楊 業(yè)， 王敏文， 葉文博， 劉曉宇， 李 巖，姚紅娟， 鄭曙昕， 劉臥龍， 王 迪， 王茂成， 趙銘彤，閆逸花， 張 輝， 王百川， 呂 偉， 王忠明?

(1. 強(qiáng)脈沖輻射環(huán)境模擬與效應(yīng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 西安 710024；2. 粒子技術(shù)與輻射成像教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100084；3. 清華大學(xué) 先進(jìn)輻射源及應(yīng)用實(shí)驗(yàn)室， 北京 100084； 4. 清華大學(xué) 工程物理系， 北京 100084)

西安200 MeV質(zhì)子應(yīng)用裝置(Xi’an 200 MeV Proton Application Facility， XiPAF)是國(guó)內(nèi)首臺(tái)滿足空間質(zhì)子單粒子效應(yīng)考核要求的實(shí)驗(yàn)裝置，該裝置由7 MeV直線注入器和200 MeV同步加速器組成[1-3]。調(diào)束階段，由于存在準(zhǔn)直偏差和磁鐵磁場(chǎng)偏差，同步加速器的線性光學(xué)與設(shè)計(jì)會(huì)有偏差。為建立準(zhǔn)確的機(jī)器模型及優(yōu)化注入、加速和引出效率，線性光學(xué)測(cè)量與校正是環(huán)形加速器調(diào)束過(guò)程中關(guān)鍵且必要的一步。表征環(huán)形加速器狀態(tài)的線性光學(xué)函數(shù)包括工作點(diǎn)、β函數(shù)、色散函數(shù)和色品。常用的線性光學(xué)校正方法有2種[4]：第1種是基于閉軌響應(yīng)矩陣的校正方法，該方法主要用于輕子儲(chǔ)存環(huán)的線性光學(xué)校正[5-7]，也可應(yīng)用于中小型強(qiáng)子同步環(huán)的線性光學(xué)校正[8-9]，但受限于束流位置探測(cè)器(BPM)的測(cè)量噪聲，模型校正效果有限；第2種是基于束流逐圈位置的校正方法，需要激勵(lì)起較大幅度的束流質(zhì)心振蕩，在強(qiáng)子和輕子環(huán)形加速器中都有應(yīng)用[10-12]。

當(dāng)前，調(diào)束在臨時(shí)廠房進(jìn)行，BPM逐圈位置測(cè)量噪聲比較大，基于束流逐圈位置的測(cè)量與校正方法的效果不太好，因此采用了基于閉軌響應(yīng)矩陣的校正方法和LOCO(linear optics from closed orbits)程序[13-14]進(jìn)行線性光學(xué)校正。本文首先介紹了工作點(diǎn)、β函數(shù)、色散函數(shù)和色品的測(cè)量方法與結(jié)果，然后改進(jìn)了LOCO程序，使之適用于低能質(zhì)子同步加速器的線性光學(xué)校正，最后給出了基于改進(jìn)后LOCO程序的校正結(jié)果。

1 XiPAF同步環(huán)簡(jiǎn)介

XiPAF同步加速器是一個(gè)周長(zhǎng)30.9 m、采用六折對(duì)稱結(jié)構(gòu)的緊湊型同步加速器[1-3]，該裝置的布局如圖1所示。

圖1 XiPAF同步環(huán)布局Fig.1 Layout of XiPAF synchrotron

每個(gè)單元類似于1個(gè)將二極鐵取消的FODO結(jié)構(gòu)，因此稱為“Missing dipole FODO”結(jié)構(gòu)。該方案簡(jiǎn)單且有足夠的直線節(jié)放置束流測(cè)量元件、高頻腔及注入引出等相關(guān)設(shè)備。每個(gè)單元放置1個(gè)水平校正鐵和1個(gè)垂直校正鐵。每個(gè)校正鐵附近放置1個(gè)同方向的BPM，因此環(huán)上總共有12個(gè)單向校正鐵和12個(gè)單向BPM。通過(guò)這些校正鐵和BPM可以實(shí)現(xiàn)響應(yīng)矩陣測(cè)量以及閉軌校正。XiPAF采用H-剝離注入，為方便放置注入切割磁鐵，通過(guò)3個(gè)直流凸軌磁鐵產(chǎn)生局部凸軌[15]，使環(huán)光學(xué)參數(shù)失去了六折對(duì)稱性。

由于注入和引出階段所需的工作點(diǎn)不同，XiPAF同步環(huán)采用了變工作點(diǎn)的加速方式，注入和引出階段的光學(xué)參數(shù),如表1所列。注入引出階段對(duì)光學(xué)模型的準(zhǔn)確性都有很高的要求，因此都需要進(jìn)行光學(xué)函數(shù)的測(cè)量與校正。2個(gè)階段的光學(xué)函數(shù)測(cè)量與校正過(guò)程類似，本文只介紹注入階段的光學(xué)函數(shù)測(cè)量與校正。

表1 同步環(huán)光學(xué)參數(shù)Tab.1 Lattice parameters of synchrotron ininjection and extraction phase

XiPAF同步環(huán)注入階段的β函數(shù)如圖2所示。由圖2可見，受凸軌磁鐵邊緣場(chǎng)的影響，垂直方向βy函數(shù)失去了六折對(duì)稱性。

(a) βx

2 線性光學(xué)測(cè)量與校正方法

2.1 線性光學(xué)測(cè)量原理與方法

常用的線性光學(xué)函數(shù)包括工作點(diǎn)、β函數(shù)、色散函數(shù)和色品。工作點(diǎn)可采用對(duì)BPM逐圈位置做快速傅里葉變換(FFT)和頻譜儀直接對(duì)BPM原始信號(hào)做譜分析2種方法進(jìn)行測(cè)量。為提高工作點(diǎn)測(cè)量精度，在測(cè)量前使用白噪聲激勵(lì)束流，產(chǎn)生一定幅度的橫向振蕩。

β函數(shù)的測(cè)量方法有2種[4]。

第1種稱為K調(diào)制法。當(dāng)四極鐵聚焦強(qiáng)度變化較小時(shí)，在線性近似下，工作點(diǎn)的變化為

(1)

其中， Δvx,y為水平或垂直工作點(diǎn)變化； Δk為四極鐵聚焦強(qiáng)度變化；βx,y為四極鐵處的平均β函數(shù)；L為四極鐵有效長(zhǎng)度。測(cè)量時(shí)通過(guò)漂浮電源逐個(gè)改變四極鐵聚焦強(qiáng)度，測(cè)量工作點(diǎn)變化，通過(guò)線性擬合得到四極鐵處的平均β函數(shù)。

第2種方法稱為ORM(orbit response matrix)方法。當(dāng)校正鐵與BPM位置非常近時(shí)，可認(rèn)為校正鐵與BPM處的β函數(shù)和色散函數(shù)相等，相移為0，此時(shí)給校正鐵施加踢角θ引起的BPM位置變化為

(2)

其中， Δux,y為施加校正鐵踢角后水平或垂直束流位置變化；η為同步環(huán)滑相因子；Dx,y為校正鐵或者BPM處的色散函數(shù)；C為同步環(huán)周長(zhǎng)。由式(2)可知， Δux,y與θ呈線性關(guān)系，測(cè)量時(shí)逐個(gè)掃描校正鐵磁場(chǎng)，測(cè)量束流位置變化，線性擬合后得到線性響應(yīng)系數(shù)，代入式(2)即可得到校正鐵與BPM處的平均β函數(shù)。

色散和色品都是由束流能量偏差而引入的參數(shù)，因此，要測(cè)量色散和色品需要引入束流能量的微小變化，通過(guò)緩慢改變高頻腔的頻率實(shí)現(xiàn)束流能量的微調(diào)。在頻率變化很小時(shí)，頻率變化可表示為[16]

(3)

其中，f為高頻頻率；p為與頻率f匹配的束流動(dòng)量； Δf頻率變化量； Δp為束流動(dòng)量變化量。實(shí)際測(cè)量時(shí)，給定頻率線性緩慢變化的頻率曲線，測(cè)量頻率變化過(guò)程中的束流位置和工作點(diǎn)的變化。束流位置隨束流動(dòng)量偏差變化關(guān)系的線性系數(shù)即為色散函數(shù)，束流工作點(diǎn)隨束流動(dòng)量偏差變化關(guān)系的線性系數(shù)即為色品。

2.2 基于ORM的線性光學(xué)校正方法

由于響應(yīng)矩陣中已經(jīng)包含了關(guān)于橫向運(yùn)動(dòng)的所有信息，將測(cè)量的響應(yīng)矩陣與模型計(jì)算的響應(yīng)矩陣進(jìn)行匹配，即可修正模型，并得到一個(gè)與實(shí)際測(cè)量結(jié)果相匹配的Lattice模型，這就是基于ORM的線性光學(xué)校正的基本思想。LOCO程序是基于Matlab開發(fā)的，以加速器工具箱(Accelerator Toolbox，AT)為計(jì)算模型的ORM線性光學(xué)校正程序[13-14]，該程序已經(jīng)廣泛應(yīng)用于環(huán)形加速器的線性光學(xué)校正[5-9]。

LOCO的基本原理就是以四極鐵強(qiáng)度、BPM增益系數(shù)、校正鐵強(qiáng)度及校正鐵耦合等為匹配變量，調(diào)節(jié)這些變量，使模型和測(cè)量得到的響應(yīng)矩陣相等。偏差函數(shù)可定義為

(4)

其中，Gmodel,i,j為模型計(jì)算得到響應(yīng)矩陣的第i行第j列元素，i表示BPM，j表示校正鐵；Gmeas,i,j為測(cè)量得到響應(yīng)矩陣的第i行第j列元素；σi是第i個(gè)BPM的噪聲水平。改變匹配變量的值，使得上述偏差函數(shù)最小，是一個(gè)多參數(shù)單目標(biāo)的非線性優(yōu)化問(wèn)題。求解該問(wèn)題最有效的方法是高斯牛頓法，通過(guò)求解每一步迭代時(shí)的雅克比矩陣，采用最小二乘法得到下一步匹配變量的修正量，使偏差函數(shù)逼近全局最小值。但該方法對(duì)初值敏感，當(dāng)初值偏差較大時(shí)，會(huì)出現(xiàn)迭代發(fā)散或者振蕩。為解決該問(wèn)題，LOCO程序采用了Levenberg-Marquadt方法求解，結(jié)合了高斯牛頓法和最速下降法2種算法的優(yōu)點(diǎn)，可通過(guò)懲罰因子來(lái)控制算法。當(dāng)初值偏差較大時(shí)，采用較大的懲罰因子使算法更接近于最速下降法，該算法始終是收斂的，可使變量不斷逼近全局最小值，隨后采用較小的懲罰因子加快收斂速度。變量匹配過(guò)程中，四極鐵強(qiáng)度的偏差對(duì)同步環(huán)的線性光學(xué)影響很大。利用Levenberg-Marquadt方法可得到四極鐵強(qiáng)度擬合值Kps，及其與設(shè)計(jì)值K的偏差ΔK。四級(jí)鐵工作電流的校正量ΔI與強(qiáng)度K的關(guān)系可表示為

(5)

Kps可認(rèn)為是實(shí)際四極鐵強(qiáng)度的最佳估計(jì)值，利用式(5)可得到四極鐵工作電流的校正量，將新的工作電流發(fā)給四極鐵電源即可將實(shí)際的加速器Lattice校正到與設(shè)計(jì)的加速器Lattice相匹配。

3 線性光學(xué)函數(shù)測(cè)量與校正結(jié)果

在同步環(huán)注入俘獲后進(jìn)行了線性光學(xué)函數(shù)與響應(yīng)矩陣的測(cè)量，以中能輸運(yùn)線上的BPM為相位探針，通過(guò)飛行時(shí)間法(time of flight, TOF)測(cè)得注入束流能量為7.11 MeV。按2節(jié)介紹的方法測(cè)量了響應(yīng)矩陣、β函數(shù)、色散函數(shù)和色品。由于開源的LOCO和AT程序最初是針對(duì)電子儲(chǔ)存環(huán)設(shè)計(jì)，為了使2者可以應(yīng)用于低能質(zhì)子環(huán)的模擬與線性光學(xué)校正，需對(duì)程序做一定的修改。電子加速到較低能量時(shí)，速度接近光速，在跟蹤時(shí)可直接將電子的速度默認(rèn)為光速；與電子相比，低能質(zhì)子的非相對(duì)論效應(yīng)明顯，在跟蹤時(shí)需考慮速度的影響。程序修改的內(nèi)容為

1) 在AT中對(duì)二極鐵、四極鐵及高頻腔等元件增加新的跟蹤算法，主要是在縱向坐標(biāo)的跟蹤中加入了粒子速度的影響。

2) 修改了LOCO程序中響應(yīng)矩陣計(jì)算的理論公式，原有的程序中，式(2)中的η為動(dòng)量壓縮因子，這對(duì)于相對(duì)論粒子束是適用的，但對(duì)于非相對(duì)論粒子束，需考慮粒子速度的影響，必須使用滑相因子。

為了使初始模型盡可能準(zhǔn)確，在初始模型中考慮了二極鐵的四極分量、六極分量和八極分量的影響，元件初始參數(shù)均按照機(jī)器實(shí)際運(yùn)行參數(shù)進(jìn)行設(shè)置。LOCO校正的匹配變量包括四極鐵聚焦強(qiáng)度、校正鐵增益及BPM增益。同時(shí)將測(cè)量的色散函數(shù)作為響應(yīng)矩陣的一部分進(jìn)行擬合。由于垂直方向色散函數(shù)非常小，參與擬合會(huì)出現(xiàn)迭代不收斂的情況，所以將垂直方向色散的權(quán)重設(shè)置為0。頻率測(cè)量較準(zhǔn)確，擬合過(guò)程中不將頻率作為擬合參數(shù)之一。

XiPAF同步環(huán)校正鐵和BPM數(shù)量較少，響應(yīng)矩陣中的有效數(shù)據(jù)也較少，使用LOCO進(jìn)行橫向耦合的校正時(shí)會(huì)出現(xiàn)結(jié)果不收斂的現(xiàn)象。這是因?yàn)闄C(jī)器實(shí)際的橫向耦合比較小，但可能產(chǎn)生橫向耦合的因素較多，如二極鐵和四極鐵的滾轉(zhuǎn)角偏差。如果將二極鐵和四極鐵滾轉(zhuǎn)角偏差作為擬合參數(shù)，擬合參數(shù)較多會(huì)導(dǎo)致結(jié)果不收斂。在不考慮橫向耦合的情況下，迭代一次，結(jié)果基本就收斂了，后續(xù)擬合的偏差基本不變。在實(shí)際測(cè)量中，第1次迭代后，偏差由516減小到2.17。第1次迭代后，測(cè)量與模型響應(yīng)矩陣的3維圖如圖3所示。模型和測(cè)量響應(yīng)矩陣的最大相對(duì)偏差為7%，符合較好。

圖3 校正后模型響應(yīng)矩陣與測(cè)量響應(yīng)矩陣對(duì)比Fig.3 Corrected response matrix vs. measured response matrix

XiPAF同步環(huán)有3類四極鐵，分別由3個(gè)電源供電，在擬合過(guò)程中將同1類四極鐵的聚焦強(qiáng)度作為1個(gè)參數(shù)處理，因此四極鐵聚焦強(qiáng)度有3個(gè)匹配變量。通過(guò)修正后的四極鐵聚焦強(qiáng)度與根據(jù)電流和測(cè)磁曲線計(jì)算得到的聚焦強(qiáng)度，可確定四極鐵修正系數(shù)(fudge factor)，如表2所列。

表2 四極鐵修正系數(shù)Tab.2 Fudge factors for quadrupole type

為驗(yàn)證校正后模型的準(zhǔn)確性，將測(cè)量的β函數(shù)、色散函數(shù)及色品與校正模型給出的結(jié)果做了對(duì)比。圖4為校正后模型β函數(shù)與測(cè)量β函數(shù)的對(duì)比，其中，“modelβ”為校正模型計(jì)算得到β函數(shù)，“quadβ”為K調(diào)制法測(cè)量得到的β函數(shù)、“corrβ”為ORM方法測(cè)量得到的β函數(shù)。由圖4可見，由于7 MeV注入俘獲后垂直方向動(dòng)量分散較大，且垂直方向色品較大，使工作點(diǎn)無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)量，因此垂直方向沒(méi)有使用K調(diào)制法測(cè)量β函數(shù)。

(a) βx

圖5為校正后模型色散函數(shù)與測(cè)量色散函數(shù)的對(duì)比。其中，“modelD”表示校正模型計(jì)算得到色散函數(shù)，“measureDoriginal”表示測(cè)量得到的原始色散函數(shù)，“measureD”表示用LOCO校正得到的BPM增益系數(shù)對(duì)測(cè)量得到的色散函數(shù)進(jìn)行修正后的結(jié)果。由圖5可見，修正后的色散函數(shù)與模型符合的非常好，表明LOCO校正給出的BPM增益系數(shù)是比較準(zhǔn)的。由于LOCO校正沒(méi)有擬合耦合項(xiàng)，所以垂直方向模型給出的色散函數(shù)為0。

(a) Dx

測(cè)量得到的水平方向的色品ξx,meas=0.33，垂直方向的色品ξy,meas=-2.83?？紤]不同二極鐵高階場(chǎng)分量時(shí)，使用MADX計(jì)算了校正模型的色品，如表3所列。由表3可知，影響色品的主要是六極分量，與理論相符。測(cè)量的色品與考慮二極鐵六極分量之后校正模型的色品非常接近，說(shuō)明測(cè)量色品和自然色品的差異主要是由二極鐵六極分量引起的。

表3 考慮不同高階場(chǎng)分量時(shí)校正模型的色品Tab.3 Chromaticity of correction model consideringdifferent multipole components

4 結(jié)論

本文介紹了XiPAF同步環(huán)線性光學(xué)測(cè)量與校正的結(jié)果，校正后的模型與測(cè)量的線性光學(xué)函數(shù)符合較好，說(shuō)明在對(duì)相關(guān)模型做修正后，LOCO程序可應(yīng)用于低能質(zhì)子同步加速器的線性光學(xué)校正。由于小型質(zhì)子同步加速器結(jié)構(gòu)緊湊，BPM和校正鐵數(shù)量較少，導(dǎo)致有效的數(shù)據(jù)不多，且低能質(zhì)子裝置BPM噪聲較大，因此無(wú)法精確地?cái)M合一些精細(xì)的模型參數(shù)；但可擬合影響線性光學(xué)的主要參數(shù)，如四極鐵強(qiáng)度，迭代一次即可收斂，擬合精度基本滿足機(jī)器建模和線性光學(xué)應(yīng)用需求。