(nèi)涵及外延

大概念是指“適用于解釋、預(yù)測較大范圍的學(xué)科知識的一些概念”。數(shù)學(xué)大概念具有較高的抽象性，它兼有方法論、認(rèn)識論的意義。大概念具有中心性、網(wǎng)絡(luò)性的特質(zhì)。換言之，大概念集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的學(xué)科本質(zhì)。在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，大概念不同于具體的概念，它包括概念、觀念、論題等。大概念還具有一種層次性、相對性的特質(zhì)，從大到小、從高到低依次可以分為課程大概念、學(xué)段知識大概念、單元大概念、章節(jié)大概念、課時大概念等。

大概念一般來說包括兩個層面的內(nèi)容：其一是核心概念，其二是共通概念。核心概念是指“學(xué)科知識中發(fā)揮關(guān)鍵作用的一些概念，這些概念往往是學(xué)科的基石，它們能將相關(guān)的知識集結(jié)在一起”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生把握了核心概念，就能讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)學(xué)科知識。共通概念是指“跨越學(xué)科乃至于跨界的一些共同概念”，這些概念具有較強的解釋力[2]。比如“只有計數(shù)單位相同才能直接相加減”這樣的一種大概念就屬于核心概念，是集中體現(xiàn)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法的法則的核心概念，掌握了這一核心概念，學(xué)生就能形成一種整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法的計算自覺，如整數(shù)中加減法的末尾對齊、小數(shù)加減法的小數(shù)點對齊、分?jǐn)?shù)加減法中的通分等。而分類、統(tǒng)計中的歸類思想就屬于一種共通的概念，這一概念不僅對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)，而且對學(xué)生的其他學(xué)科學(xué)習(xí)乃至于生活都具有深刻的意義，這一數(shù)學(xué)大概念是物以類聚、人以群分這樣的生活性、經(jīng)驗性的大概念在數(shù)學(xué)學(xué)科中的具體反映。

概念不僅僅是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的載體、媒介，也是學(xué)生數(shù)學(xué)思維、探究的工具。概念不僅具有數(shù)學(xué)的邏輯價值，更具有一種組織學(xué)習(xí)的價值。在學(xué)生學(xué)習(xí)的每一個階段、每一個層級，大概念都會不同。在此階段的大概念，在彼階段就不是大概念，而是一個子概念、分概念，一個普通的、簡單的概念。從某種意義上說，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是大概念的產(chǎn)生、消散，又誕生的過程。

二、數(shù)學(xué)大概念的結(jié)構(gòu)及其功能

大概念是一種深層次的、可遷移的概念。借助于大概念，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能觸類旁通、舉一反三。大概念能讓學(xué)生系統(tǒng)地、廣泛地吸納知識，快速、有效地應(yīng)用知識。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于提煉、抽象、概括大概念，借助大概念引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

1.金字塔型結(jié)構(gòu)及其功能

金字塔型的大概念群最為常見。位居金字塔塔尖的概念是最為核心的概念，在核心概念統(tǒng)馭下，逐層展開其他概念。這樣的一種大概念結(jié)構(gòu)方式，是一種“總—分”式的結(jié)構(gòu)方式[3]。比如“直柱體的側(cè)面積、體積計算”，具體到下一層級的長方體、正方體、圓柱體的側(cè)面積、體積計算公式的形態(tài)各不相同，盡管其內(nèi)在的本質(zhì)是相同的。作為教師，可以通過兩種方式進行這部分內(nèi)容的教學(xué)：其一是從大概念出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從整體上形成對直柱體側(cè)面積、體積的認(rèn)識，然后再逐一展開建構(gòu)，這是一種自上而下的詮釋性、應(yīng)用性的教學(xué);其二是先建構(gòu)，然后引導(dǎo)學(xué)生比較，逐步抽象、提煉、概括出數(shù)學(xué)的大概念，這是一種自下而上的建構(gòu)性的教學(xué)。

2.樹狀線型結(jié)構(gòu)及其功能

樹狀線型的概念結(jié)構(gòu)有助于學(xué)生依循數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)、脈絡(luò)等逐步推演。與金字塔型的大概念結(jié)構(gòu)不同，樹狀線型結(jié)構(gòu)是概念在形成過程中逐步生長出來的。以“平面圖形的面積”為例，通常以長方形、正方形的面積為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生逐步推演出平行四邊形的面積、圓的面積，再根據(jù)平行四邊形的面積推導(dǎo)出三角形的面積、梯形的面積等。在這一過程中，長方形的面積是主干，其他相關(guān)知識多是枝葉;或者說長方形的面積是基本型知識，而其他相關(guān)知識都是導(dǎo)出型的知識。在這里，數(shù)學(xué)的大概念（相對而言）就以一種生長的方式呈現(xiàn)，從而形成了一種樹狀線型的概念生長體系。

3.網(wǎng)絡(luò)聯(lián)型結(jié)構(gòu)及其功能

大概念還有一種建構(gòu)模式，這就是網(wǎng)絡(luò)型。相比前兩種大概念的組型，網(wǎng)絡(luò)型的大概念往往在概念內(nèi)涵、外延、性質(zhì)等方面都會有交叉。網(wǎng)絡(luò)型大概念的組建，能讓學(xué)生認(rèn)識到概念之間的多重關(guān)聯(lián)。為此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要打破固化的單元結(jié)構(gòu)，形成以大概念為核心的開放性、生成性結(jié)構(gòu)形式。以“因數(shù)和倍數(shù)”這一部分內(nèi)容為例，從“整除”這一主干大概念出發(fā)，會衍生出相關(guān)的“因數(shù)和倍數(shù)”，進而在“因數(shù)和倍數(shù)”的基礎(chǔ)上，又會交叉衍生出“奇數(shù)和偶數(shù)”（根據(jù)是否是2的倍數(shù)）、“素數(shù)與合數(shù)”（根據(jù)一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)）、“公倍數(shù)與公因數(shù)”（由一個數(shù)的因數(shù)、倍數(shù)衍生為兩個或者兩個以上的數(shù)的公倍數(shù)、公因數(shù)等）等相關(guān)概念，這些概念之間是可以交叉的。如一個數(shù)是否是質(zhì)數(shù)與一個數(shù)是其他數(shù)的因數(shù)，交叉衍生出“質(zhì)因數(shù)”這一概念。在網(wǎng)絡(luò)聯(lián)型概念結(jié)構(gòu)中，交叉的概念可以成為大概念。作為教師，要重點引導(dǎo)學(xué)生對交叉概念的理解。如在“因數(shù)和倍數(shù)”這一部分知識中，“質(zhì)因數(shù)”就是一個關(guān)鍵性、核心性的大概念，它縱橫交錯地牽涉到許多相關(guān)的知識點，對學(xué)生學(xué)習(xí)“對一個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)”“應(yīng)用短除法求幾個數(shù)的公因數(shù)、最大公因數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)”等具有重要作用。

以大概念為導(dǎo)向，統(tǒng)籌規(guī)劃數(shù)學(xué)教學(xué)，要求教師明確數(shù)學(xué)知識的大概念類型。對于金字塔組型概念，教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識核心概念的內(nèi)涵、本質(zhì);對于樹狀組型概念，教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握基本大概念，把握概念的生長;對于網(wǎng)絡(luò)聯(lián)型概念，教師要引導(dǎo)學(xué)生把握概念之間的關(guān)聯(lián)，等等。

三、數(shù)學(xué)大概念教學(xué)的策略

基于大概念的數(shù)學(xué)教學(xué)，教師在教學(xué)中要善于提煉大概念、實踐大概念，促進學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷實現(xiàn)概念的躍遷。

1.大問題驅(qū)動，激發(fā)學(xué)習(xí)動力

問題是大概念教學(xué)的重要載體。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以用大問題驅(qū)動學(xué)生的自主思考、探究。用大問題驅(qū)動，能有效地引領(lǐng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)[4]。在大概念教學(xué)之中，大問題猶如一個結(jié)構(gòu)性樞紐，能成為驅(qū)動學(xué)生深度學(xué)習(xí)的利器。比如教學(xué)“真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)”這一部分內(nèi)容，教師要深度研究學(xué)生的具體學(xué)情，把握學(xué)生的認(rèn)知障礙，從而設(shè)計有針對性、實效性的大問題，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。如果教師僅僅從形式上引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分，比如“分子比分母小的分?jǐn)?shù)是真分?jǐn)?shù)”“分子比分母大的分?jǐn)?shù)是假分?jǐn)?shù)”等等，這樣的一種引導(dǎo)，只能讓學(xué)生抓住“形”，而難以讓學(xué)生理解“神”。筆者在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從分?jǐn)?shù)的意義入手，將過去的一種表達(dá)——“取其中的幾份”，轉(zhuǎn)變?yōu)椤氨硎具@樣的幾份”。如此，提出這樣的大問題：“平均分的份數(shù)一定大于表示的份數(shù)嗎？”通過這樣的大問題，引導(dǎo)學(xué)生思考：“如果平均分成4份，你能從中取出5份嗎？如果平均分成4份，你能表示出相應(yīng)的5份嗎？”如此，不僅引導(dǎo)學(xué)生深度思考、探究“單位‘1’的量”，更突出分?jǐn)?shù)單位的意義和價值，進而引導(dǎo)學(xué)生深度理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，建構(gòu)真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的概念。抓住大問題，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)大概念，就能將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維逐步引向深入。

2.大主題統(tǒng)領(lǐng)，集約學(xué)習(xí)內(nèi)容

主題是學(xué)生數(shù)學(xué)大概念學(xué)習(xí)的載體、媒介。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)積極主動地設(shè)計主題，用主題統(tǒng)馭學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)統(tǒng)整相關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容。用大主題統(tǒng)領(lǐng)，要打破單元邊界、學(xué)科邊界等，引導(dǎo)學(xué)生從教材中的目錄、標(biāo)題中發(fā)掘、提煉主題，從不同層次引導(dǎo)學(xué)生提取大概念。比如在學(xué)生學(xué)習(xí)了“認(rèn)識厘米”“角的度量”“長方形的面積”“長方體的體積”等相關(guān)內(nèi)容之后，筆者以“測量中的包含除”為主題研發(fā)了一節(jié)課，將相關(guān)測量內(nèi)容進行整合。借助于大主題，不僅能引導(dǎo)學(xué)生整合相關(guān)知識，而且能引導(dǎo)學(xué)生習(xí)得相關(guān)的學(xué)科思維方法、思想觀念等。比如通過“包含除”這樣的大主題，學(xué)生深刻認(rèn)識到，測量的本質(zhì)就是看測量對象中包含有多少個測量單位。因此，對測量來說，首先應(yīng)當(dāng)建立測量標(biāo)準(zhǔn)、測量單位;其次要探究測量對象中包含有多少個這樣的測量單位，這個“多少個”其實也就是兩個不同的量之間的進率。根據(jù)這樣的進率還可以制造工具，或者建立進率模型等。借助于大主題，學(xué)生通過積極的對話、研討，將整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)等在內(nèi)的所有計數(shù)教學(xué)，以及平面圖形的周長、面積，立體圖形的側(cè)面積、體積等相關(guān)內(nèi)容都囊括在內(nèi)，因為它們都可以用“包含除”這一思想方法解決問題。

3.大結(jié)構(gòu)整合，建構(gòu)學(xué)習(xí)體系

基于大概念的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是一種大結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。大結(jié)構(gòu)就是要將學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容進行整合，從而幫助學(xué)生建構(gòu)學(xué)習(xí)體系，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為一個整體。比如教學(xué)“比的基本性質(zhì)”之后，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)，從而促進學(xué)生對知識的理解、應(yīng)用。從橫向上來看，引導(dǎo)學(xué)生比較“商不變的規(guī)律”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”“小數(shù)的性質(zhì)”以及“比的基本性質(zhì)”，認(rèn)識它們的聯(lián)系與區(qū)別，體會到它們內(nèi)在本質(zhì)的一致性;從縱向上來看，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識它們各自的意義、作用和價值。以“比的基本性質(zhì)”的縱向結(jié)構(gòu)化教學(xué)為例，教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識比的基本性質(zhì)的作用是化簡比，認(rèn)識化簡比的依據(jù)是比的基本性質(zhì)，化簡比要充分地應(yīng)用比的基本性質(zhì)，要將一般性的整數(shù)比、小數(shù)比、分?jǐn)?shù)比、數(shù)量比等化成最簡單的整數(shù)比的形式（簡稱“最簡比”）等，更要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識化簡比的現(xiàn)實作用，如各種物質(zhì)材料的份額的配備、一件物品中各種材料所占的份額，等等。通過縱橫比較、整合，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識大結(jié)構(gòu)，從而明確“商不變的規(guī)律”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”“比的基本性質(zhì)”等系列大概念的內(nèi)涵、用途、功能。

大概念視野下的數(shù)學(xué)教學(xué)，是立足于結(jié)構(gòu)論、系統(tǒng)論的視角來審視知識的。作為教師，要立足于數(shù)學(xué)的學(xué)科知識，從數(shù)學(xué)學(xué)科知識和學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)生成發(fā)展的視角出發(fā)，重構(gòu)數(shù)學(xué)知識與相關(guān)大概念的關(guān)聯(lián)、對接等?；诖蟾拍畹慕虒W(xué)立場，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容的本質(zhì)、核心，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的提升、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)問題分析、解決、遷移等能力的發(fā)展。

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[責(zé)任編輯：陳國慶]