張全勝，徐世民

(1.青島西海岸新區(qū)致遠中學，山東 青島 266510; 2.菏澤學院物理與電子工程學院，山東 菏澤 274015)

觀點一 就經典函數(shù)xmpn來說，表示它的量子力學算符應是m個坐標算符X和n個動量算符P所有可能的排列等權重參與的平均[2,3]，即

(1)

其中Pi(m,n)表示這m個坐標算符X和n個動量算符P的第i種排列式. 譬如，一個坐標算符X和一個動量算符P，共有XP和PX兩種排列，這兩種排列等權重參與的平均是

(2)

又如，兩個坐標算符X和兩個動量算符P，共有X2P2、XP2X、XPXP、PXPX、PX2P、P2X2六種排列，這六種排列等權重參與的平均是

(3)

從(2)和(3)兩式可以看出，其括號內X和P形式上是完全對稱的、地位上是相同的.

若作進一步推廣，那么，表示經典量xmpn+xkpl的量子力學算符應為

(4)

觀點二 Weyl指出[4]，經典函數(shù)xmpn過渡到量子力學算符的規(guī)則為

(5)

從直觀形式上來看，其算符排列特征與觀點一有所不同、物理意義不夠明確.

觀點三 對于一般情況，Weyl還給出了一個積分型的對應規(guī)則[5]，可以表示為

(6)

其中，F(xiàn)(X,P)是量子力學中表示經典函數(shù)f(x,p)的算符，而

(7)

稱為Wigner算符[6]，這一對應規(guī)則稱為Weyl-Wigner量子化方案.顯然，牛頓-萊布尼茲積分法則不能直接適用這類積分，因為被積函數(shù)指數(shù)上含有不對易的坐標算符和動量算符.如果無視坐標算符和動量算符的不對易性，直接地應用牛頓-萊布尼茲積分法則完成積分，則會得到

Δ(x,p)=δ(X-x)δ(P-p)

(8)

或者

Δ(x,p)=δ(P-p)δ(X-x)

(9)

這兩個結果都是錯誤的. 由此看來，涉及算符(狄拉克稱之為q數(shù))的運算問題，都是很復雜的，它跟普通數(shù)(稱之為c數(shù))有著很大不同，必須考慮算符的次序問題.

為了使得數(shù)學上表達與計算簡單、牛頓-萊布尼茲積分能夠順利進行,更為了拓展物理應用，物理學家們創(chuàng)造了有序算符方法[7-9]，例如算符的正規(guī)乘積方法、反正規(guī)乘積方法、X-P排序方法、P-X排序方法以及外爾(Weyl)編序方法.尤其是Weyl編序，它是一種較為復雜的算符排序.

關于Weyl編序，我們發(fā)現(xiàn)不同文獻也有著不同的定義. 例如，文獻[3]按照觀點一定義了Weyl編序，文獻[10]按照觀點二定義了Weyl編序，文獻[11]按照觀點三定義了Weyl編序.上述三種定義完全等價嗎？究竟應該怎樣定義Weyl編序才恰當呢？

定義是對一種事物的本質特征或一個概念的內涵和外延的確切而簡要的說明. 定義一個概念，要突出本質特征、直觀明了、意義明確，還要具有外延可拓展性.為此，作為更一般情形，考慮m個力學量算符A和n個力學量算符B的所有可能的排列等權重參與的情況，其平均為

(10)

這里Pi(A,B)表示這m個算符A和n個算符B的第i種排列式.設λ和ν是兩個參數(shù)，對于n=0,1,2,3,…，逐一展開冪算符(λA+υB)n，會得到

(λA+νB)0=1

(11)

此式右端是零個A算符和零個B算符所有可能的排列等權重參與的平均.

(λA+νB)1=λA+νB

(12)

此式右端第一項是一個A算符和零個B算符所有可能的排列等權重參與的平均(確切地說，是該平均的倍，以下不再說明)；第二項是一個算符和零個A算符所有可能的排列等權重參與的結果.所以說，此式就是所有可能的排列等權重參與的結果.

(λA+νB)2=λ2A2+λν(AB+BA)+ν2B2

(13)

此式右端第一項是兩個A算符和零個B算符所有可能的排列等權重參與的結果；第二項是一個A算符和一個B算符所有可能的排列等權重參與的結果；第三項是兩個B算符和零個A算符所有可能的排列等權重參與的結果.所以說，此式就是所有可能的排列等權重參與的結果.

經過對n=3,4,5,6,…的情況進行認真仔細的觀察與分析，我們發(fā)現(xiàn)(λA+υB)n本身就是所有可能的排列等權重參與的結果. 那么，任何可以展開為(λA+υB)n的冪級數(shù)的算符函數(shù)F(λA+νB)，其自身就是所有可能的排列等權重參與的結果. 特別是，指數(shù)算符函數(shù)e(λA+υB)，其自身就是所有可能的排列等權重參與的結果.

如果根據(jù)觀點一來定義Weyl編序，亦即“算符A和B的所有可能的排列等權重參與的結果叫做關于算符A和B的Weyl編序”，并以符號┊┊標記之，約定：在此記號內算符A和B可對易，亦即可視作普通參數(shù)(c數(shù))對待. 于是，Weyl編序就具有了一些性質，如

1)

┊F(A,B)+G(A,B)┊=┊F(A,B)┊+┊G(A,B)┊

(14)

2)c數(shù)可以自由進出Weyl編序記號┊┊；

3) 在記號┊┊內可直接進行c數(shù)的牛頓-萊布尼茲積分與微分運算，只要積分收斂.

據(jù)此可得

(15)

(λA+νB)n=┊(λA+νB)n┊

(16)

那么，對任何可以展開為(λA+υB)n的冪級數(shù)的算符函數(shù)F(λA+υB)，則有

F(λA+νB)=┊F(λA+νB)┊

(17)

特別是指數(shù)算符，有

eλA+νB=┊eλA+νB┊

(18)

注意，式(15)～(18)對A、B的對易關系沒有任何要求，不受任何前提條件的限制.

依據(jù)式(15)，將算符A替換成坐標算符X、算符B替換成動量算符P，應用于觀點一，便可得到經典函數(shù)xmpn的量子力學對應，即

xmpn→┊XmPn┊

(19)

依據(jù)式(18)，應用于觀點三并在┊┊內完成牛頓-萊布尼茲積分，那么(7)式所示的Wigner算符也就可以寫成

(20)

將此式代入Weyl-Wigner量子化方案并在┊┊內完成積分，便得到

F(X,P)=┊f(X,P)┊

(21)

這就是Weyl編序形式的Weyl-Wigner量子化方案.特別是當經典函數(shù)f(x,p)=xmpn時，則有

xmpn→┊XmPn┊

(22)

以上討論以及式(19)和式(22)兩式表明，觀點一與觀點三是相容的，觀點一是觀點三的一種特殊情形.注意，到目前為止我們并沒有涉及到算符A和B的對易關系，也就是說，對任何兩個量子力學算符A和B，觀點一恒與觀點三相容.

如果根據(jù)觀點三來定義Weyl編序，也就是定義eλA+νB=┊eλA+νB┊或者Δ(x,p)=┊δ(X-x)δ(P-p)┊，盡管這與根據(jù)觀點一來定義Weyl編序本質上一致，但這么做在形式上不直觀、排序特征上不顯然、物理意義上也不夠明確.

(23)

(24)

由式(18)可知e(t + η)A + τB= ┊e(t + η)A + τB┊.將其代入(24)式，得

(25)

如果A、B的對易關系未知，或者說未有A、B的對易式跟A和B都對易的前提條件，那么就無法利用Baker-Hausdorff公式將式(23)中的三個指數(shù)算符的乘積合并成一個指數(shù)上是A與B線性組合的、形如eαA+βB的指數(shù)算符函數(shù)，也就無法利用式(18)得到算符etAeτBeηA的Weyl編序，因此也就得不出式(25). 這表明，對于一般的兩個量子力學算符A和B來說，觀點二與觀點一和三不一致.

綜上所述，我們認為，為了Weyl編序定義的本質特征顯然,并且具有外延可拓展性，更為了能夠利用這種有序算符方法簡化Weyl-Wigner量子化方案的數(shù)學運算，應該按照觀點一來定義Weyl編序，換言之，按照觀點一來定義Weyl編序是最為恰當?shù)?