張偉海，曾靖淞，閆兆盈，李 剛，馬光同

（西南交通大學(xué) 牽引動力國家重點實驗室，成都610031）

超導(dǎo)電動磁懸浮列車是目前唯一通過600公里速域等級應(yīng)用可行性驗證的軌道交通載運工具，有望成為下一代高速和超高速載人軌道交通的主要制式。由日本研發(fā)的L0 型超導(dǎo)電動磁懸浮列車于2015年實現(xiàn)了載人時速603公里運行[1-2]。動力學(xué)性能是超導(dǎo)電動磁懸浮列車進一步推向商業(yè)應(yīng)用的主要挑戰(zhàn)之一[3]，超導(dǎo)電動磁懸浮列車作為載人公共交通工具在必須滿足乘坐舒適性要求的同時也要盡可能地降低成本。車輛輕量化有降低生產(chǎn)成本、線路維護成本等優(yōu)勢。但是，車體輕量化會導(dǎo)致車輛隔振性能下降進而惡化車輛的動力學(xué)性能。在提高經(jīng)濟性的前提下改善超導(dǎo)電動磁懸浮列車的平穩(wěn)性和舒適性，主要有提高線路等級和改進車輛懸掛系統(tǒng)兩種途徑。由于提高線路等級工程造價過高，因此，對超導(dǎo)電動磁懸浮車輛懸掛系統(tǒng)的設(shè)計和改進研究成為進一步改善車輛運行平穩(wěn)性和舒適性的主要途徑[4]。

為了提高和改善超導(dǎo)電動磁懸浮列車的動力學(xué)性能，Nagai等[5]建立了2自由度的車輛垂向模型，在次級懸掛中應(yīng)用LQR主動控制方法，以車體和轉(zhuǎn)向架的動能和勢能構(gòu)成二次型目標函數(shù)，從仿真和實驗兩方面初步驗證了LQR 主動控制方法可以減少車體振動傳遞效率以及降低車體振幅。Watanabe等[6]建立了3 輛車體和2 臺轉(zhuǎn)向架鉸接式組成的10自由度超導(dǎo)電動磁懸浮列車的垂向-俯仰動力學(xué)模型，在中間車體的次級懸掛中應(yīng)用了基于LQ理論的主動控制方法，驗證了LQ控制方法抑制車體垂向振動的有效性。Hoshino K 等[7]建立了3 輛車體和4 臺轉(zhuǎn)向架鉸接式組成的14 自由度超導(dǎo)電動磁懸浮列車垂向-俯仰動力學(xué)模型，在中間車體的次級懸掛中應(yīng)用了LQG主動控制方法，仿真驗證了該控制方法可以降低中間車體垂向振動幅值。

在超導(dǎo)電動磁懸浮列車動力學(xué)性能的研究中，大多數(shù)學(xué)者僅考慮了編組車輛中間車體垂向運動的振動控制，沒有考慮中間車體俯仰運動以及頭車或尾車的振動控制。此外，在之前的工作中大多采用主動控制這種需要耗費大量能量的控制方法。

基于此，本文在建立14自由度超導(dǎo)電動磁懸浮列車垂向-俯仰動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，分析車體垂向速度與垂向加速度的耦合作用關(guān)系，提出一種耗能較少的改進天棚阻尼半主動控制方法，在3 輛編組車體的次級懸掛中應(yīng)用改進天棚阻尼半主動控制方法來探究不同車體的垂向和俯仰運動的動力學(xué)性能。以被動控制和應(yīng)用廣泛的天棚阻尼半主動控制方法作為參照對象，驗證了所提出的改進天棚阻尼半主動控制方法可以有效提高超導(dǎo)電動磁懸浮車輛的乘坐舒適性。

1 車輛動力學(xué)模型

圖1 為超導(dǎo)電動磁懸浮列車與軌道的結(jié)構(gòu)簡圖。超導(dǎo)電動磁懸浮列車系統(tǒng)主要由車體、安裝有超導(dǎo)磁體的轉(zhuǎn)向架以及安裝“8”字形懸浮線圈和推進線圈的U型軌道組成。在推進線圈中通入三相交流電后，將在U 型軌道中產(chǎn)生沿著車輛前進方向的行波磁場。車輛經(jīng)過時車載超導(dǎo)磁體產(chǎn)生的磁場與軌道上的行波磁場及“8”字形懸浮線圈相互作用從而產(chǎn)生推進力、懸浮力和導(dǎo)向力，當車輛運行速度超過100 km/h時，懸浮力平衡車輛重力使車體懸浮[8]。

圖1 超導(dǎo)電動磁懸浮車輛結(jié)構(gòu)

為了研究編組列車中車輛的垂向動力學(xué)性能以及車輛的振動控制，本文建立了由3輛車體和4臺轉(zhuǎn)向架鉸接式組成的超導(dǎo)電動磁懸浮列車動力學(xué)模型，如圖2 所示。模型考慮了車輛和轉(zhuǎn)向架垂向與俯仰兩個方向上共14個自由度。為了簡化計算，其中車體和轉(zhuǎn)向架均視為剛體，在計算中不考慮其彈性變形。在初級懸掛中，用兩個線性磁彈簧等效代替車輛轉(zhuǎn)向架與地面軌道“8”字形線圈之間的垂向力和俯仰力矩，一個磁彈簧位于轉(zhuǎn)向架的前部，另一個位于轉(zhuǎn)向架的后部，用該等效處理方法可以解耦垂向和俯仰方向的耦合力[3,6-7]。由于車輛在高速運行過程中，軌道與轉(zhuǎn)向架之間的阻尼系數(shù)接近于零，因此將其忽略不計[9]。車輛的次級懸掛主要由空氣彈簧和被動阻尼器組成。由于空氣彈簧的剛度和被動阻尼器的阻尼系數(shù)不能根據(jù)車輛振動狀態(tài)進行實時調(diào)節(jié)以適應(yīng)車輛的最佳運行狀態(tài)，稱這種模型為被動控制模型。本文將主要研究在次級懸掛中分別采用天棚阻尼控制和改進天棚阻尼半主動控制方法對編組車輛的振動控制效果，以實現(xiàn)提高車輛乘坐舒適性的目標。

圖2 車輛動力學(xué)計算模型

基于牛頓-歐拉方程，推導(dǎo)出車輛被動控制模型的動力學(xué)方程，其矩陣形式如式(1)所示，一般形式的動力學(xué)方程參見附錄。式(1)中，M14×14表示車輛質(zhì)量矩陣，C14×14表示阻尼矩陣，K14×14表示剛度矩陣，X14×1表示位移向量，P(t)表示軌道激勵。表1列出了動力學(xué)方程中的主要參數(shù)[10]。

表1 超導(dǎo)電動磁懸浮列車主要參數(shù)

2 軌道不平順

軌道不平順是輪軌車輛、電磁懸浮車輛、超導(dǎo)電動磁懸浮車輛等軌道交通載運工具與軌道線路系統(tǒng)產(chǎn)生隨機振動的主要根源，直接影響著車輛的運行平穩(wěn)性與乘坐舒適性。超導(dǎo)電動磁懸浮列車U型軌道上“8”字形線圈垂向排列不平整是引起車輛垂向振動的主要因素[11]。

2.1 時間域軌道不平順譜密度函數(shù)

本文通過逆傅里葉變換法，首先將軌道不平順空間功率譜密度函數(shù)變換為時間域上的軌道不平順功率譜密度函數(shù)，然后將時間域上的軌道不平順功率譜密度函數(shù)轉(zhuǎn)換為軌道不平順時間序列樣本，為超導(dǎo)電動磁懸浮車輛振動控制研究提供時域輸入[12]。

本文利用如式(2)[10]所示的超導(dǎo)電動磁懸浮車輛空間域軌道不平順功率譜密度擬合公式來反演生成軌道不平順時域序列。

式中：S(n)為空間域中軌道不平順功率譜函數(shù)，單位是(mm2)m；A為軌道粗糙度常數(shù)；n表示空間域頻率，為空間波長的倒數(shù)，單位是1/m，k為波數(shù)。本文取A=0.02，k=1.8。

利用軌道譜曲線在微小頻帶的面積相等原理[13-14]，可得：

當車輛以速度v運行時，通過空間頻率為n的空間波時將產(chǎn)生頻率為Δf的一個激勵，即：

式中：f為時間域頻率，單位為Hz。

設(shè)σ2為功率譜密度在空間域頻帶寬度Δn和時間域頻帶寬度Δf包含的功率，則這兩種功率譜密度分布函數(shù)分別為：

由式(2)至式(6)可得時間域功率譜密度函數(shù)為：

2.2 逆傅里葉變換法生成軌道不平順時間序列

本文計算中設(shè)定車輛運行速度為500 km/h，軌道不平順波長范圍為3.216 m～398.107 m。根據(jù)式(7)，基于逆傅里葉變換通過MATLAB編程得到在時間域上的軌道不平順時間序列，計算結(jié)果如圖3所示。

圖3 軌道垂向隨機不平順時間序列

現(xiàn)驗證基于逆傅里葉變換得到的軌道不平順時間序列的正確性。對圖3所示的軌道不平順時間序列求其功率譜密度得到模擬值，然后與式(7)得到的功率譜密度解析值相比較，結(jié)果如圖4 所示。兩者吻合程度較好，故驗證了本文通過數(shù)值模擬方法得到的超導(dǎo)電動磁懸浮軌道不平順時間序列的可靠性。

圖4 軌道垂向隨機不平順PSD

3 次級懸掛半主動控制方法

3.1 被動控制模型驗證

圖5是在MATLAB/Simulink環(huán)境中搭建的被動控制模型。為了驗證所搭建模型的正確性，本文基于新型快速顯式積分法[15]編程求解了車輛被動控制模型的動力學(xué)方程。在軌道不平順時間序列的激勵下，上述兩種數(shù)值計算方法求解車輛動力學(xué)方程的位移響應(yīng)如圖6所示。這兩種求解方法計算所得的位移響應(yīng)高度吻合，故驗證了本文所搭建的被動控制模型的正確性。

圖5 超導(dǎo)電動磁懸浮列車被動控制模型

圖6 超導(dǎo)電動磁懸浮車體位移響應(yīng)

3.2 天棚阻尼控制算法

天棚阻尼原理如圖7所示。假想在車體和固定的“天棚”之間安裝阻尼為Cs的虛擬慣性阻尼器，通過控制減振器的阻尼，使減振器阻尼力盡量接近天棚阻尼器的阻尼力。由于在實際中無法實施這樣理想的控制力，因而在車體mc和轉(zhuǎn)向架mb之間安裝一個作動器Uz產(chǎn)生作用于車體和轉(zhuǎn)向架的可變阻尼力。

圖7 天棚阻尼控制原理示意圖

在天棚阻尼控制中一般通過“ON-OFF”型控制律調(diào)節(jié)阻尼系數(shù)來實現(xiàn)瞬時阻尼力的變化。當車體垂向速度與車體相對于轉(zhuǎn)向架的相對速度方向相同時，阻尼器對車體做負功，作動器Uz提供設(shè)定的最大阻尼力來加速抑制車體的振動；當車體垂向速度與車體相對于轉(zhuǎn)向架的相對速度方向相反時，阻尼器對車體做正功，為了避免轉(zhuǎn)向架振動傳遞給車體，此時作動器產(chǎn)生的阻尼力取最小值。

在車輛被動控制模型的次級懸掛中并聯(lián)8個天棚阻尼器，如圖2所示，即分別在每個轉(zhuǎn)向架與車體之間都安裝一個作動器Uzi(i=1,2，…，8)來抑制車體的振動，作動器提供的阻尼力由式(8)表示。

本文采用的“ON-OFF”型控制律的天棚阻尼半主動控制算法的表達式如式(9)所示。

3.3 改進天棚阻尼控制算法

由式(9)可知，天棚阻尼控制方法實質(zhì)上是通過控制車體的垂向速度來抑制車體振動的，沒有考慮車體垂向速度和垂向加速度的相互作用關(guān)系，所以天棚阻尼控制方法對車體的控制效果是有限的。又因為車輛的垂向平穩(wěn)性一般通過車體的垂向加速度來評價，因此，基于天棚阻尼控制方法，引入車體的垂向加速度，形成了改進天棚阻尼控制方法，即通過判斷車體垂向速度和垂向加速度的相互關(guān)系來控制車體加速度，其控制算法的表達如式(10)所示。

4 控制方法性能分析

為了分析改進天棚阻尼半主動控制方法的有效性，以被動模型和天棚阻尼半主動控制模型作為參照，分別以頭車Car1和中間車Car2質(zhì)心處的垂向加速度、俯仰加速度作為評價指標進行時域和頻域分析。

在MATLAB/Simulink 環(huán)境中分別搭建超導(dǎo)電動磁懸浮車輛的被動模型、天棚阻尼和改進天棚阻尼半主動控制模型。模型結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。主要仿真參數(shù)如下：Cmax=7 kN·s/m，Cmin=0，仿真步長為10-4s，仿真時間為30 s。

4.1 時域分析

圖8 至圖10 是在上述控制條件下，Car1 和Car2質(zhì)心處的垂向加速度、俯仰加速度以及阻尼器作用于Car2 的控制力的計算結(jié)果。為了使仿真結(jié)果顯示更清晰，下面時域結(jié)果均顯示前10 s的計算結(jié)果。表2 是在0～30 s 時間段內(nèi)各指標的均方根值和峰值的絕對值。

圖8 Car2加速度時域響應(yīng)

由圖8可知，在改進天棚阻尼控制方法作用下，中間車體Car2 的垂向加速度和俯仰加速度的峰值明顯被抑制。相比被動控制，Car2 質(zhì)心處的垂向加速度在改進天棚阻尼半主動控制方法下的均方根值和峰值分別降低了19.77%和6.31%，在天棚阻尼半主動控制方法下的均方根值和峰值分別降低了14.72%和4.55%。

相比被動控制，在改進天棚阻尼半主動控制方法下Car2 質(zhì)心處俯仰加速度的均方根值和峰值分別降低了17.34%和13.76%，在天棚阻尼半主動控制方法下的均方根值和峰值分別降低了12.15%和8.29%。綜上，對于中間車體Car2的振動控制，改進天棚阻尼控制方法的減振效果要優(yōu)于天棚阻尼方法。

接著對比這兩種半主動控制方法對編組車體中頭車Car1 或尾車Car3 振動抑制效果。在超導(dǎo)電動磁懸浮編組車輛模型中，因為頭車與尾車結(jié)構(gòu)對稱，所以只需分析其中之一即可，本文選擇頭車Car1作為研究對象。由圖9 可得，改進天棚阻尼控制方法對Car1 垂向和俯仰兩個方向上振動抑制效果要略好于天棚阻尼控制，具體計算結(jié)果如表2 所示。同時，可以看到，改進天棚阻尼控制方法對Car1 振動控制的效果不及Car2。計算Car1 車體前端與兩個作動器連接點中點處的加速度均方根值為0.392 m/s2，Car1 車體后端與作動器連接點的加速度均方根值為0.238 m/s2，說明Car1 后端的平穩(wěn)性要優(yōu)于Car1前端，所以改進天棚阻尼控制方法對Car1振動控制的效果不及Car2 的原因可能是編組車輛中鉸接式轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)導(dǎo)致了Car1 前后二系懸掛的結(jié)構(gòu)不對稱，在一定程度上惡化了車體Car1 的乘坐舒適性。

圖9 Car1加速度時域響應(yīng)

表2 評價指標均方根和峰值計算結(jié)果/(m·s-2）

最后對比這兩種半主動控制方法的控制效率。由圖10可知，作動器在改進天棚阻尼控制方法下輸出的控制力具有比較小的振幅。對于車體Car2 的垂向控制力，改進天棚阻尼控制方法作用下的控制力在0.517 kN 之內(nèi)，而在天棚阻尼控制方法作用下的控制力可達0.593 kN，改進天棚阻尼控制的控制力減小了12.8%。因此，在達到相同控制效果的情況下，改進天棚阻尼半主動控制方法的效率更高，在實際應(yīng)用中可以允許設(shè)計更小的作動器和更小的最大控制力。對于車體Car2 在俯仰運動方向上控制力的時域響應(yīng)分析，也能得到同樣的結(jié)果。

圖10 控制力時域響應(yīng)

4.2 頻域分析

圖11 是對中間車體Car2 質(zhì)心處的垂向加速度和俯仰加速度功率譜分析得到對應(yīng)的功率譜密度曲線。從圖11 中可知存在兩個明顯的加速度PSD 峰值，一個峰值位于1 Hz附近，是車體的主頻振動；另一個峰值位于5 Hz附近，是轉(zhuǎn)向架的主頻振動。從圖11可知，車體主頻振動峰值在改進天棚阻尼半主動控制方法的作用效果也要優(yōu)于天棚阻尼半主動控制方法的作用效果。

圖11 Car2加速度頻域分析

相比被動控制下Car2 質(zhì)心處的垂向加速度PSD 在1 Hz 附近的峰值，在改進天棚阻尼半主動控制下1 Hz附近的峰值降低了約4.27倍；在天棚阻尼半主動控制方法下1 Hz 附近的峰值降低了約2.9倍。相比被動控制下Car2 質(zhì)心處的俯仰加速度PSD 在1 Hz 附近的峰值，在改進天棚阻尼半主動控制下1 Hz 附近的峰值降低了約3.1 倍；在天棚阻尼半主動控制方法下1 Hz附近的峰值降低了約2.3倍。但是，由于次級懸掛中阻尼力僅對車體有減振作用，且本文研究中沒有對初級懸掛進行控制，因此，約5 Hz的轉(zhuǎn)向架主頻振動峰值沒有明顯變化。

5 結(jié)語

本文以改善車輛乘坐舒適性為目標，建立了3輛車體與4臺轉(zhuǎn)向架鉸接式組成的14自由度超導(dǎo)電動磁懸浮編組列車的垂向-俯仰動力學(xué)模型，在軌道垂向隨機不平順的激勵下，從時域和頻域兩個方面，探究了天棚阻尼和改進天棚阻尼兩種半主動控制方法應(yīng)用于超導(dǎo)電動磁懸浮列車次級懸掛中對車體振動的影響，可得到以下結(jié)論：

（1）相比被動控制，在天棚阻尼半主動控制方法作用下Car2 質(zhì)心處的垂向加速度和俯仰加速度的均方根值分別降低了19.77%和17.34%；在改進天棚阻尼半主動控制方法作用下Car2 質(zhì)心處的垂向加速度和俯仰加速度的均方根值分別降低了14.72%和12.15%；獲得相同減振效果的條件下，改進天棚阻尼控制相較于天棚阻尼控制方法控制力減小了12.8%。從控制效果和控制效率兩個角度看，改進天棚阻尼半主動控制方法要優(yōu)于天棚阻尼半主動控制方法。

（2）在編組車輛的車體振動控制中，改進天棚阻尼半主動控制方法對中間車體Car2 的控制效果要優(yōu)于頭車車體Car1，其原因可能是編組車輛中鉸接式轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)導(dǎo)致了Car1 前后二系懸掛的結(jié)構(gòu)不對稱，在一定程度上惡化了車體Car1 的乘坐舒適性。

（3）在超導(dǎo)電動磁懸浮次級懸掛中應(yīng)用半主動控制方法，僅能夠有效抑制車體的低頻振動，其高頻振動依然顯著，車體的高頻振動要通過初級懸掛減振方法來抑制。

附錄：

該附錄是基于牛頓-歐拉方程，得到的車輛被動控制模型一般形式的動力學(xué)方程，如式(1)至式(14)所示。其中，下標b和c分別表示轉(zhuǎn)向架和車體，zbi和θbi(i=1,2,3,4)分別為轉(zhuǎn)向架的垂向位移和俯仰角位移；zcj和θcj(j=1,2,3)分別為車體的垂向位移和俯仰角位移；z0if和z01r(i=1,2,3,4)為軌道不平順激擾。

轉(zhuǎn)向架1的垂向運動：

轉(zhuǎn)向架1的俯仰運動：

轉(zhuǎn)向架2的垂向運動：

轉(zhuǎn)向架2的俯仰運動：

轉(zhuǎn)向架3的垂向運動：

轉(zhuǎn)向架3的俯仰運動：

轉(zhuǎn)向架4的垂向運動：

轉(zhuǎn)向架4的俯仰運動：

車體1的垂向運動：

車體1的俯仰運動：

車體2的垂向運動：

車體2的俯仰運動：

車體3的垂向運動：

車體3的俯仰運動：