肖冉 安新磊 祁慧敏

（蘭州交通大學數(shù)理學院，蘭州 730070）

引言

神經(jīng)元是神經(jīng)系統(tǒng)中最基本的結(jié)構(gòu)和功能單位，通過復雜的放電活動，承擔著接受刺激、傳遞信息等重要職責，且神經(jīng)元的放電活動具有復雜的非線性動力學特征[1]，因而研究神經(jīng)元放電活動的動力學行為有著十分重要的意義.上個世紀50年代，Hodgkin和Huxley通過對烏賊軸突觸的電壓鉗位實驗數(shù)據(jù)進行分析，建立了HH神經(jīng)元模型[2].這是歷史上首個神經(jīng)元放電活動的數(shù)學模型.上個世紀80年代，Hindmarsh和Rose通過對丘腦神經(jīng)元進行研究，建立了HR神經(jīng)元模型[3，4].近些年來，大量的實驗與研究表明，電磁輻射會對神經(jīng)元放電活動產(chǎn)生影響，且這一影響不可忽略.文獻[5]通過非線性動力學理論，分析了HH神經(jīng)元模型單個及耦合神經(jīng)元受電磁輻射影響下的放電行為.文獻[6]利用非線性動力學理論及數(shù)值仿真方法，分析了磁通e-HR神經(jīng)元模型的動力學特性，并施加Washout濾波器實現(xiàn)了對磁通e-HR神經(jīng)元模型的隱藏放電控制.文獻[7]通過引用磁通變量描述電磁感應下的改進四變量神經(jīng)元模型，研究了相位同步逼近問題，并發(fā)現(xiàn)神經(jīng)元間的磁通耦合可以產(chǎn)生完美的相位同步.文獻[8]研究了電磁刺激對單個神經(jīng)元以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)動力學行為有著顯著的調(diào)控能力.文獻[9]利用磁通變量描述電磁感應的影響，并利用憶阻器耦合實現(xiàn)了磁通對膜電位的調(diào)制.更進一步地，通過對神經(jīng)元施加加性相位噪聲，檢測了神經(jīng)元在模態(tài)中的動態(tài)響應和相變，并觀察到雙相干共振行為.此外，各個離子通道也會對神經(jīng)元膜電壓產(chǎn)生影響，即通過改變細胞膜內(nèi)外各離子的濃度，進而改變膜電壓大小.文獻[10]認為外電場對細胞膜內(nèi)外各離子通道的傳遞有影響，從而改變膜電壓，并通過引入電場變量，建立了外電場作用下的FHN神經(jīng)元模型，進一步分析了該模型放電活動動力學特征.但是，上述文獻中建立的神經(jīng)元模型未能同時考慮電場和磁場對神經(jīng)元模型的影響，有必要在考慮電磁場的情況下再進一步研究.

研究表明，在很多神經(jīng)元模型的放電活動中也會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，因此研究神經(jīng)元模型里的混沌控制與同步是十分有必要的.文獻[11]利用滑?？刂坪蚆ittag-Leffler函數(shù)方法，使分數(shù)階慣性神經(jīng)元主從系統(tǒng)達到混沌同步.文獻[12]通過磁控憶阻器建立了一個e-HR神經(jīng)元模型，并通過自適應同步控制方法，實現(xiàn)了系統(tǒng)混沌態(tài)放電到周期簇放電態(tài)的同步控制.文獻[13]通過建立全局耦合的抑制性和興奮性神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)，發(fā)現(xiàn)耦合強度足夠大時能夠誘導抑制性和興奮性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)達到幾乎完全同步的狀態(tài).在一般的混沌控制與同步里，參數(shù)都是已知的.但實際混沌系統(tǒng)的參數(shù)往往難以確定，如混沌系統(tǒng)的參數(shù)本身部分未知或全部未知，工作過程中系統(tǒng)參數(shù)受到擾動，神經(jīng)元系統(tǒng)可能會因為外界刺激電流的改變，使得多個系統(tǒng)參數(shù)同時發(fā)生變化.因此，參數(shù)辨識問題是神經(jīng)元動力學分析中的重要一環(huán).基于Lyapunov穩(wěn)定性原理的自適應同步方法是目前參數(shù)辨識常用的方法[14，15].文獻[16]通過增加控制器個數(shù)以及取恰當大小的增益系數(shù)，保證了HR神經(jīng)元模型中一組差異過大的未知參數(shù)的準確識別，并縮短了識別的暫態(tài)過程.

受上述研究啟發(fā)，本文考慮到磁場以及外電場兩方面都對神經(jīng)元產(chǎn)生影響，同時引入磁通變量和電場變量，構(gòu)建了一個改進的五維HR神經(jīng)元系統(tǒng).運用Matlab軟件做出該系統(tǒng)的雙參數(shù)分岔圖，可以看到該系統(tǒng)具有豐富的放電行為及分岔現(xiàn)象，然后對雙參數(shù)分岔圖里的一條黑線做峰峰間期（ISI）分岔圖以及最大Lyapunov指數(shù)圖，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)具有倍周期分岔、逆倍周期分岔、加周期分岔等分岔模式以及呈“鋸齒狀”的混沌結(jié)構(gòu).考慮到放電過程中系統(tǒng)可能多個參數(shù)同時發(fā)生變化，取定一組參數(shù)，使系統(tǒng)為混沌態(tài)，以其中五個參數(shù)為未知參數(shù)，利用Lyapunov穩(wěn)定性原理和自適應同步方法，選擇合適的控制器，使驅(qū)動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)達成同步，同時辨識出未知參數(shù)的值.

1 模型描述

基于三維Hindmarsh-Rose（HR）神經(jīng)元模型，文獻[17]考慮到電磁輻射對膜電位的影響，通過加入磁通變量來模擬這一影響，改進成一個四維的Hindmarsh-Rose（HR）神經(jīng)元模型，再對該四維系統(tǒng)做雙參數(shù)分岔分析，并通過Washout控制器來實現(xiàn)亞臨界Hopf分岔穩(wěn)定性控制，從而消除了隱藏放電現(xiàn)象.Ma J等[9]考慮到外電場參與細胞內(nèi)各離子的傳遞，引起膜電壓的變化，引入了電場變量.受上述啟發(fā)，本文同時引入磁通變量和電場變量，建立磁場電場共同作用下的五維HR神經(jīng)元動力系統(tǒng)，系統(tǒng)的微分方程如下所示：

其中，五個狀態(tài)變量分別表示膜電位、快電流、自適應慢電流、模擬細胞周圍磁場的磁通變量以及外電場，I為外界的刺激電流，a，b，c，d，r，s，χ0是重要的動力學參數(shù)，Ie是磁場產(chǎn)生的電磁感應電流，表達式為-k0(α+3βφ2)x，α和β是與系統(tǒng)相關(guān)的確定參數(shù)，k2，k3也是確定系數(shù)，為磁通反饋增益.因為快電流y對外電場的變化非常敏感，所以對變量y施加一項k1E來表示外電場對變量y的影響.在本文中，各參數(shù)參考值取為：a=1.0，b=3.0，c=1.0，d=5.0，s=4.0，r=0.006，χ0=-1.61，α=0.2，β=0.03，I=3，k0=0.1k1=0.1，k2=0.3，k3=0.5，k4=0.2，k5=0.3.

2 雙參數(shù)分岔分析

神經(jīng)元模型往往會受到外界刺激，從而使神經(jīng)元的放電行為發(fā)生變化.系統(tǒng)（1）中膜電壓x的放電行為與系統(tǒng)參數(shù)取值有關(guān)，其余各參數(shù)取參考值時，系統(tǒng)膜電壓x隨外界刺激電流I變化的峰峰間期（ISI）分岔圖如圖1所示.從圖中我們可以看到：當外界刺激電流I逐漸增大時，系統(tǒng)（1）首先由靜息態(tài)進入周期1尖峰放電態(tài)，隨后經(jīng)過加周期分岔進入周期2，3，4，5...10簇放電態(tài)，再通過倍周期分岔進入混沌態(tài)放電，混沌態(tài)放電結(jié)束后進入周期11的周期簇放電態(tài)，再次通過倍周期分岔進入混沌態(tài)放電，最后通過逆倍周期分岔進入周期1尖峰放電態(tài).但在實際情況中，外界刺激電流I改變時，系統(tǒng)（1）的其他幾個參數(shù)可能也同時發(fā)生改變.因此研究系統(tǒng)（1）的雙參數(shù)同時改變時，膜電壓x的變化更具有實際意義.

圖1 關(guān)于參數(shù)I的ISI分岔圖Fig.1 The bifurcation diagram of ISI with respect to parameter I

取I和r這兩個參數(shù)，對系統(tǒng)（1）做雙參數(shù)分岔分析，其余參數(shù)取參考值.系統(tǒng)（1）的雙參數(shù)分岔結(jié)構(gòu)圖如圖2所示.圖中不同顏色對應著不同的神經(jīng)元膜電壓放電狀態(tài)，右邊顏色欄的數(shù)值表示對應的周期簇放電狀態(tài).（如數(shù)字1表示周期1尖峰放電態(tài)，數(shù)字2表示周期2簇放電態(tài)，數(shù)字8表示周期8簇放電態(tài)，白色區(qū)域代表周期大于或等于20的周期簇放電狀態(tài)或混沌態(tài)）.

圖2 參數(shù)I和r的雙參數(shù)分岔圖Fig.2 The bifurcation diagram with two parameters I and r

對圖2做分析可知，當參數(shù)I∈ [2.85，3.85]，r∈ [0.002，0.027]時，系統(tǒng)（1）表現(xiàn)出非常豐富的周期簇放電狀態(tài)和“鋸齒狀”混沌狀態(tài).沿圖2中的黑線左上到右下方向，可以看到膜電壓x經(jīng)歷的放電過程是：先從混沌放電態(tài)進入到周期3簇放電，再由倍周期分岔進入周期6，12，24...簇放電直到混沌放電態(tài)，混沌放電態(tài)結(jié)束后出現(xiàn)周期4窗口，同樣經(jīng)過倍周期分岔進入周期8，16，32...直到進入混沌放電態(tài).一直反復下去.看到系統(tǒng)（1）每經(jīng)歷一次混沌放電，放電的周期數(shù)比混沌放電前的周期數(shù)大一，這個過程就是伴有混沌的加周期分岔模式.由此可以觀察到，隨著黑線的走勢，周期數(shù)不斷加大，相應的周期顏色帶面積不斷減小，且混沌的窗口也不斷減小.此外，從I∈[2.85，3.05]，r∈[0.002，0.007]這個參數(shù)區(qū)間可以看到，此時系統(tǒng)（1）的分岔結(jié)構(gòu)不包含混沌區(qū)域的周期層，且相鄰周期窗口周期數(shù)大一，這個過程稱為無混沌的加周期分岔模式.

當以參數(shù)r為變量時，其余參數(shù)取參考值.沿圖2中的黑線從右下到左上方向，可以做出系統(tǒng)（1）膜電壓x的峰峰間期（ISI）分岔圖如圖3（a）所示，圖3（b）是圖3（a）所對應的最大Lyapunov指數(shù)圖.從圖3（a）可以更直觀地看出，隨著參數(shù)r的不斷減小，系統(tǒng)的膜電壓x放電模式從混沌態(tài)放電結(jié)束后進入周期3簇放電態(tài)，再通過倍周期分岔再次通向混沌態(tài)放電，然后進入周期4簇放電態(tài)，進一步通過倍周期分岔轉(zhuǎn)向混沌后再進入周期5簇放電態(tài)，以此反復下去，最后從高周期簇放電態(tài)通過倍周期分岔進入混沌后，通過一次逆倍周期分岔進入周期1尖峰放電態(tài).

圖3 系統(tǒng)（1）的ISI分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.3 The bifurcation diagram of ISI and maximum Lyapunov exponent diagram of system（1）

根據(jù)上述分析，外界刺激可以導致神經(jīng)元的放電活動發(fā)生變化，系統(tǒng)動力學參數(shù)可能也會隨之改變.這樣在多個系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時，如何辨識出變化后的未知參數(shù)就有著十分重要的意義.

3 改進五維HR神經(jīng)元系統(tǒng)的自適應同步及參數(shù)辨識

4 數(shù)值仿真

在具體的數(shù)值仿真中，令驅(qū)動系統(tǒng)中狀態(tài)變量初值取 (-0.1，-0.2，-0.3，-0.4，-0.5)，響應系統(tǒng)狀態(tài)變量初值取(0.1，0.2，0.3，0.4，0.5)，未知參數(shù)取為a1=1，b1=3，c1=1，d1=5，r1=0.027，此時驅(qū)動系統(tǒng)為混沌態(tài)，將響應系統(tǒng)初始參數(shù)取為a2=1.2，b2=4，c2=1.5，d=6.2，r=0.003.通 過 Matlab軟件進行數(shù)值模擬，得到響應系統(tǒng)（3）的參數(shù)辨識曲線以及同步誤差e隨時間t的變化如圖4所示.可以觀察到，經(jīng)過一定的暫態(tài)過程后，同步誤差隨時間逐漸趨于零附近.驅(qū)動系統(tǒng)與響應系統(tǒng)達成同步.且由數(shù)值仿真可以得出，在t=1000時，響應系統(tǒng)的參數(shù)估計值a2=c2=0.999，b2=3，d2=4.999，r2=0.027，基本趨近于驅(qū)動系統(tǒng)的未知參數(shù)值，即辨識出驅(qū)動系統(tǒng)的未知參數(shù).

圖4 系統(tǒng)（3）的參數(shù)辨識曲線Fig.4 Parameter identification curve of system（3）

可以看到，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和自適應同步方法辨識出了五維HR神經(jīng)元系統(tǒng)的未知參數(shù)值，且從仿真結(jié)果可以看到同步誤差很快趨近于零，辨識結(jié)果也較為準確，說明基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和自適應同步方法的參數(shù)辨識是成功的.

5 結(jié)論

本文首先基于三維HR神經(jīng)元模型，通過引入磁通變量和電場變量，構(gòu)建了一個改進的五維神經(jīng)元系統(tǒng)（1）；其次，利用Matlab軟件進行雙參數(shù)分岔分析，進一步發(fā)現(xiàn)其具有豐富且復雜的分岔模式.如沿著圖2黑線從左上到右下方向，系統(tǒng)有著常見的倍周期分岔、加周期分岔的分岔模式，混沌結(jié)構(gòu)呈“鋸齒狀”；然后，取一種混沌狀態(tài)的情況單獨分析，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和自適應同步方法，以該混沌神經(jīng)元系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng)，構(gòu)建一個對應的響應系統(tǒng)，設(shè)計了使兩個系統(tǒng)同步的控制器，使驅(qū)動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)達成完全同步，從而混沌系統(tǒng)的未知參數(shù)得到了識別，理論證明了控制器的可行性；最后，通過數(shù)值仿真得到了五個狀態(tài)變量的誤差圖以及參數(shù)辨識曲線.從圖中可以看到兩系統(tǒng)較快地達到完全同步，且未知參數(shù)得到識別.本文的研究結(jié)果在生物學與醫(yī)學電磁場下神經(jīng)元模型的建立中有著一定的參考價值.

圖5 系統(tǒng)（2）與系統(tǒng)（3）同步誤差圖Fig.5 Synchronization error diagram of system（2）and system（3）