趙 磊 閆照方 欒倩倩 趙新華1, 李 彬1,

(1.天津理工大學(xué)天津市先進機電系統(tǒng)設(shè)計與智能控制重點實驗室， 天津 300384；2.機電工程國家級實驗教學(xué)示范中心(天津理工大學(xué))， 天津 300384；3.天津理工大學(xué)機械工程學(xué)院， 天津 300384； 4.天津市金橋焊材集團股份有限公司， 天津 300384)

0 引言

串聯(lián)機器人具有工作空間大、結(jié)構(gòu)簡單和成本低等特點，最早被應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)[1]。但由于僅擁有一條控制鏈，存在明顯的誤差積累效應(yīng)，且連桿機構(gòu)各構(gòu)件的慣性負(fù)荷與原動構(gòu)件轉(zhuǎn)速的平方成正比，高速下多個關(guān)節(jié)的彈性變形以及內(nèi)部慣性力的耦合作用越加明顯，使得其高速與高精度之間的矛盾更為明顯，故該類機器人工作速度相對較低[2]。目前，農(nóng)業(yè)果園采摘的產(chǎn)業(yè)自動化加速了機器人在該領(lǐng)域的推廣和應(yīng)用，其工作精度一般在毫米級。

相比串聯(lián)機器人，并聯(lián)機器人具有高速、高負(fù)載和高剛度等優(yōu)勢，近年來被廣泛應(yīng)用到工業(yè)生產(chǎn)中。但由于存在多條支鏈和大量的關(guān)節(jié)，導(dǎo)致該類機器人誤差標(biāo)定難度很大。目前，對于多支鏈并聯(lián)機器人誤差標(biāo)定方法的研究相對較少，主要原因是該類機器人的支鏈和關(guān)節(jié)數(shù)量較多，運動學(xué)模型很復(fù)雜，且難以獲取含有大量被動關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角信息?，F(xiàn)階段成熟的單步標(biāo)定方法無法實現(xiàn)該類并聯(lián)機器人的誤差標(biāo)定工作[3]。此外，由于安裝過程中存在不同程度的關(guān)節(jié)間隙和晃動，其不確定性難以將大量被動副的轉(zhuǎn)角誤差進行精確量化并引入誤差模型，致使該類大空間并聯(lián)機器人的工作精度不高[4-6]。

對于擁有多關(guān)節(jié)的并聯(lián)機器人，實現(xiàn)高精度誤差補償，需要高精密傳感器來獲取大量被動關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角信息，安裝復(fù)雜且標(biāo)定成本極高[7-8]。因此，尋求一種自動化程度高、易操作和較高精度的誤差標(biāo)定方法成為工程上亟待解決的問題[9]。

工作空間是衡量機器人性能的重要指標(biāo)之一。早期連桿式平面四桿、五桿和六桿并聯(lián)機器人具有良好的運動速度，但工作空間狹小僅能實現(xiàn)平面二維空間的運動。經(jīng)典的Stewart并聯(lián)機構(gòu)以其特有的高剛度和高載荷等特點被應(yīng)用到工業(yè)中，但適用于工作空間較小的場合。3-RRRU并聯(lián)機器人是一種具有多支鏈、三維平動機構(gòu)，各支鏈結(jié)構(gòu)相同且由多個連桿和運動副組成，支鏈長度較大使其終端可達靜平臺以外的空間，相比經(jīng)典的平面并聯(lián)機器人和Stewart平臺，具有明顯的大空間特性。

本文針對3-RRRU并聯(lián)機器人的運動學(xué)標(biāo)定和誤差補償?shù)葐栴}進行研究，對比分析兩種不同軌跡標(biāo)定方式下機器人補償前后的控制精度，并通過實驗驗證標(biāo)定方法的有效性和可行性。

1 機器人運動學(xué)坐標(biāo)系建立

圖1為本文所研究的3-RRRU并聯(lián)機器人，由靜平臺、動平臺和3條支鏈構(gòu)成。

圖2為圖1的結(jié)構(gòu)示意圖，靜平臺固定在支架最上方，3條支鏈對應(yīng)的驅(qū)動關(guān)節(jié)(驅(qū)動副)均固定于靜平臺上，動平臺則位于下方。3條支鏈結(jié)構(gòu)相同，靠近靜平臺的關(guān)節(jié)為驅(qū)動副，其余為被動副。

Aij代表第i(i=1,2,3)條支鏈的第j(j=1,2,…,5)個關(guān)節(jié)，以第1支鏈為例，驅(qū)動關(guān)節(jié)A11軸線平行于被動關(guān)節(jié)A12，同時平行于靜平臺所在平面，垂直于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)A13軸線，虎克鉸A14(A15)與動平臺連接，動、靜平臺均為等邊三角形，其外接圓半徑分別為r和R。

第1支鏈運動學(xué)坐標(biāo)系如圖3所示，機器人的基坐標(biāo)系ORXRYRZR建立在靜平臺的幾何中心，ORZR垂直于靜平臺，θij為第i條支鏈上的第j個關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動角，動平臺坐標(biāo)系Ox′y′z′位于動平臺幾何中心，Lij代表第i條支鏈中第j個連桿長度，虎克鉸由兩個軸線相互垂直的轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)A14和A15組成,L14為虎克鉸中A14與A15之間的連桿長度，L15為關(guān)節(jié)A15與動平臺之間的連桿長度。

2 并聯(lián)機器人運動學(xué)解耦與誤差建模

2.1 運動學(xué)建模

為了實現(xiàn)3-RRRU并聯(lián)機器人的自動化控制，應(yīng)用DH法建立機器人的運動學(xué)模型，第i條支鏈第j個關(guān)節(jié)到第j+1關(guān)節(jié)間的齊次變換矩陣Tij,i(j+1)可表示為

(1)

式中θij、αij——繞zij和xij軸旋轉(zhuǎn)角

Lij、dij——沿zij和xij軸平移的距離

其中cθij表示cosθij，sθij表示sinθij，cαij表示cosαij，sαij表示sinαij。

故并聯(lián)機器人第1支鏈閉環(huán)運動學(xué)方程表示為

T=T1RT11T12T13T14T15

(2)

其中

式中Px、Py、Pz——機器人動平臺幾何中M坐標(biāo)

第1支鏈閉環(huán)運動學(xué)方程中對應(yīng)的DH矩陣參數(shù)如表1所示。

表1 第1支鏈DH矩陣參數(shù)Tab.1 DH matrix parameters of the first branch chain

對式(2)作如下變換

(3)

將DH矩陣參數(shù)代入式(3)可得

(4)

由式(4)矩陣方程左右相等，并聯(lián)機器人關(guān)節(jié)角θ13的轉(zhuǎn)動范圍為[-π/2,π/2]，則有cosθ13≥0，求解計算方程組可得

(5)

將式(5)代入式(4)并求解方程組，可求得

(6)

其中K16=4L11Pz

同理，完成其他兩條支鏈轉(zhuǎn)角的求解，實現(xiàn)運動學(xué)解耦計算，詳細(xì)計算過程詳見文獻[10]，不做過多贅述。

工業(yè)串聯(lián)機器人的關(guān)節(jié)數(shù)量較少，且關(guān)節(jié)均為驅(qū)動副，實際轉(zhuǎn)角可由內(nèi)部傳感器直接讀取，因此，單步標(biāo)定的誤差補償精度高[11]。3-RRRU并聯(lián)機器人存在大量的被動關(guān)節(jié)，單步標(biāo)定并不適合，尋求一種自動化程度高、快速有效的誤差標(biāo)定方法成為并聯(lián)機器人機構(gòu)學(xué)領(lǐng)域的研究焦點[12]。因此，合理建立運動學(xué)模型并完成解耦是實現(xiàn)誤差標(biāo)定的前提和基礎(chǔ)[10，13-14]。由于關(guān)節(jié)間隙和晃動等因素具有不確定性和隨機性，難以精確量化。為了測試所提出方法的有效性和可行性，故忽略上述誤差因素。

為建立機器人的誤差模型，本文從支鏈構(gòu)型出發(fā)，應(yīng)用空間矢量法構(gòu)建閉環(huán)方程。以第1支鏈為例，如圖4所示該支鏈的閉環(huán)方程可表示為

lA11A12+lA12A13+lA13A15=lORP+lPA15-lORA11

(7)

其中

由式(7)可得第1支鏈的閉環(huán)方程，同理，也可獲得其余兩條支鏈方程，進而得到機器人的運動學(xué)模型為

(8)

具體推導(dǎo)過程詳見文獻[10]。

2.2 機器人誤差建模

具有大范圍平動3-RRRU并聯(lián)機器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)見表2?；谄⒎衷恚瑢?yīng)結(jié)構(gòu)參量的誤差項表示為Δθi1、ΔLi1以及ΔLi2以及ΔLi3(i=1,2,3)以及ΔR和Δr，共14項誤差。

表2 結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.2 Structure parameters mm

各誤差項定義為

θi1——第i條支鏈驅(qū)動角理論值

Δθi1——對應(yīng)驅(qū)動角誤差

(9)

式中 ΔLi1、ΔLi2、ΔLi3——每條支鏈上驅(qū)動桿件以及兩個被動桿件存在的加工誤差

由于連桿加工在同一機床完成，故其余兩支鏈上的連桿加工誤差相同，則有ΔL11=ΔL21=ΔL31,ΔL12=ΔL22=ΔL32和ΔL13=ΔL23=ΔL33。

(10)

式中Re、re——靜、動平臺外接圓半徑實際值

ΔR、Δr——靜、動平臺外接圓半徑誤差

(11)

式(11)為目標(biāo)函數(shù)，通過獲取機器人終端實際空間數(shù)據(jù)，應(yīng)用數(shù)值算法開展尋優(yōu)計算，目標(biāo)函數(shù)補償后在允許誤差范圍內(nèi)停止尋優(yōu)。

3 誤差標(biāo)定

3-RRRU并聯(lián)機器人常用于工業(yè)生產(chǎn)線中產(chǎn)品的分揀和搬運工作，如圖5所示。

對于工業(yè)生產(chǎn)線上，分揀和搬運機器人的工作精度要求不高，將貨物放置在指定位置，適合于精度要求不高的場合?；趯嶋H應(yīng)用工況，生產(chǎn)線要求搬運機器人的工作誤差為3 mm±1 mm，故設(shè)定3-RRRU并聯(lián)機器人的允許誤差為2 mm。

3.1 遺傳算子優(yōu)化

選取不依賴初值的遺傳算法開展尋優(yōu)計算[15-16]。適應(yīng)度函數(shù)根據(jù)目標(biāo)函數(shù)來檢測群體中的每個個體，判斷其是否能夠達到最優(yōu)解程度[17-18]。由于遺傳算法整體搜索不依賴于梯度信息，常用于非線性系統(tǒng)的優(yōu)化計算和機器人動態(tài)最優(yōu)路徑的規(guī)劃[19-23]。

(1)交叉概率

以步距為0.1進行搜索，并通過Matlab遺傳算法工具箱輸出窗口可獲取交叉概率Pc與適應(yīng)度Fv測試結(jié)果和分布曲線，如表3和圖6所示，故本文交叉概率選取0.8。

表3 交叉概率與適應(yīng)度值Tab.3 Crossover probability and fitness value

(2)遷移概率

基于上述原理，遷移概率Pm與適應(yīng)度Fv的測試結(jié)果和分布關(guān)系如表4和圖7所示，當(dāng)遷移概率Pm為0.7時獲得適應(yīng)度Fv為0.511 2。因此，遷移概率取0.7。

表4 遷移概率與適應(yīng)度值Tab.4 Migration probability and fitness value

本文采用歸一化實數(shù)制編碼，初始種群尺度為30，遺傳算子中交叉概率Pc=0.8，遷移概率Pm=0.7，適應(yīng)度比例和選擇算子分別選取線性轉(zhuǎn)換和隨機均勻分布方式。

3.2 直線軌跡標(biāo)定

跟蹤靶標(biāo)固定在機器人動平臺(圖8)，勻速階段速度為80 mm/s，加速度為40 mm/s2，采用梯形控制策略，理論起點為(-800 mm,0 mm,600 mm)，終點為(-300 mm,0 mm,600 mm)，每條直線等間距方式采集26個點，借助激光跟蹤儀獲取對應(yīng)空間位置信息，共進行7組直線軌跡跟蹤實驗。第1組直線軌跡位于機器人工作空間中心區(qū)域的xoz平面上，第2組和第3組軌跡最靠近第1組軌跡，第6組和第7組靠近邊界區(qū)域，應(yīng)用Matlab遺傳工具箱，采用上述遺傳算子值和目標(biāo)函數(shù)，對14項運動學(xué)誤差進行尋優(yōu)計算，結(jié)果如表5所示。

表5 直線軌跡標(biāo)定結(jié)果Tab.5 Calibration result of straight-line track

應(yīng)用表5結(jié)果進行直線軌跡誤差補償，第1組實驗軌跡采樣點補償前后分布和誤差曲線如圖9所示。圖9表明，由于并聯(lián)機器人存在大量關(guān)節(jié)和連桿機構(gòu)，導(dǎo)致運動過程中其最大誤差高達8.356 mm，補償前最小誤差為4.232 mm，此時機器人連續(xù)軌跡跟蹤性能較低；此外，補償前位置誤差曲線存在多個明顯的尖峰誤差，側(cè)面反映了機器人軌跡跟蹤時并不平穩(wěn)。

通過以上7組實驗數(shù)據(jù)證明：補償后機器人的位置誤差有效控制在0.14～1.34 mm，達到了預(yù)期控制要求。從圖10a發(fā)現(xiàn)，第2、3組即位于機器人工作空間的中心區(qū)域，其補償前、后的精度優(yōu)于其他4組；由圖10b看出，第6組和第7組軌跡誤差明顯高于其余5組，其最大誤差高達9.36 mm，出現(xiàn)在第6組直線軌跡即靠近邊界區(qū)域，說明該類結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機器人在工作空間的中心區(qū)域具有較高的精度。

3.3 曲線軌跡標(biāo)定

3-RRRU機器人是一種平動并聯(lián)機構(gòu)，通常搬運軌跡主要以直線軌跡為主。然而，在某些工作環(huán)境下需機器人完成部分的曲線軌跡運動，本文同時開展了曲線軌跡標(biāo)定實驗。預(yù)設(shè)曲線軌跡為螺旋線如圖11a所示，共設(shè)置40個采樣點，基于同樣標(biāo)定原理，完成曲線軌跡標(biāo)定實驗；此外，應(yīng)用直線軌跡標(biāo)定結(jié)果對該曲線路徑進行誤差補償，則兩種不同軌跡標(biāo)定方式下在x、y、z方向的誤差補償曲線如圖11b～11d所示，標(biāo)定結(jié)果如表6所示。

表6 曲線軌跡誤差標(biāo)定結(jié)果Tab.6 Error calibration result of curve track

實驗結(jié)果表明：直線標(biāo)定方式對曲線軌跡誤差補償?shù)男Ч^差，補償后在x方向的位置誤差分布在-5.03～4.78 mm；在z方向誤差最小，其最大絕對值誤差小于3 mm；而曲線標(biāo)定方式的補償效果明顯優(yōu)于直線標(biāo)定補償，在3個方向的位置誤差均分布在-1.63～1.52 mm，滿足控制要求?？梢?，直線標(biāo)定并不適用于機器人曲線路徑的誤差補償。

對比表5和表6可知，直線標(biāo)定不涉及曲線加減速和插值計算，動平臺因間隙產(chǎn)生的微小晃動不明顯，故表5中驅(qū)動角誤差相對較小，動平臺半徑加工誤差僅為0.886 5 mm；然而，曲線軌跡運動中存在大量的小距離插補計算，更真實反映出驅(qū)動角存在的實際誤差。因此，驅(qū)動角誤差標(biāo)定結(jié)果相差很大。此外，兩種標(biāo)定方式下所得到的連桿加工誤差幾乎一致，說明對線性誤差標(biāo)定效果良好。另動平臺誤差標(biāo)定結(jié)果相差較大的主要原因是各支鏈均通過一個虎克鉸與動平臺連接，虎克鉸中兩個轉(zhuǎn)動副存在間隙耦合效應(yīng)，當(dāng)進行曲線加減速運動時，由于慣性導(dǎo)致動平臺產(chǎn)生的間隙晃動嚴(yán)重，故該誤差項包含了虎克鉸的間隙因素，故動平臺半徑加工誤差為1.675 2 mm。

為驗證曲線標(biāo)定結(jié)果的有效性和通用性，對第2～7組直線軌跡進行誤差補償，6組直線軌跡的整體誤差控制在0.08～1.12 mm，優(yōu)于直線標(biāo)定補償后的0.14～1.34 mm，如圖12所示。

由圖12可知，擁有對稱支鏈結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機器人在中心區(qū)域附近即第1～3組直線軌跡的精度較好，邊界區(qū)域明顯較差。

4 結(jié)論

(1)擁有對稱支鏈結(jié)構(gòu)的3-RRRU并聯(lián)機器人在工作空間的中心區(qū)域具有較好的工作精度，邊界區(qū)域精度低。

(2)該標(biāo)定方法僅需1臺激光跟蹤儀即可實現(xiàn)對擁有大量關(guān)節(jié)并聯(lián)機器人的誤差自動化標(biāo)定工作，為結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜的并聯(lián)機器人誤差標(biāo)定工作提供了重要的理論基礎(chǔ)，解決了目前單步標(biāo)定方法存在的效率低、操作繁瑣和標(biāo)定成本高的難題。

(3)直線軌跡標(biāo)定方式僅適用于直線路徑的誤差補償，存在一定局限性；而曲線標(biāo)定可實現(xiàn)直線和曲線軌跡的誤差補償，通用性強，對直線軌跡補償后的誤差控制在0.08～1.12 mm，優(yōu)于直線標(biāo)定補償后的0.14～1.34 mm。

(4)由于忽略了關(guān)節(jié)間隙和晃動等因素，雖然補償精度相對較低，但可廣泛用于工業(yè)生產(chǎn)線的分揀和搬運工作，充分利用并聯(lián)機器人的高速和高負(fù)載特性，大幅提高生產(chǎn)效率。