胡渝民 宋飛 汪忠

(清華大學(xué)高等研究院,北京 100084)

能帶理論是凝聚態(tài)物理的基石之一,其應(yīng)用范圍已延伸至許多其他物理領(lǐng)域.近年來,眾多非厄米物理問題要求將能帶理論推廣至非厄米體系.人們?cè)诜嵌蛎淄負(fù)潴w系的研究中發(fā)現(xiàn),這一推廣需要修改能帶理論的若干基本概念.非厄米趨膚效應(yīng)(non-Hermitian skin effect)這一普遍的非厄米現(xiàn)象導(dǎo)致了布洛赫能帶圖像的失效以及常規(guī)體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系的破壞.在能譜計(jì)算與拓?fù)洳蛔兞慷x中,通常的布里淵區(qū)概念需要代之以廣義布里淵區(qū)(generalized Brillouin zone).非厄米體系的一系列獨(dú)特現(xiàn)象可以在廣義布里淵區(qū)下得到精確刻畫.基于廣義布里淵區(qū)的非厄米能帶理論成功描述并預(yù)言了非厄米系統(tǒng)的大量新穎現(xiàn)象.因其相對(duì)布洛赫?qǐng)D像的偏離,這一理論被稱為非布洛赫能帶理論(non-Bloch band theory).本文梳理了廣義布里淵區(qū)和非布洛赫能帶理論的主要概念,并簡要介紹了該理論在非厄米體邊對(duì)應(yīng)原理、格林函數(shù)、波包動(dòng)力學(xué)、手征衰減和非布洛赫宇稱-時(shí)間對(duì)稱性等方面的應(yīng)用.

1 引言

在量子力學(xué)中,厄米哈密頓量 (H=H?) 通常描述了封閉量子系統(tǒng)的幺正演化.然而,這是一種非常理想的情況.實(shí)際上,很多物理系統(tǒng)與環(huán)境之間的耦合不可忽略,這些耦合使得物質(zhì)和能量在系統(tǒng)與環(huán)境之間交換,而這些交換過程無法被系統(tǒng)自身的厄米哈密頓量所準(zhǔn)確描述.為了描述系統(tǒng)與環(huán)境的耦合,一種方法是將系統(tǒng)和環(huán)境放在一起視為一個(gè)封閉大系統(tǒng),并試圖用整個(gè)封閉系統(tǒng)的厄米哈密頓量來刻畫其演化.這種方法實(shí)際運(yùn)用起來通常十分困難.封閉大系統(tǒng)的自由度時(shí)常遠(yuǎn)大于我們關(guān)心的物理系統(tǒng);與之相應(yīng),其哈密頓量也非常復(fù)雜.一個(gè)更為可行的做法是聚焦于所關(guān)心的物理系統(tǒng)自身的自由度,將其作為一個(gè)開放體系(open system).相應(yīng)地,其時(shí)間演化不能由一個(gè)厄米的哈密頓量來生成,需要采用非厄米的哈密頓量(或非幺正的時(shí)間演化算符).對(duì)于經(jīng)典波體系,類似的方案也行之有效.

開放量子體系的一個(gè)簡潔描述方式是Lindblad量子主方程[13]:

其中ρ代表系統(tǒng)的密度矩陣;H表示系統(tǒng)幺正演化的哈密頓量;Lμ是描述系統(tǒng)與環(huán)境之間耦合導(dǎo)致的量子躍遷(quantum jump)的Lindblad 耗散算符,其表明環(huán)境的影響將使得系統(tǒng)偏離自身的幺正演化.(1)式可簡記為,其中L通常稱為Liouvillian 超算符.

Liouvillian 超算符是一個(gè)非厄米算符,可以視為對(duì)應(yīng)于密度矩陣的有效非厄米哈密頓量,它生成了密度矩陣的非幺正演化.

式中的前兩項(xiàng)代表了密度矩陣在非厄米有效哈密頓量Heff作用下的非幺正演化,而最后一項(xiàng)代表了環(huán)境耦合帶來的量子躍遷.

從一個(gè)初始波函數(shù)|ψ〉出發(fā),在較短的時(shí)間內(nèi)波函數(shù)將沿著非厄米有效哈密頓量Heff進(jìn)行演化:.其有一定的概率在某一時(shí)刻t發(fā)生量子躍遷,得到一個(gè)新的態(tài):|ψ(t)〉→Lμ|ψ(t)〉.隨后這個(gè)態(tài)將繼續(xù)在Heff的作用下進(jìn)行演化,直到下一次量子躍遷發(fā)生.這個(gè)過程定義了量子態(tài)|ψ〉在非厄米有效哈密頓量和量子躍遷共同作用下的一條量子軌跡(quantum trajectory)[4].實(shí)驗(yàn)上,可以使測量儀器對(duì)發(fā)生量子躍遷與否作出響應(yīng),從而根據(jù)測量結(jié)果來篩選某條指定的量子軌跡,這對(duì)應(yīng)了實(shí)驗(yàn)測量中的后選擇(post selection).由于密度矩陣可以視作許多純態(tài)在經(jīng)典概率下的疊加,所以對(duì)所有可能的量子軌跡進(jìn)行加權(quán)求和可得到密度矩陣在Lindblad 量子主方程下的演化.

由此可見,為了研究開放量子系統(tǒng)的性質(zhì),需要研究非厄米算符L和Heff,Heff描述了后選擇下波函數(shù)的時(shí)間演化,而L描述了密度矩陣(無須后選擇)的時(shí)間演化.

體系的開放性與耗散性在冷原子和量子光學(xué)等物理體系中非常普遍.在凝聚態(tài)體系中,由相互作用或者無序?qū)е碌挠邢逌?zhǔn)粒子壽命也會(huì)引入非厄米物理[5-8].除此之外,非厄米物理在光學(xué)或力學(xué)等經(jīng)典波系統(tǒng)中也發(fā)揮著重要作用.例如,麥克斯韋方程可以寫成和薛定諤方程類似的數(shù)學(xué)形式,而在光子晶體系統(tǒng)中,介質(zhì)對(duì)光的吸收或者光向系統(tǒng)外界的輻射使得這一方程包含非厄米項(xiàng).適當(dāng)調(diào)控光學(xué)系統(tǒng)的性質(zhì)可使其呈現(xiàn)出豐富的非厄米物理現(xiàn)象,如光子拓?fù)浣^緣體中的拓?fù)浼す鈁9,10]和光子能帶中連接奇異點(diǎn)(exceptional point)的體費(fèi)米弧(bulk Fermi arc)[11].

由于非厄米物理廣泛存在于各類物理系統(tǒng)中,包括量子光學(xué)、冷原子、經(jīng)典波、凝聚態(tài)體系等,而且具有許多超出厄米系統(tǒng)范式的新穎物理性質(zhì),所以非厄米物理近年來成為一個(gè)廣受關(guān)注的方向[12,13].

21 世紀(jì),凝聚態(tài)物理一個(gè)重要的研究方向是拓?fù)湮飸B(tài),其中最簡單且應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)內(nèi)容是拓?fù)淠軒Ю碚?在有平移對(duì)稱性的厄米系統(tǒng)中,布洛赫定理(Bloch theorem)扮演著至關(guān)重要的角色.布洛赫波函數(shù)所蘊(yùn)含的全局拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)描述了能帶的拓?fù)湫再|(zhì),激發(fā)了人們對(duì)拓?fù)洳牧系难芯亢吞剿鱗14-17].這些拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)體現(xiàn)為拓?fù)洳蛔兞?一般定義在布里淵區(qū)(Brillouin zone,BZ)上.例如,刻畫量子霍爾效應(yīng)的陳數(shù)(Chern number)定義為布洛赫波函數(shù)的Berry 曲率在布里淵區(qū)上的積分.拓?fù)淠軒Ю碚摶谕負(fù)洳蛔兞亢蛯?duì)稱性對(duì)不同維度的拓?fù)湎到y(tǒng)進(jìn)行分類,為拓?fù)洳牧系难芯刻峁┝艘粋€(gè)理論框架[16].其中,拓?fù)湮飸B(tài)的一條中心原理是“體邊對(duì)應(yīng)”(bulk-boundary correspondence),該原理表明周期邊界條件(periodic boundary condition,PBC)下的布洛赫波函數(shù)所蘊(yùn)含的拓?fù)洳蛔兞颗c開放邊界條件(open boundary condition,OBC)下受到拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界態(tài)數(shù)目之間有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界態(tài)具有新穎的物理性質(zhì).與偶然出現(xiàn)的邊界態(tài)不同,拓?fù)溥吔鐟B(tài)具有很強(qiáng)的穩(wěn)定性,不會(huì)被邊界上的無序或雜質(zhì)破壞.除了科學(xué)意義本身,拓?fù)鋺B(tài)的獨(dú)特物理性質(zhì)也具有重要的應(yīng)用前景.

拓?fù)淠軒Ю碚摰某晒膶?shí)驗(yàn)和理論的角度激發(fā)了人們對(duì)拓?fù)湮锢淼奶剿?在這之后,拓?fù)淠軒Ю碚摫粡V泛應(yīng)用于物理學(xué)的其他領(lǐng)域.例如,光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)中也蘊(yùn)含著諸多拓?fù)湫再|(zhì),這方面的研究構(gòu)成了拓?fù)涔庾訉W(xué)方向[18].

拓?fù)淠軒Ю碚撛谶^去十幾年取得了巨大的成功.然而,這些理論僅適用于描述厄米系統(tǒng).前面提到,非厄米物理現(xiàn)象在自然界普遍存在.一個(gè)自然的問題是:非厄米系統(tǒng)中的拓?fù)淠軒Ю碚摃?huì)有怎樣的形式? 它是厄米拓?fù)淠軒Ю碚摰暮唵瓮茝V還是具有全新的特征? 回答這些問題不僅是理解非厄米拓?fù)鋺B(tài)的基礎(chǔ),也對(duì)研究其他非厄米物理現(xiàn)象有重要意義.

關(guān)鍵進(jìn)展始于“非厄米趨膚效應(yīng)”(non-Hermitian skin effect,NHSE) 的發(fā)現(xiàn)[19-25].不同于厄米系統(tǒng),具有平移對(duì)稱性的非厄米系統(tǒng)的一個(gè)重要性質(zhì)是其周期邊界條件和開放邊界條件下的本征態(tài)可以非常不同.在厄米系統(tǒng)中,開放邊界條件下的本征態(tài)是周期邊界條件下的布洛赫波(即周期調(diào)制的平面波)的線性疊加;而在非厄米系統(tǒng)中,開放邊界條件下的本征態(tài)通常以指數(shù)衰減的形式局域在系統(tǒng)的邊界附近,這一現(xiàn)象被命名為“非厄米趨膚效應(yīng)”[19].這一效應(yīng)意味著布洛赫波圖像的失效,也使得非厄米系統(tǒng)的性質(zhì)對(duì)邊界條件十分敏感.

正是由于這種邊界敏感性,在非厄米系統(tǒng)中,周期邊界條件下的拓?fù)洳蛔兞?即定義在布里淵區(qū)上的拓?fù)洳蛔兞?不再能準(zhǔn)確地描述開放邊界條件下的邊界態(tài)的性質(zhì).這意味著厄米系統(tǒng)的傳統(tǒng)體邊對(duì)應(yīng)原理在非厄米系統(tǒng)中將會(huì)失效.為了描述非厄米系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì),需要發(fā)展能夠容納非厄米趨膚效應(yīng)的非厄米能帶理論(non-Hermitian band theory).鑒于布洛赫波圖像的失效,這一能帶理論一般稱為“非布洛赫能帶理論”(non-Bloch band theory)[19,26].這一理論修改了傳統(tǒng)能帶理論的若干基本概念,如布里淵區(qū)被廣義布里淵區(qū)(generalized Brillouin zone,GBZ)所取代.相應(yīng)地,拓?fù)洳蛔兞康亩x域也從布里淵區(qū)變?yōu)閺V義布里淵區(qū).這些拓?fù)洳蛔兞勘环Q為非布洛赫拓?fù)洳蛔兞?non-Bloch topological invariants),它們對(duì)邊界態(tài)的性質(zhì)給出準(zhǔn)確的預(yù)言.非布洛赫拓?fù)洳蛔兞颗c拓?fù)溥吔鐟B(tài)的精確對(duì)應(yīng)關(guān)系被稱為非布洛赫體邊對(duì)應(yīng)(non-Bloch bulk-boundary correspondence)[19].

本文的目的是簡介非厄米能帶理論的基本概念及其應(yīng)用.第2節(jié)首先介紹非厄米趨膚效應(yīng)和廣義布里淵區(qū)這兩個(gè)基本概念;隨后討論廣義布里淵區(qū)的基本性質(zhì).第3節(jié)將討論非厄米能帶理論的若干應(yīng)用,包括非厄米體邊對(duì)應(yīng)、非厄米格林函數(shù)、波包動(dòng)力學(xué)、手征衰減(chiral damping)、非布洛赫宇稱-時(shí)間對(duì)稱性(non-Bloch parity-time symmetry,or non-Bloch PT symmetry)等現(xiàn)象.第4節(jié)是一個(gè)簡短總結(jié).隨著相關(guān)研究的不斷深入,非厄米能帶理論可能會(huì)在越來越多的物理系統(tǒng)中得到應(yīng)用,其基礎(chǔ)理論也將進(jìn)一步發(fā)展完善.由于篇幅所限,本文未能覆蓋本方向的所有重要進(jìn)展,感興趣的讀者可進(jìn)一步閱讀文中列出的參考文獻(xiàn).

2 廣義布里淵區(qū)與Non-Bloch 能帶理論

2.1 非厄米趨膚效應(yīng)

為了引入非厄米能帶理論,首先回顧厄米系統(tǒng)的布洛赫能帶理論.布洛赫定理表明,具有平移對(duì)稱性的厄米系統(tǒng)在周期邊界條件下的本征態(tài)是被布洛赫波函數(shù)調(diào)制的平面波〈x|n,k〉=un,k(x)eikx,其中實(shí)數(shù)k是位于第一布里淵區(qū)的準(zhǔn)動(dòng)量,n表示能帶指標(biāo),un,k(x)=un,k(x+a) 是周期性的布洛赫波函數(shù).在這里,a表示晶格常數(shù).這些本征態(tài)所對(duì)應(yīng)的本征值被記為En(k),它們表征了系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu).

周期邊界條件和開放邊界條件下的哈密頓量相差一個(gè)連接兩端邊界的邊界項(xiàng)δH.如果以周期邊界條件下的本征態(tài){|n,k〉}作為基矢,該邊界項(xiàng)將使得不同的本征態(tài){|n,k〉}之間存在散射,其散射矩陣元,其中|δH|表示邊界項(xiàng)的大小而L表示系統(tǒng)的長度.因?yàn)榍姚腍只會(huì)局域地影響邊界附近的波函數(shù),所以散射矩陣元正比于 1/L.

在熱力學(xué)極限L →∞下,上述邊界項(xiàng)的散射矩陣元趨于零,其對(duì)能譜的影響可以忽略.因此,在開放邊界條件下,厄米系統(tǒng)的連續(xù)能譜仍由En(k)給出.系統(tǒng)的本征態(tài)是上述調(diào)制平面波的線性疊加,其在布洛赫波基矢下的展開系數(shù)則由邊界條件的細(xì)節(jié)決定.

然而,在一般的非厄米系統(tǒng)中,上述性質(zhì)會(huì)發(fā)生重大變化:周期邊界條件和開放邊界條件下的系統(tǒng)不再具有相似的能譜和波函數(shù).這種現(xiàn)象在非厄米系統(tǒng)中普遍存在.為了直觀地說明這種變化,下面考慮一個(gè)簡單的例子—非厄米Su-Schrieffer-Heeger (SSH) 模型,其布洛赫哈密頓量為[19,27]

其中dx=t1+t2cosk,dy=t2sink.圖1(a)給出了它的實(shí)空間哈密頓量.t1和t2分別表示原胞內(nèi)和原胞之間的躍遷,γ代表非厄米項(xiàng).非厄米SSH模型有著新奇的拓?fù)湫再|(zhì),相關(guān)內(nèi)容將在第3.1節(jié)討論.本節(jié)主要討論非厄米SSH 模型在不同邊界條件下能譜和波函數(shù)的行為,以引出non-Bloch 能帶理論.

非厄米SSH 模型的手征對(duì)稱性σzH(k)σz=-H(k)使得其能譜以 (E,-E) 的形式成對(duì)出現(xiàn).在周期邊界條件下,非厄米SSH 模型HPBC的能譜是上述布洛赫哈密頓量的本征值E±(k)=其在復(fù)平面上形成閉合的圈(如圖1(c)).當(dāng)t1=t2±γ/2 (t1=-t2±γ/2) 時(shí),系統(tǒng)的能譜在k=π(k=0) 關(guān)閉能隙.

圖1 (a) 非厄米SSH 模型示意圖;(b) 開放邊界條件下本征態(tài)的空間分布,其中 |ψ(x)|2=|ψA(x)|2+|ψB(x)|2,鏈長 L=40 ;(c) 非厄米SSH 模型在周期邊界條件(黑色虛線)和開放邊界條件(藍(lán)色實(shí)線)下的能譜;(d) 非厄米SSH模型的廣義布里淵區(qū)(藍(lán)色實(shí)線),虛線為布里淵區(qū).參數(shù)值:t1=2.5,t2=1,γ=4/3 [19]Fig.1.(a) Sketch of non-Hermitian SSH model;(b) eigenstate profiles under open boundary condition,|ψ(x)|2=|ψA(x)|2+|ψB(x)|2and L=40 ;(c) energy spectrum under periodic boundary condition (black dashed lines) and open boundary condition (blue solid lines);(d) generalized Brillouin zone (blue solid line) and Brillouin zone (black dashed line).Parameters:t1=2.5,t2=1,γ=4/3 [19].

在傳統(tǒng)的能帶理論中,實(shí)空間的布洛赫波圖像對(duì)應(yīng)的倒空間概念是布里淵區(qū).我們自然會(huì)問,在非厄米趨膚效應(yīng)下,是否仍然存在倒空間(reciprocal space)的概念? 由此問題出發(fā),可以引入廣義布里淵區(qū)的概念[19].定義哈密頓量H(β)≡H(k →-i lnβ),或者H(β)≡H(k)|eik→β.通常的布里淵區(qū)就是單位圓|β|=1,在單位圓上,H(β) 給出了非厄米SSH 模型在周期邊界條件下的本征能量(圖1(c)).按照上面的分析,如果將波矢k變?yōu)閺?fù)數(shù)k →k-i lnr,即|β|=r,哈密頓量H(β) 將給出開放邊界條件下的能譜(圖1(c)).實(shí)際上,|β|=r所確定的復(fù)平面上的圓定義了非厄米SSH模型的廣義布里淵區(qū)(圖1(d)),它有別于傳統(tǒng)的布里淵區(qū)(|β|=1),在非厄米系統(tǒng)中扮演著厄米系統(tǒng)里布里淵區(qū)的角色.當(dāng)β在廣義布里淵區(qū)上移動(dòng)時(shí),H(β)的本征值和|β|x分別給出了實(shí)空間的能譜和具有非厄米趨膚效應(yīng)的波函數(shù)[19].

非厄米趨膚效應(yīng)廣泛存在于非厄米系統(tǒng)[23-25,28-43].它體現(xiàn)了非厄米系統(tǒng)對(duì)邊界條件的敏感性.這種敏感性使得系統(tǒng)波函數(shù)在周期邊界條件下和開放邊界條件下呈現(xiàn)出截然不同的行為.

2.2 廣義布里淵區(qū)

從非厄米SSH 模型的例子可以看到,非厄米系統(tǒng)在開放邊界條件下可呈現(xiàn)出非厄米趨膚效應(yīng),其能譜和波函數(shù)由廣義布里淵區(qū)給出.在非厄米系統(tǒng)中,廣義布里淵區(qū)扮演著厄米情況下布里淵區(qū)的角色,它決定了非厄米系統(tǒng)中諸多獨(dú)特的行為.因此,我們需要更加仔細(xì)地研究廣義布里淵區(qū)的普遍定義與計(jì)算方法.

2.2.1 非厄米SSH 模型的廣義布里淵區(qū)

為了得到廣義布里淵區(qū),需要考察邊界條件的重要作用.例如,對(duì)于圖1(a)所示的非厄米SSH模型,可以通過邊界條件解析地求出其開放邊界條件下的能譜[19].假設(shè)系統(tǒng)長度為L,在開放邊界條件下,這個(gè)模型的實(shí)空間薛定諤方程為

(9)式的兩個(gè)方程在方程(8) 的聯(lián)系下是等價(jià)的.特征方程的兩個(gè)根表明系統(tǒng)中存在兩個(gè)獨(dú)立傳播的指數(shù)形式波函數(shù),它們將以一定的形式線性疊加,以滿足相應(yīng)的邊界條件.因此,實(shí)空間波函數(shù)的一般形式可表達(dá)為

由于方程(8)和方程(9),上述波函數(shù)有兩個(gè)獨(dú)立的參量,它們的取值將由邊界條件給出.系統(tǒng)的邊界條件為

此即非厄米SSH 模型的半徑r的廣義布里淵區(qū)(圖1(d)),與相似變換所得的結(jié)果一致.滿足這個(gè)方程的能量E將構(gòu)成該模型在開放邊界條件下的能譜(圖1(c)).

然而,目前所討論的非厄米SSH 模型的圓形廣義布里淵區(qū)并不是普遍的情況.一般的非厄米模型的特征方程存在不止一對(duì)β根,所以此時(shí)邊界條件的應(yīng)用將會(huì)復(fù)雜一些.對(duì)于這些一般情況,是否能得到普遍的廣義布里淵區(qū)方程?

例如,圖3(a)表示具有遠(yuǎn)程躍遷項(xiàng)t3的非厄米SSH 模型,其布洛赫哈密頓量為[19]

其中dx=t1+(t2+t3)cosk,dy=(t2-t3)sink.這個(gè)模型在開放邊界條件下仍具有非厄米趨膚效應(yīng)(圖3(b)),但是該模型的特征方程有4 個(gè)根,此時(shí)無法判斷是哪些根應(yīng)該滿足上述|β|模相等的條件,這個(gè)模型也無法相似變換為一個(gè)厄米模型.而且可以發(fā)現(xiàn),其廣義布里淵區(qū)不再是一個(gè)圓(圖3(d)).為了描述一般的非厄米系統(tǒng),需要更加普遍地定義廣義布里淵區(qū).

圖3 (a) 具有遠(yuǎn)程躍遷項(xiàng) t3的非厄米SSH 模型示意圖;(b) 開放邊界條件下本征態(tài)的空間分布,其中|ψ(x)|2=|ψA(x)|2+|ψB(x)|2,L=40 ;(c) 周期邊界條件(黑色虛線)和開放邊界條件(藍(lán)色實(shí)線,通過廣義布里淵區(qū)計(jì)算)下的能譜,橙色圓點(diǎn)代表直接對(duì)角化實(shí)空間哈密頓量所得的 L=40 系統(tǒng)在開放邊界條件下的能譜;(d) 廣義布里淵區(qū)(藍(lán)色實(shí)線)和輔助廣義布里淵區(qū)(灰色實(shí)線),參數(shù)取值:t1=1.1,t2=1,t3=0.2,γ=4/3 [19]Fig.3.(a) Sketch of non-Hermitian SSH model with t3 being the third nearest neighbor hopping term;(b) eigenstate profiles under open boundary condition with |ψ(x)|2=|ψA(x)|2+|ψB(x)|2and L=40 ;(c) energy spectrum under periodic boundary condition (black dashed lines) and open boundary condition (blue solid lines,calculated from the generalized Brillouin zone).Orange points are eigenenergies from directly diagonalizing the real-space Hamiltonian of an open chain with L=40 ;(d) generalized Brillouin zone (blue solid line) and auxiliary generalized Brillouin zone (gray solid line).Parameters:t1=1.1,t2=1,t3=0.2,γ=4/3[19].

2.2.2 一般模型的廣義布里淵區(qū)

本節(jié)將討論一般模型的廣義布里淵區(qū)的定義.為了簡便,首先討論一維單帶非厄米模型的廣義布里淵區(qū),隨后再推廣到多帶模型.考慮一般的一維單帶模型,其布洛赫哈密頓量記為h(k)=表示格點(diǎn)模型的最大躍遷范圍;2m+1個(gè)不同格點(diǎn)之間的躍遷振幅t-m,···,tm均在復(fù)數(shù)域上取值;實(shí)數(shù)k ∈[-π,π].將單位圓上的相位因子 eik替換為一般復(fù)數(shù)β,eik →β,可定義一個(gè)洛朗多項(xiàng)式:

該多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的實(shí)空間哈密頓量為

在格點(diǎn)模型里,空間坐標(biāo)x的取值為整數(shù),表示該處的粒子湮滅算符.

假設(shè)在遠(yuǎn)離邊界的區(qū)域,實(shí)空間波函數(shù)具有如下形式:ψ(x)=〈x|ψ〉=Cβx,其中C是與格點(diǎn)坐標(biāo)x無關(guān)的常數(shù).給定復(fù)數(shù)能量E,實(shí)空間薛定諤方程H|ψ〉=E|ψ〉將給出如下限制:

(17)式被稱為系統(tǒng)的特征方程.其表明對(duì)于能量為E的模式,只有滿足ψ(x)～βn(E)x這種形式的空間波函數(shù)才能在系統(tǒng)中存在,其中βn(E) 是方程(17)的 2m個(gè)根之一.按照根的模長可將它們排序?yàn)閨β1(E)|≤|β2(E)|≤···≤|β2m(E)|.

如果考慮邊界條件,系統(tǒng)的本征能量不僅要滿足特征方程(17),其所對(duì)應(yīng)的本征波函數(shù)還需要滿足系統(tǒng)的邊界條件.例如,周期邊界條件要求ψ(x)=ψ(x+L),其中L為周期系統(tǒng)的長度.這種邊界條件要求特征方程至少存在一個(gè)根βn(E)使得=1.在熱力學(xué)極限下,這個(gè)條件變?yōu)閨βn(E)|=1,亦即特征方程存在一個(gè)根βn(E)=eik,k為實(shí)數(shù).因此,周期邊界條件下的能譜為E(k)=h(eik).

然而,開放邊界條件則要求ψ(x ＜1)=0=ψ(x ＞L).這種邊界條件要求 2m個(gè)指數(shù)形式的波函數(shù)的線性組合需要在系統(tǒng)的左右兩端相互抵消,從而形成“駐波”.類似圖2的分析可以發(fā)現(xiàn),為了滿足系統(tǒng)左右兩端的開放邊界條件,要求對(duì)于某一個(gè)指數(shù)變化的,存在一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的,使得它們?cè)趚=1,L附近有相同的數(shù)量級(jí).這個(gè)條件要求存在一對(duì)特征方程的根βi,j,它們滿足[19]:

圖2 非厄米體系在開放邊界條件下形成以指數(shù)衰減的方式局域在邊界的“駐波”,此駐波由 β1波和β2波疊加而成Fig.2.An eigenstate wavefunction under open boundary condition,which is a superposition of the β1 wave andβ2wave.

即這兩個(gè)根的模長必須相等.只有滿足這個(gè)方程的能量E才有可能在開放邊界條件下形成駐波.在這個(gè)方程中,i,j ∈{1,2,···,2m}.那么,是不是所有滿足這個(gè)方程的能量都是系統(tǒng)在開放邊界條件下的本征值呢？更加仔細(xì)地研究邊界條件可以發(fā)現(xiàn)(見第2.3節(jié)),如下方程將描述開放邊界條件下的能譜和波函數(shù)[19,26]:

方程(19)說明特征方程(17) 的中間兩個(gè)根所對(duì)應(yīng)的波函數(shù)構(gòu)成了開放邊界條件下的“駐波”.滿足方程(19)的能量E定義了開放邊界條件下非厄米系統(tǒng)的能譜EOBC.此時(shí),當(dāng)E ∈{EOBC}時(shí),系統(tǒng)的波函數(shù)具有如下形式:|ψ(x)|～|βm(E)|x.當(dāng)|βm(E)|/=1時(shí),波函數(shù)以指數(shù)衰減的形式局域在邊界,呈現(xiàn)非厄米趨膚效應(yīng).

與此同時(shí),當(dāng)E ∈{EOBC}時(shí),它的兩個(gè)根βm(E),βm+1(E)在復(fù)平面上形成一個(gè)有別于單位圓的圍繞原點(diǎn)的圈(圖1(d)和圖3(d)).這個(gè)由所有滿足條件的βm(E),βm+1(E) 所構(gòu)成的集合被稱為廣義布里淵區(qū)[19,26].當(dāng)β在廣義布里淵區(qū)上移動(dòng)時(shí),由特征方程給出的E(β) 代表了熱力學(xué)極限下開放邊界條件下的連續(xù)能譜.因此,方程(19)被稱為廣義布里淵區(qū)方程.

基于廣義布里淵區(qū)發(fā)展的非厄米能帶理論被稱為non-Bloch 能帶理論.在厄米系統(tǒng)中,|βm(E)|=|βm+1(E)|=1,廣義布里淵區(qū)始終是單位圓,即傳統(tǒng)的布里淵區(qū)β=eik(k為實(shí)數(shù)).此時(shí),非厄米能帶理論回到了厄米情形時(shí)的布洛赫能帶理論.廣義布里淵區(qū)之于非厄米系統(tǒng),發(fā)揮著類似于布里淵區(qū)之于厄米系統(tǒng)的作用.值得補(bǔ)充說明的是,廣義布里淵區(qū)的應(yīng)用范圍并不限于最常見的開放邊界條件,對(duì)于其他類型的邊界條件,如疇壁(domain wall)邊界條件同樣適用[44].

2.3 廣義布里淵區(qū)方程的推導(dǎo)

本節(jié)將通過全面考察邊界條件來嚴(yán)格推導(dǎo)廣義布里淵區(qū)方程(19),并提供一種廣義布里淵區(qū)的簡便計(jì)算方法.跳過本節(jié)并不影響讀者理解后續(xù)物理內(nèi)容.

考慮方程(15)所描述的一維單帶非厄米模型,在開放邊界條件下,假設(shè)能量為E的本征態(tài)波函數(shù)為,其中βn是特征方程h(β)-E=0的根而Cn是依賴于邊界條件的 2m個(gè)待定系數(shù).當(dāng) 1?x ?L時(shí),容易驗(yàn)證這個(gè)波函數(shù)滿足薛定諤方程:

而在邊界附近,薛定諤方程不再是(20)式的形式.系統(tǒng)的左右邊界各包含m個(gè)邊界方程.這 2m個(gè)方程將被用來確定開放邊界條件下本征態(tài)ψ(x) 的具體形式.在左邊界x=1附近的m個(gè)方程具有如下形式:

其中j=1,2,···,m.這個(gè)條件等價(jià)于ψ(-m)=ψ(-m+1)=···=ψ(-1)=0.同理在右邊界x=L附近的m個(gè)方程有如下形式:

其中j=1,2,···,m.(23)式中g(shù)j,l和gj+m,l是2m×2m個(gè)由系統(tǒng)參數(shù)t-m,···,tm和本征能量E所確定的與系統(tǒng)長度L無關(guān)的系數(shù).這 2m個(gè)線性方程具有非零解的條件為其系數(shù)矩陣的行列式等于零,即[26]

此即方程(19)給出的廣義布里淵區(qū)方程.

上述理論可以直接推廣到多帶模型.考慮到多帶模型的布洛赫哈密頓量H(k)是一個(gè)q×q的矩陣(如方程(4)),其中q為能帶的個(gè)數(shù),同樣假設(shè)不同原胞之間最遠(yuǎn)的躍遷距離為m,此時(shí)的特征方程可定義為

式中H(β)≡H(k →-i lnβ),而 I是q×q單位陣.一般情況下,上述特征方程有 2mq個(gè)根,將其按照|β1|≤···≤|β2mq|的順序排列.在多帶模型中,開放邊界條件的左邊界和右邊界各有mq個(gè)邊界方程.類似的方法可以給出多帶的廣義布里淵區(qū)方程:

同樣地,中間兩個(gè)根的模長相等給出了廣義布里淵區(qū).

將上述非厄米能帶理論用于圖1(a)的非厄米SSH 模型可直接計(jì)算其廣義布里淵區(qū).延拓方程(4)的哈密頓量至復(fù)平面,H(β)≡H(k →-i lnβ),非厄米SSH 模型的特征方程 det(H(β)-EI)=0 如方程(8)所示.根據(jù)韋達(dá)定理,這個(gè)方程的兩個(gè)根滿足.于是,根據(jù)廣義布里淵區(qū)的定義可得|β1(E)|=|β2(E)|=r ≡,即方程(13).這說明非厄米SSH 模型的廣義布里淵區(qū)是復(fù)平面上半徑為r的圓(圖1(d)),與相似變換的分析和解析求解的結(jié)果一致.

對(duì)于一般的非厄米模型,廣義布里淵區(qū)不再是一個(gè)圓.例如,考慮圖3(a)所示具有遠(yuǎn)程躍遷項(xiàng)t3的非厄米SSH 模型,將方程(14)的布洛赫哈密頓量H(k)延拓為H(β)≡H(k →-i lnβ),可得其特征方程為

將(29)式的右邊記為g(β),它是一個(gè)關(guān)于β的多項(xiàng)式.特征方程E2=g(β)有4 個(gè)根|β1(E)|≤|β2(E)|≤|β3(E)|≤|β4(E)|.考慮到方程(19)要求存在模相等的兩個(gè)根,假設(shè)這兩個(gè)根為β和βeiθ,其中θ ∈[0,2π].這兩個(gè)根對(duì)應(yīng)相同的能量,由此可得:

消除能量E2可得關(guān)于β的多項(xiàng)式方程[26]:

對(duì)于給定的θ=[0,2π],可以求出β(θ),然后根據(jù)方程(30)得出相應(yīng)的E,考察β和βeiθ是否為特征方程的中間兩根β2(E) 和β3(E) (對(duì)于一般模型,是βm(E)和βm+1(E)).若是,則β和βeiθ屬于廣義布里淵區(qū).改變?chǔ)?這些解的集合構(gòu)成了該模型的廣義布里淵區(qū)(圖3(d)中藍(lán)色實(shí)線).注意到此時(shí)的廣義布里淵區(qū)不再是圓.這表明在開放邊界條件下,具有遠(yuǎn)程躍遷項(xiàng)的非厄米SSH 模型無法通過相似變換變?yōu)橐粋€(gè)厄米模型.通過廣義布里淵區(qū)可以求得系統(tǒng)在開放邊界條件下的能譜(圖3(c)中藍(lán)色實(shí)線),其結(jié)果與在一條有限長的鏈上直接對(duì)角化實(shí)空間哈密頓量所得的能譜一致(圖3(c)中橙色圓點(diǎn)).注意到系統(tǒng)在開放邊界條件下存在零能的拓?fù)溥吔鐟B(tài),其能量并非由廣義布里淵區(qū)給出.這說明廣義布里淵區(qū)只提供體態(tài)的連續(xù)能譜,與厄米系統(tǒng)中布里淵區(qū)的角色一致.

更一般的多帶非厄米模型的特征方程f(β,E)=det(H(β)-EI)=0是一個(gè)關(guān)于E和β的多項(xiàng)式方程,可表達(dá)為

其中q為能帶個(gè)數(shù)而m為原胞間最遠(yuǎn)的躍遷距離.這個(gè)方程不一定能化簡成類似于方程(30)那樣的p1(E)=p2(β)形式,其中p1,p2表示任意的多項(xiàng)式.因此,無法簡單地消去能量E得到關(guān)于β的方程p2(β)=p2(βeiθ).

為了計(jì)算這類普遍模型的廣義布里淵區(qū),可以利用結(jié)式(resultant)將上述方法推廣為一種被稱為輔助廣義布里淵區(qū)(auxiliary generalized Brillouin zone)的方法[45].

廣義布里淵區(qū)方程要求特征方程的某兩個(gè)根的模長相等,于是這兩個(gè)根具有如下關(guān)系:=βeiθ,其中θ ∈[0,2π].此時(shí)β和βeiθ均為特征方程的根:

給定一個(gè)θ,將有兩個(gè)關(guān)于E和β的多項(xiàng)式方程,利用結(jié)式的定義可以直接消除能量E,得到一個(gè)關(guān)于β和eiθ的代數(shù)方程R(β,eiθ)=0[45].對(duì)任意θ ∈[0,2π],這個(gè)方程給出的根同時(shí)滿足f(β,E)=f(βeiθ,E)=0,因此它們是方程(18)的解.這些解所構(gòu)成的β集合被稱為輔助廣義布里淵區(qū)[45].從這些根中選出滿足條件|βmq(E)|=|βmq+1(E)|的根即可得到廣義布里淵區(qū),進(jìn)而得到開放邊界條件下的能譜和波函數(shù).

圖3(d)中的灰色實(shí)線即為具有遠(yuǎn)程t3躍遷項(xiàng)的非厄米SSH 模型的輔助廣義布里淵區(qū)|β1(E)|=|β2(E)|;|β3(E)|=|β4(E)|對(duì)應(yīng)的輔助廣義布里淵區(qū)則超出了本圖的展示范圍.

借助廣義布里淵區(qū)和輔助廣義布里淵區(qū)的概念,可以理解一類被稱為臨界非厄米趨膚效應(yīng)(critical non-Hermitian skin effect)的現(xiàn)象[46-48].考慮如下雙帶非厄米模型:

假設(shè)所有參數(shù)都是實(shí)數(shù),其中hα(β)=(tα-γα)β-1+Vα+(tα+γα)β,且α=a,b表示兩個(gè)單帶非厄米Hatano-Nelson 模型[49,50].這兩個(gè)單帶模型之間的耦合由參數(shù)δ控制.

當(dāng)兩個(gè)單帶模型之間沒有耦合(δ=0)時(shí),這個(gè)系統(tǒng)的特征方程 (E-ha(β))(E-hb(β))=0 可分解為兩個(gè)獨(dú)立的方程:E-ha(β)=0和E-hb(β)=0.它們分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)單帶模型的特征方程,其廣義布里淵區(qū)是兩個(gè)圓.這兩個(gè)圓的半徑分別為,其中 α=a,b.由此可求得其開放邊界條件下的能譜是純實(shí)的.

然而,當(dāng)兩個(gè)單帶模型間存在耦合(δ/=0)時(shí),兩條鏈自身不同的趨膚模(假設(shè)|βa|/=|βb|)將被耦合在一起,使得系統(tǒng)的廣義布里淵區(qū)偏離兩個(gè)獨(dú)立的圓.此時(shí)的特征方程(E-ha(β))(E-hb(β))=δ2不再能分解為兩個(gè)獨(dú)立的單帶特征方程.這個(gè)方程有4 個(gè)根|β1(E)|≤···≤|β4(E)|.考察邊界條件可以發(fā)現(xiàn)此時(shí)的廣義布里淵區(qū)方程為|β2(E)|=|β3(E)|.這個(gè)模型的廣義布里淵區(qū)將分布在上述兩個(gè)圓形廣義布里淵區(qū)之間的區(qū)域[46].在熱力學(xué)極限下,這個(gè)廣義布里淵區(qū)給出的能譜是復(fù)數(shù)的.

值得注意的是,兩條鏈之間的微小耦合使得廣義布里淵區(qū)方程發(fā)生了很大改變.這意味著在熱力學(xué)極限下,即使是無窮小的耦合強(qiáng)度(δ →0)也會(huì)使得系統(tǒng)的能譜與δ=0 的情況不再相同,能譜從δ=0變?yōu)榉橇銜r(shí)將發(fā)生不連續(xù)的突變.這一現(xiàn)象被稱為臨界非厄米趨膚效應(yīng).值得指出,輔助廣義布里淵區(qū)在引入微小的δ時(shí)相對(duì)于δ=0 并不發(fā)生突變,廣義布里淵區(qū)的突變來自于模長排序:只有中間兩個(gè)根入選廣義布里淵區(qū).

在有限大的開放邊界條件下的系統(tǒng)中,該模型的能譜將強(qiáng)烈依賴于系統(tǒng)的長度L.固定耦合強(qiáng)度δ,在L較小時(shí),系統(tǒng)的能譜是純實(shí)的.這意味著此時(shí)不同鏈的趨膚模之間的耦合較小.當(dāng)L超過某個(gè)臨界值Lc時(shí),系統(tǒng)的能譜將隨著L的增大逐漸從純實(shí)數(shù)能譜過渡到熱力學(xué)極限下廣義布里淵區(qū)給出的復(fù)數(shù)能譜.其復(fù)數(shù)能譜中擁有最大虛部的本征值對(duì)應(yīng)的波函數(shù)在空間中的分布隨著L的變化會(huì)呈現(xiàn)出標(biāo)度不變的性質(zhì)[46,47].

2.4 環(huán)繞數(shù)和非厄米趨膚效應(yīng)

圖1和圖3兩個(gè)模型均具有非對(duì)稱的躍遷項(xiàng),其原胞內(nèi)向左躍遷的振幅t1+γ/2 比向右躍遷的振幅t1-γ/2 大.直觀看來,這一非對(duì)稱性導(dǎo)致了其在開放邊界條件下的波函數(shù)呈現(xiàn)出局域在系統(tǒng)左側(cè)邊界的非厄米趨膚效應(yīng).這是否說明具有非厄米趨膚效應(yīng)的波函數(shù)在空間中局域的方向取決于非對(duì)稱躍遷項(xiàng)中較大的那個(gè)方向呢？事實(shí)證明,上述粗略的圖像是不準(zhǔn)確的.

現(xiàn)考慮一個(gè)如圖4(a)所示的具有非對(duì)稱次近鄰躍遷的一維單帶非厄米模型,其哈密頓量為[51,52]

這個(gè)模型在周期邊界條件和開放邊界條件下的能譜有著顯著的不同(圖4(c)).這意味著該模型在開放邊界條件下具有非厄米趨膚效應(yīng)(圖4(b)).這個(gè)模型的特征方程h(β)-E=0是一個(gè)關(guān)于β的4 次方程.可以仿照2.3節(jié)的方法求解其廣義布里淵區(qū).對(duì)于不同的θ ∈[0,2π],求解h(β)=h(βeiθ) 可得一系列βθ和E(βθ).它們滿足方程(18):|βi(E)|=|βi+1(E)|,其中i=1,2,3.從中選出滿足方程(19)的根即可得廣義布里淵區(qū).圖4(d)中的藍(lán)色和紅色實(shí)線分別表示位于單位圓內(nèi)側(cè)和外側(cè)的廣義布里淵區(qū)|β2(E)|=|β3(E)|,可由其求得開放邊界條件下的能譜(圖4(c)中的紅色和藍(lán)色實(shí)線).圖4(d)中的灰色實(shí)線為輔助廣義布里淵區(qū)|β1(E)|=|β2(E)|.輔助廣義布里淵區(qū)|β3(E)|=|β4(E)|超出了本圖的展示范圍.

圖4 (a) 具有非對(duì)稱次近鄰躍遷的非厄米模型示意圖;(b) 開放邊界條件下系統(tǒng)本征態(tài)的空間分布,其中鏈長L=100,藍(lán)色表示波函數(shù)局域在左邊,紅色表示波函數(shù)局域在右邊;(c) 周期邊界條件(虛線)和開放邊界條件(實(shí)線)下的能譜,Ea=-3+0.1i(黃點(diǎn))和Eb=4+0.1i (綠點(diǎn))為兩個(gè)能量參照點(diǎn);(d) 廣義布里淵區(qū)(紅藍(lán)實(shí)線),輔助廣義布里淵區(qū) |β1(E)|=|β2(E)| (灰色實(shí)線),和布里淵區(qū)(黑色虛線),|β3(E)|=|β4(E)| 對(duì)應(yīng)的輔助廣義布里淵區(qū)在圖示區(qū)域以外,黃點(diǎn)和綠點(diǎn)分別為 Ea=h(β) 和Eb=h(β) 的前3 個(gè)零點(diǎn) β1,2,3.參數(shù)取值:t1=2,t2=0.3,γ=0.3,κ=0[51,52]Fig.4.(a) Sketch of a single-band non-Hermitian model with asymmetric next-nearest-neighbor hoppings;(b) eigenstate profiles under open boundary condition when L=100.Blue/red eigenstates are localized at the left/right side;(c) energy spectrum under periodic boundary condition (black dashed lines) and open boundary condition (red and blue solid lines),Ea=-3+0.1i (yellow point) and Eb=4+0.1i (green point) are two reference points;(d)generalized Brillouin zone (red and blue solid line),auxiliary generalized Brillouin zone |β1(E)|=|β2(E)| (gray solid line),and Brillouin zone (black dashed line).Auxiliary generalized Brillouin zone |β3(E)|=|β4(E)| is out of the plot.Yellow and green points are the zeros ofh(β)-Ea and h(β)-Eb,respectively.Parameters:t1=2,t2=0.3,γ=0.3,κ=0[51,52].

有趣的是,這個(gè)模型在開放邊界條件下的一部分本征態(tài)局域在系統(tǒng)的左側(cè)邊界,而另一部分本征態(tài)局域在系統(tǒng)的右側(cè)邊界.在這個(gè)系統(tǒng)中,非厄米趨膚效應(yīng)局域的方向可以和非對(duì)稱躍遷項(xiàng)所暗示的方向相反.這種現(xiàn)象被稱為雙極非厄米趨膚效應(yīng)(bipolar non-Hermitian skin effect)[53],已經(jīng)在聲學(xué)實(shí)驗(yàn)中觀察到[43].在一定條件下,這類系統(tǒng)存在頻率依賴的單向放大,即不同頻率的信號(hào)將分別向左或向右放大(見第3.2節(jié))[51].

為了進(jìn)一步理解非厄米趨膚效應(yīng)發(fā)生的條件,需要更加仔細(xì)地考察系統(tǒng)的性質(zhì).可以注意到,具有非厄米趨膚效應(yīng)的系統(tǒng)在周期邊界條件下的能譜在復(fù)平面上形成閉合的環(huán)狀結(jié)構(gòu),而其在開放邊界條件下的能譜將形成未閉合的弧狀結(jié)構(gòu)(圖1(c),圖3(c),圖4(c)).從圖4(c)可以看出,開放邊界條件下的能譜被周期邊界條件下的能譜所環(huán)繞,且環(huán)繞的方向和開放邊界條件下能譜對(duì)應(yīng)的波函數(shù)局域的方向相關(guān).為了刻畫這種關(guān)聯(lián)性,引入能譜圍繞一個(gè)參考能量E0的環(huán)繞數(shù)(winding number)[52,54-57]:

其中 arg表示復(fù)數(shù)的幅角且C為積分圍道.考慮到h(β)-E0是關(guān)于β的洛朗多項(xiàng)式,(35)式等價(jià)于

其中Nzeros(Npoles)是積分圍道C內(nèi)h(β)-E0的零點(diǎn)數(shù)(極點(diǎn)數(shù)).

將積分圍道C選為傳統(tǒng)的布里淵區(qū),wBZ(E0)表示周期邊界條件下的能譜環(huán)繞E0的次數(shù).這個(gè)環(huán)繞數(shù)所定義的點(diǎn)能隙拓?fù)?point-gap topology)是非厄米系統(tǒng)獨(dú)有的現(xiàn)象.在厄米系統(tǒng)中,不論何種邊界條件,系統(tǒng)的能譜都是實(shí)軸上的若干條線段.此時(shí)對(duì)于任何不在能譜上的參考點(diǎn)E0,其能譜的環(huán)繞數(shù)均為零.但是,非厄米系統(tǒng)在周期邊界條件下的能譜形成環(huán)狀結(jié)構(gòu),環(huán)內(nèi)的參照點(diǎn)對(duì)應(yīng)的環(huán)繞數(shù)wBZ(E0)/=0.

如圖4(c)所示,在由方程(34)所描述的單帶非厄米模型中,能量參考點(diǎn)Ea和Eb對(duì)應(yīng)的周期邊界條件下的能譜的環(huán)繞數(shù)分別為wBZ(Ea)=+1和wBZ(Eb)=-1.而這個(gè)模型的特征多項(xiàng)式h(β)-E在原點(diǎn)處是一個(gè)二階極點(diǎn),即Npoles=2.因此,非零的環(huán)繞數(shù)表明參考點(diǎn)Ea/Eb在布里淵區(qū)內(nèi)有3/1 個(gè)零點(diǎn),如圖4(d)中黃點(diǎn)/綠點(diǎn)所示.

然而,在開放邊界條件下,非厄米系統(tǒng)的能譜通常形成線狀或弧狀結(jié)構(gòu),或者說,其包圍的“內(nèi)部區(qū)域”面積為零.因此,如果將積分圍道C選為廣義布里淵區(qū),任何參考能量E0∈/{EOBC}均不被開放邊界條件下的能譜所環(huán)繞[52,54],即

這說明在廣義布里淵區(qū)內(nèi)Nzeros=Npoles.這個(gè)關(guān)系可以通過一種極限情況來理解.假設(shè)一般的洛朗多項(xiàng)式h(β)-E0可分解為

因?yàn)殚_放邊界條件下的能譜通常形成沒有內(nèi)部區(qū)域的線狀或弧狀形態(tài),所以當(dāng)E0∈/{EOBC}時(shí),總能找到一條連續(xù)的路徑將E0在不經(jīng)過開放邊界條件下的能譜的情況下移動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處.因此,廣義布里淵區(qū)內(nèi)總是包含著β1(E0),···,βm(E0)這m個(gè)零點(diǎn),即Nzeros=m.由此可得到方程(37).

即使某些特殊的模型在開放邊界條件下的能譜表面上看似包圍了非零面積,上述定理依然嚴(yán)格成立.當(dāng)參考點(diǎn)E0在從內(nèi)部移動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處的過程中穿過開放邊界條件下的能譜時(shí),βm(E0)和βm+1(E0)的次序?qū)l(fā)生交換,它們將分別移出或移入廣義布里淵區(qū).因此,廣義布里淵區(qū)內(nèi)始終包含著β1(E0),···,βm(E0)這m個(gè)零點(diǎn),即wGBZ(E0)=0.這一事實(shí)被表述為一個(gè)嚴(yán)格的定理,其完整證明請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[52].

方程(34)所描述的模型中,圖4(c)中能量參考點(diǎn)Ea和Eb對(duì)應(yīng)的開放邊界條件下的能譜的環(huán)繞數(shù)均為零.參考點(diǎn)Ea/Eb在廣義布里淵區(qū)內(nèi)有2 個(gè)零點(diǎn),如圖4(d)中黃點(diǎn)/綠點(diǎn)所示.

能譜的環(huán)繞數(shù)表明:當(dāng)參考能量E0處在周期邊界條件下的環(huán)狀能譜內(nèi)部時(shí),wGBZ(E0)=0 但wBZ(E0)/=0.這說明布里淵區(qū)和廣義布里淵區(qū)不再重合.廣義布里淵區(qū)上的點(diǎn)不再是單位模長,其對(duì)應(yīng)的開放邊界條件下實(shí)空間本征態(tài)波函數(shù)將局域在系統(tǒng)的邊界,呈現(xiàn)非厄米趨膚效應(yīng).如果選取開放邊界條件下的一個(gè)本征能量作為參考點(diǎn)E0,wBZ(E0)的正負(fù)號(hào)將決定E0所對(duì)應(yīng)的本征態(tài)局域在體系的左側(cè)邊界或右側(cè)邊界(圖4).因此,周期邊界條件下的能譜的非零環(huán)繞數(shù)符號(hào)和開放邊界條件下的非厄米趨膚效應(yīng)有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系[52,54].進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn),周期能譜非零環(huán)繞數(shù)的具體數(shù)值也對(duì)應(yīng)于量子化的物理響應(yīng)[58].

這種周期邊界條件下的能譜環(huán)繞數(shù)和開放邊界條件下的非厄米趨膚效應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系在一定程度上可以推廣到高維體系.考慮一個(gè)高維非厄米系統(tǒng),如果它在周期邊界條件下的能譜在復(fù)平面上占據(jù)了一個(gè)面積非零的區(qū)域,那么在某些邊界條件下會(huì)出現(xiàn)非厄米趨膚效應(yīng)[59].需要指出的是,高維的非厄米趨膚效應(yīng)尚有許多問題有待理解.

3 非厄米能帶理論的應(yīng)用

廣義布里淵區(qū)概念與non-Bloch 能帶理論為一大類非厄米物理問題提供了出發(fā)點(diǎn),激發(fā)了豐富的研究進(jìn)展.本節(jié)將討論非厄米能帶理論在體邊對(duì)應(yīng)、格林函數(shù)、波包動(dòng)力學(xué)、手征衰減和非布洛赫PT 對(duì)稱性等方面的應(yīng)用.

3.1 非厄米拓?fù)湎到y(tǒng)的體邊對(duì)應(yīng)

Non-Bloch 能帶理論最初提出是為了回答非厄米系統(tǒng)的體邊對(duì)應(yīng)問題.在厄米系統(tǒng)中,周期邊界條件下的布洛赫哈密頓量所蘊(yùn)含的拓?fù)洳蛔兞颗c開放邊界條件下拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界態(tài)之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系[14-17].但是,在非厄米系統(tǒng)中,布洛赫哈密頓量的能譜及其所對(duì)應(yīng)的調(diào)制平面波形式的波函數(shù)與開放邊界條件下的能譜及波函數(shù)有著顯著的區(qū)別.這意味著非厄米布洛赫哈密頓量的拓?fù)湫再|(zhì)無法預(yù)言開放邊界條件下邊界態(tài)的行為.實(shí)際上,基于布洛赫能帶理論的拓?fù)洳蛔兞吭诎l(fā)生改變時(shí),一般并不對(duì)應(yīng)開放邊界條件下邊界態(tài)數(shù)目的變化[19].

因?yàn)椴悸搴展茴D量無法描述開放邊界條件下的非厄米趨膚效應(yīng),所以布洛赫拓?fù)洳蛔兞繜o法準(zhǔn)確預(yù)測開放邊界條件下非厄米系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì).能夠刻畫非厄米趨膚效應(yīng)的non-Bloch 能帶理論可以解決這個(gè)問題.此時(shí),拓?fù)洳蛔兞坎辉俣x在傳統(tǒng)的布里淵區(qū)上,而是定義在廣義布里淵區(qū)上.這種拓?fù)洳蛔兞靠坍嬃藦V義布里淵區(qū)上的哈密頓量所蘊(yùn)含的拓?fù)湫再|(zhì),因此被稱為非布洛赫拓?fù)洳蛔兞?non-Bloch topological invariants).它能夠準(zhǔn)確地預(yù)言開放邊界條件下邊界態(tài)的行為,忠實(shí)地體現(xiàn)了非厄米系統(tǒng)的體邊對(duì)應(yīng).因此,體邊對(duì)應(yīng)原理在非厄米體系中依然成立,但其含義有重要變化;非厄米體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系一般稱為non-Bloch 體邊對(duì)應(yīng).

為了闡述基于廣義布里淵區(qū)的非布洛赫拓?fù)洳蛔兞?現(xiàn)考慮圖1(a)所示的非厄米SSH 模型(方程(4)).圖3(a)所示具有遠(yuǎn)程躍遷項(xiàng)的非厄米SSH 模型(方程(14))的拓?fù)湫再|(zhì)擁有類似的結(jié)論.前面已經(jīng)提到,非厄米SSH 模型在周期邊界條件和開放邊界條件下的能譜有著顯著的區(qū)別.在改變系統(tǒng)參數(shù)時(shí),開放邊界條件下邊界態(tài)出現(xiàn)的位置并不對(duì)應(yīng)周期邊界條件下能隙關(guān)閉的位置(t1=±t2±γ/2),而是對(duì)應(yīng)開放邊界條件下能隙關(guān)閉的位置,如圖5(a)所示.因此,為了刻畫非厄米系統(tǒng)的體邊對(duì)應(yīng),需要采用non-Bloch 能帶理論.

圖5 (a) 非厄米SSH 模型在開放邊界條件下的能譜模長|E|隨著參數(shù) t1的變化,紅色實(shí)線表示拓?fù)淞隳＿吔鐟B(tài),鏈長L=40;(b) Non-Bloch 拓?fù)洳蛔兞侩S著 t1的變化,參數(shù)取值:t2=1,γ=4/3 [19]Fig.5.(a) Absolute values of open-boundary eigenenergies|E|for the non-Hermitian SSH model.Red solid line represents the topological edge zero modes.The chain length L=40.(b) Non-Bloch topological invariant calculated from Eq.(42).Parameters:t2=1,γ=4/3 [19].

按照前面的做法,將布洛赫哈密頓量延拓到β復(fù)平面上,非厄米SSH 模型的哈密頓量可以寫作:

H(β)的本征值和本征態(tài)如下:

此時(shí),non-Bloch 環(huán)繞數(shù)可定義為沿著廣義布里淵區(qū)的積分[19]:

如圖5(b)所示,這個(gè)基于廣義布里淵區(qū)的non-Bloch拓?fù)洳蛔兞靠坍嬃碎_放邊界條件下非厄米SSH 模型的邊界零模態(tài)的數(shù)目,準(zhǔn)確描述了非厄米系統(tǒng)的體邊對(duì)應(yīng).

非厄米拓?fù)湎到y(tǒng)的體邊對(duì)應(yīng)已經(jīng)在多個(gè)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上實(shí)現(xiàn),其中包括量子光學(xué)系統(tǒng)[24,28]、拓?fù)潆娐穂23]、光學(xué)網(wǎng)格系統(tǒng)[25]、拓?fù)涑牧蟍29]等.這些實(shí)驗(yàn)結(jié)果清楚地觀測到非厄米趨膚效應(yīng),并顯示了基于廣義布里淵區(qū)的non-Bloch 能帶理論準(zhǔn)確地描述了非厄米系統(tǒng)的體邊對(duì)應(yīng).

Non-Bloch 體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用范圍并不限于上述最簡單的開放邊界條件,它也可以應(yīng)用于其他類型的邊界條件,如非厄米疇壁系統(tǒng)[44].非厄米趨膚效應(yīng)和non-Bloch 體邊對(duì)應(yīng)在高維系統(tǒng)中也發(fā)揮著重要作用.在二維非厄米陳絕緣體中可以定義non-Bloch 陳數(shù),它準(zhǔn)確預(yù)言了非厄米陳絕緣體的手征邊界態(tài)的數(shù)目[20].值得指出,這里的non-Bloch 陳數(shù)是在連續(xù)極限下計(jì)算的,二維或更高維度的non-Bloch 拓?fù)洳蛔兞康母咝?、普適的計(jì)算方法還有待發(fā)展.高維非厄米系統(tǒng)還存在著更豐富的非厄米趨膚效應(yīng),如高階非厄米趨膚效應(yīng),以及其他豐富的非厄米拓?fù)湎郲13,60-68].

3.2 非厄米格林函數(shù)

非厄米系統(tǒng)中另一類重要的物理量是非厄米格林函數(shù).格林函數(shù)在物理學(xué)的很多領(lǐng)域都扮演著十分重要的角色,它描述了系統(tǒng)對(duì)于外界小擾動(dòng)的線性響應(yīng).因此,研究非厄米格林函數(shù)可以幫助理解非厄米系統(tǒng)的響應(yīng)和動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

考慮圖4(a)所示的具有非對(duì)稱次近鄰躍遷的一維單帶非厄米系統(tǒng),其頻率空間中的格林函數(shù)定義為

其中H為實(shí)空間哈密頓量.數(shù)值計(jì)算表明,開放邊界條件下的格林函數(shù) GL1(ω)和G1L(ω) 對(duì)于系統(tǒng)長度L的依賴關(guān)系呈現(xiàn)出如圖6所示的指數(shù)變化的行為[51]:

圖6 (a) 方程(34)所描述的非厄米模型在開放邊界條件下的非厄米格林函數(shù) |GL1| 和|G1L|,實(shí)線是利用廣義布里淵區(qū)計(jì)算的理論值;(b) L=80時(shí)的 |G40,j|,藍(lán)線表示根據(jù)廣義布里淵區(qū)公式計(jì)算的理論值.參數(shù)取值:t1=t2=1,γ=4/3,κ=-0.8,ω=-1.7[51]Fig.6.(a) Non-Hermitian Green’ s functions |GL1| and|G1L|for the non-Hermitian model in Eq.(34) under open boundary condition.Solid lines are calculated from the generalized Brillouin zone.(b) |G40,j|for L=80.The blue lines are the results from the generalized-Brillouin-zonebased formula.Parameters:t1=t2=1,γ=4/3,κ=-0.8,ω=-1.7[51].

特別地,當(dāng)α→＞1(α←＞1)時(shí)系統(tǒng)對(duì)邊界上輸入信號(hào)的響應(yīng)會(huì)呈現(xiàn)出向右(左)放大的特征.

根據(jù)non-Bloch 能帶理論,開放邊界條件下實(shí)空間的非厄米格林函數(shù)可以通過廣義布里淵區(qū)上的圍道積分來計(jì)算[51]:

不失一般性,首先考慮i ＞j的情況.因?yàn)閺V義布里淵區(qū)是復(fù)平面上繞原點(diǎn)的一個(gè)閉合回路,所以留數(shù)定理表明(45)式等于廣義布里淵區(qū)內(nèi)所有極點(diǎn)的留數(shù)之和.為了計(jì)算廣義布里淵區(qū)內(nèi)的留數(shù),需要考慮ω-h(β)=0 在廣義布里淵區(qū)內(nèi)的零點(diǎn),如圖7(a)和圖7(e)所示.第2.4節(jié)證明廣義布里淵區(qū)包含m個(gè)零點(diǎn)β1(ω),···,βm(ω).因此,當(dāng)i ?j時(shí),上述格林函數(shù)的漸進(jìn)行為如下:

同理可得,當(dāng)i ?j時(shí),格林函數(shù)的漸進(jìn)行為如下:

如圖7所示,數(shù)值計(jì)算所得的指數(shù)α→,α←和代數(shù)方程ω-h(β)=0的中間兩個(gè)零點(diǎn)βm(ω),βm+1(ω)符合得很好,即

當(dāng)系統(tǒng)存在單向放大(α→＞1或α←＞1)時(shí),βm(ω)或βm+1(ω) 位于廣義布里淵區(qū)和布里淵區(qū)之間的區(qū)域,如圖7(a)和圖7(e)所示.值得一提的是,在目前這個(gè)模型里單向放大具有頻率依賴性,即某些頻率區(qū)間系統(tǒng)會(huì)向右放大(圖7(a)—圖7(d)),而另一些頻率區(qū)間里系統(tǒng)會(huì)向左放大(圖7(e)—圖7(h)).這一性質(zhì)有望應(yīng)用于將濾波器件與放大器件合二為一.

圖7 (a) 布里淵區(qū)(藍(lán)色虛線)和廣義布里淵區(qū)(紅色實(shí)線).β1,2,3是方程 h(β)=ω 在 κ=-0.1,ω=4時(shí)的根(β4在展示范圍之外).β2位于廣義布里淵區(qū)和布里淵區(qū)之間.(b) |β2|隨著 ω,κ的變化.(c) α→隨著 ω,κ的變化.(d) |β2| 和α→ 沿著圖(c)中虛線 κ=-0.1的變化.(e)和圖(a)的區(qū)別是 ω=-3,此時(shí) β3 位于廣義布里淵區(qū)和布里淵區(qū)之間.(f) |β3|-1.(g) α←.(h)|β3|-1和α←沿著圖(g)中虛線 κ=-0.1的變化.參數(shù)取值:t1=2,t2=0.3,γ=0.3 [51]Fig.7.(a) Brillouin zone (blue dashed line) and generalized Brillouin zone (red solid line).β1,2,3 are the roots of h(β)=ω with κ=-0.1,ω=4(β4 is out of this plot).β2 lies between the Brillouin zone and generalized Brillouin zone.(b) |β2| as a function of ω,κ.(c) Numerical α→as a function of ω,κ.(d) |β2|and α→along the dashed cut κ=-0.1 in panel (c).(e) The same as panel (a) except that ω=-3.β3 lies between the Brillouin zone and generalized Brillouin zone.(f) |β3|-1.(g) α←.(h)|β3|-1 and α←along the dashed cut κ=-0.1in panel (g).Parameters:t1=2,t2=0.3,γ=0.3 [51].

上述結(jié)果對(duì)一維多帶非厄米模型依然成立.此時(shí)βm(ω) 和βm+1(ω)應(yīng)為代數(shù)方程det(ωI-h(β))=0的中間兩個(gè)零點(diǎn)[51].

近期,非厄米格林函數(shù)和廣義布里淵區(qū)也在其他相關(guān)問題中得到應(yīng)用,如在量子化物理響應(yīng)中[58].

3.3 非厄米波包動(dòng)力學(xué)

Non-Bloch 能帶理論不僅可用于計(jì)算開放邊界條件下頻率空間的格林函數(shù),還可用于研究非厄米系統(tǒng)在時(shí)域上的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

考慮一個(gè)波包在一維非厄米系統(tǒng)的內(nèi)部(遠(yuǎn)離邊界)進(jìn)行演化.Longhi[69]研究發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)內(nèi)部波包演化動(dòng)力學(xué)在長時(shí)間極限下的Lyapunov 指數(shù)能夠由廣義布里淵區(qū)來刻畫.有趣的是,波包動(dòng)力學(xué)所給出的Lyapunov 指數(shù)與邊界條件無關(guān).不論是周期邊界條件還是開放邊界條件,Lyapunov指數(shù)都與廣義布里淵區(qū)上的鞍點(diǎn)有關(guān).這一現(xiàn)象為實(shí)驗(yàn)探測非厄米趨膚效應(yīng)提供了新的思路.

其中h(k)是H對(duì)應(yīng)的布洛赫哈密頓量而h(β)≡h(k →-i lnβ)是其向β復(fù)平面的延拓.通過(49)式可以看出,被積函數(shù)僅在β=0 處有一個(gè)本性極點(diǎn).這說明積分圍道可以在不經(jīng)過原點(diǎn)的情況下從布里淵區(qū)移動(dòng)到別的圍道,如這個(gè)非厄米哈密頓量所對(duì)應(yīng)的廣義布里淵區(qū).因此,在布里淵區(qū)或廣義布里淵區(qū)上積分會(huì)給出同樣的ψ(x,t),即周期邊界條件和開放邊界條件下的波包動(dòng)力學(xué)有著相同的行為.這要求演化時(shí)間t遠(yuǎn)小于波包到達(dá)系統(tǒng)邊界的時(shí)間,否則波包的行為將受到邊界的影響而產(chǎn)生差異.可以證明,熱力學(xué)極限下的時(shí)域格林函數(shù)在t較小時(shí)與系統(tǒng)的邊界條件無關(guān)[70].

然而,即使在熱力學(xué)極限下波包動(dòng)力學(xué)與邊界條件無關(guān),ψ(x,t) 中依然蘊(yùn)含著廣義布里淵區(qū)的信息.沿著漂移速度v所確定的坐標(biāo)x=x0+vt可定義波包演化的Lyapunov 指數(shù)

Lyapunov 指數(shù)的極大值為周期邊界條件下能譜的最大虛部:max(λv)=Im(Em),其中取得極大值時(shí)的漂移速度vm=[dE(k)/dk]Em.如果系統(tǒng)在開放邊界條件下具有非厄米趨膚效應(yīng),可以證明v=0一定不是Lyapunov 指數(shù)的極大值點(diǎn),即λ0＜max(λv)[69].這說明非厄米趨膚效應(yīng)會(huì)顯著影響系統(tǒng)內(nèi)部的波包動(dòng)力學(xué).

廣義布里淵區(qū)可以給出體內(nèi)波函數(shù)演化的更定量的信息.利用鞍點(diǎn)近似可以得到出發(fā)位置波函數(shù)ψ(x0,t) 在長時(shí)間極限下的行為:

其中E(βs)為某一個(gè)鞍點(diǎn)處的能量,即0.(50)式表明,在長時(shí)間極限下v=0 的Lyapunov 指數(shù)λ0=Im[E(βs)]是某一個(gè)鞍點(diǎn)能量的虛部.

可以證明,開放邊界條件下的能譜曲線的末端總是鞍點(diǎn)(圖8(a)),對(duì)應(yīng)的βs一定處在廣義布里淵區(qū)上[69].如果有多個(gè)鞍點(diǎn),虛部最大的鞍點(diǎn)將決定波包的長時(shí)間演化.由此可知,出發(fā)位置波函數(shù)振幅的長時(shí)間演化行為將由開放邊界條件下能譜的末端能量的虛部決定,因此與廣義布里淵區(qū)而不是布里淵區(qū)相聯(lián)系.雖然波包演化一直處于體內(nèi)(遠(yuǎn)離邊界),這一結(jié)論仍然成立.

圖8 (a) 周期邊界條件(黑色虛線)和開放邊界條件(紅色實(shí)線)下的能譜,藍(lán)點(diǎn)代表鞍點(diǎn) =0 ;(b) 波包初始位置波函數(shù)振幅 |ψ(x0,t)| 隨時(shí)間的演化.參數(shù)取值:t1=1,t2=1,γ=1.5,κ=-1.2Fig.8.(a) Energy spectrums under periodic boundary condition (black dashed line) and open boundary condition (red solid line).Blue points are the saddle points satisfying=0.(b) Time evolution of wavefunction amplitude|ψ(x0,t)|at the initial location x0.Parameters:t1=1,t2=1,γ=1.5,κ=-1.2.

因?yàn)殚_放邊界條件下能譜末端的鞍點(diǎn)位于周期邊界條件下能譜的內(nèi)部,所以一定有λ0＜max(λv).由于上述過程與邊界條件無關(guān),因此即使在周期邊界條件下,系統(tǒng)仍能體現(xiàn)非厄米趨膚效應(yīng)和廣義布里淵區(qū)的性質(zhì)[69].

作為例子,考慮圖4(a)的一維單帶模型,在一條足夠長的鏈(L=1000)的中部 (x0=500) 放入一個(gè)初態(tài)波包ψ(x,0)=δx,xO.在一定的參數(shù)下,隨著波包的演化,ψ(x0,t) 會(huì)呈現(xiàn)出圖8(b)所示的指數(shù)衰減的行為|ψ(x0,t)|～e-0.293t.這個(gè)指數(shù)非常接近開放邊界條件下能譜EOBC末端的虛部,即鞍點(diǎn)Es的虛部 Im(Es)=-0.279 (圖8(a)),與周期邊界條件下能譜的最大虛部無關(guān).

Non-Bloch 能帶理論除了在波包動(dòng)力學(xué)中展現(xiàn)廣義布里淵區(qū)鞍點(diǎn)的性質(zhì),還在其他諸多非厄米動(dòng)力學(xué)過程中發(fā)揮作用[71,72],例如它可以給出淬火動(dòng)力學(xué)中的拓?fù)洳蛔兞縖28,73].

3.4 開放量子體系的Liouvillian 能隙與手征衰減

上一個(gè)例子表明,非厄米系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)受到non-Bloch 能帶性質(zhì)的深刻影響.在引言部分提到,開放量子體系的Liouvillian 超算符可以視為作用在密度矩陣上的有效非厄米哈密頓量,決定了密度矩陣的時(shí)間演化.一個(gè)自然的問題是,Liouvillian 作為一個(gè)非厄米算子是否可以出現(xiàn)非厄米趨膚效應(yīng)? 其物理后果是什么? 是否可以在non-Bloch 能帶理論下描寫?

下面從Lindblad 量子主方程出發(fā):

其中ρ代表系統(tǒng)的密度矩陣,H表示系統(tǒng)幺正演化的哈密頓量,Lμ是描述系統(tǒng)與環(huán)境之間的耦合導(dǎo)致的量子躍遷.研究發(fā)現(xiàn),Liouvillian 超算符也能展現(xiàn)非厄米趨膚效應(yīng),且這種效應(yīng)會(huì)顯著地影響系統(tǒng)在長時(shí)間下的動(dòng)力學(xué)行為.在一大類開放量子系統(tǒng)中,長時(shí)間極限下的量子態(tài)在周期邊界條件下以代數(shù)衰減的方式趨近于穩(wěn)態(tài),而在開放邊界條件下以指數(shù)衰減的方式趨近于穩(wěn)態(tài)[74].

為具體起見,考慮如圖9(a)所示的開放費(fèi)米子系統(tǒng),其哈密頓量選為SSH 模型[27]:

根據(jù)定義,nx(t)=ΔxA,xA(t)+ΔxB,xB(t).數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn),當(dāng)t1≤t2時(shí),n?(t) 在周期邊界條件下呈代數(shù)衰減,如圖9(c)中的A,B所示.

圖9 開放量子系統(tǒng)中的Liouvillian 能隙與手征衰減 (a) 具有耗散的開放SSH 模型.(b) 衰減矩陣 X 的本征值.藍(lán)色代表周期邊界條件,紅色代表開放邊界條件.A和B (t1≤t2)在周期邊界條件下的Liouvillian 能隙為零而C和D (t1 ＞t2)非零.A,B,C,D4 種情況在開放邊界條件下的Liouvillian 能隙均不為零.4 種情況的參數(shù)取值見圖(c).(c) 平均粒子數(shù)偏離值 (t) 在周期邊界條件下的演化.A和B 表現(xiàn)為緩慢的代數(shù)衰減,而C和D 為指數(shù)衰減.(d) 每個(gè)格點(diǎn)上的費(fèi)米子數(shù)偏離 (t) 在周期邊界條件(左)和開放邊界條件(右)下的演化.(e) 不同長度系統(tǒng)中平均費(fèi)米子數(shù)偏離 (t) 在周期邊界條件(實(shí)線)和開放邊界條件(虛線)下的演化.(f)費(fèi)米子數(shù)偏離(t)在開放邊界條件(虛線)下的演化.(d)—(f)的參數(shù)為 t1=t2=1,γg=γl=0.2.(c)—(f) 中所有演化過程的初態(tài)均為全占據(jù)態(tài)∏x,s|0〉[74]Fig.9.Liouvillian gap and chiral damping in an open quantum system with non-Hermitian skin effect:(a) Sketch of the SSH Hamiltonian H with additional single-particle gain and loss.(b) Eigenenergies of damping matrix X.Blue:periodic boundary condition.Red:open boundary condition.The Liouvillian gap under periodic boundary condition is zero for A and B (t1≤t2),while it is nonzero for C and D (t1 ＞t2).Parameter values are shown in panel (c).(c) Time evolution of the fermion number deviation from the steady-state value,(t),of a periodic-boundary chain.The damping is algebraic for A,B and exponential for C,D.(d)Time evolution of site-resolved fermion number deviation from the steady-state values,(t),for the periodic boundary condition(left) and open boundary condition (right).(e) Time evolution of n?(t) under periodic boundary conditions (solid curve) and open boundary conditions (dashed curves) for different chain length L.(f) Time evolution of (t) for an open-boundary chain at different x.Parameters in (d)—(f):t1=t2=1,γg=γl=0.2.The initial state in (c)—(f) is ∏x,s|0〉 [74].

然而,在開放邊界條件下,非厄米矩陣X具有非厄米趨膚效應(yīng).這使得它的能譜不再是周期邊界條件下的能譜.此時(shí)能譜的Liouvillian 能隙Λ/=0(圖9(b)).因此,n?(t) 在長時(shí)間極限下會(huì)呈指數(shù)衰減.圖9(e)的數(shù)值模擬顯示系統(tǒng)的平均粒子數(shù)在進(jìn)入指數(shù)衰減之前,會(huì)有一段時(shí)間呈現(xiàn)周期邊界條件時(shí)的代數(shù)衰減的行為.且這一行為持續(xù)的時(shí)間長度正比于體系的尺度L.

更進(jìn)一步,如果考慮每個(gè)格點(diǎn)上的粒子數(shù)偏離(t)=nx(t)-nx(∞)的演化.周期邊界條件下它們都呈現(xiàn)出緩慢的代數(shù)衰減的行為.然而,在開放邊界條件下,(t) 先經(jīng)歷一段代數(shù)衰減的區(qū)域再進(jìn)入指數(shù)衰減.這個(gè)轉(zhuǎn)變從系統(tǒng)的一側(cè)邊界x=0附近開始,漸漸向系統(tǒng)的另一側(cè)傳播.系統(tǒng)不同位置發(fā)生轉(zhuǎn)變的時(shí)間正比于該處到邊界的距離,從而形成一個(gè)波前,如圖9(f)所示[74].這種現(xiàn)象被稱為手征衰減(chiral damping),如圖9(d)所示.它起源于X矩陣的非厄米趨膚效應(yīng).如果X矩陣在開放邊界條件下沒有非厄米趨膚效應(yīng),那么粒子數(shù)的演化在不同邊界條件下有著相似的行為.

由此可見,非厄米趨膚效應(yīng)在開放量子系統(tǒng)中發(fā)揮著重要作用,它能影響開放量子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和動(dòng)力學(xué)響應(yīng)等諸多性質(zhì)[75-78].

3.5 非布洛赫PT 對(duì)稱性

宇稱-時(shí)間對(duì)稱性(PT 對(duì)稱性)在非厄米系統(tǒng)中扮演著重要的角色.依賴于非厄米參數(shù)的取值,一個(gè)具有PT 對(duì)稱性的系統(tǒng)可以擁有純實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù)能譜,這二者之間的轉(zhuǎn)變稱為PT 對(duì)稱性破缺[79-83].對(duì)于一個(gè)空間周期性體系,如果系統(tǒng)沒有非厄米趨膚效應(yīng),傳統(tǒng)的布洛赫能帶理論表明PT對(duì)稱性破缺發(fā)生于布里淵區(qū)上的奇異點(diǎn).

對(duì)于具有非厄米趨膚效應(yīng)的系統(tǒng),根據(jù)前面提到的定理[52,54],周期邊界條件下的能譜環(huán)繞非零面積,因此不可能為純實(shí)數(shù),也就不會(huì)發(fā)生PT 對(duì)稱性破缺;然而,開放邊界條件下的能譜可以是實(shí)數(shù)的.非厄米趨膚效應(yīng)使得開放邊界條件下能譜為實(shí)數(shù)的現(xiàn)象被稱為非布洛赫PT 對(duì)稱性(non-Bloch parity-time symmetry).值得指出的是,開放邊界條件是物理上更自然的邊界條件,也是實(shí)驗(yàn)中通常采用的邊界條件.

3.5.1 一維量子行走系統(tǒng)的非布洛赫PT對(duì)稱性

前面給出的例子里其實(shí)已經(jīng)出現(xiàn)了非布洛赫PT 對(duì)稱性.如,圖1(a)描述的非厄米SSH 模型滿足廣義的PT 對(duì)稱性H=H*.這種對(duì)稱性是PT對(duì)稱性的一般推廣,它保證了哈密頓量在一組合適的基下是一個(gè)實(shí)矩陣.在一定的參數(shù)區(qū)間內(nèi)該哈密頓量在開放邊界條件下的能譜是實(shí)數(shù)(如圖1(c)),而在周期邊界條件下它的能譜始終是復(fù)數(shù).圖3(a)所示模型具有同樣的對(duì)稱性H=H*,當(dāng)參數(shù)取值為圖3(c)時(shí),非布洛赫PT 對(duì)稱性發(fā)生了破缺,其開放邊界條件下的能譜擁有復(fù)的本征值.

利用第3.3節(jié)討論過的波包動(dòng)力學(xué),在一維單光子量子行走實(shí)驗(yàn)中可以觀測到這種來自非厄米趨膚效應(yīng)和廣義布里淵區(qū)的非布洛赫PT 對(duì)稱性及其破缺[69,84,85]

在這類體系中,光子的演化由非幺正的離散時(shí)間演化算符刻畫:|ψ(t)〉=Ut|ψ(0)〉,其中t=0,1,2,···,這可以視為初態(tài)|ψ(0)〉在由U=e-iHeff定義的有效哈密頓量Heff的作用下進(jìn)行演化.具體實(shí)現(xiàn)方式有很多可能,實(shí)際的量子行走實(shí)驗(yàn)采用了如下的非幺正算符[85]:

其中單向轉(zhuǎn)移算符

即它們使得不同偏振的光子(|0〉或者|1〉,σz的兩個(gè)本征態(tài))沿著一維晶格向不同方向轉(zhuǎn)移.在每個(gè)格點(diǎn)上,還有旋轉(zhuǎn)算符

系統(tǒng)的增益和損耗通過

實(shí)現(xiàn).

在算符S1,2和M的共同作用下,演化算符U在實(shí)空間出現(xiàn)非厄米趨膚效應(yīng).如果考慮兩個(gè)一維系統(tǒng)首尾相連形成疇壁,兩側(cè)的物理參數(shù)分別為和,U的本征態(tài)會(huì)局域在疇壁上[44,85].在這個(gè)體系中可以研究非布洛赫PT 對(duì)稱性.將演化算符U變換到動(dòng)量空間U(k)并定義U(β)≡U(k →-i lnβ),可以求得演化算符的廣義布里淵區(qū).考慮β在廣義布里淵區(qū)上取值,計(jì)算發(fā)現(xiàn),當(dāng)|costanhγ|時(shí),U(β)有如下η-贗幺正性(η-pseudo-unitarity)[85]:

這便是單光子量子行走系統(tǒng)中的非布洛赫PT 對(duì)稱性,它將保證Heff的本征值(U對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)能譜)是純實(shí)的或者互為復(fù)共軛.從物理效果來看,在PT對(duì)稱的區(qū)域和PT 對(duì)稱破缺的區(qū)域,初態(tài)波包具有截然不同的演化行為,可以用第3.3節(jié)中非厄米波包動(dòng)力學(xué)的方法來探測系統(tǒng)的PT 對(duì)稱性[69,85].

如圖10所示,隨著系統(tǒng)參數(shù)的改變,周期邊界條件下的能譜始終是復(fù)數(shù)的,而開放邊界條件下的能譜會(huì)經(jīng)歷從實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)的相變.圖10給出了非厄米系統(tǒng)在開放邊界條件下的非布洛赫PT 對(duì)稱性及其破缺過程,破缺點(diǎn)被稱為非布洛赫奇異點(diǎn)(non-Bloch exceptional point)[85].在這個(gè)具體系統(tǒng)中,非布洛赫PT 對(duì)稱性發(fā)生破缺的參數(shù)條件是這與周期邊界條件下的情況有著本質(zhì)區(qū)別.在周期邊界條件下,該參數(shù)附近的能譜始終為復(fù)數(shù),未發(fā)生任何相變.

圖10 一維量子行走系統(tǒng)的準(zhǔn)能譜虛部 Im(E)隨著 的變化.其他參數(shù)為 =0.5625π,=-0.0625π,γ=0.2746(a)=0.75π;(b) =-0.9735π.藍(lán)色實(shí)線和灰色實(shí)線分別代表開放邊界條件下的非布洛赫能譜和周期邊界條件下的布洛赫能譜[85]Fig.10.Imaginary part of quasienergies Im(E)versus for the experimentally realized one-dimensional quantum walk.Parameter values:=0.5625π,=-0.0625π,γ=0.2746:(a) =0.75π;(b) =-0.9735π.Blue and gray lines represent quasi-energies under open boundary condition and periodic boundary condition,respectively[85].

3.5.2 高維系統(tǒng)的非布洛赫PT 對(duì)稱性

最近的理論研究發(fā)現(xiàn),非布洛赫PT 對(duì)稱性對(duì)于空間維數(shù)有著出乎意料的依賴性[86].分別考慮4 個(gè)不同體系在開放邊界條件下的非布洛赫PT 對(duì)稱性的相圖,他們的布洛赫哈密頓量分別如下:圖11(a)表示一維單帶模型

圖11(b)表示二維單帶模型

圖11(c)表示二維雙帶模型

圖11(d)表示三維單帶模型

圖11 不同系統(tǒng)在開放邊界條件下復(fù)數(shù)能量數(shù)目占比 P (a),(e) 長度為 L 的鏈上的 H1D,其中 t=1,s=0.15;(b),(f)L×L的正方形上的 ,其中 t=1,s=0.3;(c),(g) L×L的正方形上的 ,其中 m=0.5,t=0.2,Δ=0;(d),(h)L×L×L的正方體上的 H3D,其中 t=1,s=0.5.(d)中邊界格點(diǎn)上有隨機(jī)勢 V=r∈Boundary w(r)|r〉〈r|,其中 w(r) 在[-W/2,W/2]中均勻分布且 W=0.7.能量虛部的絕對(duì)值 |Im(E)|＞10-10 即被視為復(fù)數(shù)能量[86]Fig.11.Complex eigenenergies proportion P for four different systems under open boundary condition:(a),(e) H1D on a length-L chain with t=1,s=0.15;(b),(f) on L×Lsquares with t=1,s=0.3;(c),(g) on L×L squares with m=0.5,t=0.2,Δ=0H3DL×L×Lt=1,s=0.5;(d),(h)on cubes with.For (d),there is an on-site random potential V=w(r)|r〉〈r|w(r)[-W/2,W/2]W=0.7|Im(E)|＞10-10 on boundary sites where is uniformly distributed in with.Numerically,a complex energy holds a nonzero imaginary part if[86].

在一維系統(tǒng)中,非布洛赫PT 對(duì)稱性的破缺一般要求非厄米項(xiàng)超過一個(gè)與系統(tǒng)長度無關(guān)的非零閾值,如圖11(e)所示.但是,在二維或更高維的系統(tǒng)中,當(dāng)體系的尺寸增大時(shí),非布洛赫PT 對(duì)稱性破缺的閾值會(huì)趨近于零,如圖11(f)和圖11(h)所示.即使是一個(gè)無窮小的非厄米項(xiàng),在體系足夠大的時(shí)候也會(huì)使得系統(tǒng)的大部分本征能量變?yōu)閺?fù)數(shù)[86].

這一現(xiàn)象與布洛赫能帶的PT 對(duì)稱性有著顯著的區(qū)別.對(duì)于沒有非厄米趨膚效應(yīng)的PT 對(duì)稱的系統(tǒng),布洛赫能帶理論有效,此時(shí)PT 對(duì)稱性破缺的閾值一般非零,并且與系統(tǒng)的尺寸無關(guān)(除了尺寸較小時(shí)出現(xiàn)的有限尺寸效應(yīng)),如圖11(g)所示.與非布洛赫PT 對(duì)稱破缺的維度依賴性不同,布洛赫PT 對(duì)稱破缺在一維和高維一般均有非零閾值.

4 結(jié)語

本文簡要介紹了廣義布里淵區(qū)的non-Bloch能帶理論的基本概念,并討論了該理論在若干非厄米系統(tǒng)中的應(yīng)用.可以看到,雖然最初提出廣義布里淵區(qū)是為了理解非厄米拓?fù)鋺B(tài)的體邊對(duì)應(yīng),但是這一概念的應(yīng)用范圍并不限于拓?fù)湫再|(zhì).它可以用于研究非厄米能帶結(jié)構(gòu)、格林函數(shù)、動(dòng)力學(xué)、PT 對(duì)稱性等諸多方面的物理性質(zhì).

如果在非厄米系統(tǒng)中引入更豐富的對(duì)稱性,非厄米能帶理論將會(huì)呈現(xiàn)其他新奇性質(zhì)[54,87-96].如,如果系統(tǒng)存在互易性T h(β)TT-1=h(β-1),其中幺正算符T滿足T T*=-1,系統(tǒng)在開放邊界條件下會(huì)呈現(xiàn)出 Z2非厄米趨膚效應(yīng)(Z2non-Hermitian skin effect),即一個(gè)本征能量對(duì)應(yīng)兩個(gè)分別局域在系統(tǒng)兩側(cè)邊界的簡并的本征態(tài)[54,87,90].在具有BCS 配對(duì)的玻色子系統(tǒng)中(例如很多magnon 系統(tǒng)中),玻色型Bogoliubov 準(zhǔn)粒子的動(dòng)力學(xué)由一個(gè)非厄米矩陣所控制,因此可以用非厄米能帶理論來描述[91,92,94].

非厄米趨膚效應(yīng)作為一個(gè)普遍的非厄米物理現(xiàn)象,在許多無法簡單定義能帶結(jié)構(gòu)的非厄米系統(tǒng)中也扮演著重要的角色,如非厄米無序系統(tǒng)[97-106]、非厄米晶體缺陷[107-110]、非厄米相互作用系統(tǒng)[111-117]及非厄米量子場論[118,119]等.

目前,這一研究方向仍在活躍發(fā)展之中,限于篇幅,眾多最新進(jìn)展未能在此介紹.最后需要說明,雖然這一方向最近幾年已有不少進(jìn)展,但已被理解的部分可能只是冰山一角,還有許多重要問題有待回答.