周牧，龍玥辛，蒲巧林，王勇，何維

（1.重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065；2.重慶郵電大學(xué)移動(dòng)通信技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065）

1 引言

隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代向物聯(lián)網(wǎng)時(shí)代的逐步發(fā)展，基于位置的服務(wù)（LBS,location-based service）得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。全球定位系統(tǒng)（GPS,global positioning system）[1]和蜂窩定位系統(tǒng)[2]是目前最成熟的2 種室外定位系統(tǒng)，它們可為室外用戶提供準(zhǔn)確的位置信息，但由于室內(nèi)環(huán)境的復(fù)雜性以及人員走動(dòng)對(duì)信號(hào)傳播的影響，用戶在室內(nèi)難以穩(wěn)定地接收來(lái)自衛(wèi)星和蜂窩基站的信號(hào)。為此，眾多學(xué)者展開研究并提出了射頻識(shí)別定位系統(tǒng)、ZigBee定位系統(tǒng)、藍(lán)牙定位系統(tǒng)、Wi-Fi 定位系統(tǒng)等多種室內(nèi)定位系統(tǒng)。其中，由于Wi-Fi 網(wǎng)絡(luò)具有部署成本低、環(huán)境適應(yīng)性強(qiáng)、覆蓋范圍廣等優(yōu)勢(shì)，Wi-Fi室內(nèi)定位系統(tǒng)[3]得到了廣泛應(yīng)用。

Wi-Fi 室內(nèi)定位系統(tǒng)通常使用2 種測(cè)量特征：接收信號(hào)強(qiáng)度（RSS,received signal strength）和信道狀態(tài)信息（CSI,channel state information）。RSS指紋特征維數(shù)低且空間分辨率低，導(dǎo)致定位精度低。相比于RSS，CSI 包含了信號(hào)傳輸過(guò)程中更細(xì)粒度和多樣化的物理層信息（如多通道子載波相位和幅度信息），可用于刻畫信號(hào)散射、衰落和功率隨距離衰減的綜合效應(yīng)，從而被廣泛應(yīng)用于Wi-Fi高精度定位系統(tǒng)。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了基于幾何、基于指紋以及基于數(shù)據(jù)融合等的多種CSI 室內(nèi)定位技術(shù)，其中，基于CSI 指紋的室內(nèi)定位技術(shù)因其處理效率高、抗干擾性強(qiáng)、定位精度高等優(yōu)點(diǎn)得到了廣泛應(yīng)用，但仍然面臨諸多挑戰(zhàn)。

首先，由于手機(jī)采集的CSI 相較于RSS 來(lái)說(shuō)，更容易受到環(huán)境的影響，穩(wěn)定性較差，因此需要進(jìn)行降噪處理。早期的局部平滑濾波算法，如高斯濾波[4]和均值濾波[5]，通過(guò)平滑處理來(lái)去除噪聲，但這類方法難以處理圖像的紋理信息等非平滑部分，所以不能在降噪的同時(shí)有效保留紋理信息?？沼蚪翟胨惴╗6]以隨機(jī)噪聲的零和特點(diǎn)為理論基礎(chǔ)進(jìn)行降噪處理，但其主要針對(duì)隨機(jī)噪聲的降噪，而未去除因設(shè)備缺陷導(dǎo)致的一些脈沖噪聲?？紤]到矩陣的表示形式容易破壞數(shù)據(jù)的原始空間結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[7]提出了一種基于非局部相似的非負(fù)Tucker 分解方法，實(shí)現(xiàn)了空間域的非局部相似性和光譜域的全局相似性。該方法利用非局部相似性，在合適的窗口大小下，將高光譜圖像中提取的三維全波段斑塊進(jìn)行分組并形成三階張量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法在減少計(jì)算量的同時(shí)提高了高光譜圖像的質(zhì)量。

其次，降噪后的CSI 中稀疏分布著有用的結(jié)構(gòu)和成分，為了提取其隱含的特征，需要進(jìn)行特征提取。文獻(xiàn)[8-9]提出一種主體組合成分分析和線性決策分析的方法來(lái)提取最相關(guān)的特征向量以減少維數(shù)。文獻(xiàn)[10]提出了一種基于二維離散小波變換的跨域尺度變換方法，在對(duì)序列圖像進(jìn)行二維小波變換獲得主要特征點(diǎn)的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)的降維和噪聲抑制；構(gòu)造了一種新的歸一化相關(guān)代價(jià)函數(shù)，并利用黃金分割算法高效地找到最優(yōu)旋轉(zhuǎn)角速度。但由于二維小波變換僅著眼于數(shù)據(jù)的頻域相關(guān)特性，忽略了時(shí)域?頻域之間的潛在關(guān)系和重要的判別信息，因此其無(wú)法適用于三維CSI 的高低頻信號(hào)變化信息的特征提取。

另外，基于CSI 指紋的定位技術(shù)在室內(nèi)定位領(lǐng)域受到了廣泛關(guān)注，如何利用CSI 實(shí)現(xiàn)高精度的室內(nèi)定位成為眾多學(xué)者研究的方向。文獻(xiàn)[11]提出了一種基于CSI 幅值指紋的窄帶物聯(lián)網(wǎng)定位算法，其采用多維標(biāo)度分析方法計(jì)算目標(biāo)點(diǎn)與參考點(diǎn)之間的歐氏距離和時(shí)間反轉(zhuǎn)共振強(qiáng)度，然后采用K 近鄰（KNN,K nearest neighbor）算法進(jìn)行位置估計(jì)。多維標(biāo)度分析方法通過(guò)直觀的空間圖再現(xiàn)研究對(duì)象之間的關(guān)系，它的缺陷在于認(rèn)為各維度對(duì)目標(biāo)的貢獻(xiàn)相同。文獻(xiàn)[12]提出了一種基于位置不確定性約束的機(jī)器人室內(nèi)定位方法，并利用貪婪算法來(lái)求解優(yōu)化問(wèn)題。但貪婪算法依賴于當(dāng)前已經(jīng)做出的選擇，所以其無(wú)法保證得到最優(yōu)解。文獻(xiàn)[13]提出利用矢量格式的CSI 數(shù)據(jù)作為位置指紋，再將三層半連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和一層全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相組合用于位置估計(jì)。然而，當(dāng)面對(duì)較復(fù)雜的非線性問(wèn)題時(shí)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)容易產(chǎn)生收斂速度慢、網(wǎng)絡(luò)不穩(wěn)定和陷入局部最優(yōu)等一系列問(wèn)題。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出了一種基于CSI 張量分解的室內(nèi)Wi-Fi 指紋定位方法，方法流程如圖1 所示。

2 CSI 預(yù)處理

鑒于三階張量可以描述CSI 的信息和結(jié)構(gòu)，本文采用張量的形式來(lái)表達(dá)復(fù)雜的CSI。其目的在于保留數(shù)據(jù)原有形式的同時(shí)，最大限度地保留圖像內(nèi)在的結(jié)構(gòu)信息，通過(guò)建立一種以多維度分析為主線的張量處理框架，實(shí)現(xiàn)張量的降噪處理和特征提取，提升數(shù)據(jù)處理分析的能力。

2.1 CSI 降噪處理

一般地，智能手機(jī)采集到的原始CSI 可表示為一幅X軸為子載波、Y軸為數(shù)據(jù)包且Z軸為CSI 幅值的三維圖像[14]，如圖2 所示，子載波、數(shù)據(jù)包、CSI 幅值的數(shù)量分別為L(zhǎng)1、L2、L3。由于子載波的CSI 幅值在不同時(shí)刻的波動(dòng)較大且容易受到環(huán)境的影響，導(dǎo)致原始CSI 的三維圖像中出現(xiàn)了較多的奇異值，進(jìn)而影響指紋庫(kù)的構(gòu)建甚至定位的性能，因此需對(duì)原始CSI 進(jìn)行降噪處理。

本文將原始CSI 三維圖像表示為一個(gè)二元三階張量（其元素僅包含0 和1）。具體而言，令張量的形狀為[L1,L2,L3]，即第i(i=1,…,3)維（或稱“階”）有Li個(gè)元素，將該張量記為O∈RL1×L2×L3，并通過(guò)秩一張量的線性組合將其表示為

其中，μr(∈RL1)、υr(∈RL2)和ωr(∈RL3)分別為第r(r=1,…,M)個(gè)秩一張量在含噪張量O的3 個(gè)維度上分解得到的單位向量；符號(hào)°表示向量的外積運(yùn)算；λ為第rr個(gè)秩一張量的組分奇異值，其刻畫了第r個(gè)秩一張量的組分在整體中的比重；M為用于重構(gòu)O的秩一張量的個(gè)數(shù)。

為了利用CSI 的時(shí)域?頻域互補(bǔ)信息，在保持幅值連續(xù)性的同時(shí)實(shí)現(xiàn)高保真降噪的目的，本文提出基于平行因子（PARAFAC,parallel factor）分析模型的張量分解算法（如圖3 所示）來(lái)估計(jì)用于重構(gòu)O中無(wú)噪張量S（即S=O?N）的秩一張量的個(gè)數(shù)（即分解級(jí)數(shù)）k，其中，N為張量O中的噪聲。由于該算法未對(duì)各維度進(jìn)行平滑處理，因此沒有引入額外的信息，保持了圖像時(shí)域?頻域的一致性，其相較于其他張量分解算法，可以取得更好的降噪效果以提升圖像質(zhì)量。此外，k的表達(dá)式為

其中，SNR 為張量O的信噪比（即信號(hào)和噪聲的強(qiáng)度比），Li和Ki分別為張量S中第i維度的維度數(shù)和張量秩。

由于SNR 等價(jià)于信號(hào)和噪聲的方差比，因此本文對(duì)含噪張量O分塊進(jìn)行信號(hào)和噪聲的方差估計(jì)。先將張量O分成A個(gè)體積相等的子張量，再將每個(gè)子張量分為B個(gè)體積相等的局部張量。將第f(f=1,…,A)個(gè)子張量的方差表示為，其中，為第f個(gè)子張量中第e個(gè)局部張量的灰度值，為第f個(gè)子張量的平均灰度值，則噪聲方差的估計(jì)值可表示為

其中，為第f個(gè)子張量的方差，為A個(gè)子張量的方差的平均值。此時(shí)，信號(hào)方差的估計(jì)值可表示為

于是，可得

為了得到無(wú)噪張量S在第i維度上的張量秩Ki，本文根據(jù)赤池信息準(zhǔn)則（AIC,Akaike information criterion）[15-16]進(jìn)行估計(jì)，其估計(jì)式（具體推導(dǎo)過(guò)程見附錄1）為

張量S在3 個(gè)維度上的展開過(guò)程如圖4 所示，為了使重構(gòu)的無(wú)噪張量S盡可能逼近理想無(wú)噪張量，本文令兩者之間的均方根誤差最小，即。同時(shí)，考慮到張量模型中各維度的秩一張量可在求解中合并為因子矩陣，本文采用交替最小二乘（ALS,alternate least squares）迭代算法[17]來(lái)求解上述最優(yōu)化問(wèn)題。為此，令迭代次數(shù)為t，第t次迭代得到的各維度因子矩陣分別為和，且第t次迭代得到的權(quán)矩陣為。ALS 迭代算法的基本思路為固定2 個(gè)矩陣來(lái)求解剩余矩陣，本文選擇固定矩陣V和W來(lái)求解矩陣U。由于3 個(gè)因子矩陣均未知，現(xiàn)初始化因子矩陣為全1 矩陣，權(quán)矩陣Λ0為單位矩陣。將第t?1 次迭代結(jié)果的第 1 維度展開矩陣表示為，則第t次迭代得到的加權(quán)因子矩陣分別為

利用更新后的因子矩陣可得重構(gòu)第t次迭代結(jié)果為

2.2 CSI 特征提取

降噪后的張量中稀疏分布著有用的結(jié)構(gòu)和成分，為了找到其隱含的結(jié)構(gòu)和成分，需對(duì)張量進(jìn)行特征提取，以找到具有一定物理意義的數(shù)據(jù)表示。然而，現(xiàn)有的特征提取算法主要著眼于二維數(shù)據(jù)的頻域相關(guān)特性，忽略了時(shí)域?頻域存在的潛在關(guān)系，損失了重要的判別信息。因此，本文引入張量小波分解算法來(lái)獲取子載波、數(shù)據(jù)包以及CSI 幅值這3 個(gè)維度上的高低頻信號(hào)變化信息來(lái)實(shí)現(xiàn)CSI 特征提取。張量分解后得到的高低頻分量的關(guān)系為

其中，符號(hào)⊕和?分別表示張量的直和運(yùn)算和克羅內(nèi)克積運(yùn)算，L和H分別表示作用于X、Y和Z這3 個(gè)維度上的離散小波低通和帶通濾波器。此時(shí)，將得到的八組小波子成分分別記為L(zhǎng)LL、LLH、LHL、LHH、HLL、HLH、HHL和HHH。

其中，Pm(i,j,k)為小波子成分中位于(i,j,k)處的元素值。由于張量小波子成分所包含的多方向和多頻率信息已被文獻(xiàn)[18]證明能夠提供類別判別信息，因此本文將其應(yīng)用于構(gòu)造CSI 位置指紋。具體而言，構(gòu)造第n(n=1,…,Nf)個(gè)參考點(diǎn)處的CSI 位置指紋為，其中，Nf為參考點(diǎn)的個(gè)數(shù)，為第n個(gè)參考點(diǎn)處第m組小波子成分的小波系數(shù)。CSI 降噪處理及特征提取過(guò)程如算法1 所示。

算法1CSI 預(yù)處理算法

3 基于PLSR 的建模與定位

CSI 指紋定位方法包括2 個(gè)階段：離線階段和在線階段。離線階段設(shè)置參考點(diǎn)并進(jìn)行CSI 的采集和預(yù)處理以得到標(biāo)簽樣本（含參考點(diǎn)的CSI 位置指紋和位置坐標(biāo)），然后建立定位模型；在線階段設(shè)置測(cè)試點(diǎn)并進(jìn)行CSI 的采集和預(yù)處理以得到待定位樣本（含測(cè)試點(diǎn)的CSI 位置指紋），然后將其代入定位模型以得到測(cè)試點(diǎn)的位置坐標(biāo)估計(jì)。

為了研究CSI 位置指紋和位置坐標(biāo)之間多重相關(guān)變量的相互依賴關(guān)系，本文以參考點(diǎn)的CSI 位置指紋為自變量且位置坐標(biāo)(x n,yn)為因變量，利用偏最小二乘回歸（PLSR,partial least squares regression）算法進(jìn)行多因變量對(duì)多自變量的線性回歸建模。PLSR 算法不僅可以解決典型相關(guān)分析中無(wú)法獲得自變量到因變量直接映射的問(wèn)題，又可避免多元線性回歸分析中因?yàn)樽宰兞恐g存在相關(guān)性而導(dǎo)致的過(guò)擬合問(wèn)題。

為了求解w1和c1，引入拉格朗日乘子L為

分別對(duì)w1和c1求偏導(dǎo)并令其為0，得到

經(jīng)推導(dǎo)，可得w1和c1分別為對(duì)稱矩陣XTYYTX和YTXXTY的最大特征值所對(duì)應(yīng)的單位特征向量。將求解后的w1和c1分別代入t1=Xw1和u1=Yc1，可得X和Y的第一對(duì)主成分t1和u1。

為了解決從X到Y(jié)的映射問(wèn)題，根據(jù)主成分回歸思想將X和Y分別對(duì)它們的主成分t1和u1進(jìn)行回歸建模，得到，其中，E1和G1為殘差矩陣。將X中主成分t1不能解釋的殘差矩陣E1作為新的X，且Y中主成分u1不能解釋的殘差矩陣G1作為新的Y，不斷提取新的主成分，直到主成分?jǐn)?shù)量達(dá)到上限（即X的秩），算法結(jié)束。令算法結(jié)束時(shí)共得到a對(duì)主成分，則可將初始X和Y分別表示為

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.1 實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景

本文實(shí)驗(yàn)分別在走廊（即場(chǎng)景1）和實(shí)驗(yàn)室（即場(chǎng)景2）中進(jìn)行，如圖5 所示。場(chǎng)景1 和場(chǎng)景2 的面積分別為42.08 m×3.12 m和22.72 m×8.04 m。圖5 中，圓點(diǎn)表示參考點(diǎn)（RP,reference point），三角形表示測(cè)試點(diǎn)（TP,test point）。場(chǎng)景1 和場(chǎng)景2中各設(shè)置了40 個(gè)RP，并隨機(jī)設(shè)置了6 個(gè)和8 個(gè)TP。本文實(shí)驗(yàn)選擇商用D-Link 作為無(wú)線接入點(diǎn)（AP,access point）以及裝有Nexmon 測(cè)試平臺(tái)的Google Nexus 6 智能手機(jī)作為接收端。在每個(gè)位置處，接收端采集300 個(gè)包含64 個(gè)子載波（帶寬為20 MHz）的CSI 數(shù)據(jù)包，并將采集到的CSI 轉(zhuǎn)換為一個(gè)二元三階張量以進(jìn)行降噪處理和特征提取。

4.2 降噪結(jié)果分析

在不同場(chǎng)景中采集到的CSI 受到不同程度的噪聲干擾，導(dǎo)致某些子載波在不同時(shí)刻采集到的CSI幅值出現(xiàn)較大偏差，且由于手機(jī)采集到的CSI 本身具有波動(dòng)幅度大、穩(wěn)定性差等問(wèn)題，因此本文實(shí)驗(yàn)需對(duì)原始CSI 數(shù)據(jù)進(jìn)行子載波篩選。原始CSI 分布如圖6(a)和圖6(b)所示，圖6 中“+”表示在采樣過(guò)程中CSI 幅值出現(xiàn)極值的情況，“箱線”表示各子載波的CSI 幅值分布，其從上到下依次表示CSI幅值的最大值、上四分位值、中位值、下四分位值和最小值。由于場(chǎng)景1 相對(duì)空曠，人員流動(dòng)少，因此相比于場(chǎng)景2，在場(chǎng)景1 中采集到的數(shù)據(jù)受到噪聲的干擾更小，極值也更少。為了在降低計(jì)算開銷的同時(shí)剔除幅值偏差較大的子載波，本文篩選出采樣過(guò)程中幅值方差的均值最小的30 個(gè)最優(yōu)子載波，如圖6(c)和圖6(d)所示。由圖6 可知，經(jīng)過(guò)篩選后各子載波的CSI 幅值分布更加集中，極值也更少。

本文引入小波降噪算法作為對(duì)比算法，選擇的小波基及其設(shè)置的分解層數(shù)N分別為：Haar（N=5）、Coiflet3（N=1）、Symlet8（N=8）。另外，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，這3 種算法閾值選取都采用固定閾值估計(jì)，閾值函數(shù)都選用硬閾值，并規(guī)定了閾值處理不隨噪聲水平變化。將篩選后的CSI 分別采用本文提出的基于PARAFAC 分析模型的張量分解算法和傳統(tǒng)的小波降噪算法（如Haar 小波降噪、Coiflets 小波降噪和Symlets 小波降噪）進(jìn)行降噪處理，得到圖7 和圖8所示的降噪效果。可以看出，經(jīng)本文算法處理得到的圖像更加平滑，CSI 幅值分布更加集中，偏差也更小，由此說(shuō)明本文算法的降噪效果優(yōu)于其他3 種算法。為了更準(zhǔn)確地比較和分析不同算法的降噪性能，本文采用SNR、均方誤差（MSE,mean square error）以及峰值信噪比（PSNR,peak signal noise ratio）3 個(gè)參數(shù)對(duì)2 種場(chǎng)景下采用不同算法進(jìn)行降噪處理的性能進(jìn)行評(píng)估，如圖9 所示。

由圖9 可知，分別在場(chǎng)景1 和場(chǎng)景2 中采集到的數(shù)據(jù)經(jīng)本文算法處理后的CSI 圖像的SNR 分別為64.7 dB 和61.8 dB，相比于原始CSI 圖像的SNR，提升了15 dB 以上；MSE 分別為6.21 和6.20，較傳統(tǒng)小波降噪算法，經(jīng)本文算法處理后的圖像更接近于理想無(wú)噪圖像；PSNR分別為40.20 dB 和40.21 dB，進(jìn)一步證實(shí)了本文算法具有更好的降噪性能。分別對(duì)比同一場(chǎng)景下不同算法的性能參數(shù)可知，針對(duì)場(chǎng)景1中采集到的數(shù)據(jù)，選用本文算法或Symlets 小波降噪算法[20]進(jìn)行降噪處理的性能更優(yōu)；而針對(duì)場(chǎng)景2中采集到的數(shù)據(jù)，選用本文算法或Haar 小波降噪算法[21]進(jìn)行降噪處理的性能更優(yōu)。由此進(jìn)一步驗(yàn)證了本文算法在2 種場(chǎng)景下都具有更優(yōu)的降噪性能。

4.3 特征提取結(jié)果分析

圖10 對(duì)比了各小波子成分在不同數(shù)據(jù)包個(gè)數(shù)下所對(duì)應(yīng)的ASM 值分布，可見經(jīng)張量小波分解得到的不同位置處同一小波子成分的ASM 值分布是相對(duì)集中的，且由于小波子成分HHH作為細(xì)節(jié)分量包含了分解前CSI 的絕大部分信息，因此當(dāng)選取不同個(gè)數(shù)的數(shù)據(jù)包時(shí)，小波子成分HHH的ASM 值為8 個(gè)小波子成分中最大的，并隨著數(shù)據(jù)包個(gè)數(shù)的增加，相同數(shù)據(jù)包個(gè)數(shù)下不同小波子成分ASM 值的差值增大。

4.4 定位性能分析

4.4.1 定位誤差分析

在保留本文所提其余算法的情況下，本節(jié)依次更換了降噪處理、特征提取和定位階段的算法來(lái)分析本文中3 種主要算法（即PARAFAC、張量小波分解和PLSR）對(duì)定位性能的影響，如圖11 所示。

基于PARAFAC分析模型的張量分解算法在去除噪聲分量的同時(shí)，最大限度地保留了數(shù)據(jù)內(nèi)在的結(jié)構(gòu)信息。圖11(a)比較了在RP 取不同個(gè)數(shù)的情況下，分別經(jīng)本文算法降噪處理和無(wú)降噪處理時(shí)的定位誤差累積分布函數(shù)（CDF,cumulative distribution function）。當(dāng)RP 個(gè)數(shù)相同時(shí)，經(jīng)本文算法進(jìn)行降噪處理后的定位性能明顯優(yōu)于無(wú)降噪處理時(shí)的定位性能，且隨著RP 數(shù)的增加，算法的定位性能也越好。歸其原因，在于當(dāng)RP 數(shù)越多時(shí)，經(jīng)降噪處理和特征提取后得到的標(biāo)簽樣本也越多，于是基于更多的樣本進(jìn)行回歸建模所得到的模型將更接近于真實(shí)模型，進(jìn)而最終的定位結(jié)果也會(huì)更加準(zhǔn)確。圖11(b)比較了選用不同降噪算法時(shí)的定位CDF。觀察可知，本文算法在定位誤差為4 m 時(shí)的置信概率（即CDF 的值）為94.88%，高于其他3 種小波降噪算法的置信概率，分別為91.52%、85.88%和80.21%。

由圖11(c)可知，相較于方向梯度直方圖（HOG,histogram of oriented gradient）特征算法[22]（定位誤差為4 m 時(shí)置信概率為84.84%）和局部二值模式（LBP,local binary pattern）特征算法[23]（定位誤差為4 m 時(shí)置信概率為83.08%），采用本文算法進(jìn)行特征提取將對(duì)定位性能的提升提供更大幫助。此外，由圖11(d)可知，本文算法在定位誤差為4 m 時(shí)的置信概率（即94.88%）優(yōu)于加權(quán)K 近鄰（WKNN,weighted K nearest neighbor）算法[24]的 84.9%（Np=3）、88.54%（Np=5）、82.72%（Np=7）和79.97%（Np=9），近似最佳三角形內(nèi)點(diǎn)測(cè)試（APIT,approximate perfect point-in-triangulation test）算法[25]的81.97%以及貝葉斯（Bayes）算法[26]的73.14%，其中，Np 表示鄰近點(diǎn)個(gè)數(shù)。

4.4.2 時(shí)間開銷分析

除了定位誤差以外，時(shí)間開銷也是評(píng)估定位性能的重要指標(biāo)。不同RP 數(shù)下4 種定位算法的運(yùn)行時(shí)間如表1 所示，用于定位的RP 數(shù)越多，對(duì)應(yīng)的運(yùn)行時(shí)間也越長(zhǎng)。但無(wú)論有多少個(gè)RP，本文所提PLSR 算法的運(yùn)行時(shí)間都是最短的。以RP=40 為例，此時(shí)WKNN、APIT 和Bayes 算法的運(yùn)行時(shí)間分別為0.83 s、0.75 s 和0.74 s，均大于本文算法的運(yùn)行時(shí)間0.67 s，這表明本文算法在計(jì)算復(fù)雜度方面比WKNN、APIT 和Bayes 算法更有優(yōu)勢(shì)。

表1 不同RP 數(shù)下4 種定位算法的運(yùn)行時(shí)間

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出采用張量的形式來(lái)表達(dá)CSI 的優(yōu)勢(shì)在于，保留數(shù)據(jù)原有存在形式的同時(shí)最大限度地保留了圖像內(nèi)在的結(jié)構(gòu)信息。本文首先研究了基于PARAFAC 分析模型的張量分解算法和ALS 迭代算法相結(jié)合用于降噪處理的可行性；然后，利用張量小波分解算法在CSI 的3 個(gè)維度上進(jìn)行小波分解實(shí)現(xiàn)特征提取，有效降低了CSI 維數(shù)并得到CSI 位置指紋；最后，基于PLSR 算法建立定位模型，對(duì)位置坐標(biāo)進(jìn)行預(yù)測(cè)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)定位。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法在定位誤差3.5 m、4 m 和4.5 m 內(nèi)的置信概率分別為89.81%、94.88%和98.05%，均明顯優(yōu)于其他現(xiàn)有算法，由此驗(yàn)證了本文提出的基于CSI張量分解的室內(nèi)Wi-Fi 指紋定位方法在提升數(shù)據(jù)處理分析能力和擬合CSI 位置指紋和位置坐標(biāo)關(guān)系的同時(shí)，還具有更優(yōu)的定位性能。

基于Tucker分析模型的CSI降噪處理是一個(gè)值得研究的問(wèn)題，下一步工作將對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行深入探討；此外，CSI 圖像的灰度共生矩陣是進(jìn)行特征提取的有力工具，但它不能直接提供進(jìn)行類別判斷的特性，所以作者還將在灰度共生矩陣的基礎(chǔ)上研究用于定量描述圖像特征的統(tǒng)計(jì)屬性，并由這些統(tǒng)計(jì)屬性來(lái)構(gòu)造用于室內(nèi)Wi-Fi 指紋定位的CSI位置指紋。

附錄1 式(6)推導(dǎo)過(guò)程

將式(6)改寫為

為了求解張量秩K，需從可供選擇的模型中選擇AIC值最小的模型。AIC 的構(gòu)造如下

假設(shè)噪聲是與信號(hào)無(wú)關(guān)的均值為0 的高斯隨機(jī)過(guò)程，則噪聲的協(xié)方差矩陣可表示為σ2I。為了確定r(r≤min (L,N))的值，構(gòu)造模型x=As+n，其中，矩陣A∈RL×r，向量s∈Rr×1。于是，可得模型的協(xié)方差矩陣R=Ψ+σ2I，矩陣Ψ=ASAH，信號(hào)的協(xié)方差矩陣S=E(ssH)。假設(shè)矩陣A為列滿秩，則A(Φj)線性無(wú)關(guān)，并假設(shè)矩陣S為滿秩，則Ψ秩為r，那么Ψ的L?r個(gè)最小特征值等于0。矩陣R∈RL×L的各特征值之間的關(guān)系為λ1≥λ2≥…≥λL，其中，最小的L?r個(gè)特征值等于σ2，即λr+1=λr+2=…=λ L=σ2，前r個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量表示為Vj。

r的值可由矩陣R的最小特征值的多重性（即個(gè)數(shù)）推測(cè)得到，但實(shí)際上協(xié)方差矩陣R是未知的，所以基于線性代數(shù)中的譜表示定理，將R( r)=Ψ(r)+σ2I中的R(r)表示為，模型的參數(shù)向量表示為。利用最大似然估計(jì)算法來(lái)計(jì)算已知樣本X={x1,…,xN}所對(duì)應(yīng)的參數(shù)向量。因此，計(jì)算樣本的聯(lián)合概率密度為

步驟 2求解Num。由于Θ(r)中參數(shù)個(gè)數(shù)為(r+1 +2Lr)，則此時(shí)的自由度為(r+2Lr)，又由于Θ(r)中自由參數(shù)的個(gè)數(shù)等于由Θ(r)所張成的空間的自由度，因此需對(duì)特征向量進(jìn)行正交化和標(biāo)準(zhǔn)化處理，可得

觀察可知，式(31)中的未知量?jī)H為r。于是，可通過(guò)調(diào)整r∈{0,…,L?1}的取值來(lái)改變AIC 的值，AIC 取得最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的r即張量秩K。