江蘇省無錫市安鎮(zhèn)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 丁 芳

數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)的思維模式來描述事物的本質(zhì)聯(lián)系和學(xué)生相關(guān)情況。而“模型思想”早已是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》倡導(dǎo)的十個(gè)核心概念之一，也是唯一一個(gè)以“思想”指稱的核心概念，它是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)生生活實(shí)際的橋梁。在數(shù)學(xué)課堂中，我們不難發(fā)現(xiàn)部分教師已經(jīng)有了滲透模型思想的意識(shí)，但在實(shí)際操作過程中，總覺得教學(xué)效果還是不盡如人意。那如何在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中無形滲透模型思想呢？筆者就這個(gè)問題進(jìn)行了一些思考。

一、在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想存在的問題

（一）“重”結(jié)論傳授，“輕”模型思想

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常常會(huì)發(fā)現(xiàn)一些教師在教學(xué)中是有模型思想滲透的意識(shí)的，但教師在不斷地引導(dǎo)、提示的過程中，學(xué)生的回答質(zhì)量還是不高時(shí)，總會(huì)心急如焚，將模型思想拋之腦后，急于直接給出結(jié)論，而學(xué)生只能做個(gè)忠實(shí)的聽眾。

例如，蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)乘法”單元中有這樣一道習(xí)題（見圖1）。

圖1

學(xué)生完成填數(shù)后，教師讓學(xué)生一起讀一讀，再仔細(xì)觀察比較。大部分學(xué)生只能發(fā)現(xiàn)第一組中積的分子都是1；還有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)乘數(shù)中分子和分母都有一個(gè)相同的數(shù)等。學(xué)生的觀察和比較還僅僅停留在表面，不能深入本質(zhì)，這時(shí)教師內(nèi)心焦急，直接總結(jié)規(guī)律，給出結(jié)論，并讓學(xué)生模仿著多說幾遍，牢牢記住。

這類教師認(rèn)為總結(jié)規(guī)律就是教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)方式簡單，沒有初步建立模型的意識(shí)，他們覺得滲透模型對(duì)于小學(xué)生來說太抽象，不如直接告知結(jié)論。

（二）“重”模型結(jié)果，“輕”建模過程

不少教師在教學(xué)過程中，只關(guān)注完成教學(xué)任務(wù)，而忽視一些與標(biāo)準(zhǔn)答案相差較遠(yuǎn)的答案，導(dǎo)致建模過程流于形式，學(xué)生并未真正經(jīng)歷模型的建立過程。例如，在教學(xué)“圓的周長”時(shí)，教學(xué)中學(xué)生初步感知圓的周長大約是直徑的3倍左右后，教師接著讓學(xué)生動(dòng)手測量大小不同的圓的周長，再通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)周長除以直徑的商總是3倍多一些。但是班級(jí)中總有個(gè)別學(xué)生提早預(yù)習(xí)了內(nèi)容，知道該值是3.14左右，于是在操作過程中投機(jī)取巧，直接運(yùn)用這一結(jié)果。而在全班交流過程中，教師卻偏偏看重這類學(xué)生的結(jié)論，對(duì)于部分學(xué)生算出2.9或其他離譜答案直接視若無睹，只為盡快讓學(xué)生建立圓周長計(jì)算公式的模型。

（三）重強(qiáng)化練習(xí)，輕模型結(jié)構(gòu)

很多教師過于關(guān)注技能訓(xùn)練，認(rèn)為只要利用模型能解決問題即可，但是有些模型是單一的知識(shí)結(jié)構(gòu)，無法最大限度地讓學(xué)生整合多類問題，導(dǎo)致模型網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的缺失。

例如，在計(jì)算板塊的教學(xué)中，特別是簡便計(jì)算，通過長期的訓(xùn)練，大多數(shù)學(xué)生能嫻熟地運(yùn)用運(yùn)算律模型解決問題，但對(duì)于運(yùn)算律的模型中為什么只有加法和乘法，沒有減法和除法相關(guān)的運(yùn)算定律，心中還是存在一定疑慮的。

二、模型思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透的方法

（一）思考鉆研，催生建模意識(shí)

首先教師要改變教學(xué)方法，在教學(xué)過程中要有建模的意識(shí)，這就需要教師去了解建模、熟悉建模，從而根據(jù)教學(xué)內(nèi)容思考、琢磨如何建模，如何引導(dǎo)學(xué)生建模，如何讓學(xué)生體會(huì)建模的重要性等。只有做到這些，模型思想才能有效地滲透在數(shù)學(xué)課堂之中。

例如，數(shù)學(xué)教學(xué)中較為經(jīng)典的一類題型——“雞兔同籠”。它的數(shù)學(xué)模型是二元一次整數(shù)方程，而二元一次整數(shù)方程并不是小學(xué)階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容，可這類題型已廣泛地應(yīng)用到了小學(xué)數(shù)學(xué)教材中。在蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)“解決問題的策略”單元中的練習(xí)中就出現(xiàn)了相關(guān)題目，教材通過此類題目幫助學(xué)生鞏固假設(shè)策略，并在“你知道嗎”中加以介紹；人教版數(shù)學(xué)教材中的“應(yīng)用廣角”也涉及這個(gè)內(nèi)容。若教師缺乏建模意識(shí)，只會(huì)就題講題，學(xué)生也僅僅只會(huì)解決“雞兔同籠”問題，遇到“人馬問題”“龜鶴同游”問題等就無從下手。所以教師就應(yīng)該進(jìn)一步思考，“雞兔同籠”放在小學(xué)階段是否隱藏著其他適合學(xué)生的“模型”因素。筆者認(rèn)為最起碼可以從以下幾個(gè)方面入手：首先，從題目本身看，是一道已知兩個(gè)未知量的和，以及兩個(gè)未知量之間的關(guān)系，要求這兩個(gè)未知量；其次，可以從解題方法入手，即假設(shè)法，如畫圖、列舉抑或是替換；最后，可以再深入一些，從數(shù)學(xué)思想上看，經(jīng)歷“雞兔同籠”的解題過程，要將方法和思路進(jìn)行拓展，使學(xué)生不僅僅局限于會(huì)解答“雞兔同籠”問題，還可以延伸到解決“得失問題”……有了這些思考，教師在教學(xué)中就會(huì)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注題目的類型、結(jié)構(gòu)和類比運(yùn)用，用系統(tǒng)的眼光去看待數(shù)學(xué)，也為學(xué)生后期在中學(xué)建立二元一次方程模型打下了基礎(chǔ)。

所以，教師要建立建模的意識(shí)，用“模型”的眼光看待教學(xué)，才能引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入建模的過程，讓學(xué)生有建模的意識(shí)，從而提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的內(nèi)在品質(zhì)。

（二）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)建模興趣

數(shù)學(xué)模型與現(xiàn)實(shí)原型是一種反映與被反映的關(guān)系，現(xiàn)實(shí)原型中包含著許多因素，這些因素相互制約而且呈現(xiàn)錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，要從中抽象出數(shù)學(xué)模型對(duì)于小學(xué)生來說還存在一定的難度。所以，當(dāng)教師具有建模的意識(shí)時(shí)，在設(shè)計(jì)教學(xué)的過程中就要吸引學(xué)生參與到建模的過程中來。在建構(gòu)數(shù)學(xué)模型時(shí)，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)與現(xiàn)實(shí)生活關(guān)系密切的情境，抓住學(xué)生的眼球，激發(fā)其建模的興趣，幫助其理解、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。

例如，在教學(xué)“簡單的減法知識(shí)”時(shí)，教師可以根據(jù)低年級(jí)學(xué)生的特點(diǎn)來設(shè)計(jì)情境。例如，教師可以準(zhǔn)備10顆巧克力放入一個(gè)小盒中，請(qǐng)一個(gè)學(xué)生從中拿走3顆，再請(qǐng)另一個(gè)學(xué)生拿走5顆，問盒子里還剩幾顆巧克力？有趣的情境教學(xué)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生便會(huì)爭搶著說“10－3－5＝2”，教師趁熱打鐵，追問，在這里10表示什么？3、5、2各表示什么呢？生活中還有哪些數(shù)學(xué)問題也可以用“10－3－5＝2”來表示？學(xué)生就會(huì)從巧克力聯(lián)想到蘋果、書本等。教師通過情境設(shè)計(jì)，以及隨后的一系列追問，讓學(xué)生經(jīng)歷具體、抽象、概括和舉一反三的過程，逐步滲透了初步的模型思想。

創(chuàng)設(shè)有效的問題情境，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生在認(rèn)知過程中建立起一種統(tǒng)攝性、符號(hào)化的具有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征的“模型”載體，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維，為其后續(xù)的學(xué)習(xí)提供了強(qiáng)有力的支持。

（三）加強(qiáng)引導(dǎo)，養(yǎng)成建模習(xí)慣

數(shù)學(xué)模型思想對(duì)于學(xué)生來說既陌生又抽象，如果教師在課堂教學(xué)中直接講解這一知識(shí)，很多學(xué)生都難以接受，所以在教學(xué)過程中，教師要成為一名優(yōu)秀的引導(dǎo)者，通過環(huán)環(huán)相扣的問題設(shè)計(jì)，在無形之中帶領(lǐng)學(xué)生一步步從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，在潛移默化中幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)建模習(xí)慣。

例如，在教學(xué)“正比例”時(shí)，教師課前讓學(xué)生做實(shí)驗(yàn)，在同一時(shí)刻同一地點(diǎn)記錄竹竿的長度，測量竹竿的影長。面對(duì)這樣一個(gè)小小的實(shí)驗(yàn)，學(xué)生很感興趣，無須教師的引導(dǎo)，學(xué)生就會(huì)下意識(shí)地去思考影長與竹竿長度之間是否存在一定的關(guān)系。學(xué)生將收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理成表格（見下表）：

竹竿高度和竹竿影子長度的測量數(shù)據(jù)表

這時(shí)教師就要充當(dāng)好引導(dǎo)者的身份，引導(dǎo)學(xué)生觀察這些數(shù)據(jù)：從左往右看你發(fā)現(xiàn)了什么？從右往左看呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個(gè)量在變大，另一個(gè)量也隨之變大；一個(gè)量在變小，另一個(gè)量也隨之變小，感受到這兩個(gè)量是相關(guān)的量。觀察結(jié)束，教師再引導(dǎo)學(xué)生算一算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)量的比值相等，從而得出這兩個(gè)量成正比例關(guān)系。從學(xué)生感興趣的情境入手，在教師的有意引導(dǎo)下，無形中讓學(xué)生建立了正比例關(guān)系的模型。這樣不僅能讓學(xué)生迅速掌握判斷正比例關(guān)系的方法和思路，而且使學(xué)生自身認(rèn)知水平和解決問題的能力有了一定的提升。

4.增強(qiáng)實(shí)踐，感受模型魅力

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)模型思想的滲透必須在教師的引導(dǎo)下才能順利進(jìn)行，這也是促進(jìn)小學(xué)生建模能力提升的關(guān)鍵。所以教師要積極引導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生參與到數(shù)學(xué)建模的過程中，根據(jù)相關(guān)知識(shí)建立相關(guān)模型，并即時(shí)運(yùn)用模型解決問題，從而讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)模型的魅力，讓學(xué)生樂于去建模。

乘法對(duì)于學(xué)生來說是比較抽象的，建立乘法模型時(shí)，教師可以讓學(xué)生圍繞直觀圖，在加法的基礎(chǔ)上進(jìn)行建模（見圖2）。

圖2

根據(jù)圖2學(xué)生可以列出相關(guān)的加法算式，如兔子的只數(shù)用加法表示就是2＋2＋2＝6。教師接著提問：“如果有這樣的10對(duì)兔子，算式該怎么列？100對(duì)呢？”這樣的追問，讓學(xué)生感受到用加法算式表示很不方便，就產(chǎn)生使用一種新的運(yùn)算方法的需求，從而自然地引出了乘法。在練習(xí)中，教師還可以采取小組比賽的形式，讓學(xué)生一組用加法，一組用乘法計(jì)算，從而凸顯出乘法的優(yōu)越性。這樣精心的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在解決具體問題的過程中經(jīng)歷了模型建構(gòu)的過程，并直接運(yùn)用建立的模型進(jìn)行解題，從而體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的優(yōu)勢，感受到模型的魅力。

總之，數(shù)學(xué)建模是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必經(jīng)之路，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師必須要有較強(qiáng)的建模意識(shí)，精心設(shè)計(jì)將模型思想無形地滲透于教學(xué)過程中，這樣不僅提升了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還提升了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。教師要培養(yǎng)學(xué)生的建模型能力，并運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決很多問題，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)模型是充滿“魔性”的！