侯進(jìn)，李昀喆，李天宇

（1.西南交通大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 611756；2.西南交通大學(xué)綜合交通大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)國家工程實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 611756；3.西南交通大學(xué)唐山研究生院，河北 唐山 063000）

1 引言

實(shí)際的通信環(huán)境中，多徑效應(yīng)導(dǎo)致存在大量相干信號，使入射信號的數(shù)量超過傳感器的數(shù)量的現(xiàn)象普遍存在。在這樣的復(fù)雜環(huán)境中，現(xiàn)有的到達(dá)角（DOA,direction of arrival）估計(jì)方法將失敗。DOA估計(jì)還有一個重要的目標(biāo)就是在大量噪聲的情況下，定位間隔較小的信號源。許多經(jīng)典的DOA 估計(jì)技術(shù)通過利用少量源的存在來實(shí)現(xiàn)超分辨率。例如，Krim 等[1]研究的多重信號分類（MUSIC,multiple signal classification）算法的關(guān)鍵部分就是低維子空間的假設(shè)。因此，需要針對以上情況尋找一種新的DOA 估計(jì)方法。

目前，DOA 估計(jì)方法可分為三類：基于子空間的方法、基于獨(dú)立分量分析（ICA,independent component analysis）的方法、基于稀疏重構(gòu)的方法。當(dāng)傳感器和時間樣本足夠時，除MUSIC 算法，Esfandiari 等[2]和Zhuang 等[3]研究了其他基于子空間的方法，該類方法利用信號和噪聲子空間之間的正交性來估計(jì)信號源的DOA。但是，當(dāng)入射信號的數(shù)量大于傳感器的數(shù)量時，這些算法因?yàn)樵肼曌涌臻g的消失都會失去最佳性能。

當(dāng)入射信號的數(shù)量不大于傳感器的數(shù)量時，基于ICA的方法可以實(shí)現(xiàn)信號的盲分離和DOA估計(jì)，其中分離再測向有助于多信源的 DOA 估計(jì)。Zamani 等[4]和Johnson[5]通過ICA 與波束合成結(jié)合，提高算法的收斂速度，但這些方法只能解決獨(dú)立信號的DOA 估計(jì)問題。對于相干信號，基于ICA 的方法的性能將嚴(yán)重下降?；谙∈柚貥?gòu)的方法可以根據(jù)不同的稀疏重構(gòu)算法分為三類：Trinh-Hoang等[6]探究的基于匹配追蹤（MP,matching pursuit）的方法、Malioutov 等[7]和Soubies 等[8]探究的基于lp范數(shù)的方法、Hu 等[9]和Huang 等[10]探究的基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)（SBL,sparse bayesian learning）的方法。與基于子空間的方法和基于ICA 的方法相比，基于稀疏重構(gòu)的方法在低信噪比（SNR,signal-to-noise ratio）、小樣本和信號相干的情況下可以獲得更好的性能。但是需要入射信號的數(shù)量小于傳感器的數(shù)量。對于欠定情況，仍然無法解決相干信號DOA 估計(jì)問題。

針對現(xiàn)有算法的不足，本文提出了一種基于ICA 和稀疏重構(gòu)的DOA 估計(jì)方法。ICA 算法中的快速獨(dú)立主成分分析（FastICA,fast independent component analysis）算法具有收斂速度快、易使用等優(yōu)點(diǎn)，故本文使用FastICA 算法進(jìn)行信號盲分離。首先，通過FastICA 算法估計(jì)陣列流形；然后，將陣列流形中的導(dǎo)向矢量視為陣列輸出的單個時間樣本，并通過稀疏重構(gòu)來估計(jì)分離后的獨(dú)立信源的DOA，獨(dú)立信源可能包含相干信號和非相干信號。理論分析和仿真與實(shí)測實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法可以解決欠定情況下相干信號的DOA 估計(jì)問題，并能進(jìn)行多個非相干圓或非圓信號的DOA 估計(jì)。

2 系統(tǒng)模型

假設(shè)有M個陣元的均勻圓陣（UCA,uniform circular array），如圖1 所示。該圓形陣列接收N個入射復(fù)數(shù)獨(dú)立信源，包含NI個非相干復(fù)信號源和K組相干復(fù)信號源，則獨(dú)立信源總數(shù)為N=NI+K，這些信號源位于不同方向的陣列遠(yuǎn)場中。其混合模型可以寫成n

θ為第n個信號的波達(dá)方向角，λ為信號的波長，r為均勻圓陣的半徑；n(t)為均值為0 的加性白高斯噪聲。

當(dāng)信號為相干信號時，假設(shè)第k個入射源信號sk(t)包含Lk個相干信號，這些相干信源從θlk方向入射到陣列上，其中l(wèi)k=1,2…Lk。假設(shè)在θlk中有2 個相關(guān)信號sik(t)和sjk(t)，則兩信源的相關(guān)系數(shù)表示為

由Schwartz 不等式可知|μlk|≤ 1，故信號間的相關(guān)性定義為

由以上定義可知，當(dāng)信源相干時，相干信源之間只相差一復(fù)常數(shù)。陣列相干信號的數(shù)據(jù)模型應(yīng)調(diào)整為

若信源中存在K組相干信號，相干信源總數(shù)為，則入射信源總數(shù)即L=NI+Nk。

在實(shí)際環(huán)境中，由于相干信號存在，很可能導(dǎo)致入射信號的數(shù)量大于陣列傳感器的數(shù)量（即L>M）的現(xiàn)象。在這種情況下，現(xiàn)有方法無法成功估算DOA?；谧涌臻g的方法和基于稀疏重構(gòu)的方法都僅在LM時，一些不確定的DOA 估計(jì)方法[11]可以成功估計(jì)DOA，但是這些方法都是基于源信號稀疏的假設(shè)，這是一個限制性假設(shè)。針對這一問題本文考慮了更實(shí)用的假設(shè)，即源信號是獨(dú)立的，且一組相干信源可以被看作一個獨(dú)立信源。

通過分析可知，存在相干信號情況下的陣列數(shù)據(jù)模型只有陣列流形矩陣A不同，顯然，當(dāng)獨(dú)立信源數(shù)小于陣元數(shù)，即N≤M時，可以使用ICA 方法估計(jì)A。但是由于相干信號的影響，DOA 的估計(jì)變得更加復(fù)雜，不能用傳統(tǒng)的方法估計(jì)DOA。針對這一問題，需要尋求一種新的DOA 估計(jì)方法。

觀察可以發(fā)現(xiàn)，式(2)類似于陣列數(shù)據(jù)模型。當(dāng)Lk個相干信號同時入射到擁有M個陣元的陣列時，導(dǎo)向矢量an可以看作陣列輸出的單個時間樣本。由于陣列輸出只有一個時間樣本，基于子空間的方法和基于ICA 的方法都不能工作。近年來提出的基于稀疏重構(gòu)的方法在單時間樣本條件下仍能成功地估計(jì)到達(dá)角。

如果Lk

3 復(fù)數(shù)FastICA 算法

3.1 除噪復(fù)數(shù)FastICA 算法

一般復(fù)數(shù)信號ICA 模型為

ICA 的目標(biāo)是找到一個解混矩陣W，當(dāng)式(4)中y的所有分量都是獨(dú)立的時，W達(dá)到其最優(yōu)值。y為M個信源s的估計(jì)值，故WA=I,A=W?1，此時W?1為陣列流行矩矩陣A的估計(jì)。

真實(shí)的應(yīng)用中往往存在噪聲，含噪聲復(fù)數(shù)信號ICA 模型為

一般情況下，獲取的觀測數(shù)據(jù)都具有相關(guān)性，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行去相關(guān)處理。白化是一種常見的去相關(guān)方式，主成分分析（PCA,principal component analysis）可用于白化處理，其具有降維功能，可以去除信號噪聲的干擾。在觀測信號的維度數(shù)大于實(shí)際獨(dú)立信源的個數(shù)，即M>N時，可以經(jīng)PCA 降維使觀測信號與實(shí)際信源數(shù)相等。經(jīng)過白化后觀測數(shù)據(jù)的協(xié)方差是單位矩陣，各維數(shù)據(jù)不相關(guān)。故經(jīng)過PCA 處理可以降低觀測數(shù)據(jù)的維度，且去除各觀測數(shù)據(jù)間的相關(guān)性，從而降低在ICA 中問題的復(fù)雜度。

使用PCA 對數(shù)據(jù)白化，首先，對觀測數(shù)據(jù)x各個分量進(jìn)行中心化，即

使用中心化后的數(shù)據(jù)計(jì)算協(xié)方差矩陣，即R=E{xxH}∈CM×M，對R進(jìn)行奇異值分解R=UΣVH，其中U、V分別為M×M的左、右奇異向量矩陣，且均為酉矩陣；Σ為M×M的奇異值對角矩陣。

ICA 的前提條件是獨(dú)立信源的準(zhǔn)確估計(jì)，當(dāng)非相干信源與相干信源共存時，獨(dú)立信源數(shù)N=NI+K。Bazzi等[12]提出了一種改進(jìn)的MDL（MMDL,modified minimum description length）算法，在含噪聲觀測數(shù)據(jù)、快拍數(shù)較少的情況下，對信源估計(jì)的準(zhǔn)確率優(yōu)于傳統(tǒng)MDL。使用MMDL 方法估計(jì)出獨(dú)立信源數(shù)N，取U中前N列的向量組成UN，對數(shù)據(jù)進(jìn)行PCA 降維處理，即

經(jīng)過PCA 降維后，對降維數(shù)據(jù)進(jìn)行白化處理，白化后的數(shù)據(jù)滿足。降維后的每一維數(shù)據(jù)是獨(dú)立的，為確保每一維數(shù)據(jù)具有單位方差，需對每一維數(shù)據(jù)除以標(biāo)準(zhǔn)差來進(jìn)行縮放，則白化后的數(shù)據(jù)為

降維白化矩陣可表示為

數(shù)據(jù)經(jīng)過白化處理后，在復(fù)數(shù)FastICA 算法[13]中，代價函數(shù)為

其中，G為非線性函數(shù)，常見的形式有G1(y)=y2，；y為自變量；b為任取的常數(shù)值，通常b=0.1。

Bingham 等[13-14]提出復(fù)數(shù)FastICA 算法的圓性信號學(xué)習(xí)規(guī)則為

Novey 等[15]提出復(fù)數(shù)FastICA 算法的非圓信號學(xué)習(xí)規(guī)則為

要進(jìn)行N個信源的估計(jì)，需進(jìn)行N次迭代計(jì)算，最終解混矩陣WH=[w1,w2,…,wN]∈CN×N，在完成所有迭代后，對W進(jìn)行對稱正交變換，去除W間的相關(guān)性，避免wn收斂到相同極值，即。

除噪復(fù)數(shù)FastICA算法具體步驟如算法1所示。

算法1除噪復(fù)數(shù)FastICA 算法

3.2 去噪復(fù)數(shù)FastICA 算法

當(dāng)SNR 較大的情況下，噪聲對信號的影響可以忽略，使用上文中的除噪算法，在計(jì)算時只選取信號子空間，使用PCA 進(jìn)行降維直接去除噪聲的影響。當(dāng)信噪比SNR 較小時，需要考慮到噪聲對信號的影響。

使用式(6)對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行中心化，并計(jì)算協(xié)方差矩陣R=E{xxH}∈CM×M。對協(xié)方差矩陣進(jìn)行奇異值分解，即

奇異值對角矩陣Σ理論上應(yīng)滿足如下關(guān)系：。

奇異值前N個對應(yīng)信號子空間，后M?N個對應(yīng)噪聲方差δ2。但在實(shí)際計(jì)算時，這些奇異值往往不是相同的值，故無法直接得到噪聲方差δ2。

若已知獨(dú)立信源數(shù)N，通過噪聲子空間特性，可近似估計(jì)噪聲方差

則N個信源組成的信號子空間奇異值矩陣為

依據(jù)白化原則，對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行降維和去相關(guān)線性變換，因?yàn)槿ピ氚谆僮骱蟮臄?shù)據(jù)不再滿足協(xié)方差矩陣為單位矩陣，用“近白化”代替白化，則近白化矩陣為

其中，UN為矩陣U的前N列。

近白化后的觀測矩陣為

經(jīng)過去噪變換后，近白化后的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣不再是正交矩陣，結(jié)合式(14)推導(dǎo)及，可得

Bingham等[13]和Novey等[15]在對式(12)和式(13)的推導(dǎo)中均使用了近似關(guān)系E{uuHf(u)}≈E{uuH}E{f(u)}，其中，u為白化處理后的數(shù)據(jù)E{uuH}=I，故

依據(jù)式(20)推導(dǎo)結(jié)果，在去噪情況下式(22)應(yīng)為

根據(jù)以上推導(dǎo)，去噪復(fù)數(shù)FastICA 算法的學(xué)習(xí)規(guī)則為

信源s的估計(jì)表示為

去噪復(fù)數(shù)FastICA算法具體步驟如算法2所示。

算法2去噪復(fù)數(shù)FastICA 算法

上述2 種去噪算法中，算法1 直接使用PCA去除噪聲部分，針對信號強(qiáng)度相當(dāng)、信噪比高、噪聲影響小的情況，利用白化處理把觀測信號全部投影到信號子空間，在復(fù)數(shù)FastICA 中也沒有考慮噪聲的影響。算法2 適用于存在微弱信號或噪聲過強(qiáng)等強(qiáng)干擾的情況，根據(jù)噪聲高斯、獨(dú)立性，對噪聲進(jìn)行了估計(jì)，在白化處理中，在信號子空間中減去噪聲方差，濾除信號子空間中噪聲的干擾，并在復(fù)數(shù)FastICA 算法的迭代中，考慮了噪聲的影響對學(xué)習(xí)規(guī)則進(jìn)行改進(jìn)，使盲分離算法更適用于存在噪聲的情況和微弱信號的提取。

4 基于稀疏重構(gòu)的DOA 估計(jì)

從ICA 的角度來看，接收到的陣列數(shù)據(jù)是由不同方向接收到的獨(dú)立信號混合而成的?；旌暇仃嚍锳，可以用復(fù)數(shù)FastICA 估計(jì)分離矩陣，則A可以用分離矩陣來估計(jì)。

對A中的每一列進(jìn)行稀疏重構(gòu)，稀疏重構(gòu)是由觀測向量重構(gòu)稀疏信號的過程。只要滿足信號稀疏或可壓縮條件，就可用一個觀測矩陣對矩陣進(jìn)行稀疏表示，稀疏表示后的信號越稀疏則重建后的精度就越高，所包含的信源DOA 信息越全面。對于稀疏表示的信號，通過求解一個優(yōu)化問題就能近似地重構(gòu)信號。觀測信號中信源具有稀疏性，且每次都對A中一列即單個獨(dú)立信源進(jìn)行重構(gòu)，稀疏重構(gòu)理論正是運(yùn)用信號在觀測空間上的稀疏特性來實(shí)現(xiàn)對入射信號角度估計(jì)的。

經(jīng)過以上2 種算法分析計(jì)算，假設(shè)已經(jīng)使用算法 2 估計(jì)去噪白化處理后的陣列流行矩陣，其中#表示矩陣的偽逆。雖然ICA不能識別出矩陣A的導(dǎo)向向量順序，但在本文所提DOA 估計(jì)方法中并不會產(chǎn)生影響。假設(shè)an是的第n列即第n個信源的導(dǎo)向向量。算法的目標(biāo)就是通過估計(jì)的導(dǎo)向向量an，求得其中非相干信源的到達(dá)角度nθ或相干組信號到達(dá)角度θ1,θ2,…,θlk。

為將導(dǎo)向向量an作為稀疏表示問題，引入一個包括所有可能入射信號DOA 的過完備字典D，假設(shè)Θ=[α1,…,αQ]是所有可能的DOA 組成的抽樣網(wǎng)絡(luò)。矩陣Θ中的列表示潛在入射信號DOA 對應(yīng)的導(dǎo)向矢量，D=[d(α1),d(α2),…,d(αQ)]，

D是已知的，并且與信號源的實(shí)際位置無關(guān)。的空間過完備表示為

其中，為小噪聲部分，v=[v1,v2,…,vQ]。如果α q=θlk，則v q=μlk；否則vq=0。將DOA 估計(jì)問題轉(zhuǎn)化成v的稀疏譜問題，v中包含入射信號的真實(shí)DOA 處主峰?？梢越鉀Q式(27)的逆問題，通過L1 范數(shù)的方法將其正則化，使其有利于信號稀疏。最小化v的空間譜，則代價函數(shù)為

由于目標(biāo)函數(shù)的數(shù)據(jù)是復(fù)數(shù)值，因此，無論是線性規(guī)劃還是二次規(guī)劃都不適用于其優(yōu)化。此時，可以采用二階錐規(guī)劃（SOCP，second order cone programming）[16]，把復(fù)數(shù)凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成SOCP問題，使在內(nèi)點(diǎn)方法（IPM,interior point method）框架下實(shí)現(xiàn)高效的全局收斂算法。

把L1 范數(shù)形式轉(zhuǎn)化為SOCP 形式。根據(jù)Lobo等[17]對SOCP 的推導(dǎo)與分析。把式(28)轉(zhuǎn)換成SOCP形式，使用輔助向量e和f把目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行線性表示，將非線性部分代入約束條件，則優(yōu)化目標(biāo)可轉(zhuǎn)換成如下形式

故SOCP 最終優(yōu)化問題表示為

式(30)中重要的部分是正則化參數(shù)β的選擇，其平衡了實(shí)際問題中數(shù)據(jù)的擬合和稀疏性。Malioutov 等[6]所提的L1-SVD 算法中已經(jīng)給出關(guān)于β的選擇方法。β參數(shù)的選擇是稀疏重構(gòu)的關(guān)鍵，在文獻(xiàn)[6]中β的選擇與信噪比有關(guān)，需要根據(jù)噪聲的大小分情況多次計(jì)算，特別是在信噪比較小的情況下，參數(shù)選擇過程較復(fù)雜。但在本文中，陣列流行矩陣A的估計(jì)經(jīng)過去噪處理，其中噪聲已進(jìn)行濾除，存在較小的噪聲。此時，只需保證β盡可能小，且滿足，β選擇一個較小的固定值進(jìn)行計(jì)算，即可進(jìn)行信號稀疏。

本節(jié)算法具體步驟如算法3 所示。

算法3基于復(fù)數(shù)FastICA 與稀疏重構(gòu)的DOA估計(jì)

5 性能分析

基于ICA 的算法最多能處理M個獨(dú)立信源。在單個時間樣本的情況下，稀疏重構(gòu)算法最多能處理個入射源信號[18]，因此本文所提算法最多能夠處理個入射信號。實(shí)際上，如果源信號的幅值滿足隨機(jī)分布，那么稀疏重構(gòu)算法能夠處理s的入射信號數(shù)可以達(dá)到M?1個。因此，本文所提算法最多能夠處理M(M?1)個入射信號。例如，當(dāng)陣列傳感器數(shù)量為3 時，該方法可最多可以處理6 個入射信號，其中3 組相干信號，每組相干信號包含2 個相干信號。

在復(fù)數(shù)FastICA 算法之前，使用PCA 預(yù)處理方式。對于陣列流行矩陣A而言，若信源數(shù)與陣元數(shù)相等，A需要估計(jì)M2個元素，經(jīng)過白化后A的待估計(jì)個數(shù)降為M(M?1)/2，且A的估計(jì)為，白化矩陣經(jīng)過PCA降維處理為M×N，故W只需估計(jì)N2個元素，即A只需估計(jì)N2，大幅減少了FastICA 計(jì)算量，提高了算法的運(yùn)算效率。

6 實(shí)驗(yàn)仿真分析

為驗(yàn)證ICA 算法的分離效果，仿真實(shí)驗(yàn)使用Amari 指數(shù)[19]對除噪FastICA 算法和去噪FastICA算法的分離信號性能進(jìn)行評估。Amari 指數(shù)的定義為

其中，N代表信源數(shù)；P=WHCwhiteA=FA，即分離矩陣與混合矩陣A的積。IA∈[0,1]，10logΙA的值代表分離效果，值越小分離的效果越好，若10logIA

為驗(yàn)證本文所提2 種去噪算法在不同信噪比下的分離效果，使用非線性復(fù)數(shù)FastICA 算法[15]進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)。進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，經(jīng)過500 次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，在九陣元均勻圓陣，3 個非相干入射信號[30°,260°,120°]，中心頻率為500 MHz，快拍數(shù)L=500，陣元半徑為0.58 m，對3 個信號進(jìn)行盲分離，分離效果如圖2 所示。

從圖2 可以看出，當(dāng)信噪比為[?20 dB,20 dB]時，3 種FastICA 算法均能達(dá)到較好的分離效果。當(dāng)信噪比為[?20 dB,?8 dB]時，去噪復(fù)數(shù)FastICA 算法優(yōu)于除噪復(fù)數(shù)FastICA 算法，平均要好約?1 dB。當(dāng)信噪比大于?5 dB 時，2 種去噪算法的性能趨于一致。非線性復(fù)數(shù)FastICA 算法的性能由于沒有去噪降維處理，性能整體弱于2 種去噪算法，平均差約?4 dB。

對算法收斂性進(jìn)行分析，SNR=?5 dB，經(jīng)過500 次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，在門限設(shè)置為10?12、最大迭代500 次情況下，收斂次數(shù)對比如表1 所示。非線性FastICA 算法迭代次數(shù)平均為68 次，遠(yuǎn)高于所提的2 種去噪算法。除噪復(fù)數(shù)FastICA 算法與去噪復(fù)數(shù)FastICA 算法均表現(xiàn)出良好的算法性能，在迭代15 次以內(nèi)就取得良好的收斂性。

表1 3 種FastICA 算法收斂次數(shù)對比

通過非線性FastICA 算法與2 種去噪FastICA算法的分離效果和收斂性能分析實(shí)驗(yàn)，可以看出去噪確實(shí)提高了對盲信號的分離性能，特別是算法的收斂速度得到明顯提高，分離效果也得以提高。去噪復(fù)數(shù) FastICA 算法整體表現(xiàn)優(yōu)于除噪復(fù)數(shù)FastICA 算法。

為驗(yàn)證 DOA 估計(jì)算法的有效性，使用L1-SVD[6]、MUSIC[1]算法和極大似然估計(jì)（DML,deterministic maximum likelihood）[1]與本文所提算法進(jìn)行對比，分別進(jìn)行實(shí)測數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)、相干信號欠定仿真實(shí)驗(yàn)、非相干信號超定仿真實(shí)驗(yàn)、低信噪比和信源小間隔實(shí)驗(yàn)等，對算法的性能進(jìn)行分析驗(yàn)證。

使用九陣元圓陣接收機(jī)，接收機(jī)陣元半徑為0.58 m，中心頻率為600 MHz，快拍數(shù)為8 192。采集實(shí)際數(shù)據(jù)，其中包含一個非相干信號103°及一組相干信號[256°,320°]，根據(jù)MMDL 判斷獨(dú)立信源數(shù)N為2。

表2 給出了真實(shí)采集數(shù)據(jù)的情況下，子空間經(jīng)典算法、L1-SVD 與本文所提算法的DOA 估計(jì)結(jié)果。因?yàn)橛邢喔尚盘柵c非相干信號同時存在，在沒有進(jìn)行解相干的情況，直接判斷信源個數(shù)，故觀測信號中只包含2 個獨(dú)立信源數(shù)，MUSIC 算法和DML 算法都依賴于信源數(shù)的準(zhǔn)確性，故只能測出2 個信源的DOA。L1-SVD 法和本文所提算法在只提供獨(dú)立信源數(shù)的情況下，仍然可以得到3 個信源的DOA，在本次實(shí)驗(yàn)中，L1-SVD算法對其中一個信源320°的結(jié)果存在1°偏差，本文所提算法的測向結(jié)果較為準(zhǔn)確。

表2 實(shí)測3 個信源數(shù)據(jù)在不同算法下DOA 估計(jì)結(jié)果

3 種算法在包含相干與非相干實(shí)測信號空間譜圖如圖3 所示。從圖3 可以看出，3 種算法均在3 個目標(biāo)信源DOA 處產(chǎn)生譜峰。但是在只有2 個獨(dú)立信源的前提下，MUSIC 只能得到2 個信源DOA 結(jié)果。

表3 是實(shí)測6 個信源數(shù)據(jù)的DOA 結(jié)果，使用MMDL 估計(jì)信源數(shù)N為6。在實(shí)際應(yīng)用中，DML 對多信號的測向效果較差，MUSIC 及L1-SVD 算法存在不同程度的錯誤，本文所提算法仍保持良好的性能，對于多信號測向表現(xiàn)出較強(qiáng)的分辨力和穩(wěn)定性。

表3 實(shí)測6 個信源數(shù)據(jù)不同算法DOA 結(jié)果

為驗(yàn)證算法對相干信號欠定情況，本文對M(M?1)個相干信源的分辨性能進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，在陣元數(shù)為3 的均勻圓陣，信號的中心頻率為500 MHz，陣元半徑為0.58 m，快拍數(shù)L=200，信噪比為10 dB，生成3 組相干信號。通過去噪復(fù)數(shù)FastICA 算法估計(jì)出陣列流行矩陣。對的每一列數(shù)據(jù)采用L1 范數(shù)稀疏重構(gòu)算法，得到三組相干信號空間譜。欠定情況下基于子空間的MUSIC 等方法失效，因此，實(shí)驗(yàn)對比了L1-SVD 與本文所提算法性能，如圖4 所示。

L1-SVD 算法只生成了5 個譜峰，在[21°,220°]目標(biāo)角度正確出現(xiàn)譜峰，由于[82°,92°]和[150°,153°]兩兩之間角度間隔較小，此算法只在兩組信源中間位置產(chǎn)生峰值，在360°處產(chǎn)生一錯誤峰值，L1-SVD法在本實(shí)驗(yàn)中表現(xiàn)較差。本文所提算法在三組相干信源的真實(shí)DOA 處均出現(xiàn)峰值，每組相干信號的真實(shí)DOA 處分別產(chǎn)生2 個峰值。

下面的仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文所提算法對最大數(shù)量非相干信源分辨性能。在六陣元均勻圓陣，信號的中心頻率為500 MHz，陣元半徑為0.58 m，快拍數(shù)L=200，信噪比為?5 dB，生成6 個非相干信源[30°,60°,120°,150°,180°,210°]。當(dāng)信源數(shù)與陣元數(shù)一致時，基于子空間的MUSIC 算法將失效，因此，實(shí)驗(yàn)對比了L1-SVD 與本文所提算法的性能，如圖5 所示。

從圖5 可以看出，2 種算法均可測出6 個信源的DOA，但L1-SVD 算法在最后一個信源，即210°處有少許偏差，本文所提算法對6 個信號均能準(zhǔn)確定位。

本文所提算法有一個重要的特性就是可以分辨間隔較小的信源，且對噪聲有良好的穩(wěn)健性。將這2個性能結(jié)合在一起進(jìn)行分析。對于超分辨方法來說，分辨率取決于信噪比，如超分辨率方法MUSIC[1]在高信噪比時顯示出良好的分辨率，但一旦噪聲變得顯著，它們的分辨率開始下降。DML[1]在初始化良好的情況下性能較好，但在低信噪比下存在類似的穩(wěn)健性問題。由于去噪復(fù)數(shù)FastICA 和稀疏重構(gòu)算法的結(jié)合使用，本文所提算法可以承受更高水平的噪聲。

在九陣元均勻圓陣，3 個入射信號分別為15°、20°、25°，快拍數(shù)L=200，信噪比為?10 dB，中心頻率為500 MHz，陣元半徑為0.58 m 條件下，MUSIC、L1-SVD 和本文所提算法進(jìn)行低信噪比、小間隔仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如 圖6～圖8 所示。

從圖6 和圖7 可以看出，在低信噪比、小間隔情況下，MUSIC 和L1-SVD 算法都只能得到2 個信源對應(yīng)的角度，無法得到正確DOA。從圖8 可以看出，本文所提算法分別得到3 個信源對應(yīng)的正確DOA，對噪聲穩(wěn)健性強(qiáng)，且可定位小間隔的信源。

7 結(jié)束語

本文提出了一種基于去噪復(fù)數(shù)FastICA 和稀疏重構(gòu)的DOA 估計(jì)方法，與傳統(tǒng)DOA 方法相比，該方法可以解決入射信號總數(shù)欠定情況下，相干信號的DOA 估計(jì)問題。當(dāng)陣列傳感器數(shù)量為M時，本文所提算法最多可以處理M(M?1)個入射信號。該算法也同樣適用于陣元數(shù)與信源數(shù)相等，即M=N情況下非相干信源的DOA 估計(jì)，以及非相干與相干信號共存的DOA 估計(jì)；而且，在低噪聲、小信源間隔的情況下仍表現(xiàn)出良好的分辨率。經(jīng)過理論分析、實(shí)際數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)和仿真實(shí)驗(yàn)均可證明該算法的有效性。