劉硯鳴， 汪勇， 楊益新

(西北工業(yè)大學 航海學院，陜西 西安 710072)

隨著水下目標探測中的可用信噪比降低，傳統(tǒng)聲吶的尺寸和性能之間的矛盾越來越突出，如何提高陣列在低信噪比以及孔徑受限情況下的目標方位估計性能是亟待解決的重要問題。在這種背景下聲矢量傳感器備受關注，常見的矢量傳感器由一個聲壓傳感器和幾個振速傳感器組成，可以同步獲取空間中同一位置的聲壓，振動速度甚至更高階的聲場信息[1-4]，能夠帶來單個傳感器以及陣列參數(shù)估計性能的提升。矢量傳感器有著多輸出的特點，對于這一特殊的信號結構，Nehorai等[1]提出了矢量傳感器陣列的長矢量信號模型，將矢量傳感器的每個輸出分別視為一個獨立陣元的輸出。基于該模型，適用于聲壓傳感器陣列的大多數(shù)陣列信號處理算法可以應用于矢量傳感器陣列。在實際應用中大多數(shù)矢量傳感器只能測量聲壓和一階振速，獲得的增益有限，雖然目前的一些研究著眼于更高階[5]且硬件實現(xiàn)上也初具雛形，但是高階矢量傳感器的研發(fā)及應用仍然面臨著一些難題[4]。

相位模態(tài)域陣列信號處理是一類基于圓環(huán)陣列或是球面陣列的信號處理方法，相位模態(tài)理論以陣列入射平面波的空間傅立葉分析為基礎，通過傅立葉級數(shù)得到聲壓傳感器的加權系數(shù)，從而獲得正交的諧波分量[6-8]。Meyer等[9-10]將相位模態(tài)波束成形理論應用于安裝在球面上的圓環(huán)及球形麥克風陣列，獲得了優(yōu)秀的指向性，Teutsch[11-13]對2種陣列的相位模態(tài)理論及相位模態(tài)域的部分方位估計算法有較為全面的論述，Sun等[14]利用球面麥克風陣列在室內混響條件下對幾種常見的相位模態(tài)域方位估計算法進行了實驗分析。目前針對相位模態(tài)域信號處理展開的研究多局限于單個圓環(huán)陣列或是球面陣列，鮮有研究將其作為陣元組成陣列以提高目標方位估計性能。

本文將以圓環(huán)孔徑為研究對象，提出基于相位模態(tài)理論的高階聲場傳感器的概念，并構建高階聲場傳感器陣列的信號模型，借鑒矢量傳感器陣列的思想進行信號處理以充分發(fā)揮其性能優(yōu)勢，并采用超分辨方位估計方法中常用的MUSIC算法進行性能分析。高階聲場傳感器能夠利用比矢量傳感器更容易實現(xiàn)的物理結構獲取更高階的聲場信息，具有和矢量傳感器相似的多維信號結構。通過仿真分析發(fā)現(xiàn)高階聲場傳感器陣列較矢量傳感器陣列具有更好的方位估計性能。

1 基于相位模態(tài)理論的高階聲場傳感器的信號模型

本文以二維平面為研究場景，平面內有K個復高斯信號源分別位于[θ1θ2…θK]方向。本節(jié)將構建高階聲場傳感器的信號模型。

基于相位模態(tài)分解理論的高階聲場傳感器可以利用聲壓傳感器組成的圓環(huán)陣列構造。如圖1所示，單個高階聲場傳感器實質上是一個由M個聲壓傳感器均勻分布而構成的小型圓環(huán)陣列，位置等效為圓環(huán)孔徑的圓心。這些聲壓傳感器在θ方向的導向向量為列向量a(θ)，其中第m個元素為：

(1)

式中：λ為波長；pm=(x,y)T為第m號聲壓傳感器的位置向量，x和y分別為橫縱坐標；u=(cosθ,sinθ)T為單位方向向量。

高階聲場傳感器中聲壓傳感器的接收信號xp(t)=[x1(t)x2(t) …xM(t)]T可以表示為：

xp(t)=As(t)+ep(t)

(2)

其中：t為時間快拍；A=[a(θ1)a(θ2) …a(θK)]為陣列流形矩陣；s(t)=(s1(t),s2(t),…,sK(t))為聲源信號；ep(t)為t時刻的接收噪聲向量。

以聲透明圓環(huán)陣列的柱面諧波分解[7,12]為例，對接收到的聲壓信號進行相位模態(tài)分解可得高階聲場傳感器的n階輸出信號：

(3)

式中：n為模態(tài)階數(shù)；?m為m號與1號聲壓傳感器之間對應的圓心角。相位模態(tài)信號的最高階數(shù)受到聲壓傳感器數(shù)量的限制，滿足M>2Nmax，因此高階聲場傳感器輸出的通道數(shù)為Nc=Nmax+1。

對聲壓傳感器的導向向量進行分解，可以獲得n階相位模態(tài)對θ方向的響應：

inJn(kR)exp(-inθ)

(4)

式中：k=2π/λ為信號波數(shù)；R為圓環(huán)半徑。如不考慮幅度項，單個高階聲場傳感器的導向向量為：

h(θ)=[1 iexp(-iθ) … inexp(-inθ)]T

(5)

n階相位模態(tài)響應的方位角相關項exp(-inθ)的實部和虛部分別為cos(nθ)和sin(nθ)，如圖2所示。

圖2 高階聲場傳感器各階響應的方位角相關項Fig.2 Azimuth-dependent component of the phase mode of the HOAS

將式(2)代入式(3)，可以將其改寫為：

Jn(kR)hns(t)+e′n(t)

(6)

式中：hn=[inexp(-inθ1) inexp(-inθ2) … inexp(-inθK)]；e′n(t)為聲壓傳感器接收到的噪聲信號經(jīng)過n階分解后所得噪聲部分。

此外，在作為陣元組成陣列使用時，高階聲場傳感器的半徑受到陣元間距d的限制，即：

2 高階聲場傳感器陣列超分辨方位估計

高階聲場傳感器陣列的信號處理借鑒了矢量傳感器陣列的思想，將單個高階聲場傳感器的每一階輸出看作是一個獨立陣元的輸出信號，從而可以將陣列的每一時刻的各路輸出排列成一個矢量，稱為長矢量模型。該模型中N個高階聲場傳感器的輸出可等效為NNc個獨立陣元的輸出信號：

X=Ls+e′L

(7)

其中，s=[s1s2…sK]為聲源信號矩陣；e′L為聲壓傳感器的接收噪聲經(jīng)相位模態(tài)分解后按長矢量排列所得的噪聲矩陣；L=[l(θ1)l(θ2) …l(θK)]為高階聲場傳感器陣列導向向量矩陣，其中θ方向的導向向量為：

l(θ)=b(θ)?h(θ)∈CNNc×1

(8)

式中b(θ)為陣列的導向向量，可通過將陣元位置代入式(1)獲得。

陣列輸出的協(xié)方差矩陣為：

R=E[XXH]∈CNNc×NNc

(9)

以MUSIC算法作為超分辨方法應用于高階聲場傳感器陣列，該方法利用了信號和噪聲子空間之間的正交性，通過特征分解R=UΣUH求得R的子空間為U=[UsUn]，Σ是主對角線元素為特征值的對角矩陣。本文中假設目標數(shù)已知，根據(jù)目標數(shù)截去前K個較大特征值對應的特征向量，得到噪聲子空間Un，由此可得MUSIC算法的空間方位譜為：

(10)

最后通過譜峰搜索獲取目標方位。與高階聲場傳感器相比，矢量傳感器僅由一個聲壓傳感器和2個相互垂直的振速傳感器組成，其導向向量為：

v(θ)=[1 cosθsinθ]T

(11)

在二維平面各向同性噪聲場[15]中，各通道的歸一化噪聲互譜矩陣為ρn=diag(1,1/2,1/2)[16]。

在矢量傳感器陣列的長矢量模型[1]中，接收信號矩陣Xv為：

Xv=Lvs+ev

(12)

其中Lv=[lv(θ1)lv(θ2) …lv(θK)]為矢量傳感器陣列的導向向量矩陣；lv(θ)=b(θ)?v(θ)為θ方向的導向向量；ev(t)為噪聲矩陣。對矢量傳感器陣列，同樣可以應用MUSIC算法進行方位估計[2]。

與矢量傳感器相比，高階聲場傳感器的0階響應與矢量傳感器中聲壓傳感器的響應一致，1階響應的實部和虛部分別與單個振速傳感器的響應一致，兩種傳感器的信號結構存在一定相似之處。

3 數(shù)值仿真與分析

本節(jié)將對高階聲場傳感器陣列(高階陣)的方位估計性能進行仿真分析，并與矢量傳感器陣列(矢量陣)的性能進行比較，主要從對雙目標的分辨能力以及成功分辨情況下的均方根誤差展開，為了得到更客觀的結論，將從信噪比、快拍數(shù)、陣元數(shù)、目標的角度間隔等因素對陣列方位估計性能的影響進行仿真分析。

在仿真中均勻直線陣沿x軸按照陣元間距為半波長布放，假設每個陣元之間噪聲不相關。在二維平面中遠場存在2個等強度不相關的復高斯聲源，蒙特卡洛實驗次數(shù)為500。如果沒有特別指出，高階陣列和矢量陣列陣元個數(shù)均為6，快拍數(shù)為200，聲源分別位于50°和60°方向，信噪比定義為：

(13)

陣列成功分辨兩目標的判定標準為[17]：

(14)

在此基礎上，分辨概率為成功分辨的仿真次數(shù)與總次數(shù)的比值。均方根誤差定義為：

(15)

式中T′為統(tǒng)計實驗次數(shù)。

在仿真中，高階聲場傳感器的半徑滿足kR=1，高階陣列的階數(shù)表示陣列中高階聲場傳感器陣元的階數(shù)。當陣列的分辨概率較低時，成功分辨的仿真次數(shù)較少，此時樣本數(shù)較少的均方根誤差不足以反映統(tǒng)計特性，不再給出相應的結果。

圖3給出了不同陣列的分辨概率隨信噪比的變化情況，從中可以看出，在信噪比為-7～0 dB高階陣對2目標的分辨能力優(yōu)于矢量陣列，3階高階陣列的分辨概率最大，當信噪比為-4 dB時，2階高階陣的分辨概率較矢量陣列高出大于0.3，在信噪比在大于0 dB時，2種陣列的分辨能力基本一致。與之對應，圖4給出了相應信噪比下成功分辨的仿真所得目標方位估計值的均方根誤差，在低信噪比下矢量陣列的誤差大于高階陣列，階數(shù)較高的高階陣列誤差較小，隨著信噪比增大各陣列的誤差逐漸趨于一致。

圖3 不同陣列對2目標的分辨概率隨信噪比變化情況Fig.3 Detection probability of two targets versus SNR for different arrays

圖4 不同陣列成功分辨后方位估計結果的均方根誤差隨信噪比變化情況Fig.4 RMSE of DOAs versus SNR for different arrays in case of successful detection

圖5給出了在信噪比為0 dB時不同陣列對2目標的分辨概率隨快拍數(shù)變化情況。從中可以看出，在快拍數(shù)小于250的條件下，高階陣列較矢量陣列有更強的雙目標分辨能力，3階高階陣列較2階陣列有更強的分辨能力。圖6給出了相應快拍數(shù)下成功分辨的仿真所得方位估計值的均方根誤差，給定的快拍數(shù)下矢量陣列的誤差最大，越高階數(shù)的高階陣列誤差越小。

圖5 不同陣列對兩目標的分辨概率隨快拍數(shù)變化情況Fig.5 Detection probability of two targets versus the number of snapshots for different arrays

圖6 不同陣列成功分辨后方位估計結果的均方根誤差隨快拍數(shù)變化情況Fig.6 RMSE of DOAs versus the number of snapshots for different arrays in case of successful detection

圖7給出了信噪比為0 dB時不同陣列對2個目標的分辨概率隨陣元數(shù)變化情況，陣元間隔均為半波長，從圖中可以看出，對于6～8個陣元的均勻直線陣，高階陣列比矢量陣列有更高的分辨概率。圖8給出了相應陣元數(shù)下陣列成功分辨的仿真所得目標方位估計值的均方根誤差，高階陣列較矢量陣列具有更小的估計誤差，給定仿真條件下陣元個數(shù)越少其優(yōu)勢越明顯，當陣元數(shù)增多到11個時，各陣列的分辨概率趨近于1，估計誤差趨近于0。整體來看，3階高階陣列的方位估計性能最優(yōu)，矢量陣列稍差。

圖7 不同陣列對2目標的分辨概率隨陣元數(shù)變化情況Fig.7 Detection probability of two targets versus the element number for different arrays

圖8 不同陣列成功分辨后方位估計結果的均方根誤差隨陣元數(shù)變化情況Fig.8 RMSE of DOAs versus the element number for different arrays in case of successful detection

圖9給出了信噪比為0 dB時不同陣列對2個目標的分辨概率隨目標間隔變化情況，仿真中目標1位于80°方向，目標2則在84°～94°變換。從中可以看出，在角度間隔為6°～8°，高階陣的分辨概率高于矢量陣列，在7°時2階高階陣列的分辨概率高出矢量陣列大于0.3。從圖10不同陣列成功分辨后方位估計結果的均方根誤差隨目標間隔變化情況可以看出，給定仿真條件下高階陣列的誤差始終小于矢量陣列，隨著目標間隔的增大，2階高階陣列與矢量陣列估計誤差之間的差距逐漸減小。在間隔相對較小的情況下，階數(shù)越高的高階陣列方位估計性能越好，較矢量陣列存在一定優(yōu)勢。

圖9 不同陣列對2目標的分辨概率隨目標間隔變化情況Fig.9 Detection probability of two targets versus the azimuth angle between them for different arrays

圖10 不同陣列成功分辨后方位估計結果的均方根誤差隨目標間隔變化情況Fig.10 RMSE of DOAs versus the azimuth angle between two targets for different arrays in case of successful detection

綜合以上仿真結果可以發(fā)現(xiàn)，在低信噪比、少快拍、小陣元數(shù)、小目標間隔的仿真中，高階聲場傳感器陣列與矢量傳感器陣列相比，均展現(xiàn)出了一定的方位估計性能優(yōu)勢。

4 結論

1)物理結構較為簡單，而且可以通過增加聲壓傳感器的數(shù)目來獲取更高階的信號。

2)在長矢量模型中以MUSIC算法為例，在信噪比低、快拍數(shù)少、陣元數(shù)少、目標間隔小的條件下，高階聲場傳感器陣列對多目標具有更好的分辨能力和更小的均方根誤差。

后續(xù)研究將把二維空間中高階聲場傳感器陣列的處理方法推廣至三維空間中的球面高階聲場傳感器，并對高階聲場傳感器陣列的優(yōu)化方法展開研究。