時威 李萍 楊成曉 張震 胡旭東 謝瑜 劉慧

摘要：為了探究各種因素對折射率梯度的影響，以2020年全國大學生物理學術競賽（CUPT）“甜蜜的海市蜃樓”這一題目為基礎，研究溫度、觀察角度和介質(zhì)對折射率梯度的影響。結(jié)合費馬原理以及光學拉格朗日方程得到大氣內(nèi)的光線傳導的軌跡規(guī)律;改變?nèi)芤旱臐舛?、溫度等進行多種實驗，用Origin軟件對實驗數(shù)據(jù)進行分析，探究了影響海市蜃樓現(xiàn)象的各種因素。研究結(jié)果表明：處于擴散層內(nèi)的光線出現(xiàn)彎曲現(xiàn)象，并在該擴散層發(fā)生全發(fā)射形成倒立像以及發(fā)生折射形成正立像。

關鍵詞：海市蜃樓;折射率梯度;光線傳播

在安靜的湖面、沙漠地帶以及海面等地方，在特定情況下，眼前可能會出現(xiàn)高聳著的亭臺樓閣、城市古堡以及其他現(xiàn)象，此類虛幻形式的奇異景觀，如同處于仙界，此即為典型的海市蜃樓景觀[1]。這是在一定條件下發(fā)生的自然現(xiàn)象，比較少見，一般很難觀察到。其實這一現(xiàn)象為典型的大氣光學現(xiàn)象，光線基于各個密度的空氣層等影響之后出現(xiàn)折射，結(jié)合地形環(huán)境等多方面要素呈現(xiàn)出上現(xiàn)蜃景、下現(xiàn)蜃景和復雜蜃景等。上現(xiàn)蜃景主要表示光線在不同密度的空氣層中出現(xiàn)折射以及全發(fā)射等情況，使得構(gòu)成的虛像處在實物上層[2];與此相反的則是下現(xiàn)蜃景[3]。

近年來，人們對海市蜃樓現(xiàn)象在實驗室進行了模擬，并從理論上探究了產(chǎn)生海市蜃樓的原因。例如，于鳳軍對海市蜃樓發(fā)生時能夠返回地面的光線的初始角度進行探討，從理論上初步解釋了海市蜃樓現(xiàn)象[4];房若宇對海市蜃樓現(xiàn)象進行了理論模擬;黃思俞等人研究了海市蜃樓形成的理論分析與實驗模擬，有效制備出折射率和高度保持均勻梯度發(fā)展的鹽水溶液，分析指出實物景致的清晰可靠的上現(xiàn)蜃現(xiàn)象[5];尹學愛對海市蜃樓演示裝置進行了改進，可以快速、直觀地得到需要的結(jié)果，同時實驗成功率也較高[6]。

雖然人們在理論和實驗上得到了一定的結(jié)果，但是關于折射率梯度還有許多問題值得研究。2020年全國大學生物理學術競賽（CUPT）中一道“甜蜜的海市蜃樓”題目：法塔莫干納是一種特殊形式的海市蜃樓的名字，而使用激光照射具有折射率梯度的流體時，也會產(chǎn)生類似的效果，請研究這一現(xiàn)象。本文以這道海市蜃樓題目為基礎，并考慮有關因素，來深入研究影響折射率梯度的各種因素。其中，本文中的實驗是利用了濃度連續(xù)變化的蔗糖溶液來模擬連續(xù)變化的空氣，并且在實驗中實現(xiàn)了上現(xiàn)蜃景。見圖1。

1 ? ?理論模型

我們用蔗糖配置具有折射率梯度的溶液。在玻璃容器中倒入清水，并在其中玻璃容器內(nèi)放入較大量的冰糖，靜置數(shù)小時以上，待大部分冰糖溶解即完成配液。糖水溶液的密度隨著濃度升高而逐步降低，對光的折射率則會逐步降低，繼而形成具有一定折射率梯度的溶液層，如果光線等經(jīng)過某層溶液時，則隨即出現(xiàn)偏轉(zhuǎn)。根據(jù)文獻[2]，假定一束自然光a產(chǎn)生的光線按照i角度入射，自折射率為n的位置進入溶液層，結(jié)合折射定律分析出：

n·sini=n1·sin·i1 ? ? ? ? ? ? ?（1）

n1·sin·i1=n2·sinr ? ? ? ? ? ? （2）

不難發(fā)現(xiàn)，如若i、n是定值情況下，因為n1>n2得到r>i，故而自下端液體至上端液體的入射角持續(xù)增加，如果增加到臨界角的情況下，隨即出現(xiàn)全反射。如果人眼于a位置背著光Ab'觀測，即可發(fā)現(xiàn)基于全反射形成的倒立的影像。

利用人工配置的折射率連續(xù)變化的介質(zhì)，模擬光于非均勻介質(zhì)內(nèi)傳播過程中，能夠獲得光線彎曲情況和模擬大自然中轉(zhuǎn)瞬即逝的海市蜃樓現(xiàn)象。

1.1 根據(jù)費馬原理推導大氣中光線傳播的軌跡方程

根據(jù)文獻[5]，如圖2所示，當光線自空間內(nèi)的具體點P經(jīng)過路徑C到達Q點，則所通過的空間折射率分布為n（x，y，z）情況下，經(jīng)過路程元ds的光程為：

（3）

結(jié)合費馬原理，光線沿著光程是極值的路徑傳播，所以有

（4）

假設大氣折射率僅為高度z的函數(shù)，根據(jù)幾何關系運算整理得光線在大氣中傳輸?shù)能壽E微分方程為：

（5）

其中K為常數(shù)。假定折射率基于高度變化表現(xiàn)為指數(shù)形式：n=n0e-αz，其中n0為底層的空氣折射參量，α為正系數(shù)，則

（6）

分離變量并整理得光線在大氣中傳輸?shù)能壽E方程：

（7）

這之中α，n0，K，c分別選定合理的參量，該方程即為往上凸起的拋物線。

1.2 利用光學拉格朗日方程推導大氣中光線傳播的軌跡方程

結(jié)合相關文獻[5]，假定空氣折射率和高度之間的關系n=n0e-αz，綜合光學拉格朗日方程，獲得光線方程：

（8）

在近軸情況下ds≈dx，光線方程變?yōu)椋?/p>

（9）

因為對稱性，只要求探討光線于XOZ平面中的傳導，解（9）式可得：

（10）

此式為一元二次方程，因為α為正的，故<0，所以光線的軌跡為一系列往上凸的拋物線。

2 ? ?實驗分析

2.1 “海市蜃樓”影響因素的探究

先在玻璃容器里注入清水，用激光筆射入，觀察光路，可以發(fā)現(xiàn)激光通過清水的光路是一條直線。接著我們在裝有清水的玻璃容器里放入冰糖，靜置一段時間，冰糖溶液形成具有折射率梯度的液體。用激光筆射入，觀察光路，可發(fā)現(xiàn)糖溶液中由于存在折射層，光路是彎曲的，見圖3。

保持溶液溫度不變，改變?nèi)芤海ㄌ侨芤海┑臐舛?，觀察光路偏離角度（與水平方向夾角），見表1。保持溶液濃度不變，改變?nèi)芤海ㄌ侨芤海┑臏囟?，觀察光路偏離角度（與水平方向夾角），見表2。用表中的數(shù)據(jù)作圖，可得到圖4和圖5。

由圖4可知，濃度越大，偏轉(zhuǎn)角度越大，折射現(xiàn)象越明顯;由圖5可知，溫度越大，偏轉(zhuǎn)角度越大，折射現(xiàn)象越明顯。

2.2 “海市蜃樓”現(xiàn)象的觀察

圖6 ?光路的軌跡

用激光從一側(cè)斜下方照射具有折射率梯度的溶液，發(fā)現(xiàn)光路朝上凸形成一條拋物線。建立如圖6所示的坐標系XOZ，O、A兩點為拋物線與X軸的兩交點，B為拋物線的頂點，C為頂點的橫坐標，即OA中點。實驗中測量出：OA=12 cm，BC=1 cm。將O、A、B 3點坐標分別代入（10）式中得：

解出：

所以有：

（11）

此式即為拋物線的軌跡方程。

然后，將帶箭頭的紅紙條貼在玻璃容器一側(cè)，在另一側(cè)觀察，見圖7。首先，保持溶液的濃度為60%，改變?nèi)芤旱臏囟?，觀察其產(chǎn)生的蜃景。發(fā)現(xiàn)溫度越高，產(chǎn)生的蜃景越清晰（見圖8）。其次，保持溶液的溫度為20°，改變?nèi)芤旱臐舛?，觀察其產(chǎn)生的蜃景，發(fā)現(xiàn)濃度越大，產(chǎn)生的蜃景越清晰（見圖9）。然后，我們從不同的位置來觀察，可以發(fā)現(xiàn)若人在較遠（高）處，逆著彎曲的反射光線看去，可看到正立的圖像，如果人員處于較近位置，逆著光線來看，則能夠發(fā)現(xiàn)倒立的虛像。

3 ? ?結(jié)論

本文用理論模型和實驗分析研究了各種因素對折射率梯度的影響。結(jié)果表明：“海市蜃樓”成因與溫度、觀察角度、介質(zhì)有關，這一現(xiàn)象主要基于光的折射導致的。觀察的視角差異導致出現(xiàn)成像差異，觀察的現(xiàn)象為倒立狀態(tài)或是正立形式，也只是和觀察所處的點位不同有關。如果所處位置較高，逆著光路光差，則能夠發(fā)現(xiàn)基于折射形成的正立虛像;如果處在較低的位置，逆著光路進行觀察，則可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)全反射形成的倒立形式的虛像。

參考文獻

[1] 王長波，王章野，周麒，等.海市蜃樓現(xiàn)象的真實感繪制[J].計算機學報，2006，29（12）：2079-2085.

[2] 房若宇.海市蜃樓現(xiàn)象的模擬與研究[J].大學物理實驗，2016，29（4）：46-48.

[3] 王忠純.線性變折射率模型解釋海市蜃樓[J].大學物理，2001，20（9）：24-27.

[4] 于鳳軍.海市蜃樓發(fā)生時能夠返回地面之光線的初始角探討[J].大學物理，2017，36（7）：12-13.

[5] 黃思俞，許艷秋，王宗箎，等.海市蜃樓形成的理論分析與實驗模擬再現(xiàn)[J].物理實驗，2019，39（6）：23-26.

[6] 尹學愛.海市蜃樓演示裝置的改進[J].物理實驗，2014，34（5）：24-25.