【摘?要】以中考復(fù)習(xí)專題課《探究與圓相關(guān)的最值問(wèn)題》教學(xué)為例，通過(guò)精心選題、創(chuàng)設(shè)情境、感悟模型、建立模型、活用模型、總結(jié)提煉來(lái)組織教學(xué)，實(shí)現(xiàn)化隱為顯巧構(gòu)基本模型，融通轉(zhuǎn)化妙生解題方法，問(wèn)題解決提升解題能力.

【關(guān)鍵詞】基本模型，化隱為顯，融通轉(zhuǎn)化，總結(jié)提煉

最值問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是一類綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題，它貫穿初中數(shù)學(xué)的始終，無(wú)論是代數(shù)題還是幾何題都有最值問(wèn)題，是中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，常常設(shè)置為中考?jí)狠S問(wèn)題，學(xué)會(huì)解這類問(wèn)題對(duì)于中考取得優(yōu)秀成績(jī)非常重要.

在初三數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)過(guò)程中，以探究與圓相關(guān)的最值問(wèn)題的教學(xué)為例，明確建立與圓相關(guān)的最值問(wèn)題的基本模型解決相關(guān)最值問(wèn)題為教學(xué)目標(biāo)，把挖掘條件、化隱為顯、形成解決與圓相關(guān)的最值問(wèn)題的能力作為教學(xué)重點(diǎn).通過(guò)精心選題、創(chuàng)設(shè)情境、感悟模型、建立模型、活用模型、總結(jié)提煉等有效活動(dòng)來(lái)組織教學(xué)，實(shí)現(xiàn)化隱為顯巧構(gòu)基本模型，融通轉(zhuǎn)化妙生解題方法.

教學(xué)的主要過(guò)程如下.1?自主探究，合作交流，感悟求與圓相關(guān)的最值問(wèn)題的基本模型

首先，我們選擇4個(gè)基礎(chǔ)問(wèn)題，讓學(xué)生【自主探究，感悟模型】.

問(wèn)題1?如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知M（-1，0），N（3，3），點(diǎn)P在以N為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，則線段MP的最大值為，最小值為.

問(wèn)題2?如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于點(diǎn)D，P是CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，則線段AP的最小值是.

問(wèn)題3?如圖3，⊙O的半徑為3，點(diǎn)O到直線l的距離是4，點(diǎn)P是直線上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，PQ切⊙O于點(diǎn)Q，則PQ的最小值為.

問(wèn)題4?如圖4，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是線段BC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫⊙O，則⊙O面積的最小值為.

教學(xué)片段過(guò)程分析：

問(wèn)題呈現(xiàn)，認(rèn)真審題后，學(xué)生陸續(xù)發(fā)言.

對(duì)于問(wèn)題1，當(dāng)MP經(jīng)過(guò)圓心N時(shí)，圓上與點(diǎn)M的最遠(yuǎn)點(diǎn)P為線段MP取最大值的位置，最大值為MN+2=5+2=7，圓上與點(diǎn)M的最近點(diǎn)P為線段MP取最小值的位置，最小值為MN-2=5-2=3.

對(duì)于問(wèn)題2，當(dāng)PA所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)BC中點(diǎn)（圓心）時(shí)，線段AP最小為：5-1.

一個(gè)小組代表還進(jìn)一步抽象出基本圖形，如圖5，點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)，點(diǎn)Q為⊙O上一點(diǎn)，線段PQ經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，若Q在A處，此時(shí)PQ最小;若Q在B處，此時(shí)PQ最大.

受學(xué)生抽象基本圖形的啟發(fā)，教者靈機(jī)一動(dòng)地追問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)P在⊙O內(nèi)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)什么情形？

馬上有學(xué)生回答：仍然是PQ所在直線經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，如圖6，若Q在A處，此時(shí)PQ最小;若Q在B處，此時(shí)PQ最大.

經(jīng)過(guò)小組自主研究，很快學(xué)生發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題1、問(wèn)題2是圓中“一箭穿心”（經(jīng)過(guò)圓心的直線）的基本模型.

學(xué)生的建模意識(shí)在解決基礎(chǔ)問(wèn)題的過(guò)程中自然形成.

還有學(xué)生說(shuō)明，在圓中經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的所有弦中，直徑AB最大，垂直于直徑AB的弦最小.學(xué)生關(guān)于最值問(wèn)題的聯(lián)想超出老師的預(yù)估.

對(duì)于問(wèn)題3，一位學(xué)生說(shuō)明：當(dāng)OP⊥l時(shí)，PQ最小，是“垂線段最短”模型.教者追問(wèn)：為什么此時(shí)PQ最??？另一位學(xué)生解釋：Rt△POQ中，由于半徑OQ是定值，根據(jù)勾股定理，OP確定，PQ就確定，所以只要OP最小，PQ就最小，OP最小的狀態(tài)是“垂線段”.

對(duì)于問(wèn)題4，一位學(xué)生說(shuō)明：當(dāng)AD⊥BC時(shí)，⊙O的面積取最小值.教者追問(wèn)：為什么此時(shí)⊙O的面積最??？學(xué)生解釋：因?yàn)椤鰽BC是確定的，根據(jù)“垂線段最短”知道當(dāng)AD⊥BC時(shí)，直徑AD最小，所以⊙O的面積最小.師生對(duì)話讓所有學(xué)生都明白了其中的道理.

4個(gè)基礎(chǔ)問(wèn)題提供了學(xué)生探究圓中最值問(wèn)題總結(jié)基本模型的平臺(tái)，學(xué)生能夠自主總結(jié)出求與圓相關(guān)的最值問(wèn)題的基本模型.2?典型例析，化隱為顯，學(xué)會(huì)構(gòu)建基本模型求與圓相關(guān)最值問(wèn)題

其次，我們選擇兩個(gè)無(wú)圓典型問(wèn)題，讓學(xué)生【典型例析，建立模型】.

例1?如圖7，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，若線段MA圍繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)得到線段MA′，連接A′C，A′C長(zhǎng)度的最大值為，最小值為.

例2?（常州市2020年中考模擬優(yōu)化卷第18題）

如圖8，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（1，0），B（3，0），C為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠ACB=90°，D為直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，則線段CD長(zhǎng)的最小值為.

教學(xué)片段過(guò)程分析：

短暫的學(xué)生小組討論過(guò)后，學(xué)生開始講題.

對(duì)于例1，我們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A′在以點(diǎn)M為圓心，1為半徑的圓上（如圖9），問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了“一箭穿心”的模型，由于點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，所以DM=1，而CD=2，由勾股定理可以求得MC=5，所以A′C長(zhǎng)度的最大值為5+1，最小值為5-1.

對(duì)于例2，點(diǎn)C落在以AB為直徑的圓上，線段CD的長(zhǎng)也就落在“一箭穿心”的模型上，但由于點(diǎn)D也是直線上的動(dòng)點(diǎn)，因此，又演變成為過(guò)線段AB中點(diǎn)向直線OD作垂線段的情形，本題是“一箭穿心”模型與“垂線段最短”模型的疊合（如圖10），AB的中點(diǎn)M（2，0），

OM=2，△ODM為等腰直角三角形，DM=2，線段CD長(zhǎng)的最小值為2-1.

例1、例2的解決，遵循學(xué)生“跳一跳可以摘到桃子”的原則，化無(wú)為有，化隱為顯，通過(guò)巧構(gòu)基本模型求解了與圓相關(guān)最值問(wèn)題.3?拓展延伸，融通轉(zhuǎn)化，提升解決與圓相關(guān)最值問(wèn)題的解題能力

再次，我們提供兩個(gè)選擇問(wèn)題，讓學(xué)生【拓展延伸，活用模型】.

例3?（常州市2020年初中學(xué)業(yè)水平考試第7題）如圖11，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C是優(yōu)弧AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C不與A、B重合），CH⊥AB于H，M是BC的中點(diǎn)，若⊙O的半徑是3，則線段MH長(zhǎng)的最大值是（?）.

A.3?B.4?C.5?D.6

例4?（連云港市2020年中考模擬優(yōu)化卷第8題）

教學(xué)片段過(guò)程分析：

對(duì)于例3，表現(xiàn)上可以看出，MH是Rt△BHC的斜邊上中線，MH為BC長(zhǎng)的一半.求線段MH長(zhǎng)的最大值的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了求BC最大值的問(wèn)題，顯然BC為直徑時(shí)最大，于是問(wèn)題解決.

對(duì)于例4，一位同學(xué)提出：由于點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)P在⊙C上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)瓜豆原理知道點(diǎn)Q也在一個(gè)小圓上運(yùn)動(dòng)，只要探求出小圓的圓心和半徑，并可以求出線段OQ的最大值和最小值.題目是求線段OQ的最大值，學(xué)生還想到了可以求出線段OQ的最小值.

就當(dāng)大家準(zhǔn)備動(dòng)手做題時(shí)，一位同學(xué)舉手說(shuō)：剛才的做法復(fù)雜了，我們可以連接BP，OQ就是△ABP的中位線，要求線段OQ的最大值只要求線段BP的最大值，而我們看到B（4，0），C（0，3），由勾股定理可以求出BC=5，線段BP的最大值是5+2，所以線段OQ的最大值是3.5，本題是口算題.

好一個(gè)“口算題”，這位學(xué)生的發(fā)言讓師生們眼界大開，課堂上學(xué)生已經(jīng)能夠在不同解法中通過(guò)比較選擇優(yōu)法.

接下去，教者讓學(xué)生們進(jìn)一步【挑戰(zhàn)能力，大顯身手】.

提高題?（連云港市2020年初中學(xué)業(yè)水平考試壓軸選擇題第16題）

如圖13，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，B是⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)，C為弦AB的中點(diǎn)，直線y=34x-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，則△CDE面積的最小值為.

教學(xué)片段過(guò)程分析：

本題為壓軸選擇提高題，教者發(fā)現(xiàn)剛開始學(xué)生幾乎沒有反映，于是先讓學(xué)生小組討論，通過(guò)討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線y=34x-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E是確定的，△CDE面積變化取決于點(diǎn)C到直線DE的距離，而點(diǎn)C是動(dòng)點(diǎn)，又看到，點(diǎn)A是定點(diǎn)，點(diǎn)B是⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)瓜豆原理，點(diǎn)C也在一個(gè)小圓上運(yùn)動(dòng)，取特殊位置分析，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C在以線段OA為直徑的圓上，于是可以找到小圓的圓心P（1，0），如圖14，由△DQP與△DOE相似可以求出PQ=95，于是得到點(diǎn)C到直線DE的距離最小為45，所以△CDE面積的最小值為2.

給予學(xué)生足夠的思考時(shí)間，學(xué)生已經(jīng)能夠在解決例3、例4的基礎(chǔ)上，識(shí)破⊙P的存在，而且構(gòu)造出“一箭穿心”的基本圖形.

教者追問(wèn)：本題我們還可以提出什么樣的問(wèn)題？

馬上有學(xué)生提出：△CDE面積的最大值是多少？

接著有學(xué)生回答：直線PQ與⊙P相交的最遠(yuǎn)點(diǎn)使得CQ取最大值145，所以△CDE面積的最大值為7.

學(xué)生不但能夠解決問(wèn)題，而且能夠提出問(wèn)題，變通思想解決新問(wèn)題.4?總結(jié)提煉，升華理解，形成解決與圓相關(guān)最值問(wèn)題的解題思想

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決往往是容易的，而形成解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想并不容易，特別是內(nèi)化為學(xué)生的理解更不容易，對(duì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法的總結(jié)和提煉一定要讓學(xué)生來(lái)完成.

本節(jié)課的課堂小結(jié)，教者先讓學(xué)生們小組內(nèi)部交流，然后班級(jí)交流.

一位學(xué)生說(shuō)：本節(jié)課我們研究了利用“一箭穿心”的模型解決與圓相關(guān)的幾何最值問(wèn)題;另一位同學(xué)說(shuō)：本節(jié)課我們還研究了利用“垂線段最短”的模型解決與圓相關(guān)的幾何最值問(wèn)題;第三個(gè)同學(xué)說(shuō)：本節(jié)課我們以“一箭穿心”的模型為基礎(chǔ)，其它模型與該模型整合形成題目來(lái)研究;第四個(gè)同學(xué)說(shuō)：在解決與圓相關(guān)的幾何最值問(wèn)題時(shí)我們要有基本模型意識(shí)，通過(guò)確認(rèn)或構(gòu)建基本模型來(lái)解決問(wèn)題;第五個(gè)同學(xué)說(shuō)：我們要學(xué)會(huì)分析題目的已知條件，聯(lián)想基本圖形，化無(wú)為有，構(gòu)建基本模型來(lái)解決問(wèn)題;……

課堂小結(jié)的任務(wù)交給學(xué)生，一個(gè)學(xué)生的總結(jié)可能是零散的、不完整的、不規(guī)范的，甚至是不恰當(dāng)、錯(cuò)誤的，但會(huì)在眾人的描述過(guò)程中逐步完善、逐步深刻.令人欣喜地是還有同學(xué)提出：我們看數(shù)學(xué)問(wèn)題要有變通的思想，今天解決的問(wèn)題中，問(wèn)題1、例1明確提出了最大值、最小值的問(wèn)題，提高題我們也想到了最大值的情形，其實(shí)問(wèn)題2、例2、例4也有最大值、最小值的問(wèn)題的同時(shí)存在.

學(xué)生的總結(jié)，不僅是解題思想方法層面的理解，而且能夠從題目結(jié)論延伸角度思考問(wèn)題，課堂小結(jié)無(wú)疑是深刻的.

教學(xué)反思

綜觀上述教學(xué)過(guò)程，本節(jié)課通過(guò)教師引導(dǎo)，生生互助，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與圓相關(guān)的幾何最值基本模型進(jìn)行求解，課堂抓住了感悟模型、建立模型、活用模型這根解題主線，層層遞進(jìn)，實(shí)現(xiàn)了化隱為顯巧構(gòu)基本模型，融通轉(zhuǎn)化妙生解題方法，取得了優(yōu)質(zhì)的教學(xué)效果.對(duì)此，教者有四點(diǎn)感悟：

第一、典型選題為有效專題復(fù)習(xí)奠定了基礎(chǔ).本節(jié)專題復(fù)習(xí)課的選題緊緊圍繞動(dòng)點(diǎn)在圓上進(jìn)行選擇，問(wèn)題1、問(wèn)題2是最直觀的形式，問(wèn)題3、問(wèn)題4通過(guò)間接方式呈現(xiàn)“一箭穿心”的基本模型.例1、例2提供了沒有圓的情景，需要感悟、想象圓的存在，化隱為顯，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“一箭穿心”的基本模型，例2又融進(jìn)了“垂線段最短”，問(wèn)題的難度有所提升，自然過(guò)渡到例3、例4，例3把圓中最值問(wèn)題的基本模型與直角三角形斜邊中線結(jié)合，例4把圓中最值問(wèn)題的基本模型與三角形中位線結(jié)合，選題的綜合性提高了，最后的提高題在例4的基礎(chǔ)上增加了求點(diǎn)到直線的距離.選題充分體現(xiàn)了層次性，為開展有效專題復(fù)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

第二、以生為本使得專題復(fù)習(xí)活動(dòng)落地生根.本課例從學(xué)生的認(rèn)知實(shí)際出發(fā)，首先提供4個(gè)基礎(chǔ)問(wèn)題激活學(xué)生運(yùn)用與圓相關(guān)的幾何最值基本模型解題的經(jīng)驗(yàn)，然后提供4個(gè)例題升華學(xué)生運(yùn)用與圓相關(guān)的幾何最值基本模型解題的經(jīng)驗(yàn)，最后通過(guò)一個(gè)提高題的解決進(jìn)一步提升了學(xué)生解決與圓相關(guān)的幾何最值問(wèn)題的數(shù)學(xué)能力.課堂教學(xué)以學(xué)生活動(dòng)為主，小組合作互相交流分析問(wèn)題，班級(jí)展示學(xué)生講題明晰問(wèn)題，解決問(wèn)題提高認(rèn)識(shí)形成能力.

第三、時(shí)空對(duì)話使得專題復(fù)習(xí)活動(dòng)深刻進(jìn)行.專題復(fù)習(xí)課很多時(shí)候是“趕鴨子上架”，學(xué)生沒有思考的時(shí)間和機(jī)會(huì)，本節(jié)課多次讓學(xué)生小組討論交流，在學(xué)生講題的時(shí)候教者更多的是等待，沒有因?yàn)閷W(xué)生講題的不完善而打斷學(xué)生，而是等待學(xué)生講完之后追問(wèn)，由該生繼續(xù)說(shuō)明或其它學(xué)生補(bǔ)充說(shuō)明.這里教師不是給予式的講授，而是先給予學(xué)生足夠的空間和時(shí)間思考，然后是對(duì)話、引導(dǎo)、追問(wèn)，學(xué)生主體式的表現(xiàn)，專題復(fù)習(xí)活動(dòng)深刻進(jìn)行.

在解決基礎(chǔ)問(wèn)題的過(guò)程中，教師的追問(wèn)促進(jìn)了學(xué)生的建模意識(shí)自然形成.在解決提高題的過(guò)程中，師生對(duì)話促進(jìn)了學(xué)生變通思想的生成.學(xué)生的悟性不斷增強(qiáng)，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的理解加深，數(shù)學(xué)思考能力進(jìn)一步提升.

第四、一題多解體現(xiàn)了專題復(fù)習(xí)的靈動(dòng)生機(jī).例4的解決過(guò)程體現(xiàn)了兩種不同的解決問(wèn)題方式，前者先確定點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑顯得比較麻煩，而后者先確定PB的最值顯得簡(jiǎn)便，用學(xué)生的話說(shuō)是“口算題”.“口算題”的背后是學(xué)生思維的簡(jiǎn)捷性，學(xué)生有了解題過(guò)程的比較，這正是我們專題復(fù)習(xí)課所需要的寶貴東西.專題復(fù)習(xí)課需要培養(yǎng)學(xué)生這樣的能力，在審題過(guò)程中能夠迅速判斷可能的解題方法，選擇簡(jiǎn)便的方法.

究竟怎樣的專題復(fù)習(xí)課是好課？雖無(wú)定論，但也是有規(guī)律可循的.一個(gè)專題可以突出研究一個(gè)題型，培養(yǎng)學(xué)生解決這類數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.

作者簡(jiǎn)介?任宏章（1966—），男，江蘇興化人，中學(xué)高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究和初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為方式的研究.