薛 鵬，任鵬飛，盧金燕

(河南工程學(xué)院，河南 鄭州 451191)

1 引言

在非接觸支撐控制技術(shù)中，磁懸浮技術(shù)的理論研究推進(jìn)較為迅速。磁懸浮衍生的產(chǎn)品技術(shù)又以交通和航天領(lǐng)域的應(yīng)用推進(jìn)較快[1-3]。受到對(duì)象建模不確定和隨機(jī)干擾因素的影響，為磁懸浮系統(tǒng)設(shè)計(jì)對(duì)模型精度依賴程度低，抗干擾能力強(qiáng)的控制方案成為值得長(zhǎng)期研究的方向。

基于線性時(shí)不變模型，PID控制以其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、參數(shù)整定方便的優(yōu)點(diǎn)常見(jiàn)于控制方案的設(shè)計(jì)[4，5]，但存在穩(wěn)態(tài)精度低、抗干擾能力差的缺點(diǎn)[6]。采用變參數(shù)PID控制或非線性PID控制可增強(qiáng)系統(tǒng)剛度，提高其抵抗外力沖擊的能力[7]。為提高系統(tǒng)抗干擾能力和穩(wěn)定性，采用增加干擾觀測(cè)器的方式，以可控參數(shù)更多的分?jǐn)?shù)階PID為基礎(chǔ)[8-10]，并融合遺傳算法、粒子群算法等人工智能的復(fù)雜算法更多地被用于磁懸浮控制[11，12]，以期待得到更好的控制效果。既有研究結(jié)論表明，對(duì)象建模的不確定性不利于系統(tǒng)有效控制方案的設(shè)計(jì)，有必要討論對(duì)精確模型依賴程度低的控制方案。

滑?？刂坡赏ㄟ^(guò)迫使?fàn)顟B(tài)軌跡沿滑模曲面的切換線快速滑動(dòng)到原點(diǎn)，具有響應(yīng)快、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的特點(diǎn)[13-15]。又因滑模變結(jié)構(gòu)控制不完全依賴對(duì)象模型，本文通過(guò)滑模控制方案實(shí)現(xiàn)被控小球?qū)δ繕?biāo)懸浮位置的有效跟蹤。控制信號(hào)在滑模面的反復(fù)切換使得系統(tǒng)具有天然的抖振現(xiàn)象，為了保證系統(tǒng)輸出的平滑性，在滑?；瑒?dòng)階段采用連續(xù)控制的方法達(dá)到削弱輸出抖振的目的。最后，通過(guò)PID、滑模SMC1和準(zhǔn)滑模SMC2三種方案控制效果的對(duì)比驗(yàn)證了所得方案的有效性。

2 磁懸浮裝置動(dòng)態(tài)模型分析

磁懸浮裝置的工作原理如圖1所示。被懸浮小球通過(guò)電磁引力克服來(lái)克服重力，實(shí)現(xiàn)在目標(biāo)位置的穩(wěn)定懸浮。可以小球的力學(xué)方程、線圈的電磁方程為基礎(chǔ)建立其動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。

圖1 懸浮裝置原理分析

忽略小球受到的不確定干擾力，則被控對(duì)象小球在此系統(tǒng)中只受電磁引力和自身重力的影響，其在豎直方向的動(dòng)力學(xué)方程可描述為

(1)

式中，x為小球質(zhì)心與電磁鐵磁極之間的氣隙(以磁極面為零點(diǎn))，m為小球的質(zhì)量，重力加速度g=9.8m/s2。

在圖1所示磁懸浮系統(tǒng)中，小球到電磁鐵磁極的氣隙為x，而磁阻主要集中在電磁鐵磁極和小球所組成的氣隙上。又因?yàn)殍F芯由鐵磁材料制成，其磁阻與氣隙磁阻相比很小，故，磁阻為

(2)

式中，l為鐵芯的導(dǎo)磁長(zhǎng)度；μ0，μ為鐵芯的相對(duì)磁導(dǎo)率；A，A0為鐵芯導(dǎo)磁截面積。

由磁路的基爾霍夫定律有

Ni=φ(i，x)R(x)

(3)

則

(4)

式中，N為電磁線圈繞線匝數(shù)。

假設(shè)電磁鐵沒(méi)有工作在磁飽和狀態(tài)下，且每匝線圈中通過(guò)的磁通量都是相同的，則線圈的磁通鏈數(shù)為

(5)

又由畢奧-薩伐爾定律可知，在空間任意一點(diǎn)所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度都與回路中的電流強(qiáng)度成正比，因此磁通量φ也與I成正比，即

Nφ=Li

(6)

則瞬時(shí)電磁鐵繞組線圈電感為

(7)

磁場(chǎng)的能量

(8)

則小球受到的電磁引力為

(9)

可知，電磁引力與氣隙是非線性的反比關(guān)系，這也是磁懸浮系統(tǒng)不穩(wěn)定的根源所在。

再分析電磁鐵中控制電壓和電流的模型，將電磁鐵線圈用一電阻和電感線圈串聯(lián)來(lái)代替。由電磁感應(yīng)定律及電路的基爾霍夫定律可知

(10)

當(dāng)小球處于平衡狀態(tài)時(shí)，其加速度為零，此時(shí)小球所受合力為零。小球受到向上的電磁引力與小球自身的重力相等，因此得系統(tǒng)平衡邊界條件

mg+F(i0，x0)=0

(11)

至此，磁懸浮系統(tǒng)方程聯(lián)合描述為

(12)

在(12)式中，電磁系統(tǒng)中的電磁引力F和電磁鐵繞組中的瞬時(shí)電流i、氣隙x之間存在著較復(fù)雜的非線性關(guān)系。考慮系統(tǒng)懸浮目標(biāo)范圍不大，對(duì)系統(tǒng)在目標(biāo)位置處進(jìn)行線性化處理。應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)，并略去高階項(xiàng)，可得

F(i，x)=F(i0，x0)+Fi(i0，x0)(i-i0)

+Fx(i0，x0)(x-x0)

(13)

式中，F(xiàn)(i0，x0)是當(dāng)磁極與小球間的氣隙為x0，平衡電流為i0時(shí)電磁鐵對(duì)小球的電磁引力，該引力與小球的重力平衡，所以有

F(i0，x0)=-mg

(14)

(15)

(16)

那么，系統(tǒng)方程(12)中的第一個(gè)等式可寫作

(17)

進(jìn)行拉普拉斯變換，得

(18)

再由邊界條件(11)，得

(19)

定義系統(tǒng)對(duì)象的輸入量為功率放大器的輸入電壓，也即控制電壓Uin，系統(tǒng)對(duì)象輸出量為懸浮位置所反映出來(lái)的輸出電壓，也即傳感器后處理電路輸出電壓Uout，則該系統(tǒng)控制對(duì)象的模型可描述為

(20)

式中，ka，ks為相應(yīng)控制電壓信號(hào)對(duì)應(yīng)的增益系數(shù)。

以線圈電壓uin為輸入，小球懸浮位置y=x為系統(tǒng)輸出，可由(20)式得系統(tǒng)狀態(tài)表述模型為

(21)

以固高磁懸浮實(shí)驗(yàn)裝置GML1001為參照對(duì)象，表1給出了試驗(yàn)中所采用的磁懸浮系統(tǒng)的主要參數(shù)。那么，式(21)中，c=2502.96，a0=981.511。

表1 懸浮系統(tǒng)主要參數(shù)列表

3 控制器設(shè)計(jì)

以(20)(21)式作為系統(tǒng)模型，進(jìn)行磁懸浮控制器設(shè)計(jì)。

3.1 PID控制器設(shè)計(jì)

在文獻(xiàn)[15]中，給出了一種PID控制器的設(shè)計(jì)思路，這里引用作為控制效果比較對(duì)象。其控制參數(shù)Kp，Ki，Kd，設(shè)計(jì)過(guò)程簡(jiǎn)述如下：

(22)

(23)

(24)

記跟蹤誤差e=r-y=r-cx1，控制律設(shè)計(jì)為

(25)

這種控制方案以欠阻尼閉環(huán)穩(wěn)定為設(shè)計(jì)目標(biāo)。

3.2 SMC控制器設(shè)計(jì)

在系統(tǒng)方程(21)中，由輸出方程可得

y=cx1

(26)

那么，懸浮位置跟蹤目標(biāo)r為給定常數(shù)，跟蹤動(dòng)態(tài)誤差為

e=r-y=r-cx1

(27)

由系統(tǒng)方程(21)中的狀態(tài)方程可得

(28)

誤差e決定控制系統(tǒng)的控制律。為使得系統(tǒng)完全漸近穩(wěn)定，對(duì)任意初始值e(t0)，需要

(29)

設(shè)計(jì)磁懸浮系統(tǒng)滑模曲面為

(30)

那么，由(28)(29)式，可得

(31)

(32)

(33)

此時(shí)，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，誤差以1/λ為時(shí)間常數(shù)按指數(shù)律趨近于零。

為了使得系統(tǒng)能夠快速到達(dá)滑模面，進(jìn)入滑動(dòng)階段，考慮擾動(dòng)上界，采用控制律

(34)

式中，β≥e為不確定擾動(dòng)的上界，當(dāng)懸浮目標(biāo)位置為20mm時(shí)，可取β≥20a0=981.511×20。f(·)是滑動(dòng)階段的切換函數(shù)。切換函數(shù)的限幅依賴控制電壓，其范圍限制在[-10+10]。

由(31)和(34)得系統(tǒng)控制量為

uin=ueq+Δup

(35)

式中，Δup是與擾動(dòng)相關(guān)的補(bǔ)償控制量，有

(36)

對(duì)于(34)和(36)式中切換函數(shù)的選擇問(wèn)題，在滑模控制的到達(dá)階段考慮快速性，在滑動(dòng)階段考慮平穩(wěn)性。分別記

(37)

(38)

記李雅普諾夫函數(shù)為

(39)

有

(40)

這表明兩種滑?？刂品桨妇墒沟盟O(shè)計(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性是滿足的。仿真分析中進(jìn)一步對(duì)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行分析。

4 仿真分析

以表1中列寫數(shù)據(jù)為被控對(duì)象主要參數(shù)，通過(guò)所設(shè)計(jì)的控制律實(shí)現(xiàn)懸浮小球在目標(biāo)位置懸浮的仿真分析。如表中所示，小球平衡時(shí)球心到電磁鐵底面的距離為20mm，而小球半徑為12mm，因此，小球上切面到電磁鐵底面的距離為8mm。

4.1 目標(biāo)跟蹤分析

圖2所示為三種控制方案的仿真結(jié)果。其中PID控制方案為文獻(xiàn)[18]中的方案，采用(34)和(35)式所得方案時(shí)，分別用SMC1和SMC2進(jìn)行標(biāo)識(shí)。在圖2結(jié)果中，PID方案的控制效果和參數(shù)調(diào)節(jié)直接相關(guān)，僅實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的欠阻尼穩(wěn)定輸出控制，仿真結(jié)果具有較大的超調(diào)量；SMC1方案采用符號(hào)函數(shù)設(shè)計(jì)等速趨近律，在系統(tǒng)進(jìn)入滑動(dòng)階段后存在明顯的抖振現(xiàn)象；采用飽和函數(shù)后，SMC2控制方案呈現(xiàn)平滑穩(wěn)定的控制效果。

圖2 小球懸浮位置的階躍響應(yīng)

表2對(duì)三種控制方案的目標(biāo)跟蹤性能指標(biāo)進(jìn)行了對(duì)比，可見(jiàn)，SMC2方案在保證快速性的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)了無(wú)超調(diào)平穩(wěn)跟蹤，并且在穩(wěn)態(tài)階段沒(méi)有明顯抖振現(xiàn)象。

表2 目標(biāo)跟蹤性能指標(biāo)

滑?？刂品桨窼MC2的動(dòng)態(tài)相函數(shù)在圖3中給出，可見(jiàn)：滑?？刂圃诘竭_(dá)階段具有快速收斂特性，并在滑動(dòng)階段非常平穩(wěn)。

圖3 SMC2控制方案中的滑模曲面趨近

4.2 抗擾能力分析

進(jìn)一步分析所得控制方案的抗干擾能力。在小球位置輸出的反饋環(huán)節(jié)加入幅值為給定信號(hào)2.5%的隨機(jī)干擾，分別采用三種控制方案得到小球懸浮位置輸出如圖4所示。與PID方案和SMC1方案相比，準(zhǔn)滑模控制方案SMC2的優(yōu)勢(shì)在于速度快并且沒(méi)有超調(diào)。在外部干擾存在的情況下，t=1秒時(shí)跟蹤目標(biāo)的變化導(dǎo)致SMC1方案出現(xiàn)較大的輸出波動(dòng)。圖5給出了在1.2s-1.5s時(shí)三種控制方案的輸出比較，可見(jiàn)，切換控制SMC1出現(xiàn)明顯抖動(dòng)，而方案SMC2仍然保持快速平穩(wěn)的控制效果。

圖4 干擾影響下小球的懸浮位置輸出

圖5 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振幅(1.2s-1.5s)

方案SMC2對(duì)于外部干擾具有較強(qiáng)的魯棒性，其代價(jià)是需要更強(qiáng)的控制作用。圖6給出了圖4中三種控制方案所對(duì)應(yīng)的控制律，可見(jiàn)，方案SMC1的控制律在[-1，1]，而方案PID的控制律在[-3，3]，而SMC2方案對(duì)應(yīng)的控制律范圍為[-50，50]，即便在穩(wěn)態(tài)階段，控制律也在[-15，15]范圍內(nèi)波動(dòng)，明顯比另外兩種方案大得多。

圖6 三種方案在干擾影響下的控制律

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)模型不確定性問(wèn)題，本文采用滑模變結(jié)構(gòu)方法為單自由度磁懸浮小球的控制問(wèn)題設(shè)計(jì)了準(zhǔn)滑?？刂品桨福治鼋Y(jié)果顯示：

1)給出的PID、切換變結(jié)構(gòu)滑模SMC1和連續(xù)滑動(dòng)結(jié)構(gòu)準(zhǔn)滑模SMC2三種方案均實(shí)現(xiàn)了對(duì)目標(biāo)位置的穩(wěn)定、快速跟蹤。

2)采用連續(xù)滑動(dòng)結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)滑?？刂票惹纷枘酨ID控制具有更平穩(wěn)的過(guò)渡過(guò)程，比切換變結(jié)構(gòu)滑模控制具有更平滑的穩(wěn)態(tài)輸出。

3)在滑動(dòng)階段采用連續(xù)控制律的SMC2抖振較小，具有更強(qiáng)的抗干擾能力。

材料技術(shù)的成熟和快速處理器的不斷出現(xiàn)為復(fù)雜算法的實(shí)時(shí)應(yīng)用提供了基礎(chǔ)。所得結(jié)論為后續(xù)研究及實(shí)證試驗(yàn)測(cè)試提供了參考方案。