邵廣盛，劉志杰，余秋雨，游善平

(1. 貴州師范大學(xué)貴州省信息與計算科學(xué)重點(diǎn)實驗室，貴州 貴陽 550001；2. 四川大學(xué)網(wǎng)絡(luò)空間安全學(xué)院，四川 成都 610207)

2016年，用于脈沖星觀測研究的500 m口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡(Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope, FAST)在貴州平塘落成，我國實現(xiàn)了依靠國內(nèi)設(shè)備發(fā)現(xiàn)脈沖星的零的突破。脈沖星是宇宙中一類奇妙的天體，是驗證強(qiáng)引力場、強(qiáng)磁場和高密度等極端環(huán)境下物理規(guī)律的天然實驗室[1]。作為脈沖星研究的利器，500 m口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡采用19波束接收機(jī)每天8 h對天區(qū)進(jìn)行大規(guī)模巡天，搜尋并接收脈沖星發(fā)出的電磁波信號，依據(jù)電磁脈沖信號確定天區(qū)中是否存在脈沖星。眾所周知，脈沖星距地球約3 000～ 55 000光年，脈沖星發(fā)出的信號到達(dá)地球且成功被專用儀器接收的信號能量十分微弱，整個脈沖信號淹沒在極強(qiáng)的噪聲中[2-3]。因此，去噪在脈沖星信號的檢測和發(fā)現(xiàn)中至關(guān)重要。

小波變換作為一種多分辨分析方法能夠同時在時域和頻域?qū)π盘栠M(jìn)行分析，由于具有時域局部化和多分辨特性而稱為數(shù)學(xué)顯微鏡，非常適合處理非平穩(wěn)信號[4]。脈沖星信號是一種典型的非平穩(wěn)信號，文[5]把小波分析應(yīng)用于脈沖星信號去噪,認(rèn)為小波分析可以更好地對非平穩(wěn)信號進(jìn)行消噪處理，因而小波變換替代了傳統(tǒng)的傅里葉變換，在脈沖星信號處理方面大顯身手。此后研究者對小波變換去除脈沖星信號噪聲進(jìn)行了大量的研究，文[6]探索了極大極小原理、史坦(Stein)無偏似然原理的脈沖星降噪方法；文[7]嘗試改進(jìn)閾值函數(shù)以提高脈沖星信號去噪效果，提出了軟硬折中閾值函數(shù)、指數(shù)型閾值函數(shù)處理脈沖星小波分解系數(shù)，獲得了較好的效果。

小波變換既能有效去除信號的噪聲，又能較好地保持原有信號的數(shù)據(jù)，是信號處理的理想工具。但小波變換主要針對低頻信息的提取和分析，經(jīng)常忽略高頻信息，這對整個信號分析的精確度產(chǎn)生較大的影響。小波變換去噪是在小波函數(shù)中選擇一種合適的信號處理基函數(shù)，利用基函數(shù)進(jìn)行小波分解，根據(jù)不同閾值函數(shù)的處理結(jié)果對信號進(jìn)行重構(gòu)，從而實現(xiàn)小波變換去噪。小波變換去噪因基函數(shù)和閾值函數(shù)的不同而表現(xiàn)出不同的去噪效果，去噪效果有一定的隨機(jī)性[8]。

隨著小波理論的完善，小波包分析得到了進(jìn)一步的發(fā)展。小波包分析是小波分解的一般化，具有更強(qiáng)的去噪能力，既能像小波分析一樣對信號的低頻部分進(jìn)行分解，也能夠?qū)π盘柕母哳l部分進(jìn)行分解，更好地提取各頻段的有用信息。小波包去噪方法應(yīng)用在圖像、地震、心電、海波等信號領(lǐng)域，文[9]嘗試將小波包濾波方法與X射線脈沖星噪聲濾除相結(jié)合，但沒有對小波包去噪進(jìn)行系統(tǒng)的分析。本文提出將小波包閾值法應(yīng)用于脈沖星信號去噪，系統(tǒng)分析各種閾值函數(shù)的去噪效果。實驗結(jié)果顯示，小波包閾值法與傳統(tǒng)的小波變換法相比，脈沖星信號的去噪效果得到了明顯的提高，為脈沖星信號去噪提供了一些思路。

1 小波變換與小波包變換

1.1 小波變換方法

觀測信號可以看作為f(t)，滿足

f(t)=s(t)+n(t)，

(1)

其中，f(t)為接收的原始信號，即含噪信號；s(t)為需要提取的去噪后的信號；n(t)為方差為σ2的噪聲，服從n(0,σ2)分布。一維含噪信號f(t)按照小波級數(shù)展開可以得到n個由多分辨分析理論得出的線性組合，具體的小波變換為

(2)

其中，Wf(ψj,k)為從信號變換的線性空間L2(R)中提取的小波基ψj,k的離散小波變換；ψ(2jn-k)為小波基函數(shù)ψj,k離散化處理后得到的函數(shù)。觀測信號的小波變換系數(shù)由(2)式確定。

1.2 小波包變換方法

小波包變換是小波變換的拓展，具備小波變換處理觀測信號低頻部分的能力，同時能夠較好地分解高頻部分，收集觀測信號各個頻段的有用信息，進(jìn)而提高去噪精度。具體的小波包變換公式為

(3)

其中，φ(x)和ψ(x)分別為信號在L2(R)上多分辨分析中的尺度函數(shù)和小波函數(shù)；hn和gn為濾波器系數(shù)，滿足

(4)

(5)

gn=(-1)2hn-1.

(6)

2 小波包閾值去噪法

2.1 小波包分解與重構(gòu)

小波包理論中的小波包變換具有分解與重組的性質(zhì)[10]。小波包分解算法的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(7)

(8)

(9)

其中，w為信號經(jīng)過小波包分解后得到的分解系數(shù)；h和g為小波包分解的濾波器系數(shù)；j和n為小波包分解中各分解節(jié)點(diǎn)的編號；l和k為信號進(jìn)行小波包分解所在的分解層數(shù)。

2.2 最優(yōu)小波包基的確定

小波包分析處理觀測信號時，首先對信號進(jìn)行小波包分解。小波包分解與小波分解有所不同，小波包分解是按照二叉樹的形式，信號的低頻和高頻部分都進(jìn)行相應(yīng)的完全二叉樹形式的分解。信號分解的層數(shù)直接影響信號的去噪效果，處理的信號在逐層分解過程中必須確定一個最優(yōu)分解層數(shù)。分解層次過低造成頻段中混合有用信號，分解層次過高導(dǎo)致結(jié)果有誤差[11]。在小波分析去噪過程中，分解層數(shù)過多造成信號信息量的丟失，從而導(dǎo)致信噪比下降，影響最終的去噪效果。在小波分析的實際應(yīng)用中，分解層數(shù)一般取3～5[12]，本文取5進(jìn)行對比分析。

小波包變換中存在多種小波構(gòu)成的基底庫，因此需要根據(jù)信號的特性，結(jié)合代價函數(shù)的評價標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行選擇。選擇小波函數(shù)時需要充分考慮脈沖信號的特點(diǎn)，選擇能夠滿足給定區(qū)間的緊支性和足夠的消失矩，以便能夠更加有效地去除噪聲，提取真正的目標(biāo)脈沖信號。為了選出符合脈沖星信號特點(diǎn)的小波基函數(shù)，本節(jié)選取Symlets, Coiflets, Daubechies和Biorthogonal系列小波以及Haar小波進(jìn)行比較分析。為了便于比較分析，本節(jié)統(tǒng)一采用固定閾值規(guī)則，利用不同的小波基進(jìn)行5層分解，分析結(jié)果如表1、表2、表3和表4。其中N表示小波階數(shù)；SymN, CoifN, DbN和BiorN分別表示Symlets, Coiflets, Daubechies和Biorthogonal系列小波。

表2 Sym N, Coif N和Db N系列小波基的脈沖星信號去噪后均方根誤差Table 2 The RMSE of Pulsar signal denoised by Sym N, Coif N and Db N series wavelet bases

表1 Sym N, Coif N和Db N系列小波基的脈沖星信號去噪后信噪比

從表1～表4統(tǒng)計的信噪比和均方根誤差可以看出，利用 SymN，CoifN，DbN，BiorN和Haar小波進(jìn)行脈沖星信號去噪整體上效果較好，其中，SymN小波的效果最好，CoifN小波次之，BiorN小波最差。此外，小波基階數(shù)不同，去噪效果也不同，就單個小波基而言，Sym5小波去噪效果最好。因此，本文選取近似對稱的緊支集正交小波Sym5作為小波基函數(shù)對脈沖信號進(jìn)行小波包分析，分解層數(shù)為5層，得到最優(yōu)小波包基，也就是小波包分解的最優(yōu)化樹。

2.3 閾值函數(shù)的選擇

利用小波包變換處理信號的過程中經(jīng)常出現(xiàn)翻轉(zhuǎn)現(xiàn)象，也就是在信號經(jīng)過高通濾波器時的一種頻率交疊現(xiàn)象，導(dǎo)致分解的小波包系數(shù)出現(xiàn)頻率大小順序錯位，即信號的低頻部分從小到大排列，信號的高頻部分則從大到小排列。因此，在進(jìn)行小波包閾值處理之前需要先對變換后的小波包系數(shù)進(jìn)行排序，再根據(jù)排序后的小波包系數(shù)選取對應(yīng)的信號處理閾值。

小波包分析常用的閾值選取準(zhǔn)則有4種，分別為固定形式(Sqtwolog)閾值準(zhǔn)則、自適應(yīng)(Rigrsure)閾值準(zhǔn)則、啟發(fā)式(Heursure)閾值準(zhǔn)則和極大極小值(Minimaxi)閾值準(zhǔn)則，本文采用固定形式閾值準(zhǔn)則對信號進(jìn)行處理。信號分解時，每層的系數(shù)選定閾值以后，需要確定對信號處理的閾值函數(shù)。常用的閾值函數(shù)有軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)，其中，硬閾值函數(shù)采用將絕對值不大于閾值λ的所有元素用0取代，這樣容易造成處理后的信號不連續(xù)。硬閾值函數(shù)的表達(dá)式為

表3 Bior N系列小波基的脈沖星信號去噪后信噪比和均方根誤差

表4 Haar系列小波基的脈沖星信號去噪后信噪比和均方根誤差

(10)

軟閾值函數(shù)克服了硬閾值函數(shù)的不足，有效避免信號間斷，具有較好的連續(xù)性。然而當(dāng)小波系數(shù)較大時，經(jīng)過閾值函數(shù)處理后容易造成信號的高頻部分損失，進(jìn)而影響信號重構(gòu)。軟閾值函數(shù)的表達(dá)式為

(11)

(12)

其中，α取值范圍為0≤α≤1。當(dāng)α取0時相當(dāng)于硬閾值函數(shù)，當(dāng)α取1時相當(dāng)于軟閾值函數(shù)，適當(dāng)調(diào)整α的大小可以得到更優(yōu)的信號去噪效果。

3 脈沖星信號去噪分析

實驗采用的脈沖信號來源于帕克斯(Parkes)脈沖星觀測數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)經(jīng)過PRESTO去干擾、消色散后得到 .dat數(shù)據(jù)文件，以二進(jìn)制形式記錄，采樣頻率為1 024 Hz。

圖1為原始脈沖信號消色散后得到的圖形，圖2為原始脈沖信號消色散后的功率譜。本文對目標(biāo)脈沖星信號文件按照Sym5進(jìn)行小波包分解，分解層數(shù)為5層，分別選擇小波分析的硬閾值、軟閾值和軟硬折中閾值函數(shù)，采用固定形式閾值準(zhǔn)則進(jìn)行處理。

圖1 消色散后得到的信號Fig.1 The dispersion-limited signal

圖2 消色散后得到信號的功率譜Fig.2 The power spectrum of the dispersion-limited signal

為了比較采用不同去噪方法獲得信號的去噪效果，本文參照文[13]采用信噪比、峰值信噪比和平滑度作為評價指標(biāo)比較最終的去噪效果，信噪比越大、峰值信噪比越大、平滑度越小，去噪效果越好。具體公式定義如下：

(1)信噪比的計算公式為

(13)

(2)均方根誤差的計算公式為

(14)

(3)峰值信噪比是信號的最大功率和噪聲功率的比值，用PSNR表示，具體公式為

(15)

(4)平滑度是去噪后信號差分?jǐn)?shù)的方差根和信號之間差分?jǐn)?shù)的方差根之比，常用r表示，具體公式為

(16)

以上各式中，s(i)為含噪信號；f(i)為去噪后的信號。

小波變換和小波包變換去噪法采用不同閾值處理的結(jié)果圖和功率譜圖見圖3～圖10，去噪后的各評價指標(biāo)見表5。由表5可知，采用小波包閾值法去噪相比小波變換能夠取得更好的效果，盡管小波包變換各類閾值函數(shù)處理之后，得到的均方根誤差、功率譜變化并不明顯，但是在信噪比、峰值信噪比以及平滑度方面都有相應(yīng)的提高。如實驗顯示，采用小波包硬閾值法與小波變換硬閾值法相比，平滑度降低至0.000 068，信噪比提高至128.574 093 dB，峰值信噪比提高至50.216 641 dB，小波包軟閾值、軟硬折中閾值法去噪效果的各項評價指標(biāo)都有相應(yīng)的提高。

圖3 小波軟閾值法去噪后的信號Fig.3 The result of de-noised with wavelet soft threshold method

圖4 小波硬閾值法去噪后的信號Fig.4 The result of de-noised with wavelet hard threshold method

圖5 小波軟硬閾值折中法去噪后的信號Fig.5 The result of de-noised with wavelet soft and hard threshold compromise method

圖6 小波閾值法去噪后信號的功率譜Fig.6 Power spectrum of the result of de-noised with wavelet threshold method

圖7 小波包軟閾值法去噪后的信號Fig.7 The result of de-noised with wavelet packet soft threshold method

圖8 小波包硬閾值法去噪后的信號Fig.8 The result of de-noised with wavelet packet hard threshold method

圖9 小波包軟硬閾值折中法去噪后的信號Fig.9 The result of de-noised with wavelet packet soft and hard threshold compromise method

圖10 小波包閾值法去噪后信號的功率譜Fig.10 Power spectrum of the result of de-noised with wavelet packet threshold method

表5 小波變換和小波包變換去噪效果表Table 5 De-noised effect table of wavelet and wavelet packet transform

4 總結(jié)與展望

本文針對小波變換在去噪方面存在的不足，提出了使用小波包閾值法對脈沖星信號去噪。小波包閾值法首先需要對小波包分解后的系數(shù)按從小到大的順序排列，然后采用固定閾值準(zhǔn)則求出閾值，利用常見的軟閾值函數(shù)、硬閾值函數(shù)和軟硬折中閾值函數(shù)對小波包變換后的系數(shù)進(jìn)行處理，并對處理后的信號進(jìn)行重構(gòu)，得到去噪后的信號。本文首先從理論方面對小波包閾值法去噪進(jìn)行了相關(guān)論述，之后通過實驗驗證了小波包閾值法去除脈沖星信號噪聲的效果優(yōu)于小波分解法。為了使實驗結(jié)果得到量化標(biāo)準(zhǔn)，本文采用信噪比、峰值信噪比、平滑度以及均方根誤差進(jìn)行量化，比較不同方法去噪的效果。實驗結(jié)果表明，小波包閾值法較小波變換有更好的去噪效果。由于目前本文只使用Sym5小波基和固定閾值準(zhǔn)則對選用的帕克斯望遠(yuǎn)鏡脈沖星信號進(jìn)行了測試，是否適用于其他脈沖星信號，是否其他小波基或者閾值準(zhǔn)則也能夠獲得同樣的去噪效果有待進(jìn)一步探索研究。

致謝：感謝貴州省信息與計算重點(diǎn)實驗室提供數(shù)據(jù)支持。