甘為 吳超 宋英杰 李政威 盧志宏

摘 要：針對柔性機構拓撲優(yōu)化中的穩(wěn)定性問題與特有的鉸鏈問題，本文提出了一種考慮線性屈曲約束且不含鉸鏈的拓撲優(yōu)化求解方法。首先，基于Pian單元，引入柔順度變化率約束，以解決柔性機構的鉸鏈問題;其次，結合KS（Kreisselmeier-Steinhauser）凝聚函數(shù)與線性屈曲方程給出線性屈曲約束的推導;最后，結合線性屈曲約束、柔順度變化率約束，建立一種考慮線性屈曲約束且不含鉸鏈的拓撲優(yōu)化模型，并結合移動漸近線方法（Method of Moving Asymptotes，MMA）有效求解。給出的算例結果表明，該方法能夠對結構臨界屈曲載荷進行有效約束。

關鍵詞：柔性機構;拓撲優(yōu)化;KS凝聚函數(shù)

中圖分類號：TB21 文獻標識碼：A 文章編號：1003-5168（2021）18-0042-03

Abstract： Aiming at the stability problem and the unique hinge problem in the topology optimization of flexible mechanisms， this paper proposes a topology optimization solution method that considers linear buckling constraints and does not contain hinges. First， based on the PIAN unit， the compliance change rate constraint is introduced to solve the hinge problem of the flexible mechanism; then， combining the KS aggregate function and the linear buckling equation， the derivation of the linear buckling constraint is given; dinally， combining linear buckling constraints and compliance change rate constraints， a topology optimization model considering linear buckling constraints without hinges is established， and combined with MMA （Method of Moving Asymptotes） algorithm for effective solution. The results of the given examples show that the method can effectively restrain the critical buckling load of the structure.

Keywords： compliant mechanisms;topology optimization;KS aggregation functions

柔性機構是一類通過結構的彎曲或彈性變形來傳遞或轉換運動、力與能量的機構，在尖端特種設備、醫(yī)療設備與納米級功能部件中應用廣泛。近年來，隨著拓撲優(yōu)化理論的拓展與計算效率的提高，屈曲約束逐漸成為熱門研究課題之一[1]。Rodrigues等給出了屈曲特征值的靈敏度推導方法，但將其實際運用至連續(xù)體結構的優(yōu)化設計時還需要解決諸多問題[2]。常規(guī)位移單元無法克服單元的應力剛化問題，因此很難得到準確的單元應力。而Pian單元即使在粗略的劃分下計算得到的應力也十分精確，解得的屈曲特征值更加可靠[3-4]。根據(jù)這一結論，F(xiàn)errari等給出了凝聚函數(shù)形式下的屈曲約束，但此研究還未應用至柔性機構的拓撲優(yōu)化設計。陳成等基于固體各向同性材料懲罰模型（Solid Isotropic Material with Penalization，SIMP）插值，并結合Heaviside映射與變體積約束限措施得到了清晰的拓撲構型。彭羅等采用柔順度變化率約束，對柔性機構的鉸鏈進行了有效抑制?；谏鲜鲅芯?，本文采用Pian單元，提出了一種考慮線性屈曲約束且不含鉸鏈構型的拓撲優(yōu)化求解方法。

1 插值模型與屈曲約束

為獲得清晰的結構拓撲，采用設計變量[x]、密度變量[x]和物理變量[x]的三場分布方案。以[i]號單元為例，它的密度變量[xi]定義為在設計域內以單元[i]為圓心、過濾半徑[r]為半徑劃定的圓形區(qū)域[Ni]內的各設計變量的加權平均，表達式為：

為獲得清晰的拓撲構型，要對密度變量進行Heaviside映射，表達式為：

傳統(tǒng)的SIMP插值模型中，物理變量在單元體積[vi]、單元剛度矩陣[ki]與單元幾何剛度矩陣[kiσ]中的插值形式分別如下：

式（3）至式（5）中：[v0]、[k0]與[k0σ]分別為滿體積狀態(tài)下的單元體積、單元剛度矩陣與單元幾何剛度矩陣;[p]為懲罰因子;[E0]為材料的彈性模量;[Emin]為設置的經(jīng)驗參數(shù)，取[Emin=10-6E0]。

線性屈曲分析的表達式為：

式（6）中：[K]為結構的總體剛度矩陣;[Kσx，u]為結構的總體幾何剛度矩陣;[λi]為第[i]階屈曲載荷的放大因子;[φi]為對應的屈曲模態(tài)。

考慮到優(yōu)化過程中迭代求解的有效性，結合間隔因子[α]，可構建如下屈曲約束：

式（7）至式（9）中：[Pc]為設定的最小正特征值的下限;集合[B]由8個最小正特征值組成;[μi]為特征值的倒數(shù);通過引入間隔因子，計算得到[μi]。

考慮到優(yōu)化過程中的特征值聚集分布和迭代求解的有效性，結合間隔因子與KS（Kreisselmeier-Steinhauser）凝聚函數(shù)，可將屈曲約束改寫為如下形式：

2 優(yōu)化模型與靈敏度分析

采用基于KS凝聚函數(shù)形式的線性屈曲約束，則考慮線性屈曲約束的無鉸鏈柔性機構拓撲優(yōu)化模型表達式如下：

本文采用梯度算法求解，因此需要求得式（12）中各性能函數(shù)的靈敏度。

根據(jù)求導的鏈式法則，任意函數(shù)[fx]對設計變量[xe]的導數(shù)可表示為：

基于式（13）至式（15），僅需推導各性能函數(shù)對物理變量的導數(shù)即可。

根據(jù)式（4），可得到單元剛度矩陣[ki]對物理變量[xi]的導數(shù)，其表達式為：

柔順度變化率約束函數(shù)關于[xi]的導數(shù)表達式分別為：

式（17）中：[Uin]與[Uout]分別為機構的實載荷與虛載荷對應的位移向量;[K]為結構總體剛度矩陣。

體積上、下限約束函數(shù)關于物理變量[xi]的導數(shù)表達式為：

結合式（6）至式（11），可得到式（12）中屈曲約束[fκ（x）]關于物理變量[xi]的導數(shù)表達式：

本文所有算例均采用MMA算法進行優(yōu)化求解。

3 優(yōu)化算例

采用式（7）至式（9）所給的優(yōu)化模型對柔性夾鉗模型進行優(yōu)化求解。邊長[L=300? μm]、厚度為1 μm的方形夾鉗機構設計域中，右端為不可設計區(qū)域，尺寸如圖1所示。取左端上下各一個單元作為約束點位，左端中點為位移輸入點，沿水平方向向右施加有[Fin=1? N]的實載荷;右端不可設計區(qū)域的上下節(jié)點[Uout]為位移輸出點，沿設計域水平對稱軸方向輸出為正方向。設計域內材料的彈性模量[E0]=200 GPa，泊松比取[μ]=0.3，輸入點的彈簧剛度為[kin]=2×105 N/m，輸出點的彈簧剛度為[kout]=2×102 N/m。

針對圖1柔性機構的拓撲優(yōu)化問題，采用120×120網(wǎng)格對設計域進行均勻的單元劃分。設定密度過濾半徑為[r0=1.5Δ]，其中[Δ]為最大單元邊長。柔順度變化率約束經(jīng)驗參數(shù)[ψ*]前200步設定為0.02，后續(xù)固定為0.003。不考慮屈曲約束時，所得構型如圖2所示，此時機構的屈曲載荷為4.48 N。

為提高機構的穩(wěn)定性，設定屈曲下限[Pc=6]，所得機構最優(yōu)拓撲構型如圖3（a）所示。機構受載后的正常變形與屈曲變形分別如圖3（b）和圖3（c）所示。此時，機構的最低階屈曲載荷為6.74 N?？梢姡疚奶岢龅姆椒軌蝻@著提高結構的屈曲載荷。

4 結語

基于柔順度約束與屈曲約束，構建了一種考慮屈曲約束的無鉸鏈清晰柔性機構拓撲優(yōu)化方法。該方法不僅能夠解決鉸鏈問題，而且能夠滿足屈曲約束，并獲得更大的輸出位移，非常適用于三維柔性機構的拓撲優(yōu)化設計。

參考文獻：

[1]GAO X，MA H.Topology optimization of continuum structures under buckling constraints[J].Computers & Structures，2015，157：142-152.

[2]GAO X，LI Y，MA H，et al.Improving the overall performance of continuum structures：a topology optimization model considering stiffness，strength and stability[J/OL].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2020.（2020-02-01）[2021-04-28].https：//www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0045782519305456.

[3]PIAN T H H.Derivation of element stiffness matrices by assumed stress distributions[J].AIAA Journal，1964（7）：1333-1336.

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