柳爽 李寬 張潤澤

（上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)機械工程學(xué)院 上海 201418）

引言

自1990年Ott，Grebogi和Yorke提出非線性系統(tǒng)中OGY混沌控制方法后，相關(guān)的同步與控制方法日趨成熟和豐富，如驅(qū)動-響應(yīng)同步法、主動-被動同步法、自適應(yīng)控制同步法、脈沖同步法等[1-4].同時其應(yīng)用領(lǐng)域也由數(shù)學(xué)、物理、計算機迅速擴展到生物醫(yī)學(xué)、航空航天等新興領(lǐng)域，特別是近幾年有關(guān)同步的研究在機器人協(xié)同合作、衛(wèi)星姿態(tài)調(diào)整等方面的有著廣泛的應(yīng)用.在不同學(xué)科中，由于受控目標本身的動力學(xué)特性大有不同，因此如何有針對性的選取更合理的同步策略是研究的重點[5-8].

通過觀察自然界以及生活中的同步現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)同步問題不僅存在于兩個系統(tǒng)間，在多群體的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中依然適用.比如智能交通網(wǎng)絡(luò)中，無人駕駛車輛就是利用360度視野信息同步，使每輛車即時保存和分享交通網(wǎng)絡(luò)中的路況，通過信息共享調(diào)整車速、控制車距，保證安全有序的交通運輸.還有流行性疾病的網(wǎng)絡(luò)傳播等都呈現(xiàn)出群體同步的特征，與系統(tǒng)同步相比，網(wǎng)絡(luò)同步除了要考慮的受控對象數(shù)目的增多外，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點間耦合關(guān)系也同樣重要，因此復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的建模成為分析網(wǎng)絡(luò)同步的又一關(guān)鍵.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型經(jīng)歷著由簡單到復(fù)雜、由確定到隨機、由時間到時空的發(fā)展過程，并取得了很多創(chuàng)新性的研究成果[9-11].Wang和Chen[12]研究了具有小世界連接特性的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)，發(fā)現(xiàn)當改變網(wǎng)絡(luò)的部分連接時可增強網(wǎng)絡(luò)的同步的能力.倪等[13]討論了具有局部結(jié)構(gòu)增長的無標度網(wǎng)絡(luò)模型為基礎(chǔ)的傳染病動力學(xué)系統(tǒng)，給出了網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)對傳染病傳播機制的影響.Wang等[14]分析了無標度梯度網(wǎng)絡(luò)下的耦合方案，并證明了通過該方法構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)比其他同規(guī)模網(wǎng)絡(luò)具有更強的同步性.Li等[15]利用滑模策略實現(xiàn)了一類時空混沌網(wǎng)絡(luò)的同步問題，同時給出了未知參量的識別率.以上研究工作均圍繞著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部拓撲性質(zhì)、同步能力展開，可被視為網(wǎng)絡(luò)內(nèi)同步研究[16].在此基礎(chǔ)上，Li等[17]提出了一類針對兩個離散復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)間的外同步現(xiàn)象的展開了討論.這種詮釋不同群落間多個體間行為一致的外同步問題，能更貼切的還原真實網(wǎng)絡(luò)在信息傳播時的同步特性.Zhou和Li[18]討論了結(jié)構(gòu)不對稱的小世界網(wǎng)絡(luò)間的外部同步問題.Arellano和López等[19]對比分析了在以混沌電路系構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)間的同步過程中，耦合強度、連接方式對網(wǎng)絡(luò)同步能力的影響.為了繼續(xù)探究網(wǎng)絡(luò)間的同步問題，本文將展開新的討論.

在社會交往中常常會有這種情況發(fā)生，人們會根據(jù)自身的社會性格傾向于形成不同的團體群.群體內(nèi)的成員之間關(guān)系非常密切，而不同群體間聯(lián)系極為微弱.近年來類似這種物以類聚的網(wǎng)絡(luò)集群的現(xiàn)象在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等研究領(lǐng)域中同樣引起了人們的廣泛關(guān)注.根據(jù)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的方程或角色的不同，我們可以將網(wǎng)絡(luò)中所有的多智能體分到不同的團體群中，通過設(shè)計合適的算法使得網(wǎng)絡(luò)中各個相互連接的群體內(nèi)部能夠達到某種一致性，而不同群體間仍保持一定的差異性[20].因此針對網(wǎng)絡(luò)集群同步問題方面的研究顯得十分必要，文獻[21]研究了具有時滯的多重耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的集群同步問題，針對不同集群中的時滯因素分別分析了時滯以及耦合關(guān)聯(lián)對集群同步能力的影響.在文獻[22]研究了一類具有線性耦合的離散的社區(qū)網(wǎng)絡(luò)集群同步問題，通過周期性切換控制器推導(dǎo)出實現(xiàn)集群同步的充分條件.在此類工作中，一般考慮的是所有節(jié)點均具有完全相同的動力學(xué)行為.然而這種假設(shè)，并不能完整的還原出真實網(wǎng)絡(luò)中個體節(jié)點的全部特征，例如在社交網(wǎng)絡(luò)、新陳代謝網(wǎng)絡(luò)中，不同聚類中任意一對節(jié)點按照其功能劃分是不同的[23].文獻[24]利用自適應(yīng)牽制控制方法討論了具有多混合節(jié)點形式復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的集群同步問題，結(jié)合節(jié)點的動力學(xué)特性，通過控制部分重要節(jié)點，給出了整個網(wǎng)絡(luò)的同步條件.文獻[25]則根據(jù)實際疫情傳播情況，通過不同的函數(shù)來描述病毒傳播過程中個體的內(nèi)在差異，建立了具有社團結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)模型，從理論上分析了不同群落中個體在病毒傳播的規(guī)律.本文將以此為出發(fā)點，建立具有不等聚群結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)模型，分析網(wǎng)絡(luò)間的同步問題.

混沌是非線性系統(tǒng)較普遍存在的一種行為，通過對非線性系統(tǒng)的混沌特性研究，使我們對系統(tǒng)的復(fù)雜性有了更深刻的認識.其實生產(chǎn)實際中系統(tǒng)行為除了隨時間變化之外，當空間位置的改變時，系統(tǒng)將會展現(xiàn)出更復(fù)雜的動力學(xué)行為.在時間網(wǎng)絡(luò)研究的基礎(chǔ)上，鄭等[26]研究了群結(jié)構(gòu)時空網(wǎng)絡(luò)中的同步現(xiàn)象，給出了判斷時空網(wǎng)絡(luò)是否能發(fā)生群同步的判據(jù)，得到網(wǎng)絡(luò)從完全不同步到完全同步的多種路徑.Lv等[27]針對具有不同動力學(xué)行為的時空網(wǎng)絡(luò)展開了網(wǎng)絡(luò)間同步問題的討論，并對網(wǎng)絡(luò)中的未知參量進行了有效的識別.在此工作的基礎(chǔ)上，本文將選取具有時空混沌特征的離散系統(tǒng)作為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點，構(gòu)建不等集群結(jié)構(gòu)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，并以Lyapunov穩(wěn)定性原理為基礎(chǔ)，分析兩個具有不對稱拓撲結(jié)構(gòu)的復(fù)雜時空網(wǎng)絡(luò)間的外同步問題.分別以Gibbs時空混沌系統(tǒng)，Bragg時空混沌系統(tǒng)，一維對流方程為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點構(gòu)建具有不等集群結(jié)構(gòu)的驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)模型，分區(qū)域展開同步控制，通過數(shù)值模擬的結(jié)果驗證同步控制方案的正確性與有效性.

1 網(wǎng)絡(luò)模型與問題描述

2 控制器設(shè)計和同步分析

從驅(qū)動和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的模型可以看出，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點是具有時空混沌特性的離散系統(tǒng)，并且網(wǎng)絡(luò)本身呈現(xiàn)出不等集群的結(jié)構(gòu)特征.本文將以Lyapunov穩(wěn)定性為基礎(chǔ)，結(jié)合自適應(yīng)控制策略，通過對響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)實施同步控制，實現(xiàn)兩個耦合矩陣不對稱的離散網(wǎng)絡(luò)的同步追蹤.為了實現(xiàn)同步控制的目的，需要做如下的定義：如果滿足條件limn→∞||e（im，n）||=limn→∞||y（im，n）–?ix（im，n）||=0，那么驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)與響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)之間的投影同步就能實現(xiàn)，其中?i是投影同步因子.

3 仿真計算

為了驗證本文所述同步策略的有效性，建立如圖1所示的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型.該網(wǎng)絡(luò)中共有15個節(jié)點，包含3個不等集群.節(jié)點1-4為第1集群，5-9為第2集群，10-15為第3集群，只有同一集群中的節(jié)點方程相同（初值不同），系統(tǒng)維數(shù)為一.選定第1個集群中節(jié)點方程為Gibbs離散時空系統(tǒng)[28]

圖1 具有不等集群結(jié)構(gòu)的離散時空網(wǎng)絡(luò)模型Fig.1 A networks with threecommunities consisting of fifteennonidentical nodes

其中，參量xb=0.85π，A=3，ε=0.4，n表示離散化的時間，m表示空間格點坐標（m=1，2，3…，L），其最大值用L表示.當取初始條件x（i，1）=0.1，周期性邊界條件x（1，n）=0，x（L，n）=0，i∈ (1，L)，L=100.其相圖如圖2所示，表示其隨時空變化的時空演化軌跡.

圖2 Gibbs時空混沌系統(tǒng)相圖xi（m，n）（i=1，…，4）Fig.2 Phase portrait of the Gibbs laser spatiotemporal model xi（m，n）（i=1，…，4）

選定第2個集群中節(jié)點方程為Bragg離散時空系統(tǒng)[29]

其中，參量r=0.5，v=1.5，Vb=0.25π，β=0.4，n表示離散化的時間，m表示空間格點坐標（m=1，2，3…，L），其最大值用L表示.當取初始條件x（i，1）=0.1，周期性邊界條件x（1，n）=0，x（L，n）=0，i∈ (1，L)，L=100.其相圖如圖3所示，表示其隨時空變化的時空演化軌跡.

圖3 Bragg時空混沌系統(tǒng)相圖xi（m，n）（i=5，…，9）Fig.3 Phase portrait of the Bragg laser spatiotemporal model xi（m，n）（i=5，…，9）

選定第3個聚類中節(jié)點方程為離散后的一維對流方程[30]

其中，σ和χ均為系統(tǒng)參量，n表示離散化的時間，m表示空間格點坐標（m=1，2，3…，L），其最大值用L表示.當我們?nèi)ˇ?0.05，χ=1.75，初始條件x（i，1）=0.1，周期性邊界條件x（1，n）=0，x（L，n）=0，i∈ (1，L)，L=100，其相圖如圖4所示，表示其隨時空變化的時空演化軌跡.

圖4 一維對流方程時空混沌系統(tǒng)相圖xi（m，n）（i=10，…，15）Fig.4Phase map of one-dimensional convective equation xi（m，n）（i=10，…，15）

分別選取時空混沌系統(tǒng)Gibbs，Bragg，一維對流方程構(gòu)建具有不等集群結(jié)構(gòu)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，其拓撲結(jié)構(gòu)如圖1所示.該網(wǎng)絡(luò)中總節(jié)點數(shù)N=15，節(jié)點1-4為Gibbs時空混沌系統(tǒng)，節(jié)點5-9為Bragg時空混沌系統(tǒng)，節(jié)點10-15為一維對流方程.從圖1-圖4可以看出，本文以3個無論是隨時間還是空間均存在較大差異時空混沌系統(tǒng)為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點，根據(jù)圖1的連接方式構(gòu)建不等集群的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型.然后建立響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)，響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點數(shù)亦為N=15，節(jié)點方程選取Gibbs時空系統(tǒng)（均具不同初值）.節(jié)點間以環(huán)形網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相連.驅(qū)動響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點方程不全相同，拓撲結(jié)構(gòu)完全不相同.

按照本文介紹的同步追蹤方案，響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點i=1-4，將以投影因子?i同步于驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)集群1所對應(yīng)的同步目標Gibbs時空混沌系統(tǒng)；節(jié)點i=5-8，將以投影因子?i投影同步于驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)集群2所對應(yīng)的同步目標Bragg時空混沌系統(tǒng)，節(jié)點i=10-15，將以投影因子?i投影同步于驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)集群3所對應(yīng)的同步目標一維對流方程.根據(jù)定理1，選定同步控制器以及同步參量辨識率，驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)（1）和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)（3）間可實現(xiàn)投影追蹤同步，具體同步情況如圖7-圖10所示.

考慮到網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點數(shù)為15，不便于逐一列舉，選擇來自3個不同集群的6個代表性節(jié)點為例進行討論.分別為集群1中節(jié)點1、節(jié)點4，集群2中節(jié)點5、節(jié)點9，集群3中節(jié)點12和節(jié)點15.投影同步的比例因子分別為?1＝1/2，?4＝1/2，?5＝1，?9＝1，?12＝2，?15＝2以逐倍遞增的方式分析其同步過程，如圖5所示.圖5分別展示了時空網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點1、4、5、9、12和15隨時間以及空間演化的相圖.在本文所設(shè)計的同步方法控制下，具有不同初值不同節(jié)點方程，不同耦合關(guān)聯(lián)的6個節(jié)點，分屬于3個不同集群，以及不同的投影比例因子.在控制器實施的最初階段，驅(qū)動相應(yīng)網(wǎng)絡(luò)間對應(yīng)節(jié)點間存在較大的誤差，在經(jīng)過了短暫的時間演變后誤差方程迅速趨于零.

圖5 具有不等集群結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)間對應(yīng)節(jié)點誤差ei（m，n）（i=1，4，5，9，12，15）的時空演化規(guī)律Fig.5 Evolution of network error ei（m，n）（i=1，4，5，9，12，15）

對比圖2-4以及圖6，響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)是由15個具有不同初值的Gibbs時空混沌系統(tǒng)耦合而成，其狀態(tài)變量隨時間空間的演化規(guī)律如圖2所示.在本文提出的控制器的作用下，響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中對應(yīng)節(jié)點的相圖也隨之改變，節(jié)點1-節(jié)點4同步追蹤以?i=1/2（i=1，…，4）同步于目標網(wǎng)絡(luò)的Gibbs系統(tǒng)，節(jié)點1-節(jié)點4同步追蹤以?i=1（i=5，…，9）同步于目標網(wǎng)絡(luò)的Bragg時空混沌系統(tǒng)，節(jié)點10-節(jié)點15同步追蹤以?i=-2（i=10，…，15）同步于目標網(wǎng)絡(luò)的一維對流方程.證明了本文所述方法的有效性.考慮到網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)目偏多，對應(yīng)節(jié)點間的同步追蹤不便于一一展示，我們定義驅(qū)動響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)節(jié)點間的平均誤差以及總的累積誤差，具體如圖7和圖8所示.

圖6 在實施同步控制后響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中對應(yīng)節(jié)點的系統(tǒng)相圖Fig.6 Phase portraits of nodes yi（m，n）（i=1，4，5，9，12，15）.

圖7 平均誤差e（m，n）時空演化軌跡Fig.7 Evolution of network average error e（m，n）

圖8 總誤差時空演化軌跡Fig.8 Evolution of network error E（m，n）

從圖7和圖8中可以看出，驅(qū)動響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的平均誤差和累積誤差在短暫的時間演變后，迅速趨于零，進一步證明該同步方法可以有效地實現(xiàn)兩個具有不等集群結(jié)構(gòu)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)間的同步.

4 結(jié)論

本文主要討論了具有集群結(jié)構(gòu)的兩個復(fù)雜時空網(wǎng)絡(luò)間的投影同步問題.考慮到實際中的動力學(xué)系統(tǒng)隨時空演變的動力學(xué)特性，以時空混沌系統(tǒng)為節(jié)點構(gòu)建復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型.并以Lyapunov穩(wěn)定性為基礎(chǔ)，結(jié)合網(wǎng)絡(luò)的集群結(jié)構(gòu)特性，分區(qū)域展開同步控制，通過同步控制器以及參量的自適應(yīng)識別率實現(xiàn)了兩個網(wǎng)絡(luò)間的投影同步.為了進一步驗證該方法的有效性，選取Gibbs時空混沌系統(tǒng)，Bragg時空混沌系統(tǒng)，一維對流方程為不同集群中的節(jié)點進行仿真分析，對應(yīng)的節(jié)點誤差在短暫的時間演變后迅速趨于零，結(jié)果驗證了同步控制方案的可行性.