【摘要】五年級(jí)開啟數(shù)論的學(xué)習(xí)，學(xué)生再認(rèn)識(shí)“整數(shù)”，是從抽象的概念的學(xué)習(xí)入手，通過對(duì)概念的學(xué)習(xí)來提升學(xué)生的抽象邏輯思維、發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。筆者通過對(duì)《2、5倍數(shù)特征》一課的探索與實(shí)踐，依托于對(duì)游戲人數(shù)的探討為貫穿整節(jié)課的線索，結(jié)合乘法拆數(shù)、直觀點(diǎn)子圖等多種方法來引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)數(shù)的內(nèi)部特征。并借助對(duì)多種方法的溝通和比較，嘗試變概念學(xué)習(xí)的單調(diào)被動(dòng)為主動(dòng)建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、滲透推理等邏輯思維方法，“概念學(xué)習(xí)”、“規(guī)律探索”、“方法溝通”，三位一體的統(tǒng)一，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。并在探索課堂教學(xué)設(shè)計(jì)改進(jìn)的同時(shí)，提出教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】因數(shù);倍數(shù);內(nèi)部結(jié)構(gòu)

一、問題提出

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)啟蒙，大多從識(shí)數(shù)、計(jì)數(shù)開始，縱觀國(guó)內(nèi)各版本教材設(shè)計(jì)，均在五年級(jí)鄭重安排了整數(shù)的一系列概念的學(xué)習(xí)。那么，在小學(xué)五年級(jí)，學(xué)生的抽象思維開始發(fā)展的階段，再次學(xué)習(xí)整數(shù)，學(xué)習(xí)數(shù)與數(shù)之間因數(shù)倍數(shù)關(guān)系，學(xué)習(xí)整數(shù)的各種特征以及分類（奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等），意義和價(jià)值為何呢？對(duì)學(xué)生的數(shù)理邏輯思維發(fā)展、數(shù)感的提升等的教育意義何在呢？

自古以來，人們研究的對(duì)象只是整數(shù)的個(gè)別特征，至于它的更加內(nèi)在的本性，則看作是理所當(dāng)然的事情，不予追究。通過實(shí)踐與探索，筆者認(rèn)為，本單元的學(xué)習(xí)，在探索整數(shù)的各種概念、特征的過程中，不但可以給予學(xué)生思考和探索整數(shù)數(shù)學(xué)問題的新的思維方法和視角，更可以通過一系列的學(xué)習(xí)內(nèi)容，以“走進(jìn)數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)”為學(xué)習(xí)支架，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的概念、規(guī)律、方法三位一體的統(tǒng)一，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。

因數(shù)、倍數(shù)這兩個(gè)概念的學(xué)習(xí)，是在學(xué)生對(duì)數(shù)有一定認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步對(duì)數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系展開研究。通過比較不同版本教材，筆者發(fā)現(xiàn)，在這一單元內(nèi)容安排上，不同版本教材的結(jié)構(gòu)相似，但正是因數(shù)、倍數(shù)的引出視角的不同，直接影響整個(gè)單元的學(xué)習(xí)基調(diào)有所不同。

既有從除法角度定義因數(shù)、倍數(shù)，也有乘法角度來下定義，其中，北師大版教材在設(shè)計(jì)因數(shù)、倍數(shù)的內(nèi)容上，認(rèn)識(shí)的角度、工具更豐富，呈現(xiàn)了乘法算式結(jié)構(gòu)來強(qiáng)調(diào)乘法思考方向的重要，并在開篇應(yīng)用點(diǎn)子圖擺方陣的方式來呈現(xiàn)一個(gè)抽象的數(shù)的具體形象。百數(shù)表是各個(gè)版本的教材中都通用的工具，且多個(gè)版本教材都通過學(xué)習(xí)2、5倍數(shù)的特征來引出因數(shù)、倍數(shù)的概念。值得一提的是，在進(jìn)行2、5倍數(shù)特的設(shè)計(jì)上，北師大版教材不僅推出百數(shù)表這個(gè)研究工具，更強(qiáng)調(diào)使用乘法來解構(gòu)一個(gè)數(shù)，即拆數(shù)的視角，突出強(qiáng)調(diào)了對(duì)數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)的分析和解構(gòu)，從而從豐富的視角來體會(huì)數(shù)與數(shù)之間的因數(shù)、倍數(shù)關(guān)系，建立數(shù)之間的聯(lián)系。

二、推進(jìn)教學(xué)、發(fā)展學(xué)生的數(shù)感的策略

基于以上的思考和分析，筆者認(rèn)為，2、5倍數(shù)特征的學(xué)習(xí)，是拉開整個(gè)數(shù)論領(lǐng)域?qū)W習(xí)序幕、并產(chǎn)生觀察新視角和思維新方法的關(guān)鍵，可以將2的倍數(shù)為主要研究和探索內(nèi)容設(shè)計(jì)為一課時(shí)，充分從多角度發(fā)現(xiàn)2的倍數(shù)的特征，并比較不同方法的優(yōu)勢(shì)和特點(diǎn)，5的倍數(shù)的特征可順勢(shì)遷移，融合到復(fù)習(xí)內(nèi)容中。由此，筆者認(rèn)為，可以通過以下幾個(gè)策略來開展2的倍數(shù)特征的教學(xué)、發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，提升學(xué)生的抽象邏輯思維。

1.依托于游戲情境、以感性材料為基礎(chǔ)，展開趣味盎然的探索活動(dòng)。

五年級(jí)學(xué)生的思維水平處于過渡階段，概念性知識(shí)的學(xué)習(xí)仍需要豐富可感的素材作支撐，游戲和情境的引入，可以對(duì)接生活中的真實(shí)經(jīng)驗(yàn)，以激活學(xué)生創(chuàng)造性思維;其實(shí)，對(duì)于2的倍數(shù)，生活中是有各種各樣的原型和應(yīng)用的，滲透于日常生活的點(diǎn)滴之中，理解起來并不困難，例如對(duì)單雙號(hào)的理解、紙巾包裝等，但與孩子的生活最為密切、且最有興趣且符合其天性的，應(yīng)該是游戲活動(dòng)，所以“兩人三足”這樣好玩又具有典型模型特征的游戲，可以支持課堂的主要環(huán)節(jié)推進(jìn)，圍繞參加游戲的人數(shù)問題，來設(shè)計(jì)活動(dòng)：

環(huán)節(jié)（1）思考是否能夠全部參加——判斷是否為2的倍數(shù)，

環(huán)節(jié)（2）不能參加怎么辦？——感受數(shù)的奇偶性;學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)可以加上一個(gè)人、也可以減去一個(gè)人，還可以減去或加上一組加一人、多組加一人……總之，就是可以加上或減去奇數(shù)，單個(gè)的點(diǎn)子（人）就會(huì)消失，留下的都是整組——2的倍數(shù)、偶數(shù)，所以奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，同理，偶數(shù)±偶數(shù)一定是偶數(shù)，點(diǎn)子圖可以支撐學(xué)生說理，并能夠在頭腦中直觀成像。

環(huán)節(jié)（3）就讓45個(gè)人參加，可以怎樣調(diào)整規(guī)則——體會(huì)45的全部因數(shù)，三人四足、五人六足、15人16足、45人46足……即45也是這些書的因數(shù)，因?yàn)槟懿鸪桑?5=3×3×5，所以3、5、9、15、45都是45的因數(shù)。

通過對(duì)玩“兩人三足”游戲的討論，學(xué)生們聚焦于參加游戲的總?cè)藬?shù)的問題。由生活常識(shí)和零散的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蚺袛喑?，全?5人玩游戲是否有剩余?？此迫粘Ｇ液?jiǎn)單的問題，該如何解釋呢？及時(shí)地反思，讓學(xué)生開始從數(shù)學(xué)化的角度重新審視2的倍數(shù)的特征。借助點(diǎn)子圖圈點(diǎn)、百數(shù)表圈數(shù)，再結(jié)合拆數(shù)（45=3×3×15）方法，發(fā)現(xiàn)倍數(shù)個(gè)位數(shù)字特征的同時(shí)，直觀感悟若干個(gè)2的累加，由此走進(jìn)了數(shù)字內(nèi)部的結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、方法的統(tǒng)一。在后續(xù)繼續(xù)針對(duì)45人的討論中，針對(duì)“不能全部參加怎么辦”、“修改規(guī)則”等活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行反思和創(chuàng)造性嘗試，而點(diǎn)子圖不但成為學(xué)生說理的重要工具，還輔助學(xué)生進(jìn)行了奇偶性的推理，體會(huì)了自然規(guī)律中的必然性，將思維推向深處，并為后續(xù)5、3的倍數(shù)的學(xué)習(xí)進(jìn)行了鋪墊。

兩人三足游戲的情境引入，以及圍繞游戲人數(shù)的幾個(gè)問題的解決，既有趣又能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思考。五年級(jí)學(xué)生的心理發(fā)展，正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，已經(jīng)具有初步的抽象概括能力，但仍需要一定的感性材料和已有的經(jīng)驗(yàn)作支撐，從而對(duì)所學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行抽象概括、對(duì)概念進(jìn)行定義。而任何抽象化或形式化皆無助于學(xué)生抽象概括能力的培養(yǎng)，需要有這樣的富有趣味且典型的材料為依托，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的同時(shí)，促進(jìn)反思深度思考、激活創(chuàng)造性思維。

2.多樣化的探索工具、多角度的研究方法，可貫穿與整個(gè)單元的學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、方法的統(tǒng)一。

因數(shù)與倍數(shù)單元概念多、知識(shí)抽象，是在前期整數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之上，從數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系、數(shù)的特征等角度來進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)的。

應(yīng)用乘法來定義因數(shù)倍數(shù)，并將乘法的理解方式貫穿整個(gè)單元的研究始終，通過將一個(gè)數(shù)拆數(shù)——拆成若干個(gè)數(shù)相乘的形式（拆樹根、分解質(zhì)因數(shù)）來理解和體會(huì)、判斷：一個(gè)數(shù)能拆出的所有因數(shù)、以及這些因數(shù)的乘積組合的結(jié)果，都是這個(gè)數(shù)的因數(shù)，這也是支撐學(xué)生學(xué)習(xí)本單元概念性知識(shí)的最本質(zhì)的方法。

點(diǎn)子圖可將抽象的數(shù)直觀呈現(xiàn)出內(nèi)部的結(jié)構(gòu)，便于操作中體會(huì)倍數(shù)的特征，感受是否有余、以及余數(shù)特點(diǎn)，并可以在進(jìn)行奇偶性的推理過程中，使用點(diǎn)子圖進(jìn)行說理，將幾何直覺理性化。畢達(dá)哥拉斯：唯有通過數(shù)和形，才能把握宇宙的本性。人在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，是對(duì)幾何直觀有直覺依賴的，依托于單元整體架構(gòu)的背景，將點(diǎn)子圖作為本單元的直觀支撐工具，在第一課建立數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系之后，進(jìn)一步走進(jìn)數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

百數(shù)表是搭建數(shù)與數(shù)之間聯(lián)系的關(guān)鍵工具，區(qū)別于之前對(duì)數(shù)的孤立的、片面的認(rèn)識(shí)，經(jīng)過本單元的學(xué)習(xí)，將數(shù)與數(shù)之間、一個(gè)數(shù)與其他更多數(shù)之間建立了聯(lián)系，百數(shù)表將自然數(shù)列直觀呈現(xiàn)，便于在學(xué)習(xí)抽象的概念的過程中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、感悟特征，簡(jiǎn)單且直接。

課堂實(shí)踐過程中，在對(duì)游戲人數(shù)的討論時(shí)，給學(xué)生提供了多樣的研究工具——百數(shù)表和點(diǎn)子圖，并溝通了除法、乘法的研究方法，呈現(xiàn)了不同的思考角度。百數(shù)表中的位置規(guī)律，凸顯了2的倍數(shù)的外在特征，2的倍數(shù)特征的本質(zhì)，并且時(shí)研究倍數(shù)的最基本的方法，直觀的點(diǎn)子圖可以通過序列、形狀等多種方法來呈現(xiàn)抽象的數(shù)，使數(shù)變得直觀且可操作，并支撐學(xué)生進(jìn)行奇偶性的推理、猜測(cè)等思維活動(dòng);乘法拆數(shù)直觀呈現(xiàn)了數(shù)的內(nèi)部構(gòu)成，除法的反推作用也可以通過計(jì)算和是否有余數(shù)來進(jìn)行判斷。這些直觀工具和數(shù)學(xué)方法，可以應(yīng)用并支撐整個(gè)單元的學(xué)習(xí)，無論是對(duì)某個(gè)數(shù)的倍數(shù)研究，抑或是尋找一個(gè)數(shù)的因數(shù)，判斷是否為質(zhì)數(shù)或合數(shù)，或研究?jī)蓚€(gè)數(shù)之間的關(guān)系等。并且，在學(xué)生在探索數(shù)的規(guī)律的活動(dòng)中，多種工具和方法溝通，撬動(dòng)了的思維，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維能力，提升學(xué)生數(shù)感的同時(shí)，使粗糙常識(shí)和日常經(jīng)驗(yàn)，在豐富和明確的基礎(chǔ)之上，結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化、邏輯化，形成邏輯鏈條，并由學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)為自身的數(shù)學(xué)知識(shí)。

3.經(jīng)歷精細(xì)的數(shù)學(xué)化，溝通內(nèi)在聯(lián)系，使知識(shí)結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化、邏輯化，發(fā)展抽象思維水平

數(shù)的學(xué)習(xí)和理解，離不開從數(shù)量和關(guān)系中抽象，五年級(jí)的學(xué)生，已經(jīng)逐漸開始了對(duì)事物的本質(zhì)特征或?qū)傩砸约笆挛锏膬?nèi)部聯(lián)系和關(guān)系進(jìn)行抽象概括的學(xué)習(xí)，且學(xué)生在日常生活中，積累不少“2的倍數(shù)”相關(guān)的常識(shí)和粗糙的經(jīng)驗(yàn)，正需要經(jīng)歷精細(xì)的數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)過程，澄清誤區(qū)、明確概念，使使零散的數(shù)學(xué)知識(shí)用邏輯的鏈條串聯(lián)起來，形成完整的知識(shí)體系，形成邏輯關(guān)系結(jié)構(gòu)，來提升抽象邏輯思維水平，同時(shí)發(fā)展數(shù)感。

從課前的調(diào)研能夠看出，當(dāng)問學(xué)生，“你知道哪些數(shù)是2的倍數(shù)？”100%的學(xué)生都認(rèn)為自己知道什么是2的倍數(shù)，并且有近三分之一的學(xué)生寫出：“2的倍數(shù)就是雙數(shù)”、“偶數(shù)就是2的倍數(shù)”、2、4、6、8等雙數(shù)……類似這樣的結(jié)構(gòu)性的語言。但是，已有的生活經(jīng)驗(yàn)是不是就代表學(xué)生對(duì)2的倍數(shù)特征的認(rèn)識(shí)很全面呢？有沒有浮于表面、不深刻的地方呢？是否能夠?qū)σ粋€(gè)數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)有意識(shí)地進(jìn)行分析呢？

再次對(duì)學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，“怎么判斷一個(gè)數(shù)是不是2的倍數(shù)？”筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于抽象的概念的認(rèn)識(shí)，是由誤區(qū)和局限的：學(xué)生更多是習(xí)慣性從除法（是否能整除）的角度來判斷，雖然第一節(jié)課因數(shù)、倍數(shù)的學(xué)習(xí)中，下定義時(shí)呈現(xiàn)的是乘法關(guān)系，但反向判斷是不是一個(gè)數(shù)的因數(shù)時(shí)，學(xué)生更習(xí)慣利用口算的除法來尋找其成對(duì)的另一個(gè)因數(shù)，自然更傾向于選擇除法且沒有余數(shù)來表達(dá)自己對(duì)2的倍數(shù)的看法，這樣的認(rèn)識(shí)是有局限的;并且，在學(xué)生的表達(dá)中，循環(huán)論證的表達(dá)方式非常多：偶數(shù)是2的倍數(shù)、奇數(shù)不是2的倍數(shù)……，占比44.4%，這當(dāng)然更多源于生活中的日常經(jīng)驗(yàn)。生活中雖然應(yīng)用多但不夠數(shù)學(xué)化，經(jīng)驗(yàn)要想上升為知識(shí)，并能夠進(jìn)行辨析，就特別需要在課堂中通過許多可操作性、有思考空間的活動(dòng)，來進(jìn)行比較精細(xì)、明確的甄別，實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的抽象概括。

基于此，筆者認(rèn)為，教師在課堂實(shí)踐中需要注意以下四個(gè)方面：

（1）通過對(duì)全班能夠全部參加兩人三足游戲活動(dòng)的問題的探討，依托于點(diǎn)子圖、百數(shù)表、乘法、除法等多種工具，多方法、多角度的探索和感受2的倍數(shù)的特征。

（2）借助乘法的拆數(shù)，體會(huì)偶數(shù)和奇數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不同，感受因數(shù)、倍數(shù)關(guān)系建立的最本質(zhì)的核心——數(shù)的內(nèi)部構(gòu)成，從而走進(jìn)數(shù)的內(nèi)部世界，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。

（3）在接連解決游戲中有關(guān)人數(shù)的真實(shí)問題的過程中，進(jìn)行不同方法之間的溝通，從而體會(huì)2的倍數(shù)的特征、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)概念，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。

（4）在連續(xù)不斷的解決人數(shù)問題的思考中，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性、挑戰(zhàn)性，變枯燥的概念學(xué)習(xí)為好玩有趣的游戲探索，甄別了生活經(jīng)驗(yàn)的誤區(qū)和認(rèn)識(shí)上膚淺，并能應(yīng)用所學(xué)進(jìn)行推理和辨析。

結(jié)語：尼寇馬克曾說：“自然依據(jù)精巧的藍(lán)圖所安排的萬物，不論是單獨(dú)的還是整體的，都像是被按照數(shù)來創(chuàng)造一切的先知和理性所挑選出來并排列成序的，它們只由心靈來領(lǐng)會(huì)，因而是完全無形的;但是是真實(shí)的;的確，是真正真實(shí)的，永恒的。”[1]

“數(shù)”由于其應(yīng)用的日常，其中的概念而更容易被理解，也更容易有誤區(qū)。整數(shù)的一系列概念的學(xué)習(xí)和理解，離不開從數(shù)量關(guān)系中抽象概括的過程，但五年級(jí)學(xué)生的抽象概括水平還不高，需要依托于直觀工具的支撐。

筆者通過同時(shí)兼顧趣味性和類似結(jié)構(gòu)性的兩人三足游戲的討論，結(jié)合乘法拆數(shù)、直觀點(diǎn)子圖等解構(gòu)數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，走進(jìn)數(shù)的內(nèi)部特征，并將多種方法進(jìn)行溝通、比較;在接連解決趣味橫生又挑戰(zhàn)滿滿的游戲中人數(shù)的問題中，變概念學(xué)習(xí)的單調(diào)被動(dòng)為有激情和主動(dòng)建構(gòu)，從而澄清誤區(qū)、豐富學(xué)習(xí)視角，在探索數(shù)的規(guī)律的活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、滲透推理等邏輯思維方法;并由本課的學(xué)習(xí)奠定了整個(gè)單元的豐富方法、多角度思考的學(xué)習(xí)基調(diào)，激發(fā)了學(xué)生對(duì)其他整數(shù)的特征產(chǎn)生探索的興趣，從而實(shí)現(xiàn)了概念學(xué)習(xí)、規(guī)律探索、方法溝通的三位一體的統(tǒng)一，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。

參考文獻(xiàn)：

[1]（美）T.丹齊克著，蘇仲湘（譯）.數(shù)：科學(xué)的語言[M].上海教育出版社.2002年12月.p35-36.

作者簡(jiǎn)介：汪丹（1981.12.26），女，漢族，北京市人，北京市海淀區(qū)翠微小學(xué)，研究生學(xué)歷，小學(xué)高級(jí)教師，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。