張志勇 (江蘇省常州市第五中學(xué) 213001)

張加紅 (江蘇省常州市田家炳高級中學(xué) 213001)

解題可以幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念、掌握數(shù)學(xué)方法進(jìn)而錘煉數(shù)學(xué)思維，正如波利亞所言，“掌握數(shù)學(xué)就意味著學(xué)會解題”.解題教學(xué)無疑是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，對于高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)而言，更可謂是主旋律．如何開展解題教學(xué)？不能只有“數(shù)”(計(jì)算推理)而不見“形”(想象直觀)，不能只有解題方法的簡單堆積而沒有對解題策略的思考，不能只有“怎么解”的具體操作而沒有“為什么這樣解”的不斷追問．有鑒于章建躍博士提出的數(shù)學(xué)教育要“取勢、明道、優(yōu)術(shù)”[1]，我們以為，數(shù)學(xué)解題也需要“取勢、明道、優(yōu)術(shù)”；在可視化技術(shù)的支持下，通過直觀想象指引解題方向(取勢)、深度挖掘明晰本質(zhì)屬性(明道)，達(dá)成模型構(gòu)建優(yōu)化解題方案(優(yōu)術(shù))的解題教學(xué)目標(biāo)．在此過程中，不僅有解題思路的過程展示，解題策略的形成解構(gòu)，更有解題觀念的實(shí)質(zhì)突破和“原來如此”的美妙感悟．本文謹(jǐn)以一節(jié)高三微專題復(fù)習(xí)課“與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)零點(diǎn)問題”為例，與讀者分享可視化視角下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)．

1 基本情況

1.1 授課對象

學(xué)生來自四星級高中普通班，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般，已經(jīng)歷過高三一輪復(fù)習(xí)，掌握基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算和簡單的邏輯推理，如求導(dǎo)、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等；有一定的閱讀表達(dá)能力，對數(shù)形結(jié)合的解題思路較熟悉，能判斷函數(shù)變化趨勢進(jìn)而討論漸近線的存在性，并能結(jié)合單調(diào)性和可能有的漸近線繪制函數(shù)示意圖；基本掌握GeoGebra的常見操作要領(lǐng)，能簡單應(yīng)用軟件開展數(shù)學(xué)探究活動．

1.2 內(nèi)容分析

縱觀近幾年的高考、?？荚囶}，與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)零點(diǎn)問題是函數(shù)壓軸題中的?？?，此類問題將函數(shù)、不等式、方程等知識綜合在一起，能有效區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)能力的水平差異，故而廣受命題者青睞．從知識層面看，導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在性定理是解決這類問題必不可少的工具，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性沒有多少障礙，難點(diǎn)在于零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，而此中關(guān)鍵在于“找點(diǎn)”，即構(gòu)造異號的函數(shù)值，這是頗具技巧又很有計(jì)算難度的一步．如何突破運(yùn)算的難點(diǎn)？“數(shù)形結(jié)合”無疑是一可行路徑.繪制函數(shù)圖象，借助圖象能直觀幫助學(xué)生認(rèn)識結(jié)果、明辨解題方向；進(jìn)一步地，圖象更可以揭示真相，最終幫助學(xué)生優(yōu)化解題方法、形成解題模式．

據(jù)此，本節(jié)專題復(fù)習(xí)課擬采用的教學(xué)策略為：一是重視數(shù)形結(jié)合，借助單調(diào)性和變化趨勢繪制函數(shù)圖象，以圖象直觀來判定參數(shù)范圍及取點(diǎn)方向；與此同時(shí)，借助GeoGebra開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生在動態(tài)觀察中把握數(shù)學(xué)本質(zhì).二是重視問題引導(dǎo)，在思維“關(guān)節(jié)點(diǎn)”與“關(guān)鍵點(diǎn)”處駐足停留，對于為什么這樣“取點(diǎn)”、怎樣放縮等問題，通過問題串的方式不斷地追問，以引導(dǎo)、幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)并掌握數(shù)學(xué)方法．

1.3 教學(xué)目標(biāo)

(1)經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)解題方法的探求過程，感悟數(shù)形結(jié)合的解題價(jià)值，在取勢、明道、優(yōu)術(shù)中讓自己的數(shù)學(xué)理解和思考從模糊走向深刻．

(2)能在準(zhǔn)確把握函數(shù)特征(單調(diào)性、漸近線等)的基礎(chǔ)上繪制較復(fù)雜的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象判斷零點(diǎn)的存在、參數(shù)的范圍；把握零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用要求，采用按圖索驥、函數(shù)放縮、結(jié)構(gòu)化簡等不同方法“找點(diǎn)”證明零點(diǎn)的存在．

教學(xué)重難點(diǎn)：函數(shù)放縮與“找點(diǎn)”．

2 教學(xué)過程

2.1 歸類辨析，聚焦問題

問題1(改編自2020年蘇錫常鎮(zhèn)一模13題)若ax=x2在(1,+∞)上有兩解m,n，求a的取值范圍．

圖1

圖2

2.2 按圖索驥，初解取勢

2.3 函數(shù)放縮，再解明道

根據(jù)圖象趨勢“找點(diǎn)”，雖然可以解決問題，但這樣的嘗試?yán)碛刹⒉伙@然，有必要進(jìn)一步探究以明了個(gè)中奧妙．我們將其中的關(guān)鍵不等式換元處理后可得到如下簡化的不等式：

圖3

圖4

圖5

說明本例中，關(guān)鍵“點(diǎn)”在直線上方，因此構(gòu)造的函數(shù)圖象在原函數(shù)下方．

2.4 結(jié)構(gòu)化簡，三解優(yōu)術(shù)

例1(2019年南京三模試題19改編)關(guān)于x的方程lnx+1=bx2有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求b的取值范圍．

圖6

練習(xí)：(1)已知函數(shù)f(x)=ax2-x-lnx有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

(2)已知函數(shù)f(x)=mex-(x-1)2有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

2.5 梳理總結(jié)，形成范式

結(jié)合課堂教學(xué)中涉及的案例，梳理問題解決過程，可總結(jié)出下列要點(diǎn)：

(2)放縮方法有章可循．放縮的目標(biāo)是將不易解的不等式轉(zhuǎn)化為易解的不等式，通常做法是將指對數(shù)函數(shù)化為多項(xiàng)式函數(shù)．由兩個(gè)簡單基本不等式lnxx出發(fā)，可演繹出不簡單的放縮形式；

(3)放縮千萬,趨勢為要．不同函數(shù)的“變化趨勢”不同，放縮不能改變函數(shù)整體的相對變化趨勢(極限一致)，原函數(shù)圖象的變化趨勢需要結(jié)合導(dǎo)數(shù)整體辨析．

簡而言之，就是“零點(diǎn)判定有講究，圖象觀察辨趨勢；函數(shù)變換是根本，放縮有度分主次”．

3 回顧與反思

因?yàn)檫\(yùn)算難度大，面對與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)零點(diǎn)問題，多數(shù)學(xué)生望而生畏、止步不前．本節(jié)課在“取勢、明道、優(yōu)術(shù)”的思路指引下，三次求解零點(diǎn)問題，形成三種不同解法(按圖索驥法、函數(shù)放縮法、結(jié)構(gòu)化簡法)，不同水平層次的學(xué)生可選擇不同的解法．更為重要的是，可以改善學(xué)生拿筆就算的解題習(xí)慣，回歸數(shù)學(xué)直觀探究先行，促使計(jì)算推理也能返璞歸真，在幫助學(xué)生掌握一類題的解法過程中讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思維．

3.1 數(shù)學(xué)解題中的取勢明道優(yōu)術(shù)

將“取勢、明道、優(yōu)術(shù)”用于數(shù)學(xué)教育中，章建躍博士是強(qiáng)調(diào)教育要明確方向、把握規(guī)律、辦事有方[1]；用于解題中，則是指直觀想象指引解題方向(取勢)、深度挖掘明晰本質(zhì)屬性、模型構(gòu)建優(yōu)化解題方案(優(yōu)術(shù))．具體而言，“術(shù)”多指抽象的數(shù)學(xué)方法、繁雜的計(jì)算技巧，如本例中的“取點(diǎn)”.如果只是為術(shù)而術(shù)、停留于“知其然”層面，一方面會因難以理解而不為學(xué)生所接受和優(yōu)化，另一方面也會因“見木不見林”而難以生成和旁通．因此解題不應(yīng)只囿于解題技巧的獲得，而應(yīng)走向“知其所以然”，讓學(xué)生理解其中的函數(shù)放縮．明道就需要追本溯源，首先得聚焦關(guān)鍵環(huán)節(jié)、分析問題特征，然后才是豐富表征手段、找尋聯(lián)系通道，在抽象的“數(shù)”之間架設(shè)具象的“形”作為橋梁，無疑是幫助學(xué)生問道明理的重要情境．解題也需要看清方向，方向不對則多做多錯(cuò)，而“形”正可以揭示“大勢所趨”，讓最終結(jié)果在解題前就“觀念性地存在著”，而不再是摸著石頭過河．事實(shí)上，當(dāng)我們繪制出圖2所示的函數(shù)圖象后，問題2的結(jié)果已經(jīng)水落石出，跟進(jìn)的只是數(shù)學(xué)的解釋和證明罷了．解題中的取勢明道優(yōu)術(shù)，告訴我們的是不僅要埋頭趕路，更要抬頭看路；優(yōu)術(shù)的前提在于明道，取勢方能明道．

3.2 數(shù)形結(jié)合與深度學(xué)習(xí)

提及數(shù)形結(jié)合，耳熟能詳?shù)氖侨A羅庚先生說過的“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．雖然數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想方法，然而解題時(shí)(特別是主觀題)多數(shù)時(shí)候卻有“數(shù)”無“形”．究其原因，一方面當(dāng)然有評價(jià)更重視嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠?jì)算推理的緣故，另一方面也因?yàn)閷?shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征把握不全面，難以繪制準(zhǔn)確的圖象，如圖2中f(x)的圖象刻畫離不開對單調(diào)性、最值、漸近線的考量．“形”可意會取勢，“數(shù)”為優(yōu)術(shù)言傳，我們這兒強(qiáng)調(diào)“形”的價(jià)值不只是為了得到結(jié)果，更重要的是為“數(shù)”的推理提供方向直觀，如由圖2發(fā)現(xiàn)找點(diǎn)方向(足夠大、在直線下方、與變量有關(guān))，由圖5思考函數(shù)放縮(趨勢一致，放縮有度)，“形”的展示不僅有想象直觀，更有深透的理解、深入的思維和深切的體驗(yàn)．

3.3 GeoGebra與數(shù)學(xué)可視化

數(shù)學(xué)可視化就是“看見不可見”，即將抽象的數(shù)學(xué)對象用可看見的表征形式清楚直白地呈現(xiàn)出來，從而得到一個(gè)形象、直觀、整體的認(rèn)識和理解．作為一款數(shù)學(xué)學(xué)科軟件，GeoGebra實(shí)現(xiàn)了“形”(幾何)與“數(shù)”(代數(shù))的完美融合，可以將抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化，使數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性變得可見甚至可操作，從而幫助學(xué)習(xí)者洞悉數(shù)學(xué)本質(zhì)．如圖6中“作差”與“分參”兩種思路的比較呈現(xiàn)，圖4中切線放縮的動態(tài)呈現(xiàn)等．GeoGebra帶給我們的不僅是更加方便快捷的數(shù)學(xué)，更是理想的深度學(xué)習(xí)平臺和深度教學(xué)工具．

數(shù)學(xué)解題，不僅是解決問題，更重要的是觀點(diǎn)的提高和思維的啟迪．“形”可意會取勢，“數(shù)”為優(yōu)術(shù)言傳，“取勢、明道、優(yōu)術(shù)”的思路為當(dāng)下數(shù)學(xué)解題教學(xué)提供了一個(gè)全新的思路，而可視化恰可讓學(xué)生將更多的精力集中在高層次的數(shù)學(xué)思考和問題解決上．