楊卓 翟羽

摘要：本文通過幾個實例，介紹了定積分在判斷數(shù)項級數(shù)斂散性以及求級數(shù)和運算中的應(yīng)用，這種方法是數(shù)學(xué)分析級數(shù)理論中積分判別法應(yīng)用的延伸.

關(guān)鍵詞：數(shù)項級數(shù) 正項級數(shù) 斂散性 定積分

數(shù)項級數(shù)斂散性的判別是數(shù)學(xué)分析課程中級數(shù)理論的重點和難點內(nèi)容，其中又以正項級數(shù)的斂散性最為重要.大部分?jǐn)?shù)學(xué)分析教材中涉及的正項級數(shù)斂散性判別法主要包括達朗貝爾判別法，柯西判別法和積分判別法等，它們的本質(zhì)都是比較原則.其中，積分判別法是利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性與積分性質(zhì)，以反常積分作為比較對象來判斷正項級數(shù)斂散性的方法，例如重要的級數(shù)的斂散性結(jié)論就是利用積分判別法給出的.關(guān)于級數(shù)的基本概念與理論，可以參考[1]和[2].接下來，我們將通過幾個例子來進一步說明積分工具在處理級數(shù)斂散性問題中的重要應(yīng)用.

（2013年第五屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（非數(shù)學(xué)專業(yè)類）預(yù)賽試題[3]）判斷級數(shù)的斂散性，若收斂，求其和.

分析：判斷正項級數(shù)斂散性時，我們主要采用的方法是比較估計級數(shù)通項趨于0的速度，經(jīng)常選取的比較對象是級數(shù).本題無法直接使用達朗貝爾判別法或柯西判別法判斷，不過可以借助適用范圍更廣泛的拉貝判別法來判斷其收斂性.這里，我們通過將通項分子中的各項轉(zhuǎn)化為定積分，從而給出通項趨于0的速度的估計.

如果大家熟悉歐拉常數(shù)

那本題中得到的對通項的估計是非常顯然的.

在級數(shù)理論中有一個常識性的結(jié)論：沒有收斂最慢的正項級數(shù)，也就是說，對任何一個收斂的正項級數(shù)，總可以找到另外一個比它收斂更慢的正項級數(shù).所以沒有任何一種收斂判別法對所有的正項級數(shù)都適用.證明這個結(jié)論的方法有很多，下面的這種方法就利用了定積分這一工具.

通過以上幾個例子我們可以發(fā)現(xiàn)，在估計正項級數(shù)收斂速度和計算級數(shù)部分和數(shù)列時，利用積分技巧，將通項轉(zhuǎn)化為定積分形式，可以大大簡化證明和計算的過程，且這個過程較容易理解.因此，掌握這種技巧對于處理某些類型數(shù)項級數(shù)的斂散性問題是十分必要的.

參考文獻

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)分析（第五版）.高等教育出版社，2019.5.

[2]陳紀(jì)修，於崇華，金路，數(shù)學(xué)分析（第三版）.高等教育出版社，2019.5.

[3].呂新民，呂新華，大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)及真題詳解（第2版），北京航空航天大學(xué)出版社，2021.1.

[4].林源渠，方企勤，數(shù)學(xué)分析解題指南.北京大學(xué)出版社，2003.11.

[5].蒲和平，大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽教程.電子工業(yè)出版社，2014.7.

中國礦業(yè)大學(xué)（北京）大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項目（C202007327），中國礦業(yè)大學(xué)（北京）教學(xué)改革項目（J20ZD25，J200810），北京高等教育本科教學(xué)改革創(chuàng)新項目（202011413003）資助