任波 佘彥超 徐小鳳 葉伏秋

1) (吉首大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院,吉首 416000)

2) (銅仁學(xué)院物理與電子工程系,銅仁 554300)

利用多重尺度法解析地研究了窄脈沖探測(cè)光激發(fā)下半導(dǎo)體三量子點(diǎn)分子系統(tǒng)中高階效應(yīng)對(duì)光孤子穩(wěn)定性的影響.結(jié)果表明,由標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤方程所描述的光孤子在傳播的過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)較大衰減,而由高階非線性薛定諤方程所描述的光孤子卻有著較為良好的穩(wěn)定性.此外,數(shù)值模擬光孤子間的相互作用發(fā)現(xiàn),由標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤方程所描述的兩光孤子碰撞后其振幅迅速衰減并輻射出較為嚴(yán)重色散波,而由高階非線性薛定諤方程所描述的兩光孤子碰撞后其形狀幾乎不發(fā)生任何變化.這主要是由于當(dāng)入射的探測(cè)光脈沖足夠窄時(shí),系統(tǒng)須采用高階方程來(lái)描述,其物理原因是方程中的高階效應(yīng),包括非瞬時(shí)效應(yīng)和三階色散效應(yīng)不能被忽略或當(dāng)作微擾處理.這種穩(wěn)定的光孤子對(duì)于將來(lái)的光信息處理和傳輸技術(shù)有著潛在的應(yīng)用價(jià)值.

1 引言

隨著半導(dǎo)體技術(shù)的興起,作為半導(dǎo)體量子局限材料的半導(dǎo)體量子阱、量子點(diǎn)(semiconductor quantum dot,SQD)在非線性光學(xué)等領(lǐng)域已成為了研究的熱點(diǎn)之一[1?3].這是由于半導(dǎo)體量子阱、量子點(diǎn)具有著類似超冷原子的分立能級(jí)結(jié)構(gòu),且在實(shí)際應(yīng)用中有著易于集成、易于調(diào)控,以及較大的非線性參數(shù)等優(yōu)良特性[4,5].此外,在量子阱、量子點(diǎn)介質(zhì)中產(chǎn)生保真度高、抗干擾能力強(qiáng)的光孤子[6?9]也被人們?cè)诹孔油ㄐ藕土孔诱{(diào)控等領(lǐng)域廣泛地關(guān)注[10?12].如,Yang 等[13]在單個(gè)量子點(diǎn)中通過(guò)雙激子相干成匹配慢光孤子對(duì),發(fā)現(xiàn)孤子間碰撞的作用力是吸引還是排斥是由孤子間的相位差來(lái)控制的;Mahmoudi 等[14]在半導(dǎo)體雙量子點(diǎn)(Double Quantum Dots,DQD)系統(tǒng)中,證實(shí)了點(diǎn)間隧穿耦合強(qiáng)度能夠?qū)刂乒獾娜核俣冗M(jìn)行有效調(diào)控,并在非相干泵浦場(chǎng)的間接激發(fā)下,利用吸收雙態(tài)到增益雙態(tài)的轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)了光脈沖的無(wú)吸收超光速傳播;She等[15]在研究DQD 分子系統(tǒng)中時(shí)間光孤子的形成時(shí)發(fā)現(xiàn),調(diào)節(jié)控制場(chǎng)強(qiáng)度可以實(shí)現(xiàn)亮、暗光孤子的轉(zhuǎn)換;Hao 等[16]通過(guò)對(duì)半導(dǎo)體雙量子阱系統(tǒng)中光孤子的傳播性質(zhì)進(jìn)行研究,得到了弱場(chǎng)激發(fā)下的以超慢群速度傳播的暗光孤子.

然而,目前人們主要傾向于研究寬脈沖在SQD 中的非線性傳播特性,為簡(jiǎn)單起見(jiàn),通常忽略了其中的高階效應(yīng).在數(shù)學(xué)上,也使用忽略了高階效應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤(standard nonlinear Schr?dinger,SNLS)方程來(lái)描述光場(chǎng)的非線性傳播行為.值得注意的是,當(dāng)脈沖寬度較窄時(shí),系統(tǒng)的高階效應(yīng)包括非瞬時(shí)效應(yīng)、三階色散效應(yīng)等是較為顯著的,此時(shí)則應(yīng)使用包含有高階效應(yīng)的高階非線性薛定諤(high order nonlinear Schr?dinger,HNLS)方程來(lái)描述其傳播特性[17?22].如,Huang 等[23,24]在超冷原子和量子阱系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn),當(dāng)脈沖寬度較窄時(shí),系統(tǒng)的三階色散、非瞬時(shí)效應(yīng)是十分顯著的,此時(shí),這些參量不能被當(dāng)作微擾處理;2016 年,Mani 等[25]研究了高階非線性效應(yīng)對(duì)于脈沖寬度為1 ps 內(nèi)孤子脈沖偏移的影響,結(jié)果表明,負(fù)三階色散能夠有效抑制相鄰孤子脈沖之間的碰撞;2017 年,Liu 等[26]在研究變系數(shù)耦合HNLS 方程中孤子的相互作用時(shí)發(fā)現(xiàn),兩個(gè)孤子的速度與三階色散系數(shù)有關(guān),高階效應(yīng)會(huì)影響高比特率孤子脈沖的傳輸?shù)?

基于此,本文探究了計(jì)及高階效應(yīng)的窄脈沖弱探測(cè)場(chǎng)與三量子點(diǎn)(three quantum dots,TQD)相互作用時(shí)光孤子的穩(wěn)定性問(wèn)題.利用多重尺度法解析地得到了描述弱探測(cè)光包絡(luò)函數(shù)的HNLS 方程,進(jìn)而得到其基階孤子解.通過(guò)數(shù)值研究其穩(wěn)定性及碰撞特性,我們發(fā)現(xiàn):相比于SNLS 方程所描述的光孤子在傳播及碰撞過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)較大程度衰減失真而言,HNLS 方程所描述的光孤子則能夠在傳播及碰撞過(guò)程很好地保持形狀幾乎不發(fā)生任何變化,即穩(wěn)定性更為良好.這主要的原因是由于當(dāng)輸入的探測(cè)光脈沖足夠窄時(shí),高階方程中的高階效應(yīng)包括非瞬時(shí)效應(yīng)、三階色散效應(yīng)等不能被忽略或當(dāng)作微擾處理.

2 理論模型及其麥克斯韋-薛定諤方程組

根據(jù)現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)條件,利用分子束外延法和原子層刻蝕法可構(gòu)建如圖1 所示的對(duì)稱TQD 分子模型[27?30].該模型在中心頻率為 ωp的窄脈沖弱探測(cè)場(chǎng)激發(fā)下,在QD1 內(nèi)可形成電子空穴對(duì)的狀態(tài),即激子態(tài)|4〉,同時(shí)通過(guò)外加偏置電壓的作用,QD1 導(dǎo)帶中的電子將通過(guò)隧穿薄勢(shì)壘耦合效應(yīng)被限制在QD1 與QD2,QD3 的導(dǎo)帶間[29,31]分別形成間接激子態(tài) |2〉、|3〉.而對(duì)于能級(jí) |1〉則是體系的基態(tài).TQD 系統(tǒng)的哈密頓量可表示為(假設(shè) ?=1)

圖1 (a) TQD 有效激子能級(jí)示意圖;(b)相應(yīng)能級(jí)結(jié)構(gòu)圖.Γm1(m=2,3,4) 表示退相干通道,ω4n(n=1,2,3) 表示能級(jí)差,Δp=ωp?ω41 為探測(cè)場(chǎng)與能級(jí)差 ω41 的頻率失諧量.Fig.1.(a) Energy level diagram of TQD effective exciton;(b) corresponding energy level structure diagram.Γm1(m=2,3,4)represents the decoherent channel,ω4n(n=1,2,3)represents the energy level difference,Δp=ωp?ω41is the frequency detuning between the probe laser field and the energy level difference.

3 多重尺度法及其HNLS 方程

一般來(lái)說(shuō),方程(2)是不可積的,無(wú)法直接得到其解析解,因此采用標(biāo)準(zhǔn)多重尺度法[32?36]將幾率幅和探測(cè)光的半拉比頻率進(jìn)行漸進(jìn)展開(kāi)

式中,ε 是一個(gè)微小參量,刻畫的是基態(tài)粒子布局的偏離,并且假定幾率幅3,4)和半拉比頻率都是不同尺度的時(shí)間變量tn=εnt (n=0,1)和空間變量zn=εnz (n=0,1,2,3),xn=εx,yn=εy 的函數(shù),將方程(3)代入方程(2),麥克斯韋-薛定諤方程組可變換為

當(dāng) n=1 時(shí),系統(tǒng)的線性色散關(guān)系可表示為

為克爾非線性系數(shù),刻畫了系統(tǒng)的非線性效應(yīng).

同理,當(dāng)n=4時(shí),由四階可解條件得

式中

為非線性色散系數(shù),

為非線性折射率延遲系數(shù),這兩個(gè)系數(shù)分別刻畫了系統(tǒng)的非線性色散效應(yīng)以及非線性折射率延遲效應(yīng).

結(jié)合方程(7)—(9)我們可以得到

式中 τ=t?z/Vg,且在求解過(guò)程中已定義Ωp≈一般來(lái)說(shuō),高階非線性方程(10)往往是不可積的,因?yàn)樗哂袕?fù)系數(shù).然而,通過(guò)考慮量子點(diǎn)實(shí)驗(yàn)參數(shù)[37,38]:κ14=3.4×102meV·μm?1,Γ4=0.054 meV,Γ2=Γ3=10?3Γ4,Te1=Te2=0.7Γ4,ω42=?ω43=0.5Γ4,c=3×1010cm·s?1,Δp=?8 meV.我們發(fā)現(xiàn)該方程系數(shù)的實(shí)部可以遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其對(duì)應(yīng)的虛部,如圖2 所示,這是由于在隧穿誘導(dǎo)透明的機(jī)制下,系統(tǒng)的共振吸收被大大抑制的結(jié)果.因此,方程(10)可變換為

圖2 方程(10)相關(guān)系數(shù)虛部與實(shí)部的比值隨 Δp/Γ4 的變化關(guān)系 (a) K2i/K2r ;(b) K3i/K3r ;(c) Wi/Wr ;(d) β1i/β1r ;(e) β2i/β2r Fig.2.The ratio of the imaginary part and the real part of the correlation coefficient of equation (10) as a function of Δp/Γ4 :(a) K2i/K2r ;(b) K3i/K3r ;(c) Wi/Wr ;(d) β1i/β1r ;(e) β2i/β2r.

式中下標(biāo)r 表示取其對(duì)應(yīng)系數(shù)的實(shí)部.

下面,將方程(11)寫成無(wú)量綱的形式,引入無(wú)量綱化的參數(shù):τ=τ0σ,z=?2LDs,U=U0u,(x,y)=R⊥(x′,y′),其中為色散長(zhǎng)度,刻畫的是系統(tǒng)的色散效應(yīng)起作用所需的有效距離.LNL為非線性長(zhǎng)度,刻畫的是系統(tǒng)的非線性效應(yīng)起作用所需的有效距離,τ0表示探測(cè)光的特征脈沖長(zhǎng)度.當(dāng) LNL=LD時(shí),系統(tǒng)中的色散效應(yīng)與非線性效應(yīng)達(dá)到平衡從而形成時(shí)間光孤子.由平衡條件可得表示其探測(cè)光的特征拉比頻率.另外,gj=2LD/Lj(j=0,1,2,3,4,5),L0=1/K1r表示系統(tǒng)的線性吸收長(zhǎng)度,L1=為系統(tǒng)的非線性色散長(zhǎng)度,L2=為系統(tǒng)的非線性折射率延遲長(zhǎng)度,為系統(tǒng)的三階色散長(zhǎng)度,L4=τ0/K1r為系統(tǒng)的導(dǎo)數(shù)吸收長(zhǎng)度,為系統(tǒng)的衍射長(zhǎng)度.即

值得注意的是,當(dāng) gj?1 時(shí),方程(12)可簡(jiǎn)化為SNLS 方程,另外,當(dāng) L0,L4,L5遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 LD,忽略正比于 g0,g4,g5的項(xiàng)[24]時(shí),方程(12)可表示成HNLS 方程,于是有

當(dāng) K2rWr>0 時(shí),SNLS 方程的基階亮孤子解[24]可表示為

式中,

4 孤子穩(wěn)定性分析

為了檢驗(yàn)孤子的穩(wěn)定性,在圖3 中分別以方程(14)和(15)作為初始條件,對(duì)方程(2)進(jìn)行了數(shù)值模擬.圖中實(shí)線、虛線、點(diǎn)虛線分別表示初態(tài)以及演化1 個(gè)單位長(zhǎng)度和2 個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)的數(shù)值結(jié)果.從圖3(a)中可以看出,當(dāng)孤子演化到1 單位長(zhǎng)度時(shí),其幅值迅速減小,寬度有所增加,并且在孤子前沿也輻射出了小振幅色散波;隨著演化距離逐漸增大到2 個(gè)單位長(zhǎng)度,對(duì)應(yīng)的孤子幅值和寬度也分別出現(xiàn)了進(jìn)一步的減小和增加,同時(shí)色散波的輻射也越來(lái)越嚴(yán)重.這表明孤子在傳播的過(guò)程出現(xiàn)了較為嚴(yán)重的衰減失真.反觀圖3(b):隨著孤子的逐漸演化,除孤子幅值發(fā)生輕微減小外,整體看來(lái),孤子的形狀幾乎不發(fā)生明顯變化,這表明孤子能夠穩(wěn)定傳播.對(duì)比圖3(a)、圖3(b)可以得知,當(dāng)探測(cè)光的脈沖寬度較窄時(shí),使用HNLS 方程的基階孤子解得到的演化結(jié)果較前者更為穩(wěn)定.

圖3 (a)方程(14)作為初始條件的數(shù)值演化結(jié)果;(b)方程(15)作為初始條件的數(shù)值演化結(jié)果.波形給出的演化距離為1 個(gè)單位長(zhǎng)度(虛線)和2 個(gè)單位長(zhǎng)度(點(diǎn)虛線),取 τ0=5×10?13 s,β=0.5,Φ=0,其他參數(shù)與圖2 相同F(xiàn)ig.3.(a) Numerical evolution result using equation (14) as the initial condition;(b) numerical evolution result using equation(15) as the initial condition.The evolution distance given by the soliton waveform is 1 unit length (dotted line) and 2 unit lengths(dotted dotted line),and the parameters used are τ0=5×10?13 s,β=0.5,Φ=0,other parameters used are the same as Fig.2.

為了進(jìn)一步探究TQD 系統(tǒng)中形成的光孤子的穩(wěn)定性,分別以方程(16a)、(16b)作為初始條件對(duì)方程(2)進(jìn)行了孤子間碰撞的數(shù)值模擬分析(見(jiàn)圖4).

對(duì)比圖4(a)和圖4(b)可以發(fā)現(xiàn),由SNLS 方程所描述的光孤子碰撞后,其振幅呈現(xiàn)出快速地減小,對(duì)應(yīng)的孤子寬度也逐漸增加,并且隨著孤子的逐漸演化,在其兩側(cè)和中間也會(huì)輻射出較為明顯的色散波,從而導(dǎo)致光孤子碰撞后出現(xiàn)較大程度衰減失真,這主要是由于系統(tǒng)的高階效應(yīng)所導(dǎo)致的.與此相反,由HNLS 方程所描述的光孤子碰撞后其振幅及形狀幾乎沒(méi)有發(fā)生任何變化,這進(jìn)一步說(shuō)明在該系統(tǒng)中當(dāng)脈沖寬度較窄時(shí)考慮高階效應(yīng)所得到的光孤子具有更好的穩(wěn)定性.

圖4 相鄰孤子間的相互作用 (a)方程(16a)作為初始條件的數(shù)值演化結(jié)果;(b)方程(16b)作為初始條件的數(shù)值演化結(jié)果.除θ1=θ2=0外,其他參數(shù)與圖2相同F(xiàn)ig.4.Interaction between adjacent o ptical solitons:(a) Numerical evolution result using equation (16a) as the initial condition;(b) numerical evolution result using equation (16b) as the initial condition.Except for θ1=θ2=0,the other parameters are the same as in Fig.2.

另外,在該量子點(diǎn)分子系統(tǒng)中,由于輸入的探測(cè)光場(chǎng)為窄脈沖,應(yīng)考慮方程(2e)是否滿足慢變包絡(luò)近似條件:?Ωp/?z ?kpΩp、?Ωp/?t ?ωpΩp,即 λp?Vgτ0,ωpτ0?1.在上面所給的量子點(diǎn)參數(shù)條件下,孤子的群速度為 Vg=6×10?2c,τ0=5×10?13s,探測(cè)場(chǎng)的中心角頻率為ωp=2.43×1015rad·s?1,對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng) λp=0.78 μm,有Vgτ0=9 μm,ωpτ0=1.215×103,因此該系統(tǒng)能夠有效地滿足慢變包絡(luò)近似的條件.此外,通過(guò)上面參數(shù)可得孤子的空間長(zhǎng)度 Lsol=Vgτ0=9 μm,系統(tǒng)的色散長(zhǎng)度 LD=LNL=0.33 μm,以及系統(tǒng)的線性吸收長(zhǎng)度 L0=35.7 μm.可以看出,該系統(tǒng)的線性吸收長(zhǎng)度是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其色散長(zhǎng)度的,這就保證了孤子能夠穩(wěn)定的保形傳播.并且,根據(jù)現(xiàn)有量子點(diǎn)制備條件[13],對(duì)于該系統(tǒng)的配置而言,由于擁有一個(gè)相對(duì)較長(zhǎng)的傳播距離(約為毫米量級(jí)).因此,能夠很好地保證其色散長(zhǎng)度和空間長(zhǎng)度是遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于該長(zhǎng)度,以便于觀察光孤子形成與傳播.

綜上所述,在SQD 系統(tǒng)中時(shí)間光孤子能夠形成并穩(wěn)定傳播.特別地,當(dāng)輸入的探測(cè)光場(chǎng)的脈沖寬度較窄時(shí),使用HNLS 方程對(duì)體系中光孤子的傳播進(jìn)行描述是更為準(zhǔn)確的.

5 結(jié)論

基于以上分析,本文從四能級(jí)TQD 系統(tǒng)的麥克斯韋-薛定諤方程組出發(fā),運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)多重尺度法解析得到了描述該系統(tǒng)的HNLS 方程以及SNLS方程,并給出了其對(duì)應(yīng)的基階孤子解.通過(guò)數(shù)值計(jì)算,發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)中由HNLS 方程所描述的光孤子具有更好的穩(wěn)定性,尤其當(dāng)入射探測(cè)光脈沖較窄時(shí)系統(tǒng)內(nèi)光孤子的傳播須采用HNLS 方程描述.其物理原因是方程中的高階效應(yīng),包括非瞬時(shí)克爾效應(yīng)和三階色散效應(yīng)等將會(huì)導(dǎo)致脈沖在時(shí)間和光譜上產(chǎn)生不對(duì)稱展寬及脈沖的紅移增加,從而不能被忽略或當(dāng)作微擾處理.最后,為了進(jìn)一步驗(yàn)證形成的光孤子的穩(wěn)定性,分別數(shù)值模擬了這兩種孤子的各自碰撞特性,模擬結(jié)果進(jìn)一步表明由HNLS 方程所描述的光孤子具有更好地穩(wěn)定性.這種穩(wěn)定的光孤子對(duì)于將來(lái)的光信息處理和傳輸技術(shù)有著潛在的應(yīng)用價(jià)值.

附錄 A

麥克斯韋-布洛赫方程組: