陳增茂， 葛梁， 白永珍

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

空間信號(hào)到達(dá)方向估計(jì)(direction of arrival, DOA)是陣列信號(hào)處理研究的一個(gè)重要問(wèn)題[1-4]。最早的DOA估計(jì)都是基于點(diǎn)信源理想模型的假設(shè)，然而實(shí)際陣列接收的信號(hào)往往具有一定的角度擴(kuò)展[5]，此時(shí)若采用傳統(tǒng)的點(diǎn)信源模型估計(jì)性能將嚴(yán)重惡化。因此，有學(xué)者提出了空間分布源的概念[6]并根據(jù)散射分量的特點(diǎn)將分布源分為相干分布源(coherently distributed,CD)和非相干分布源(incoherently distributed，ID)2種。非相干分布源的各散射分量不相關(guān)，其協(xié)方差矩陣大特征值的個(gè)數(shù)大于信源數(shù)，此時(shí)空間譜估計(jì)較為困難。文獻(xiàn)[6]通過(guò)對(duì)多重信號(hào)分類(lèi)(multiple signal classification, MUSIC)算法的陣列流形進(jìn)行改進(jìn)從而提出了針對(duì)分布式信源的分布源參數(shù)估計(jì)(distributed signal parameter estimator, DSPE)算法。文獻(xiàn)[7]中提出，雖然非相干信源存在秩多的情況，但大部分能量都集中于最大的少數(shù)特征值中并據(jù)此提出了偽子空間的概念。文獻(xiàn)[8]利用泰勒展開(kāi)的GAM模型提出了一種基于旋轉(zhuǎn)不變子空間原理的非相干分布式信源空間譜估計(jì)方法(ESPRIT-ID)。然而這些方法并未消除多徑信號(hào)，只是采用空間重新劃分的方法盡量消除散射信號(hào)造成的影響。測(cè)向處理后的一個(gè)重要的目標(biāo)就是定位，最常用的方法就是單站定位或多站定位。單站定位一般要求測(cè)向站相對(duì)待測(cè)向目標(biāo)處于運(yùn)動(dòng)當(dāng)中[9-10]。傳統(tǒng)多站定位一般為2步定位，對(duì)信號(hào)進(jìn)行角度解算[11-13]后利用相應(yīng)方法進(jìn)行目標(biāo)位置的估計(jì)。2步定位會(huì)引入額外誤差[14]，為了解決這個(gè)問(wèn)題有學(xué)者提出了數(shù)據(jù)域直接定位算法[15-19]。但大部分的多站定位都要求測(cè)向站的數(shù)量大于信源數(shù)。此時(shí)會(huì)造成資源的浪費(fèi)。

針對(duì)非相干分布源，本文利用2個(gè)較遠(yuǎn)陣列之間接收信號(hào)的信號(hào)特性，利用主徑信號(hào)之間的強(qiáng)相關(guān)性和散射徑之間的不相關(guān)性，極大地消除散射徑信號(hào)對(duì)測(cè)向結(jié)果的影響。同時(shí)，利用陣列接收信號(hào)之間的角度關(guān)聯(lián)性，對(duì)信號(hào)子空間進(jìn)行重構(gòu)，完成2陣列測(cè)向角度之間的匹配，從而實(shí)現(xiàn)了利用2個(gè)陣列對(duì)多個(gè)信源進(jìn)行無(wú)模糊的交叉定位。

1 陣列信號(hào)模型

將2個(gè)完全相同的均勻線陣X和Y擺放成圖1所示，每個(gè)線陣均有M個(gè)陣元，陣列中陣元的間距為d，2個(gè)陣列位于同一水平線，陣列間的間距為x且有x?d。假設(shè)存在K個(gè)非相干分布式信號(hào)分別入射到2個(gè)陣列上，信號(hào)的波長(zhǎng)為λ且λ≥2d，可以得到t時(shí)刻時(shí)2個(gè)陣列輸出的信號(hào)矢量分別為：

圖1 陣列空間Fig.1 Array space

(1)

(2)

(3)

式中：θxk對(duì)應(yīng)第k個(gè)信源對(duì)應(yīng)X陣列的中心DOA；φxk,l(t)為入射到X陣列的第l徑信號(hào)的隨機(jī)角度偏差，其均值為0，方差為待估計(jì)的角度擴(kuò)展。

(4)

式中α′(θxk)為α(θxk)的偏導(dǎo)數(shù)。由于角度擴(kuò)展通常比較小，因此省略泰勒展開(kāi)中的余項(xiàng)，接收信號(hào)重新表示為：

(5)

2 多信源交叉定位算法

為了節(jié)約多信源情況下交叉定位方法的空間資源和陣列數(shù)量，本文通過(guò)利用2個(gè)相隔較遠(yuǎn)陣列之間非相干信源散射信號(hào)之間的不相關(guān)性，很大程度上消除了散射信號(hào)對(duì)主徑信號(hào)測(cè)向的影響，同時(shí)利用2個(gè)陣列間同一信號(hào)之間的相關(guān)性，利用左右奇異向量對(duì)應(yīng)的信號(hào)子空間來(lái)求解出每個(gè)信源對(duì)應(yīng)于2個(gè)陣列的分別的入射角，實(shí)現(xiàn)利用2個(gè)陣列來(lái)實(shí)現(xiàn)多信源(大于2個(gè))的交叉定位。

2.1 基于互相關(guān)測(cè)向方法

陣列X和Y接收信號(hào)的互相關(guān)矩陣為：

Rxy=E[X(t)·(Y(t))H]

(6)

由于發(fā)射信號(hào)、陣列路徑增益及2陣列角度擴(kuò)展之間全部互不相關(guān)，同時(shí)2個(gè)陣列的折射徑信號(hào)的增益互相之間也互不相關(guān)，因此可以得到：

(7)

(8)

式中：τk=τklx-τkly，代表2陣列接收的第k個(gè)信號(hào)主徑信號(hào)間的延時(shí)。

同時(shí)，由于2個(gè)陣列接收的噪聲均為高斯白噪聲，兩者之間相互獨(dú)立，因此接收信號(hào)互相關(guān)中不包含噪聲分量，避免了噪聲分量對(duì)于參數(shù)估計(jì)的影響。因此，兩陣列接收信號(hào)的互相關(guān)矩陣可以表示為：

Rxy=E{X(t)·Y(t)H}=

A(θx)RSBH(θy)

(9)

式中：

對(duì)接收信號(hào)互相關(guān)矩陣進(jìn)行奇異值分解可以得到：

(10)

式中：ΛK對(duì)應(yīng)奇異值分解得到的K個(gè)大奇異值組成的對(duì)角陣；U1和V1分別為K個(gè)大奇異值ΛK所對(duì)應(yīng)的M×K維的左右奇異向量矩陣。根據(jù)信號(hào)空間理論，U1和V1分別對(duì)應(yīng)陣列X和Y的信號(hào)子空間，因此可以得到：

(11)

由式(11)可知必定存在唯一的、非奇異的K×K維的滿(mǎn)秩矩陣T1、T2滿(mǎn)足：

(12)

由于均勻線陣具有的旋轉(zhuǎn)不變一致性，可以將信號(hào)子空間分解為2部分，為了盡可能提高測(cè)量的精度，將信號(hào)子空間U1分解為2個(gè)(M-1)×K維的矩陣:

(13)

式中：U11和U12分別為U1的第1～M-1行和第2～M行所組成的矩陣；A和Φ分別為：

(14)

由式(13)可以得到：

U12=U11T-1ΦT=U11Ψ

(15)

此時(shí)利用最小二乘準(zhǔn)則，即尋找一個(gè)矩陣：

(16)

使得

(17)

達(dá)到最小，并且滿(mǎn)足：

FHF=I

(18)

(19)

(20)

同理，對(duì)陣列Y對(duì)應(yīng)的信號(hào)子空間V1進(jìn)行同樣的處理即可得到相應(yīng)的陣列Y的DOA的估計(jì)值。

雖然通過(guò)對(duì)2個(gè)信號(hào)子空間直接進(jìn)行估計(jì)可以快速的得到2個(gè)陣列的入射角信息，但當(dāng)空間中的信源數(shù)大于1時(shí)，左右陣列的角度并不一一對(duì)應(yīng)，此時(shí)交叉定位在空間中會(huì)出現(xiàn)多個(gè)交匯點(diǎn)。當(dāng)信源數(shù)為K時(shí)，空間中會(huì)出現(xiàn)個(gè)K2交匯點(diǎn)，此時(shí)虛假點(diǎn)的個(gè)數(shù)為K2-K。傳統(tǒng)的交叉定位方法在解決虛假點(diǎn)問(wèn)題時(shí)多采用多站定位的方法，即增加空間中觀測(cè)站的數(shù)量，通過(guò)相應(yīng)的算法剔除虛假點(diǎn)，還原信號(hào)的真實(shí)位置信息，此時(shí)計(jì)算的復(fù)雜度隨著信源數(shù)的增多而提高。

2.2 多信源角度匹配

由2.1節(jié)可知U1和V1分別對(duì)應(yīng)陣列X和Y的信號(hào)子空間。雖然空間相同，但對(duì)2個(gè)空間進(jìn)行處理后的角度并不能一一對(duì)應(yīng)，因此需要對(duì)U1和V1進(jìn)行一定的處理。

由前面的推導(dǎo)可知：

(21)

由式(12)可知，存在K×K維滿(mǎn)秩矩陣T使得：

U1=A(θx)·T

(22)

代入式(22)中可以得到：

(23)

將左右兩端分別進(jìn)行轉(zhuǎn)置可以得到：

B(θy)RS=V1ΛTH

(24)

式中：RS與Λ均為對(duì)角陣，因此其轉(zhuǎn)置不變；RS對(duì)角線上元素表示發(fā)射信號(hào)的功率；Λ對(duì)角線上元素表示接收信號(hào)的功率。

B(θy)為Y陣列的陣列流形，對(duì)其進(jìn)行處理時(shí)需要的是每一列元素相鄰兩元素之間的相位信息。RS對(duì)角線上元素為發(fā)射信號(hào)的功率，因此均為實(shí)數(shù)。兩者相乘的結(jié)果為：

B′(θy)=B(θy)RS=

[ρ1b(θ1)ρ2b(θ2)…ρKb(θK)]

(25)

式中ρK表示第K個(gè)信號(hào)的發(fā)射功率。

(26)

(27)

利用前面求得的2個(gè)陣列的角度信息即可以得到信源的空間位置，通過(guò)簡(jiǎn)單推導(dǎo)即可得出第k個(gè)信源與兩陣列間的距離lkx和lky分別為：

(28)

算法步驟總結(jié)如下：

4)將U分解成K×K維的子矩陣：

3 仿真分析

定義均方根誤差(root mean square error, RMSE)作為衡量估計(jì)精度的指標(biāo)，RMSE的計(jì)算公式為：

(29)

仿真1 驗(yàn)證算法有效性。假設(shè)空間中存在5個(gè)非相干分布式信源，5個(gè)信源的入射角分別為(10°,-10°)、(20°,-20°)、(30°,-30°)、(40°,-40°)、(50°,-50°)；信噪比(signal to noise ratio，SNR)為15 dB。左右2個(gè)角度分別對(duì)應(yīng)陣列X和陣列Y的入射角，進(jìn)行100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，測(cè)量結(jié)果如圖2所示。由圖2可以看出，本算法可以很好的將2個(gè)陣列的入射角相對(duì)應(yīng)，可以實(shí)現(xiàn)多個(gè)信源(大于2個(gè))同時(shí)入射時(shí)的交叉定位測(cè)向。

圖2 算法有效性仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of algorithm effectiveness

仿真2 算法性能對(duì)比。將所提算法與廣義ESPRIT算法[18]及DSPE算法[8]進(jìn)行性能對(duì)比。實(shí)驗(yàn)中均采用均勻線陣作為接收陣列，陣元間距為λ/2；信號(hào)拍數(shù)N=500；角度擴(kuò)展σ=2°；入射路徑數(shù)L=100；分布方式采用高斯分布。

圖3為信噪比對(duì)3種算法測(cè)向性能的影響，仿真時(shí)陣元數(shù)K=16；左右陣列入射角分別為(-10°,10°)。1 000次蒙特卡洛仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 RMSE隨信噪比SNR變化Fig.3 RMSE varies with SNR

圖4為陣元數(shù)對(duì)3種算法測(cè)向性能的影響，仿真時(shí)信號(hào)信噪比SNR=15 dB；左右陣列入射角分別為(-10°,10°)。1 000次蒙特卡洛仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 RMSE隨陣元數(shù)變化Fig.4 RMSE varies with the number of array elements

圖5為陣列入射角度變化對(duì)3種算法測(cè)向性能的影響。仿真時(shí)信號(hào)信噪比SNR=15 dB；陣元數(shù)K=16；圖5(a)為X陣列入射角度變化對(duì)測(cè)向性能的影響，此時(shí)Y陣列的入射角度固定為0°；圖5(b)為Y陣列入射角度變化對(duì)測(cè)向性能的影響，此時(shí)X陣列的入射角度固定為0°。1 000次蒙特卡洛仿真結(jié)果分別如圖5所示。

從圖5中可以看出，本文算法的測(cè)向精度與DSPE算法相當(dāng)，同時(shí)優(yōu)于廣義ESPRIT，這是因?yàn)楸疚乃惴ㄍㄟ^(guò)利用多徑信號(hào)之間的不相關(guān)性，通過(guò)取陣列的互相關(guān)從而減弱了多徑信號(hào)對(duì)測(cè)向的影響，同時(shí)由于不同陣列之間的噪聲互不相關(guān)。因此，互相關(guān)也削弱了高斯噪聲對(duì)測(cè)向誤差的影響。

仿真3 算法復(fù)雜度。將本文的方法與廣義ESPRIT和DSPE算法進(jìn)行復(fù)雜度的對(duì)比，復(fù)雜度的對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)為復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算次數(shù)。假設(shè)陣列個(gè)數(shù)為M，快拍數(shù)為N，信源數(shù)為K。廣義ESPRIT算法主要的運(yùn)算在于一個(gè)M階矩陣的協(xié)方差矩陣及特征值分解運(yùn)算、再加上需要進(jìn)行搜索函數(shù)的構(gòu)建以及譜峰搜索，因此復(fù)雜度可以表示為O(M2N+M3+l(2MK))，其中l(wèi)為譜峰搜索的次數(shù)；DSPE算法主要運(yùn)算為M階矩陣的協(xié)方差矩陣及特征值分解運(yùn)算、再加上需要進(jìn)行搜索函數(shù)的構(gòu)建以及譜峰搜索，因此復(fù)雜度可以表示為O(M2N+M3+l1l2×M(M-K))，其中l(wèi)1和l2分別為對(duì)中心DOA和角度擴(kuò)展譜峰搜索的次數(shù)；本文算法主要為一個(gè)M×M階矩陣的互協(xié)方差和奇異值分解、最小二乘估計(jì)、計(jì)算滿(mǎn)秩矩陣T以及陣列流形的重構(gòu)，因此本文算法的復(fù)雜度可以表示為O(M2N+M3+K2+MK+K3)，各算法復(fù)雜度如表1所示。

假設(shè)空間中信源數(shù)量為5；快拍數(shù)為500；方位角搜索范圍為-90°～90°;角度擴(kuò)展搜索范圍為-5°～5°；搜索步進(jìn)為0.1°。此時(shí)各算法的復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算復(fù)雜度對(duì)比如圖6所示。

圖6 算法復(fù)雜度對(duì)比Fig.6 Algorithm complexity comparison diagram

可以看出，本文算法的復(fù)雜度較低，這是因?yàn)楸疚乃惴o(wú)需進(jìn)行譜峰搜索，因此大大減少了計(jì)算量，提升了測(cè)向的實(shí)時(shí)性。

本文算法的缺點(diǎn)在于雖然算法的復(fù)雜度較低，但由于特定的陣列結(jié)構(gòu)，造成了陣列孔徑的缺失，使得相同陣元數(shù)的情況下可同時(shí)測(cè)向的目標(biāo)數(shù)減少。

4 結(jié)論

1)本文利用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法建立非相干分布式信源的模型，通過(guò)2個(gè)較遠(yuǎn)陣列之間的互協(xié)方差來(lái)消除不相關(guān)散射信號(hào)對(duì)測(cè)向造成的影響，提升了測(cè)向結(jié)果的精度。

2)利用2個(gè)陣列之間的相關(guān)性，通過(guò)角度匹配的方法解決了交叉定位中由于測(cè)向角與信源失配造成的模糊點(diǎn)問(wèn)題。仿真結(jié)果表明，在多信源情況下，所提算法可以很好的實(shí)現(xiàn)信源測(cè)向角的對(duì)應(yīng)問(wèn)題。

3)本文算法的缺點(diǎn)在于雖然算法的復(fù)雜度較低，但由于特定的陣列結(jié)構(gòu)，造成了陣列孔徑的缺失，使得相同陣元數(shù)的情況下可同時(shí)測(cè)向的目標(biāo)數(shù)減少。