郭瑞科 胡 軍

北京控制工程研究所，北京 100190

0 引言

工程實(shí)踐中，控制器往往通過執(zhí)行機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)被控對(duì)象，而執(zhí)行機(jī)構(gòu)自身的物理或者能量約束決定了其輸出存在限制，如果控制器給出的控制指令超出了該限制，會(huì)導(dǎo)致控制器的輸出和被控對(duì)象的輸入不一致，也就是存在控制輸入飽和約束。從執(zhí)行機(jī)構(gòu)角度看，就是執(zhí)行器存在飽和非線性約束，當(dāng)控制系統(tǒng)發(fā)生執(zhí)行器飽和時(shí)，可能會(huì)導(dǎo)致控制動(dòng)態(tài)性能變差，甚至閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。通過設(shè)計(jì)抗飽和補(bǔ)償器恢復(fù)閉環(huán)系統(tǒng)控制性能和閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，是一種行之有效的抗飽和控制方法[1]。

常見的抗飽和控制方法有直接線性抗飽和(Direct Linear Anti-Windup, DLAW)和模型恢復(fù)抗飽和(Model Recovery Anti-Windup, MRAW)[2]。DLAW方法通過求解線性矩陣不等式來設(shè)計(jì)抗飽和補(bǔ)償器以保證一定的控制性能和閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，往往會(huì)轉(zhuǎn)化為規(guī)模較大的線性矩陣不等式，計(jì)算量大，設(shè)計(jì)較復(fù)雜。MRAW方法中抗飽和補(bǔ)償器使用與被控對(duì)象相同的模型，并且補(bǔ)償器的求解不依賴于控制器，設(shè)計(jì)簡單，有較大的設(shè)計(jì)自由度[3]。

目前基于MRAW方法的抗飽和設(shè)計(jì)研究主要針對(duì)連續(xù)對(duì)象，研究離散系統(tǒng)的較少[4-8]。Zaccarian等針對(duì)開放水道控制系統(tǒng)中調(diào)節(jié)水流的閘門存在飽和約束的臨界穩(wěn)定系統(tǒng)，分別考慮了控制器和被控對(duì)象在連續(xù)和離散時(shí)間情況下的抗飽和設(shè)計(jì)問題，給出了臨界飽和系統(tǒng)的MRAW抗飽和補(bǔ)償器設(shè)計(jì)算法[9]。Ramos等研究了重復(fù)控制中的模型恢復(fù)抗飽和問題，設(shè)計(jì)了不受控制器影響的簡單低階抗飽和補(bǔ)償策略，給出了基于最優(yōu)控制的抗飽和增益求解線性矩陣不等式條件[10]。譚翠蘭等針對(duì)并網(wǎng)逆變器控制中容易出現(xiàn)積分飽和的現(xiàn)象，設(shè)計(jì)了分別補(bǔ)償控制量和輸出反饋量的離散MRAW抗飽和補(bǔ)償器[11]。劉田禾等在建立高超聲速飛行器姿態(tài)控制切換系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，提出抗飽和切換控制方法，通過求解一系列LMI來設(shè)計(jì)靜態(tài)抗飽和補(bǔ)償器[12]，但求解數(shù)量眾多的LMI會(huì)增加計(jì)算負(fù)擔(dān)。類似的，杜立夫等人針對(duì)高超聲速飛行器縱向模型，設(shè)計(jì)了基于魯棒控制的抗飽和補(bǔ)償器，也存在求解復(fù)雜LMI的問題[13]。韓少君等針對(duì)火星飛機(jī)操縱機(jī)構(gòu)存在控制能力受限問題，提出基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的符合抗飽和策略，這種設(shè)計(jì)方法會(huì)增加控制器設(shè)計(jì)的復(fù)雜度[14]。前述基于MRAW抗飽和設(shè)計(jì)都是針對(duì)低階線性離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)，鮮有涉及非線性系統(tǒng)或者高階被控對(duì)象，即使針對(duì)部分此類對(duì)象設(shè)計(jì)MRAW抗飽和補(bǔ)償器，也會(huì)由于補(bǔ)償器與被控對(duì)象使用相同的動(dòng)態(tài)，有較大的設(shè)計(jì)復(fù)雜度和難度。

吳宏鑫和胡軍提出了根據(jù)對(duì)象動(dòng)力學(xué)特性、環(huán)境特征和控制性能要求相結(jié)合的特征建模思想，用簡單低階控制器實(shí)現(xiàn)滿足控制性能指標(biāo)的目標(biāo)。針對(duì)一類復(fù)雜的高階對(duì)象或者非線性系統(tǒng)，考慮位置保持或者跟蹤的控制要求，特征模型可以用二階或者一階時(shí)變差分方程描述[15]。基于特征建模的黃金分割控制在滿足增益約束條件下，保證了二階差分特征模型參數(shù)未知情況下的反饋穩(wěn)定性問題，解決了一般自適應(yīng)控制在啟動(dòng)和過渡階段參數(shù)未收斂所遇到的控制難點(diǎn)，設(shè)計(jì)簡單，參數(shù)魯棒性好[16]。但基于特征模型的黃金分割控制器所針對(duì)的對(duì)象模型沒有考慮執(zhí)行器存在飽和的情況。當(dāng)不考慮執(zhí)行器飽和現(xiàn)象，常規(guī)設(shè)計(jì)的控制器在執(zhí)行器發(fā)生飽和時(shí)將會(huì)導(dǎo)致控制性能變差或者閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

本文提出將基于特征建模的黃金分割控制和MRAW抗飽和策略相結(jié)合的抗飽和控制方法。針對(duì)傳統(tǒng)MRAW抗飽和方法難以處理高階對(duì)象或者非線性對(duì)象的問題，利用二階差分特征模型的簡潔形式，以及具有在同樣控制輸入作用下，對(duì)象特征模型和實(shí)際對(duì)象在輸出上是等價(jià)的、在穩(wěn)定情況下輸出是相等的等優(yōu)點(diǎn)，在抗飽和設(shè)計(jì)中用二階特征模型取代原被控對(duì)象，求解抗飽和補(bǔ)償器中的反饋增益。將傳統(tǒng)的離散線性MRAW抗飽和策略推廣到一類高階對(duì)象和非線性系統(tǒng)中，擴(kuò)展了其應(yīng)用范圍，簡化了這類系統(tǒng)抗飽和補(bǔ)償器設(shè)計(jì)，可以更好地應(yīng)用于工程實(shí)踐。

1 問題描述

1.1 系統(tǒng)定義

根據(jù)特征建模理論，工程中常見的線性定常高階對(duì)象式(1)，以及飛行器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程中常用到的一類相對(duì)階為2的單輸入單輸出最小相位非線性系統(tǒng)式(2)，在滿足一定采樣周期的條件下，當(dāng)要實(shí)現(xiàn)位置保持或位置跟蹤控制時(shí)，其特征模型可以用一個(gè)二階時(shí)變差分方程式(3)描述。

(1)

其中ai(i=0,1,…,n-1)，bj(j=0,1,…,m)是定常的系統(tǒng)參數(shù)，m，n(m

(2)

其中，x=[x1,x2]T∈R2，z∈Rm是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，并且x和z分別對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的外動(dòng)態(tài)和內(nèi)動(dòng)態(tài)；u∈R是系統(tǒng)的控制輸入，y∈R是系統(tǒng)的量測輸出；a(x,z)，b(x,z)和f0(x,z)均為系統(tǒng)的不確知非線性函數(shù)。

y(k+1)=f1(k)y(k)+f2(k)y(k-1)+g0(k)u(k)

(3)

其中，y(k+1)為特征模型輸出特征變量；y(k)，y(k-1)是系統(tǒng)輸出特征變量，也是系統(tǒng)實(shí)際輸出變量；u(k)為系統(tǒng)輸入控制特征變量，也是實(shí)際對(duì)象輸入控制變量；f1(k)，f2(k)和g0(k)為特征模型的特征參量，其范圍可事先確定，并且在已知閉凸集內(nèi)[15]。

基于特征模型的自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)，在建立對(duì)象的特征模型后，需要對(duì)特征模型參數(shù)即特征參量進(jìn)行在線估計(jì)。記特征模型參數(shù)向量

θ(k)=[f1(k)f2(k)g0(k)]T

數(shù)據(jù)向量

φ(k)=[y(k)y(k-1)u(k)]T

則特征模型(3)可記為

y(k+1)=θT(k)φ(k)

(4)

參數(shù)辨識(shí)的梯度投影算法為

(5)

參考文獻(xiàn)[15]中定理8.4和定理9.5，對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)自適應(yīng)黃金分割控制器式(6)，作為系統(tǒng)控制輸入未受限時(shí)的標(biāo)稱控制器，可以保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定并滿足性能要求。

u(k+1)=

(6)

式中，l1=0.382，l2=0.618，e(k)=y(k)-yr(k)，yr(k)為參考輸入。

令xp(k+1)?[y(k)y(k+1)]T，則可將特征模型式(3)寫成狀態(tài)空間形式：

(7)

其中，

1.2 模型恢復(fù)抗飽和設(shè)計(jì)

當(dāng)被控對(duì)象的控制輸入存在飽和非線性時(shí)，也就是控制輸入滿足

(8)

需要設(shè)計(jì)合適的模型恢復(fù)抗飽和補(bǔ)償器，用于補(bǔ)償閉環(huán)系統(tǒng)發(fā)生飽和時(shí)的控制輸入以及系統(tǒng)輸出，保證發(fā)生飽和時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能和穩(wěn)定性。

模型恢復(fù)抗飽和是指，從不存在控制輸入飽和約束的控制器角度看，設(shè)計(jì)的抗飽和補(bǔ)償器恢復(fù)了不存在控制輸入飽和的系統(tǒng)模型。根據(jù)抗飽和設(shè)計(jì)流程，首先設(shè)計(jì)的標(biāo)稱控制器在不存在控制輸入飽和約束時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)輸出可以很好地跟蹤輸入指令信號(hào)，也就是具有良好的動(dòng)態(tài)輸出響應(yīng)性能。由此可以知道存在控制輸入飽和約束的抗飽和閉環(huán)控制系統(tǒng)在有約束的情況下應(yīng)該如何響應(yīng)。通過完全復(fù)制被控對(duì)象模型，MRAW抗飽和補(bǔ)償器使飽和系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)和未飽和系統(tǒng)閉環(huán)響應(yīng)盡可能相同。

常用的MRAW方法框圖如圖1所示。

圖1 MRAW控制結(jié)構(gòu)框圖

2 基于特征建模的MRAW方法

2.1 線性MRAW設(shè)計(jì)

在處理高階對(duì)象或者非線性對(duì)象時(shí)，MRAW方法同樣是復(fù)制此類模型，設(shè)計(jì)復(fù)雜度卻大大增加。

根據(jù)抗飽和設(shè)計(jì)流程，首先設(shè)計(jì)不考慮控制輸入飽和的基于特征模型的自適應(yīng)黃金分割控制器，可以得到穩(wěn)態(tài)時(shí)的特征模型。根據(jù)特征建模理論，在穩(wěn)定情況下，對(duì)象特征模型和實(shí)際對(duì)象在輸出上是相等的。因而可以在MRAW中使用穩(wěn)態(tài)特征模型取代原被控對(duì)象來求解抗飽和補(bǔ)償器，用線性MRAW抗飽和方法實(shí)現(xiàn)高階對(duì)象或者非線性對(duì)象的抗飽和設(shè)計(jì)。

穩(wěn)態(tài)時(shí)對(duì)象特征模型記為

(9)

其中，

這種補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)可以歸結(jié)為構(gòu)造一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，可以使飽和系統(tǒng)的響應(yīng)趨向于期望的響應(yīng)。設(shè)計(jì)如式(10)的模型恢復(fù)抗飽和補(bǔ)償器，用于補(bǔ)償閉環(huán)系統(tǒng)發(fā)生飽和時(shí)的控制輸入，整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 基于特征模型的模型恢復(fù)抗飽和控制框圖

(10)

上述抗飽和補(bǔ)償器的輸入為執(zhí)行器輸出與輸入之差，輸出分別為補(bǔ)償信號(hào)υ1和υ2。補(bǔ)償信號(hào)υ1使用抗飽和補(bǔ)償器的狀態(tài)通過修正控制器的控制輸出來恢復(fù)系統(tǒng)退出飽和時(shí)的性能；而補(bǔ)償信號(hào)υ2通過修正被控對(duì)象輸出反饋，補(bǔ)償由于控制量飽和引起的輸出損失，衡量飽和狀態(tài)下閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)際輸出與不存在執(zhí)行器飽和的理想輸出之間的偏差。因而需要選取合適的抗飽和增益K，使υ2盡可能小以獲取較好的跟蹤性能，且閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

由控制結(jié)構(gòu)圖2可知，存在式(11)和(12)約束

u(k)=sat(ua(k))=sat(uc(k)+υ1(k))

(11)

yc(k)=y(k)+υ2(k)

(12)

2.2 穩(wěn)定性分析

為了分析包含抗飽和補(bǔ)償器的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性和性能，定義狀態(tài)變量ζ(k)=xp(k)+xaw(k)，系統(tǒng)輸出ζ(k)=y(k)+υ2(k)，因而由式(7)和式(10)可以得到包含抗飽和補(bǔ)償器的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程

(13)

下面分析系統(tǒng)(13)的內(nèi)穩(wěn)定性，給定漸進(jìn)穩(wěn)定的被控對(duì)象，只要保證飽和函數(shù)和抗飽和補(bǔ)償器組成的部分是穩(wěn)定的，那么包含抗飽和補(bǔ)償器的整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。

定理1 給定不存在飽和約束的穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)和設(shè)計(jì)好的抗飽和增益K，如果存在，P=PT>0，W=WT>0使得下述矩陣不等式成立，那么飽和函數(shù)和抗飽和補(bǔ)償器組成的部分從輸入uc到狀態(tài)xaw是l2穩(wěn)定的。

(14)

證明：

1)扇形飽和函數(shù)約束條件

(15)

由式(11)知，ua,k=uc,k+υ1,k=uc,k+Kxaw,k，代入到式(15)，可得

(16)

2)l2穩(wěn)定性證明

(17)

考慮飽和非線性式(16)，代入式(17)，可得

(18)

由線性矩陣不等式(14)可知，存在足夠小的ε>0，使得下式成立

因而存在

(19)

對(duì)式(19)采用完全平方變換，可得

(20)

由式(20)容易得到

(21)

因而存在足夠大的γ>0，使得式(22)成立

(22)

將式(22)兩邊從0到∞相加，可以得到

(23)

由于Lyapunov函數(shù)V(xaw,∞)≥0，可知

(24)

因而函數(shù)和抗飽和補(bǔ)償器組成的部分從輸入uc,k到狀態(tài)xaw,k是l2穩(wěn)定的

3)轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式

式(14)是非線性矩陣不等式，可以通過Schur補(bǔ)引理和等價(jià)變換轉(zhuǎn)化成容易求解的線性矩陣不等式。

由式(14)可得

(25)

式(25)用Schur補(bǔ)可得

(26)

式(26)左右同時(shí)乘以對(duì)角陣diag(I,P-1,W-1)，可得

(27)

令Q=P-1，U=W-1，Ω=KQ，則式(27)可以寫成

(28)

因而式(14)的矩陣不等式可以轉(zhuǎn)化為式(28)的線性矩陣不等式，證畢。

前述分析了給定抗飽和補(bǔ)償增益K，由整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的內(nèi)穩(wěn)定性，可知求解下述的可行性線性矩陣不等式，即可求得抗飽和補(bǔ)償增益。

Q=QT>0，U=UT>0，Ω=KQ，γ>0。

(29)

3 仿真校驗(yàn)

3.1 非線性對(duì)象

考慮被控對(duì)象

跟蹤參考輸入yr=2，控制輸入限制M=1，采樣周期T=0.005s。

設(shè)計(jì)自適應(yīng)黃金分割控制器，然后根據(jù)設(shè)計(jì)的黃金分割自適應(yīng)控制器，設(shè)計(jì)線性MRAW模型恢復(fù)抗飽和補(bǔ)償器，所求的抗飽和增益K=[0.0308-0.0334]。

因而所求解的MRAW抗飽和補(bǔ)償器為

控制結(jié)果如圖3所示。不存在控制輸入飽和時(shí)，所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)黃金分割控制器經(jīng)過較短時(shí)間的調(diào)整，能使系統(tǒng)輸出較好的跟蹤參考信號(hào)，當(dāng)存在控制輸入限制時(shí)可以看到控制性能急劇變差，此時(shí)加上MRAW抗飽和補(bǔ)償器之后，系統(tǒng)能夠重新很好地跟蹤參考信號(hào)，通過局部放大圖可以看到，存在抗飽和補(bǔ)償器時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)較不受限系統(tǒng)有一定的提升。可知針對(duì)此非線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)自適應(yīng)黃金分割控制器，進(jìn)而基于特征模型設(shè)計(jì)線性MRAW抗飽和補(bǔ)償器，可以實(shí)現(xiàn)執(zhí)行器飽和時(shí)的控制性能恢復(fù)。

圖3 閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)

3.2 帶有撓性帆板的衛(wèi)星俯仰軸控制

文獻(xiàn)[17]中的被控對(duì)象是帶有對(duì)稱撓性帆板衛(wèi)星的俯仰軸動(dòng)力學(xué)的簡化模型：

其中，J為衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ω為俯仰角速度，Tt為控制力矩，G=[g1g2]T，為撓性模態(tài)與衛(wèi)星俯仰運(yùn)動(dòng)的耦合系數(shù)矩陣，q=[q1q2]T為模態(tài)坐標(biāo)，Λ=diag(Λ1,Λ2)，為約束模態(tài)頻率。

采樣時(shí)間0.005s，模型參數(shù)：

J=3732kg·m2

Λ1=Λ2=diag(0.1979,0.7000,1.2087)×2π

跟蹤通過低通濾波器的方波信號(hào)，控制輸入限制M=30，同樣先設(shè)計(jì)自適應(yīng)黃金分割控制器，可以滿足不存在輸入飽和時(shí)的控制要求，進(jìn)而設(shè)計(jì)MRAW抗飽和補(bǔ)償器。

控制結(jié)果如圖4所示，可以看到采用MRAW抗飽和補(bǔ)償器之后，系統(tǒng)閉環(huán)響應(yīng)可以較好地跟蹤參考信號(hào)，但是在調(diào)整階段還是存在一定的性能損失。

圖4 帶有撓性帆板的衛(wèi)星俯仰軸響應(yīng)

4 結(jié) 論

設(shè)計(jì)了將基于特征建模的黃金分割控制和MRAW抗飽和策略相結(jié)合的抗飽和控制方法。針對(duì)傳統(tǒng)MRAW抗飽和方法難以處理高階對(duì)象或者非線性對(duì)象的問題，利用二階差分特征模型的簡潔形式，以及具有在同樣輸入控制作用下，對(duì)象特征模型和實(shí)際對(duì)象在輸出上是等價(jià)的，在穩(wěn)定情況下輸出是相等的等優(yōu)點(diǎn)。在抗飽和設(shè)計(jì)中用二階特征模型取代原被控對(duì)象，求解抗飽和補(bǔ)償器中的反饋增益。這樣就將傳統(tǒng)的離散MRAW抗飽和策略推廣到一類高階對(duì)象和非線性系統(tǒng)中，擴(kuò)展了其應(yīng)用范圍，簡化了這類系統(tǒng)抗飽和補(bǔ)償器設(shè)計(jì)，可以更好地應(yīng)用于工程實(shí)踐。