吳志海 周鋒 涂宇 楊馮斌

摘 要：本文通過研究城市軌道交通票價(jià)制定的理論基礎(chǔ)，采用了雙層規(guī)劃模型，為長沙市軌道交通2號線的票價(jià)制定給出相應(yīng)的對策。

關(guān)鍵詞：城市軌道交通;票價(jià);雙層規(guī)劃模型;軌道交通2號線

中圖分類號：F570.5;U293 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

0 引言

隨著我國社會的快速發(fā)展，軌道交通也隨之發(fā)展，但其票價(jià)的制定還不夠完善，合理制定票價(jià)成為了軌道交通發(fā)展的關(guān)鍵。因而，根據(jù)國內(nèi)外票價(jià)制定的經(jīng)驗(yàn)，重新制定票價(jià)系統(tǒng)對我國城市軌道交通的健康發(fā)展具有重要意義。

1 背景

票價(jià)的制訂不僅僅要研究經(jīng)濟(jì)效益，也要研究社會效益，同時(shí)也要考慮企業(yè)的虧損情況，還要考慮居民出行的經(jīng)濟(jì)承受能力，所以需要對票價(jià)制定的相關(guān)問題進(jìn)行探討。

2 城市軌道交通票價(jià)制定的理論基礎(chǔ)

一般常用的票價(jià)制定模型有平均成本定價(jià)模型，見式（1）和邊際成本定價(jià)模型，見式（2）。

式中，為運(yùn)價(jià)，VC為可變金額，r為利潤，TFC為總金額，Q為交通量。

式中，R為收入， q為交通量， R是q的函數(shù)。

3 基于雙層規(guī)劃模型的軌道交通票價(jià)制定方法研究

（1）雙層規(guī)劃模型。本文以居民的利益和企業(yè)的利益作為約束，采用雙層規(guī)劃模型來解決問題。

雙層規(guī)劃模型，如下：

其中y=y（x），由下面的公式求得：

其中

（2）城市軌道交通票價(jià)的雙層規(guī)劃模型。本文主要采用logit模型。logit模型是世界上應(yīng)用最普遍的模型，它也是最早使用的離散選擇模型。

P為從地點(diǎn)i到地點(diǎn)j、交通方式為r的分擔(dān)率;為待定系數(shù);從地點(diǎn)i到地點(diǎn)j，出行方式為r的交通阻抗;從地點(diǎn)i到地點(diǎn)j、出行方式為k的交通阻抗。

（3）雙層規(guī)劃模型的建立。成本的收益主要受兩個(gè)方面的要素，為票價(jià)和交通量，分別用和表示，交通量和價(jià)格收益之間的關(guān)系如下：

其中，下標(biāo)r為出行形式。

在客流總量Q保持穩(wěn)定的情況下，交通量跟價(jià)格的函數(shù)關(guān)系成反比。軌道交通票價(jià)收益的表達(dá)方式如下：

為出行方式，k從節(jié)點(diǎn)i到j(luò)的票價(jià);為與出行方式k相干的特征參數(shù);表示出行方式k的服務(wù)水平特征;k表示出行方式r的競爭方式。

根據(jù)上面的分析，我們采用的雙層規(guī)劃模型如下：

1）上層規(guī)劃。我們建立的上層規(guī)劃模型用下面的公式表示：

為最低價(jià)格：為最高價(jià)格：為從節(jié)點(diǎn)i到j(luò)的客流量。

2）下層規(guī)劃。我們采用隨機(jī)用戶分配模型，通過分析為下面的公式表示：

式中，為以各路段實(shí)際阻抗為條件的感知阻抗的數(shù)學(xué)期值望;為（r，s）間多條路線的實(shí)際阻抗的向量，為（r，s）間第k條線路的感知阻抗;為以節(jié)點(diǎn)i到j(luò)之間的流量為自變量的阻抗函數(shù);為路段a上的客流量;為r到s的OD間的第k條路線上的流量;為r到s之間的OD交通量;為路段-徑路相關(guān)變量。

（4）模型的求解。一般采用靈敏度分析法進(jìn)行求解。考慮到票價(jià)這一擾動參數(shù)C，下面這個(gè)變分不等式來體現(xiàn)用戶平衡分配模型：

式中，為模型的均衡解，所以。

通過上面的變式，我們假設(shè)變分不等式（17）在C=C（0）時(shí)的解已知，而且這個(gè)解只有一個(gè)，那么當(dāng)C=C（0）時(shí)，雙層規(guī)劃問題的解的必要條件就成為：

式中，為均衡模型巾約束的拉格朗日乘子向量。

設(shè)，上面兩個(gè)式子對于y（C）的雅克比矩陣這里我們用J，（C）來表示，上面兩個(gè)式子對于C的雅克比矩陣這里我們用來表示，這樣就能得到如下結(jié)論：

假設(shè)是開始的價(jià)格，處于i和j之間，假設(shè)出行方式的價(jià)格都不發(fā)生變化，求解得到i和j之間的客流量。客流量求出之后，按照泰勒展開式近似的體現(xiàn)如下：

將這個(gè)公式代入上層規(guī)劃式子里，得到上層的最優(yōu)解，再根據(jù)上層最優(yōu)解來解決下層的問題，得到一個(gè)新的解，迭代計(jì)算，就可以得到一個(gè)近似函數(shù)，最后可以得到最開始的雙層規(guī)劃模型的最優(yōu)解。

依照上述分析，形成了以下算法：

第一步：初始化。給出價(jià)格的第一個(gè)值，設(shè)定精度值的大小，找到客流量Q的大小，取p=1。

第二步：在已知的條件下，代入到下層公式中，這樣就可以得到一個(gè)均衡解。

第三步：運(yùn)用靈敏度分析法找出反應(yīng)函數(shù)的近似表達(dá)式。

第四步：求解上層規(guī)劃問題，求解出一組新的出行方式的價(jià)格。

第五步：迭代計(jì)算，h表現(xiàn)迭代步長。

第六步：收斂辨別。當(dāng)時(shí)，則可停止反復(fù)計(jì)算，否則置p=p+1，繼續(xù)反復(fù)計(jì)算。

4 長沙市軌道交通2號線的票價(jià)制定研究

（1）軌道交通2號線的概況。長沙市軌道交通2號線從梅溪湖西站出發(fā)，終點(diǎn)為光達(dá)站，共有23站。調(diào)研了2號線的車站名稱，每站間距，每站站位。

（2）軌道交通2號線的客流量預(yù)測。根據(jù)長沙市2015—2019年高峰小時(shí)客流量進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，采用一元線性回歸法，利用SPSS軟件分析，預(yù)測得到2026年2號線頂峰小時(shí)的交通量。

（3）軌道交通2號線的票價(jià)制定。依據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)，設(shè)定參數(shù)值如下;軌道交通2號線的最高速度是85公里/時(shí)，均勻速度是30～35公里/時(shí)，得出各站點(diǎn)間的乘車時(shí)間。

設(shè)定地鐵2號線票價(jià)的初始值2元、3元、4元、5元、6元、7元和8元，參照前面得到的模型，運(yùn)用靈敏度分析法，通過反復(fù)計(jì)算發(fā)現(xiàn)：依次采取不同的初始票價(jià)，得到的迭代出的票價(jià)都是接近4元或者等于4元，所以長沙市軌道交通2號線的價(jià)格可以參考4元訂價(jià)。

5 總結(jié)

通過對長沙市軌道交通2號線的調(diào)研，通過客流量現(xiàn)狀，預(yù)測未來年的客流量，按照雙層規(guī)劃模型，聯(lián)合相關(guān)參數(shù)，得出長沙市軌道交通2號線的票價(jià)。

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