王東亮，郝兵元，梁曉敏

( 太原理工大學 礦業(yè)工程學院，山西 太原 030024 )

在巖體中常分布有節(jié)理、裂隙等軟弱結構面，嚴重威脅著結構的穩(wěn)定性[1]。裂隙注漿是指通過一定的外界壓力將漿液注入到裂隙巖體中，使破碎的巖體形成一個完整的整體，從而改善巖體結構的力學性能[2]。目前注漿加固工程已經得到了廣泛的應用，但由于注漿工程的隱蔽性，注漿理論的發(fā)展則遠滯后于工程實踐，注漿工程尤其是裂隙注漿仍缺乏科學的理論指導。漿液在裂隙中最終擴散距離以及注漿對巖體結構的影響難以查明；注漿參數的確定、注漿工程的設計很大程度上依賴施工經驗，這些問題都嚴重制約著注漿理論的發(fā)展。

為解決這些問題，相關學者針對裂隙注漿漿液擴散規(guī)律展開了深入研究。王強[3]等基于賓漢流體滲流模型，推導出裂隙注漿中注漿量計算公式；張凱文[4]利用可視化裂隙注漿模型，研究了不同注漿因素下漿液的流動規(guī)律；C BAKER[5]等基于牛頓流體流變方程，建立了漿液在裂隙中的擴散方程。然而，在以上研究中，雖然探究了漿液在裂隙中的擴散規(guī)律，但均未考慮注漿對巖體結構的影響。在實際注漿工程中，往往存在著流固耦合效應，漿液壓力會使得圍巖體進行應力重分布，進而引起裂隙的變形，裂隙的變形又將影響漿液的流動[6]。

為此，基于冪律流體的本構方程，推導出冪律流體的漿液擴散方程。并考慮圍巖應力場和漿液流體場的雙向耦合，運用數值模擬軟件，建立考慮流固耦合作用的單一裂隙注漿模型，分析了注漿壓力、漿液密度、裂隙開度等因素對漿液擴散和裂隙變形的影響。希望本研究能對裂隙注漿理論和工程實踐提供一定的借鑒。

1 漿液擴散理論模型

1.1 基本假設

( 1 ) 漿液為均質且各向同性的冪律流體。

( 2 ) 漿液不可壓縮，其流動過程滿足連續(xù)性方程。

( 3 ) 漿液流動過程不受重力及地下水的影響。

( 4 ) 裂隙巖體為彈性體，其變形為彈性變形。

1.2 模型簡化

在實際巖體中，裂隙兩表面往往不是平行的，由于地應力的作用，裂隙表面只有部分面積是貼合的，其他部分兩表面則處于分離狀態(tài)[7]。漿液進入裂隙后，首先對裂隙中的未接觸部分進行充填，隨著注漿過程的持續(xù)，漿液壓力不斷增大，漿液將逐漸承擔裂隙兩側巖體的部分壓力，而裂隙接觸部分所受的壓力因逐漸轉移給漿液而減小，這時將進行應力重分布。隨著漿液壓力的不斷增大，裂隙接觸部分的法向應力減小為0，這時為裂隙變形的臨界階段[8]。若漿液壓力持續(xù)增大，漿液將對裂隙表面的巖體施加壓力，接觸部分將逐漸分離，裂隙發(fā)生變形，裂隙開度變大[9]。

但由于裂隙兩側表面接觸部分很少，且計算此部分的裂隙變形極為復雜，因此為計算方便，可將裂隙簡化為兩側表面平行的平行板進行計算研究，簡化模型如圖1所示。

圖1 裂隙簡化模型Fig.1 Fracture simplified model

因平行板裂隙模型是軸對稱的，且漿液流動過程中所有作用力也是對稱的，因此可將裂隙模型簡化為二維對稱模型[10]進行研究，如圖2所示。

圖2 漿液流動計算模型Fig.2 Calculation model of slurry flow

1.3 基本方程

( 1 ) 流變方程

阮文軍[11]的研究成果表明，水泥漿液在低水灰比( 0.5～0.7 )時可視為冪律流體，中等水灰比( 0.7～1.0 )時可視為賓漢流體，高水灰比( 大于1.0 )時可視為牛頓流體。由于注漿時用的水泥漿液水灰比都比較低，因此將注漿漿液視為冪律流體進行研究。冪律流體的基本流變方程為

式中，τ為剪切應力；K為稠度系數；γ為流體剪切速率；n為流體流變系數。

式( 1 )中，流體剪切速率γ表示剪切應力產生的速度變化率，其表達式為

其中，v為流體流速，則式( 1 )可改寫為

( 2 ) 運動方程

為研究流固耦合作用下漿液的擴散規(guī)律，需要準確表述水泥漿液在裂隙中流動的所有細節(jié)，因此采用N-S方程作為漿液擴散的運動方程[12]。N-S方程是建立在動量守恒基礎上的，其表達式為

( 3 ) 連續(xù)性方程

由于漿液的流動過程是連續(xù)的，因此其流動滿足連續(xù)性方程[13-14]。因為假定漿液在流動過程中不可壓縮，因此連續(xù)性方程是建立在質量守恒基礎上的，其表達式為

( 4 ) 耦合控制方程

當漿液壓力小于裂隙變形的臨界壓力時，裂隙寬度不變。隨著漿液壓力的不斷增大，其值將大于裂隙變形的臨界壓力，此時裂隙將會發(fā)生變形，寬度增大[10]。流固耦合的過程也就是裂隙變形的過程，其控制方程為

式中，b為裂隙寬度；b0為初始裂隙寬度；p為漿液壓力；p1為裂隙變形的臨界壓力；kn為彈性系數，kn＝D/E，D為注漿的影響范圍，E為裂隙巖體的彈性模量。

1.4 漿液擴散方程

張凱文[4]的研究成果表明，冪律流體在裂隙中的流動滿足質量守恒，且其流動沿y方向有一個壓降，由圖2可知

式中，ΔP為流體壓力變化量；dL為所取流體微元沿x軸的長度。

流體壓力變化ΔP的表達式為

由式( 6 )和式( 7 )可知，剪切應力滿足

為方便計算，可引入符號A代表漿液壓力在y方向變化，即

根據廣義冪律流體的本構方程即式( 2 )，有

式中，C1為常數。

由于在裂隙表面處流體流速為0，即y＝b，v＝0，將此邊界條件代入式( 11 )，得

則，式( 11 )可改寫為

對式( 12 )進行積分可得裂隙內流體的平均流速為

在t時刻漿液的單位流量為

式中，q為漿液單位流量；x為t時刻的漿液擴散半徑。

將式( 9 )代入式( 15 )，可得

對式( 16 )進行積分，可得漿液壓力的表達式為

由于在初始時刻t＝0時，x＝r0，P＝Pc，將此邊界條件代入式( 17 )，得

式中，r0為注漿孔半徑；Pc為注漿壓力。

將式( 18 )代入式( 17 )，可得漿液壓力與漿液擴散半徑的關系式為

式( 19 )即為冪律流體的漿液擴散方程。

2 不同注漿因素對漿液擴散范圍的影響

2.1 工況設計

影響漿液擴散及裂隙變形的因素很多，總體可分為3方面因素[15-16]：漿液因素、裂隙因素、注漿工藝因素。漿液因素主要包括注漿材料、水灰比、漿液密度等；裂隙因素主要包括裂隙產狀、粗糙度、張開度等；注漿工藝因素主要包括注漿孔徑、注漿壓力等[17]。為方便研究，本文從3方面因素中各選取一個代表性因素進行研究。

漿液因素方面，選取漿液密度作為代表性影響因素。由于裂隙注漿所采用漿液多為水泥漿液[18]，且其水灰比通常較小、密度較大。因此選擇漿液密度分別為1 400，1 600，1 800 kg/m3三個梯度進行研究。裂隙因素方面，選取裂隙開度作為代表性影響因素。王強[3]的研究成果表明，裂隙開度小于1 mm時為閉合裂隙，裂隙開度為1～3 mm時為微張裂隙，裂隙開度為3～5 mm時為張開裂隙，裂隙開度大于5 mm時為寬張裂隙[19]。本文主要研究閉合裂隙和微張裂隙，選擇裂隙開度分別為0.5，1.0，1.5 mm三個梯度進行研究。注漿工藝因素方面，選取注漿壓力作為代表性影響因素。選擇注漿壓力分別為1，3，5 MPa三個梯度進行研究。具體工況設計見表1。

表1 工況設計Table 1 Working condition design

2.2 漿液擴散范圍的影響因素

( 1 ) 注漿壓力對漿液擴散范圍的影響

為研究注漿壓力對漿液擴散范圍的影響，選取工況1、工況2和工況3進行模擬研究，控制注漿壓力為惟一變量，利用COMSOL Multiphysics模擬軟件的流-固耦合模塊，根據簡化后的理論模型( 圖1 )，建立兩側平行的單一裂隙模型。巖體模型尺寸為10 m×10 m×10 m，注漿孔直徑為25 mm，裂隙開度根據工況設計，裂隙上下邊界為無滑移邊界，注漿孔口處為定壓力邊界，對以上3個工況下的漿液擴散進行模擬研究。

不同注漿壓力作用下漿液在裂隙內擴散20 min時的形態(tài)如圖3所示，漿液隨時間的擴散范圍如圖4所示。

圖3 不同注漿壓力下漿液擴散形態(tài)Fig.3 Morphology of slurry spreading under different grouting pressures

圖4 不同注漿壓力下漿液擴散范圍Fig.4 Slurry spreading range under different grouting pressures

由圖3和4可知：在不同注漿壓力作用下，隨著注漿時間的持續(xù)，漿液擴散范圍在逐漸增大。擴散速率前期較快，然后隨時間逐漸減慢。注漿壓力為1 MPa時，在開始的1.4 min內，漿液在裂隙內并未擴散開，在1.4 min后漿液才逐漸開始擴散，分析原因可能是數值模擬中裂隙上下邊界為無滑移邊界，即漿液在裂隙壁面上速度為0[20-21]，故在剛開始注漿時，注漿量較小，漿液可能黏滯于裂隙壁面上，漿液流動較慢，后隨著時間的延續(xù)，漿液流入量增大，在注漿壓力的作用下，漿液逐漸克服其黏滯性阻力而快速流動。相同時間下，漿液擴散范圍隨注漿壓力的增大而增大。注漿壓力為1 MPa時，漿液擴散20 min的擴散半徑為1.37 m；注漿壓力為3 MPa時，漿液擴散20 min的擴散半徑為2.39 m，相比于工況1注漿壓力增加值為2 MPa，增幅為200%，漿液擴散半徑增加值為1.02 m，增幅為74.45%；注漿壓力為5 MPa時，漿液擴散20 min的擴散半徑為3.03 m，相比于工況2 注漿壓力增加值為2 MPa，增幅為66.67%，漿液擴散半徑增加值為0.64 m，增幅為26.78%。為更清晰地反映不同因素對漿液擴散的影響，現定義影響指數公式為

式中，f 為影響指數，其絕對值越大，說明變量對漿液擴散范圍的影響越大；n1，n2分別為影響因素的第2個取值相比第1個取值的增幅，影響因素的第3個取值相比第2個取值的增幅；m1，m2分別為影響因素在第2個取值下相比第1個取值漿液擴散范圍的增幅，影響因素在第3個取值下相比第2個取值漿液擴散范圍的增幅。

將n1＝200%，n2＝66.67%，m1＝74.45%，m2＝26.78%代入式( 20 )得影響指數 f＝0.39，可知漿液擴散范圍與注漿壓力正相關。

( 2 ) 漿液密度對漿液擴散范圍的影響

選取工況2、工況4和工況5進行模擬研究，控制漿液密度為惟一變量。

不同漿液密度下漿液在裂隙內擴散20 min時的形態(tài)如圖5所示，漿液隨時間的擴散范圍如圖6所示。

圖5 不同漿液密度下漿液擴散形態(tài)Fig.5 Slurry spreading morphology under different slurry density

圖6 不同漿液密度下漿液擴散范圍Fig.6 Slurry spreading range under different slurry densities

由圖5和6可知：在不同漿液密度下，隨著注漿時間的持續(xù)，漿液擴散范圍在逐漸增大。擴散速率前期較快，然后隨時間逐漸減慢。

將圖5和6的模擬結果，n1＝14.29%，n2＝12.5%，m1＝-0.83%，m2＝-0.84%代入式( 20 )，得影響指數f＝-0.06，可知漿液擴散范圍與漿液密度負相關，但其相關性極小，即漿液密度對漿液擴散范圍的影響極小。

( 3 ) 裂隙開度對漿液擴散范圍的影響

選取工況2、工況6和工況7進行模擬研究，控制裂隙開度為惟一變量。

不同裂隙開度下漿液在裂隙內擴散20 min時的形態(tài)如圖7所示，漿液隨時間的擴散范圍如圖8所示。

圖7 不同裂隙開度下漿液擴散形態(tài)Fig.7 Slurry spreading morphology under different crack openings

圖8 不同裂隙開度下漿液擴散范圍Fig.8 Slurry spreading range under different crack openings

由圖7和8可知：在不同裂隙開度下，隨著注漿時間的持續(xù)，漿液擴散范圍在逐漸增大。擴散速率前期較快，然后隨時間逐漸減慢。相同時間下，漿液擴散范圍隨裂隙開度的增大而增大。

將圖7和8的模擬結果，n1＝100%，n2＝50%，m1=7.24%，m2＝25.52%代入式( 20 )，得影響指數 f＝0.54，可知在閉合裂隙和微張裂隙中，漿液擴散范圍與裂隙開度正相關。

由上述分析可知，各因素對漿液擴散范圍的影響程度為：裂隙開度＞注漿壓力＞漿液密度。

3 不同注漿因素對裂隙變形的影響

3.1 注漿壓力對裂隙變形的影響

為研究注漿壓力對裂隙變形的影響，根據第2節(jié)建立的模型，選取工況1～3進行模擬研究，控制注漿壓力為惟一變量。不同注漿壓力作用下漿液在裂隙內擴散20 min時裂隙的變形形態(tài)如圖9所示，裂隙內不同位置處的( 法向 )變形量如圖10所示。

圖9 不同注漿壓力下裂隙變形形態(tài)Fig.9 Crack deformation morphology under different grouting pressures

圖10 不同注漿壓力下裂隙變形量Fig.10 Crack deformation under different grouting pressures

由圖9和10可知：在不同注漿壓力作用下，注漿 孔口處裂隙變形量最大，隨著距離的增大，裂隙變形量逐漸減小，分析原因可能是因為漿液壓力在孔口處最大，致使裂隙產生較大變形，隨著距離的增大，漿液壓力逐漸減小致使裂隙變形量減小。相同位置處，裂隙變形量隨注漿壓力的增大而增大。不同注漿壓力下的裂隙變形量差值在注漿孔口處最大，隨著距離增大而不斷減小，在距離注漿孔口4.6 m處差值接近于0。注漿壓力為1 MPa時，漿液擴散20 min時裂隙最大變形量為0.021 6 mm；注漿壓力為3 MPa時，漿液擴散20 min時裂隙最大變形量為0.089 1 mm，相比于工況1注漿壓力增加值為2 MPa，增幅為200% ，裂隙最大變形量增加值為0.067 5 mm，增幅為312.5%；注漿壓力為5 MPa時，漿液擴散20 min時裂隙最大變形量為0.178 3 mm，相比于工況2注漿壓力增加值為2 MPa，增幅為66.67%，裂隙最大變形量增加值為0.089 2 mm，增幅為100.11% 。

為確定各因素對裂隙變形的影響，對式( 20 )各符號代表的含義重新定義： f為影響指數，其絕對值越大，說明變量對裂隙變形的影響越大；n1，n2分別為影響因素的第2個取值相比第1個取值的增幅，影響因素的第3個取值相比第2個取值的增幅；m1，m2分別為影響因素在第2個取值下相比第1個取值裂隙最大變形量的增幅，影響因素在第3個取值下相比第2個取值裂隙最大變形量的增幅。將n1＝200%，n2＝66.67%，m1＝312.5%，m2＝100.11%代入重新定義后的式( 20 )，得影響指數 f＝1.53，可知裂隙最大變形量與注漿壓力正相關。

3.2 漿液密度對裂隙變形的影響

選取工況2、工況4和工況5進行模擬研究，控制漿液密度為惟一變量。不同密度的漿液在裂隙內擴散20 min時裂隙的變形形態(tài)如圖11所示，裂隙內不同位置處的( 法向 )變形量如圖12所示。

圖11 不同漿液密度下裂隙變形形態(tài)Fig.11 Crack deformation morphology under different densities

圖12 不同漿液密度下裂隙變形量Fig.12 Crack deformation under different slurry densities

由圖11和12可知：在不同漿液密度下，注漿孔口處裂隙變形量最大，隨著距離的增大，裂隙變形量逐漸減小。

將圖11和12的模擬結果，n1＝14.29%，n2＝12.5%，m1＝-0.22%，m2＝-0.34%代入重新定義后的式( 20 )，得影響指數 f＝-0.02，可知裂隙最大變形量與漿液密度負相關，但其相關性極小，即漿液密度對裂隙最大變形量的影響極小。

3.3 裂隙開度對裂隙變形的影響

選取工況2、工況6和工況7進行模擬研究，控制裂隙開度為惟一變量。不同裂隙開度下漿液在裂隙內擴散20 min時裂隙的變形形態(tài)如圖13所示，裂隙內不同位置處的( 法向 )變形量如圖14所示。

圖13 不同裂隙開度下裂隙變形形態(tài)Fig.13 Crack deformation morphology under different crack openings

圖14 不同裂隙開度下裂隙變形量Fig.14 Crack deformation under different crack openings

由圖13和14可知：在不同裂隙開度下，注漿孔口處裂隙變形量最大，隨著距離的增大，裂隙變形量逐漸減小。在距離注漿孔2.5～4.5 m處，裂隙開度為1.0 mm的裂隙變形量小于裂隙開度為0.5 mm的裂隙變形量，分析原因可能是因為漿液在1 mm寬的裂隙中并未完全充填，從而未能引起裂隙的較大變形。其他位置處，裂隙變形量隨裂隙開度的增大而增大。不同裂隙開度的裂隙變形量差值在注漿孔口處最大，隨著距離的增大而不斷減小，在距離注漿孔口4.7 m處差值接近于0。

將圖13和14的模擬結果，n1＝100%，n2＝50%，m1＝24.62%，m2＝54.32%代入重新定義后的式( 20 )得影響指數 f＝0.67，可知在閉合裂隙和微張裂隙中，裂隙最大變形量與裂隙開度正相關。

由上述分析可知，各因素對裂隙變形的影響程度為注漿壓力＞裂隙開度＞漿液密度。

4 結 論

( 1 ) 將水泥漿液看作一種冪律流體，基于冪律流體的本構方程，推導出冪律流體漿液的擴散方程。

( 2 ) 在閉合裂隙( b＜1 mm )和微張裂隙( 1≤b＜3 mm )中，漿液擴散范圍與注漿壓力及裂隙開度正相關，與漿液密度負相關，各因素對漿液擴散范圍的影響程度由高到低依次為：裂隙開度、注漿壓力、漿液密度。

( 3 ) 在閉合裂隙和微張裂隙中，裂隙變形量與注漿壓力及裂隙開度正相關，與漿液密度負相關，各因素對裂隙變形量的影響程度由高到低依次為：注漿壓力、裂隙開度、漿液密度。

( 4 ) 在實際注漿工程中，在閉合裂隙和微張裂隙注漿時，為增大漿液擴散范圍，可適當減小漿液密度，即適當增大水灰比，同時增大注漿壓力；為減小裂隙變形量，可適當增大漿液密度，并適當減小注漿壓力。若綜合考慮，應設計適當的漿液密度和注漿壓力等參數值。