鐘家偉，凌婷婷，劉樹(shù)德

(安徽信息工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

1 引 言

在工程技術(shù)和科學(xué)問(wèn)題的應(yīng)用領(lǐng)域中，會(huì)出現(xiàn)各種邊界層和內(nèi)層現(xiàn)象。由于問(wèn)題的非線性、非均勻性和邊界條件的一般性，人們通常只能求其近似解，而各種攝動(dòng)方法則是求近似解的有力手段。通過(guò)對(duì)邊界層或內(nèi)層的構(gòu)造，有助于弄清解的解析結(jié)構(gòu)，更重要的是能夠提供有效的近似解。

有許多方法可用于處理出現(xiàn)邊界層和內(nèi)層現(xiàn)象的奇攝動(dòng)問(wèn)題，其中角層問(wèn)題通常運(yùn)用微分不等式理論和方法。[1-3]通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)牟坏仁?，?duì)所論問(wèn)題的解作出先驗(yàn)估計(jì)。但該方法僅給出精確解與退化解之間的一個(gè)估計(jì)，未能構(gòu)造出具有角層性質(zhì)的校正項(xiàng)。

為此，本文考慮改用匹配漸近展開(kāi)法。[4-9]先確定角層的位置，求出兩個(gè)不同尺度的內(nèi)、外展開(kāi)式，其中每一個(gè)展開(kāi)式在一部分區(qū)域上有效，并使相鄰展開(kāi)式的有效區(qū)域相互重疊，然后按匹配原則進(jìn)行匹配，形成在整個(gè)區(qū)間上一致有效的復(fù)合展開(kāi)式，從而得到該問(wèn)題具有角層性質(zhì)的近似解。

2 主要結(jié)果

考慮如下形式的二次邊值問(wèn)題

εy″=f(x)(1-y′2)，0

(1)

y(0)=A，y(1)=B

(2)

其中:ε>0為小參數(shù);f(x)為區(qū)間[0，1]上的光滑函數(shù)且f(x)>0;A，B為給定常數(shù)滿足|A-B|<1。

先確定問(wèn)題(1)，(2)內(nèi)層的位置。設(shè)外展開(kāi)式為如下冪級(jí)數(shù)形式

y(x)～y0(x)+εy1(x)+…

(3)

將(3)代入(1)，由ε0系數(shù)相等得退化方程

(4)

的情形。容易求出

分別是方程(4)滿足邊界條件y(0)=A和y(1)=B的解。外部解的零次近似可取為

由于

因此問(wèn)題(1)，(2)的解在x=x0處出現(xiàn)角層現(xiàn)象，即當(dāng)ε→0時(shí)，在x=x0附近急劇的變化不是發(fā)生在解的本身，而是在它的導(dǎo)數(shù)上。具有這種性質(zhì)的解也稱為角層解。

∞∞.

(5)

設(shè)角層解的內(nèi)展開(kāi)式為

(6)

將(6)代入(5)，有

ε1-2λ(Y0″+εγY1″+…)=[f(x0)+…][1-ε-2λ(Y0′+εγY1′+…)2]

(7)

從(7)式看出，若Y0′≠0，則不能確定特異極限λ。當(dāng)即為常值函數(shù)時(shí)，按平衡條件得

1+γ-2λ=2γ-2λ

由此可確定γ=1，且特異極限對(duì)應(yīng)于λ=1。

根據(jù)匹配原則，若使一項(xiàng)外展開(kāi)式與一項(xiàng)內(nèi)展開(kāi)式進(jìn)行匹配，應(yīng)有

Y0(-∞)=Y0(+∞)=y0(x0)

(8)

∞∞

在(7)式中取γ=λ=1，則O(1)項(xiàng)所滿足的方程為

∞∞

(9)

記f(x0)=σ(σ>0)，將(9)改寫(xiě)為

(10)

再應(yīng)用匹配原則，若使一項(xiàng)外展開(kāi)式y(tǒng)0(x)與兩項(xiàng)內(nèi)展開(kāi)式進(jìn)行匹配，應(yīng)同時(shí)滿足(8)和

Y1(-∞)=Y1(+∞)=0

(11)

于是

∞

類似討論得到

∞

現(xiàn)在將一項(xiàng)外展開(kāi)式y(tǒng)0(x)與兩項(xiàng)內(nèi)展開(kāi)式相加并減去它們的公共部分y0(x0)，形成復(fù)合展開(kāi)式

當(dāng)0≤x≤x0時(shí)，

當(dāng)x0≤x≤1時(shí)，

因此區(qū)間[0，1]上，復(fù)合展開(kāi)式寫(xiě)為

即問(wèn)題(1)，(2)的解在x=x0處出現(xiàn)了角層。

例考慮邊值問(wèn)題[6]

εy″=x2(1-y′2)，0

(12)

y(0)=1，y(1)=1

(13)

這是問(wèn)題(1)、(2)的類型，其中函數(shù)f(x)=x2，常數(shù)A=B=1滿足|A-B|<1。由此算出因此，問(wèn)題(12)，(13)在處出現(xiàn)了角層，且角層解可表示為

這與文獻(xiàn)[6]通過(guò)直接構(gòu)造所得的結(jié)果是一致的。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文考慮的二次奇攝動(dòng)問(wèn)題常常出現(xiàn)在應(yīng)用領(lǐng)域中，但有關(guān)它的研究論文卻相對(duì)較少。由于微分方程中含有y′的平方項(xiàng)，給構(gòu)造邊界層或內(nèi)層的校正項(xiàng)帶來(lái)一定的困難。例如，在一般情況下，按照匹配原則使一項(xiàng)外展開(kāi)式與一項(xiàng)內(nèi)展開(kāi)式進(jìn)行匹配，便可得到滿足邊界層或內(nèi)層性質(zhì)的校正項(xiàng)，但在本例中，需要用一項(xiàng)外展開(kāi)式y(tǒng)0(x)與兩項(xiàng)內(nèi)展開(kāi)式進(jìn)行匹配才滿足匹配條件的要求。

另一方面，在匹配方法上，當(dāng)外展開(kāi)式與內(nèi)展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)不相同時(shí)，通常用Van Dyke匹配原則[5]或中間變量匹配原則[6]，匹配過(guò)程比較復(fù)雜；而本文仍采用相對(duì)簡(jiǎn)單的Prandtl匹配原則[7]，這是匹配技術(shù)上的一點(diǎn)創(chuàng)新。