周炳海， 易琦

(同濟大學(xué) 機械與能源工程學(xué)院， 上海 201804)

生產(chǎn)設(shè)備在加工過程中會發(fā)生劣化，從而導(dǎo)致能耗加劇、次品率上升等不良后果，造成額外的損失成本。Cai等[1]闡述了節(jié)能減排對于推動制造業(yè)綠色轉(zhuǎn)型的重要意義，質(zhì)量控制在生產(chǎn)中占據(jù)著尤為重要的戰(zhàn)略位置[2]。節(jié)能、質(zhì)量控制與維護決策實際上存在著權(quán)衡，因為及時的維護可以降低能耗和質(zhì)量損失成本，但過多的維護將導(dǎo)致更多的維護成本與能耗成本[3-4]，并可能引起永久生產(chǎn)損失。

以往的預(yù)防性維護研究將生產(chǎn)系統(tǒng)的產(chǎn)品質(zhì)量納入考慮，Lopes[5]提出了一種針對帶有質(zhì)量檢測與返工循環(huán)的生產(chǎn)系統(tǒng)的預(yù)防性維護綜合決策。Wang等[6]假設(shè)生產(chǎn)線中的機器達到失控狀態(tài)時，會發(fā)生質(zhì)量故障從而產(chǎn)出次品。Yang等[7]將機會監(jiān)測和定期監(jiān)測2種方式結(jié)合起來衡量系統(tǒng)的劣化程度。上述研究雖然考慮了產(chǎn)出質(zhì)量，但是并沒有體現(xiàn)出系統(tǒng)的次品率與劣化進程的相關(guān)性，近年來針對維護策略的研究開始關(guān)注系統(tǒng)中的能耗問題，Zhou等[8]考慮了生產(chǎn)線中的低能耗和高能耗2種狀態(tài)，并用控制圖來將機器的劣化狀態(tài)分為受控區(qū)和失控區(qū)。Yu等[9]將維護調(diào)度問題表述為在線任務(wù)分配問題，目標(biāo)是減少串行生產(chǎn)線的總體維護成本和與能源相關(guān)成本。Huang等[10]將維護與節(jié)能整合到同一模型中并引入機會維護窗口機制。Xia等[11-12]基于節(jié)能機會窗，提出了一種面向能源的維護框架(multi-attribute model，MAM)。上述研究中大多假設(shè)能耗是恒定的，并未考慮生產(chǎn)系統(tǒng)中的能耗隨著劣化發(fā)生遞增的情況；在各類預(yù)防性維護模型中，維護決策通常以單一指標(biāo)為參考，周炳海等[13]以帶緩沖的串行生產(chǎn)系統(tǒng)為研究對象，以系統(tǒng)劣化量達到預(yù)設(shè)的維護閾值作為維護行動的觸發(fā)條件，構(gòu)建了綜合考慮設(shè)備劣化和需求隨機的最優(yōu)生產(chǎn)周期模型；陸志強等[14]也研究了類似對象，以隱馬爾科夫退化系統(tǒng)的工件質(zhì)量指標(biāo)為決策依據(jù),提出了設(shè)備維護的在線決策策略。此類模型沒有將其他指標(biāo)納入考慮，存在一定的局限性，因此聯(lián)合優(yōu)化維護模型開始受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注，因為該類模型可以同時關(guān)注除了系統(tǒng)劣化情況外的其余指標(biāo)，如生產(chǎn)率、次品率等。成國慶等[15]以批量生產(chǎn)周期、質(zhì)量控制閾值以及預(yù)知維護參數(shù)為三維聯(lián)合決策變量,建立了有限時域內(nèi)混聯(lián)系統(tǒng)的平均費用率模型。但是目前尚沒有研究能在聯(lián)合優(yōu)化模型中同時考慮到能耗、質(zhì)量以及維護決策。

基于上述研究，本文提出了一種多指標(biāo)集成維護框架，該框架假設(shè)系統(tǒng)中的運行能耗會隨著劣化進程而發(fā)生遞增，且次品率也將根據(jù)可控與不可控狀態(tài)而發(fā)生變化，集成維護模型同時為生產(chǎn)系統(tǒng)設(shè)定能耗約束與質(zhì)量約束，以最小化系統(tǒng)總成本為目標(biāo)，獲取最優(yōu)的預(yù)防性維護閾值和約束組合，實現(xiàn)對生產(chǎn)系統(tǒng)的中節(jié)能、質(zhì)量、維護的集成優(yōu)化。

1 串行生產(chǎn)系統(tǒng)集成維護問題描述

針對如圖1所示的一個由n臺設(shè)備與n-1個緩沖區(qū)組成的串行生產(chǎn)系統(tǒng)，其中第k臺設(shè)備Mk為加工速率最慢的瓶頸設(shè)備。

圖1 串行生產(chǎn)線Fig.1 Serial production line

基于上述假設(shè)，首先對串行生產(chǎn)系統(tǒng)的劣化過程、設(shè)備能耗、產(chǎn)品質(zhì)量進行建模，隨后設(shè)定能耗約束與質(zhì)量約束，建立多指標(biāo)集成維護閾值(multi-attribute integrated threshold，MIT)來實時監(jiān)測系統(tǒng)內(nèi)的各項指標(biāo)；接著根據(jù)MIT決策出系統(tǒng)中的待維護設(shè)備組，并計算此次維護的節(jié)能機會窗，在時間窗內(nèi)開展維護活動，以總成本最小化為目標(biāo)，尋找最優(yōu)的預(yù)防性維護閾值與約束組合，由此搭建多指標(biāo)集成維護模型。

2 維護決策模型構(gòu)建

2.1 基于伽馬過程的劣化建模

伽馬過程是一類特殊的Markov過程，具有遞增的、平穩(wěn)獨立增量，適用于描述生產(chǎn)設(shè)備的多種劣化進程，如腐蝕、磨損、裂紋增長等。選取伽馬過程來刻畫串行生產(chǎn)系統(tǒng)上各臺設(shè)備的連續(xù)劣化過程，用Xi(t)來表示設(shè)備Mi在t時刻的劣化量。

設(shè)初始時刻設(shè)備為全新狀態(tài)，即初始劣化量Xi(t)=0，則在時刻t劣化量Xi(t)的概率密度函數(shù)為：

(1)

Fξ(t)=P(tξξi)=

(2)

設(shè)備到達失效閾值Xf的失效時間tf的概率密度函數(shù)ftξ(t)的計算方法：

(3)

式中：ψ(a)=?！?a)/Γ(a)=?logΓ(a)/?a，為雙伽馬函數(shù)。

2.1.1 設(shè)備能耗

將設(shè)備Mi的運行狀態(tài)簡化為4個時間段：開機啟動、預(yù)熱、正常運行、待機，其中啟動與預(yù)熱階段的設(shè)備能耗忽略不計，正常運行階段的能耗會隨著劣化而逐漸增加，于是設(shè)備Mi的運行階段分為：

(4)

圖2 多指標(biāo)集成維護框架Fig.2 Framework of multi-attribute integrated maintenance model

定義設(shè)備Mi在t時刻的劣化等級為：

(5)

(6)

2.1.2 產(chǎn)品質(zhì)量

隨著各設(shè)備劣化程度的加劇，其加工產(chǎn)品的質(zhì)量性能也隨之下降，即產(chǎn)出次品開始增多，由Bouslah等[16]次品率是關(guān)于系統(tǒng)劣化量的單調(diào)遞增函數(shù)：

p(X(t))=p0+μ·[1-e(-λ·X(t)θ)]

(7)

式中：p0為系統(tǒng)在全新狀態(tài)下的初始次品率；μ為質(zhì)量劣化的邊界值；λ、θ為正常數(shù)。

將設(shè)備劣化過程劃分為“可控”與“失控”狀態(tài)，“失控”狀態(tài)下的次品率增長速度要大于“可控”狀態(tài)，基于此概念定義狀態(tài)轉(zhuǎn)變閾值Xq，該閾值將整個次品率遞增過程離散化為可控與不可控2個狀態(tài)：

p(X(t))=

(8)

式中：參數(shù)λ1<λ2,θ1<θ2，p0為初始次品率；Xw為狀態(tài)改變閾值，當(dāng)劣化量X(t)低于此閾值時產(chǎn)品次品率增速較慢，劣化量超出狀態(tài)改變閾值后，次品率增速明顯加快。

(9)

2.2 多指標(biāo)集成維護閾值

在串行生產(chǎn)系統(tǒng)中，若某設(shè)備經(jīng)過時間tp后其劣化量到達預(yù)防性維護閾值Xp，則需要對其采取預(yù)防性維護。由假設(shè)3)可知系統(tǒng)中存在能耗約束ξe以及質(zhì)量約束ξq，這分別對應(yīng)了能耗控制閾值Xe以及質(zhì)量控制閾值Xq，從而系統(tǒng)中存在3類維護閾值Xp、Xe、Xq，根據(jù)假設(shè)5)其中預(yù)防性維護閾值最大，即max{Xe,Xq}

由于某設(shè)備的運行能耗以及產(chǎn)出質(zhì)量均基于設(shè)備劣化量X(t)而改變，當(dāng)設(shè)備劣化量X(t)遞增至預(yù)防性維護閾值Xp時，由于Xp大于其余2類閾值，所以此時設(shè)備的能耗水平以及次品率已經(jīng)超出了能耗約束ξe以及質(zhì)量約束ξq。這意味著當(dāng)給定約束ξe、ξq時，相應(yīng)的設(shè)備維護閾值Xe、Xq也隨之確定，接下來給出該閾值的計算方法：

1)能耗控制閾值。

對于給定的能耗約束0<ξe<1：

(10)

其對應(yīng)的能耗控制維護閾值Xe為：

Xe=f-1(K(Xi(t)))

(11)

2)質(zhì)量控制閾值。

對于給定的質(zhì)量約束0<ξq<1：

ξq=p0+Xw[1-e(-λ·Xqθ)]

(12)

其對應(yīng)的質(zhì)量控制維護閾值Xq為：

(13)

3)多指標(biāo)集成維護閾值。

基于上述概念，在維護時綜合考慮生產(chǎn)中的能耗約束與產(chǎn)品約束，定義一臺設(shè)備的MIT為：

MIT={Xp,min{Xe,Xq}}

(14)

式中Xp為設(shè)備的預(yù)防性維護閾值，Xe、Xq為系統(tǒng)的能耗控制閾值與質(zhì)量控制閾值，利用MIT來決策系統(tǒng)中的待維護組并輸出，方法是一旦某臺設(shè)備到達其預(yù)防性維護閾值Xp時后，此時訪問生產(chǎn)系統(tǒng)中其余設(shè)備的MIT，若由設(shè)備劣化量超出MIT中的規(guī)定閾值X(t)≥min{Xe,Xq}，則將其加入待維護組G={Gp,Ge,Gq}中，待維護組由3類設(shè)備組成，分別是有預(yù)防性維護需求的設(shè)備Gp，以及能耗或質(zhì)量不滿足約束的設(shè)備Ge、Gq。

根據(jù)假設(shè)5)，預(yù)防性維護閾值最大，即Xe,Xq均小于Xp，這體現(xiàn)了劣化量是預(yù)防性維護的主要指標(biāo)，能耗與質(zhì)量則作為次要指標(biāo)。如此假設(shè)的目的是當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生劣化需要維護時，一定能保證對系統(tǒng)的能耗以及產(chǎn)品質(zhì)量的集成控制。換而言之，由劣化觸發(fā)的維護活動占主導(dǎo)地位，其余2類指標(biāo)(能耗、質(zhì)量)觸發(fā)的維護活動為機會維護。MIT將設(shè)備的劣化程度、設(shè)備能耗、產(chǎn)品質(zhì)量集成到同一個維護框架中，實現(xiàn)了在生產(chǎn)過程中對這3類指標(biāo)的集成控制。

2.3 節(jié)能機會窗

由TOC理論可知，生產(chǎn)系統(tǒng)的產(chǎn)出與損失取決于瓶頸設(shè)備。由于緩沖區(qū)的存在，某臺設(shè)備的停機事件可能不會引發(fā)瓶頸設(shè)備的停機，因而不會對生產(chǎn)系統(tǒng)造成永久生產(chǎn)損失。如果能利用此類停機事件對其余設(shè)備進行機會維護，便能有效節(jié)約能源成本，這就是節(jié)能機會窗機制的核心思想。

定義1節(jié)能機會窗(energy saving window, ESW)：假設(shè)系統(tǒng)中有一組設(shè)備G={Gp,Ge,Gq}需要進行停機維護，定義ESW為維護組內(nèi)某臺設(shè)備停機而不引起瓶頸設(shè)備Mk產(chǎn)生永久生產(chǎn)損失的最長的時間窗口長度。

ESWm(t)=sup{d≥0: s.t. ?T*(d)}

(15)

只有當(dāng)停機時間d超出節(jié)能機會窗時才會導(dǎo)致瓶頸機的永久生產(chǎn)損失：

(16)

如果機會維護窗內(nèi)對待維護設(shè)備組進行維護，能在節(jié)省維護成本的同時節(jié)省大量能量。由定義1給出機會時間窗計算方法：

ESWi(t)=

(17)

(18)

2.4 成本模型

當(dāng)某臺設(shè)備i到達預(yù)防性維護閾值后，進入維護周期，對總成本進行計算：

(19)

3 維護模型求解

3.1 蒙特卡洛仿真算法

2)生成i組服從伽馬過程的劣化增量，記錄下t時刻設(shè)備Mi的劣化總量；

3)記錄最先達到PM閾值的設(shè)備為Mm，此時開始維護周期，利用集成維護閾值MIT對其余設(shè)備進行判斷，輸出待維護組G；

5)根據(jù)式(18)計算此次的維護時間窗ESWi。若維護時長超出節(jié)能機會窗，則計算此次生產(chǎn)損失PL=(d-ESWm(t))vk,記錄并更新本次維護成本CPL；

6)更新仿真時長T=T+TPM+Tidel，若T<1 000則跳至步驟3)；否則繼續(xù)；

7)能耗與質(zhì)量約束ξe、ξq是否小于1，若是則更新ξe=ξe+0.1,ξq=ξq+0.1，然后跳至步驟3)，否則繼續(xù)；

8)記錄本次仿真的總成本Ctotal、能源成本CE與質(zhì)量成本CQ，若是則更新ξe=ξe+0.1,ξq=ξq+0.1，然后跳至步驟3)，否則繼續(xù)；

9)令預(yù)防性維護閾值Xp每次加5，若Xp小于100則返回步驟3)，否則結(jié)束。

3.2 數(shù)值仿真實驗

為了驗證提出的維護策略的有效性，接下來通過一個數(shù)值實例對所建立的模型進行演示與驗證，并討論在不同約束與維護閾值下對于各項成本的影響?？紤]一個由12臺設(shè)備與11個緩沖區(qū)所組成的串行生產(chǎn)系統(tǒng)，系統(tǒng)的劣化過程服從參數(shù)α=0.5，β=1.8的非定態(tài)伽馬過程，設(shè)定設(shè)置仿真時長為1 000，能耗增長系數(shù)λe=0.01，狀態(tài)改變閾值Xω=65，維護能耗ePM=4，PM的固定與可變成本率cs=1,cv=1.2，各設(shè)備的具體參數(shù)如表1所示。

表1 串行生產(chǎn)系統(tǒng)中各設(shè)備參數(shù)

將設(shè)備運行能耗根據(jù)劣化程度進行非等間隔劃分，取區(qū)間劃分因子ηL=0.8，劣化等級數(shù)L=5，將每臺設(shè)備的運行能耗離散化為5個能耗等級，12臺設(shè)備在t時刻的能耗等級如圖4所示。

圖3 蒙特卡洛仿真流程Fig.3 Monte Carlo simulation process

圖4 串行生產(chǎn)系統(tǒng)能耗遞增Fig.4 Increasing energy consumption in serial production system

為提升求解效率，根據(jù)Zhou等[4]等將PM閾值的搜索區(qū)間確定為[40,95]，因為過低的PM閾值會導(dǎo)致頻繁的維護和停機成本，最優(yōu)成本通常不會在此區(qū)間出現(xiàn)，因此舍棄這部分缺乏參考價值的數(shù)據(jù)，將每個生產(chǎn)周期內(nèi)所有機器的總維護成本、總能耗成本與總質(zhì)量損失成本并繪制成圖5。從圖中可以看出，總能耗成本是隨著PM閾值先減后增的，當(dāng)PM閾值范圍落入[0.4,0.65]時有較多的設(shè)備將進入待維護組，導(dǎo)致了維護能耗的增加，因此隨著PM閾值的升高，維護能耗也隨之下降。但是越高的PM閾值系統(tǒng)劣化量也越大，PM閾值范圍落入[0.8,0.95]時運行能耗開始增長；總質(zhì)量成本是持續(xù)遞增的，顯而易見，是由于系統(tǒng)劣化量的增大從而導(dǎo)致次品率的升高，導(dǎo)致了質(zhì)量成本的增加；總維護成本整體也是先降后升的，因為PM閾值的增大會使得維護次數(shù)下降，在PM閾值落入[0.4,0.65]時維護次數(shù)的下降導(dǎo)致了維護成本的降低，但是維護成本同時與系統(tǒng)劣化量成正比，后期單次維護成本的增加開始占據(jù)主導(dǎo)地位，這導(dǎo)致了總維護成本的先降后升。

圖5 不同維護閾值下各項單位成本的變化Fig.5 Energy consumption cost, quality cost and maintenance cost under different thresholds

圖6給出了能耗約束ξe與質(zhì)量約束ξq分別從0增大到1相應(yīng)的總成本變化?？梢詮膱D6看出隨著ξe的增大，總成本總是呈現(xiàn)先減少后增大的趨勢。以ξq=0為例，當(dāng)能耗約束ξe∈[0,0.6]時，約束的增大使得高能耗機器能夠及時得到維護，降低了機器運行的能源成本，當(dāng)ξe∈[0.6,1]時，約束的增大導(dǎo)致出現(xiàn)過修的情況，從而加大了總成本，同理ξq的變化趨勢也是出于相似的原因。在本次實驗中，生產(chǎn)系統(tǒng)最優(yōu)約束組合為ξe=0.3,ξq=0.6,此時的總成本大小為6.743×103。

圖6 不同指標(biāo)約束下單位總成本的變化情況Fig.6 The total cost under different attribute constraints

為驗證提出維護策略的有效性，將帶有能耗與質(zhì)量約束的基于MIT的集成維護策略分別與常規(guī)預(yù)防性維護策略PM以及事后維護策略(corrective maintenance,CM)進行對比，設(shè)定預(yù)防性維護閾值Xp=70，故障閾值Xf=100，事后維護的維護成本與維護能耗均為預(yù)防性維護的1.3倍(CCM=1.3CPM,eCM=1.3ePM)，選取不同的設(shè)備規(guī)模N進行實驗，分別記錄其總成本Ctotal，能耗成本CE及質(zhì)量成本CQ，如表2所示。可以看到不同設(shè)備規(guī)模下，事后維護策略CM的各項成本總是最高的，這是由于在CM策略中設(shè)備只有到達了故障閾值才進行維護，CM的維護成本高于PM，且CM策略下系統(tǒng)整體劣化程度較高，將引發(fā)較高的能耗成本與質(zhì)量成本；預(yù)防性維護策略PM對到達預(yù)防性維護閾值Xp的設(shè)備進行維護，一定程度上能夠改善系統(tǒng)的總成本，但是沒有關(guān)注到系統(tǒng)的能耗以及質(zhì)量情況；在不同規(guī)模機器的仿真中，基于MIT方法的總成本總是所有維護策略中最低的，且其能耗成本CE，質(zhì)量成本CQ與維護成本CPM也分別為所有策略中最低的，與PM策略相比MIT方法降低了6.01%～15.49%的總成本，與CM策略相比降低了16.02%～29.96%的總成本。此外基于MIT方法的維護策略對于維護成本的優(yōu)化最為顯著，相對PM策略能夠降低17.97%～32.48%的維護成本，相對CM策略可以降低23.56%～33.23%的維護成本。證明基于MIT的集成維護方法可以有效地對系統(tǒng)的能耗成本與質(zhì)量成本進行控制，節(jié)約維護能耗從而優(yōu)化系統(tǒng)總成本。

表2 3種維護策略下的各項單位成本Table 2 Cost per unit of time under three strategies

4 結(jié)論

1)以帶中間緩沖區(qū)的串行生產(chǎn)系統(tǒng)為研究對象，通過建立多指標(biāo)集成維護閾值MIT并引入“節(jié)能機會窗”機制，提出了一種基于MIT的預(yù)防性維護策略，該模型可以有效模擬生產(chǎn)過程中的能耗遞增情況并同時考慮質(zhì)量損失，填補了以往維護模型中的空白；

2)采用蒙特卡洛仿真算法對不同的能耗約束ξe與質(zhì)量約束ξq進行搜索，找到最優(yōu)的約束組合為ξe=0.3,ξq=0.6。

3)探究了不同的維護閾值對能源成本、質(zhì)量成本與維修成本的影響，基于MIT的集成維護方法相對于PM策略MIT方法降低了6.01%～15.49%的總成本，與CM策略相比降低了16.02%～29.96%的總成本，實驗證明提出的維護策略對于制造企業(yè)優(yōu)化能耗、控制質(zhì)量以及降低總運營成本具有一定的指導(dǎo)意義和參考價值。