宋 月，陳欣雨，楊銳涵，吳宇豪，程 才，劉 科

(四川師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，四川 成都 610101)

海市蜃樓是一種由于光的折射和全反射形成的自然現(xiàn)象。由于大氣密度在垂直方向上存在梯度，物體反射的光在空氣中發(fā)生多次折射和全反射，人眼沿著光路的反向切向延長線便會看到遠(yuǎn)處實物形成的“蜃景”虛像.在實驗室條件下，可以使用激光照射與大氣具有相似折射率梯度(指數(shù)或線性關(guān)系[1])的溶液使光路軌跡彎曲，來模擬海市蜃樓現(xiàn)象并定量解釋其形成原理。TLopez-Arias[2]給出了非線性折射率介質(zhì)下的光路方程，C.Gaffney[3]等人給出了測定折射率隨高度變化的實驗方案，王忠純[4]用線性折射率模型解釋海市蜃樓，黃思瑜[5]等依據(jù)費馬原理和拉氏方程推導(dǎo)了光路軌跡方程。陳培杰，李宗民提供了新的實驗方案[6，7]；Young Andrew，Diego Gutierrez介紹了大氣中的蜃景[8，9]，指出大氣中蜃景給航海和沙漠行人造成的距離判斷的困擾。早期研究者們的工作主要集中于光路軌跡的推導(dǎo)與成像的定性演示，理論推導(dǎo)的光路軌跡還未與實驗進(jìn)行有效的匹配，也缺乏成像的理論計算。本文則通過自制的實驗儀器(激光入射裝置、溶液采樣裝置、自動化輸液裝置)，探究了溶質(zhì)分子在溶液中擴(kuò)散形成的折射率梯度，推導(dǎo)出激光在溶液中的光路方程。理論和實驗的光路軌跡基本一致，并基于光路軌跡用Matlab計算成像，給出了在本實驗條件下成像的偏移量與光路軌跡的傳輸距離的比值為0.036 6。研究結(jié)果為估算海面上空的蜃景距實景的距離提供了有效參考，同時也為教學(xué)演示海市蜃樓現(xiàn)象提供了新的思路和方向。

1 理論模型

1.1 光路推導(dǎo)—非線性折射率梯度部分

如圖1(a)建坐標(biāo)系，缸長為z軸，左壁為y軸：將溶液按高度細(xì)分成無限多層，每一層溶液的折射率近似看作不變，表示該角度所處層的折射率，τ為常數(shù)。

由折射定律：n(θ)·sin(θ)=n(θ1)·sin(θ1)=τ

即可將折射率與入射角的關(guān)系簡化為：

(1)

對該式微分并代入，得到：

(2)

(3)

即：

y″(z)·n(y)-n′(y)[1+(y′(z))2]=0

(4)

(5)

找到n′(y)與n(y)后，由n(y=0)=n，n(y=h0)=n水，代入Mathematica NDsolve數(shù)值求解，則可得到光路軌跡的數(shù)值解。

(a)光線在缸內(nèi)傳輸示意圖

(b)光線穿出缸壁示意圖圖1 光路推導(dǎo)示意圖

圖2 隨高度的變化率測量圖

1.2 光路推導(dǎo)—線性折射率梯度部分

如圖1各參量如下：n0為底層溶液折射率，α為入射光線與水平面的夾角。通常的折射率的值都是相對于鈉黃光(λ=560 nm)[10]而言，針對實際激光的不同波長值，n0需做出以下修正：

再由圖1中的幾何關(guān)系及折射定律

nsinθ=n0sinθ1

(6)

(ds)2=(dz)2+(dy)2

(7)

(8)

聯(lián)立(6)、(7)、(8)得到方程(9)

(9)

對(9)兩邊二階求導(dǎo)

(10)

假設(shè)靜置一段時間后溶液折射率滿足：

n=n0(1-ky)

(11)

兩邊平方并求導(dǎo)得到

(12)

(13)

在實際光路傳播過程中，光線射出經(jīng)過缸壁如圖1(b)，現(xiàn)對缸壁造成的光線偏移進(jìn)行修正，設(shè)各參量如下：Δl缸的厚度，l缸總長度，n空氣空氣折射率，n2缸壁折射率，α1前壁入射角，α2前壁折射角，α3后壁入射角，α4后壁折射角。寫出A點坐標(biāo)(l,y(l))，在A點處于溶液與前壁的交界面上，由折射定律得：

(14)

2 實驗裝置設(shè)計

在實驗中，設(shè)計了激光入射裝置以便靈活地調(diào)整激光的入射角度α和高度，自動化輸液裝置用水泵將液體抽送至缸底以保證每次配置的溶液初始狀態(tài)基本一致。研究光路軌跡需要對不同高度層的溶液的折射率進(jìn)行分析，設(shè)計了自動化溶液采樣裝置，用三腳架搭配萬能夾來穩(wěn)定搭載嵌有9個針管的亞克力板，在每個針管內(nèi)裝有電熱絲，外接電源對針管內(nèi)部進(jìn)行加熱，利用壓強差自動吸取溶液實現(xiàn)在溶液同一平面進(jìn)行采樣的目的。

圖3 實驗裝置實物圖(上)和示意圖(下)

3 實驗與數(shù)據(jù)采集計算

3.1 非線性折射率梯度溶液下的成像

以鹽為溶質(zhì)，清水為溶劑，先在缸中倒入2 500 mL清水，用輸液裝置將2 500 mL濃度為10.7%的鹽溶液輸入缸底，在0～12 h內(nèi)，溶液呈現(xiàn)非線性的折射率分布，光路發(fā)生較大幅度偏折，成像效果如圖4，?；障掳氩糠掷欤虚g擠壓，兩側(cè)向內(nèi)突出。產(chǎn)生了類似于“扭曲”的蜃景。

(a)實際成像

(b)理論成像圖4 鹽溶液成像效果圖

3.2 線性折射率梯度溶液下的光路及成像

分別以糖，鹽為溶質(zhì)，每層500 mL清水為溶劑以表1的配比配置溶液，用輸液裝置分別將三種濃度依次增大的溶液輸入缸底，溶液靜置一段時間后，用溶液采樣裝置采樣并將吸取上來的少量液體放入測量其折射率。得到折射率與高度的線性擬合關(guān)系圖5(a)，佐證了理論假設(shè)(11)的合理性。

表1 線性折射率梯度下的溶液配比

(a)

(b)圖5 溶液中折射率梯度

由圖5(b)，在12h時線性關(guān)系最強，此時用入射裝置將激光射入鹽溶液，改變激光入波長，并在缸前方拍攝激光光路。將照片導(dǎo)入追蹤光路軌跡上各點的橫縱坐標(biāo)，得到藍(lán)色、綠色、紅色激光的理論光路軌跡與實際軌跡的對比圖6。

圖6 三種波長的理論光路軌跡與實際軌跡的對比圖

因為在無機溶質(zhì)鹽溶液中成像更為清晰，故在鹽溶液缸的左側(cè)貼上實物“紅色三角形”，在缸的右側(cè)拍攝未放置鹽溶液的實驗原物圖7左，并將原物照片代入Matlab計算成像，得到效果圖如圖7右，“紅色三角形”經(jīng)過溶液折射后，由于折射率線性減小(k>0)，成像并未明顯扭曲，而位置向上平移1.1cm，且成像的偏移量與光路軌跡的傳輸距離的比值約為0.036 6(缸長30cm)，產(chǎn)生了類似于海平面上的“上蜃景”。

圖7 實驗原圖與理論成像對比圖

4 總 結(jié)

在溶液缸中，使用單束激光來模擬實物反射的光線經(jīng)過梯度折射率溶液的光路軌跡。在理論上推導(dǎo)了不同時間段，不同波長的激光在非線性及線性折射率梯度溶液中的光路，且考慮了缸壁對光路折射的影響，刻畫了激光在溶液中及最終射出缸壁的光路方程。并且基于光路方程，由Matlab計算出了成像，即非線性梯度下成像扭曲，線性梯度下，成像抬升實驗上，用三個自制儀器探究了糖，鹽酒精溶液下的光路和成像，實驗光路和成像與理論光路和成像基本吻合。同時，為教學(xué)演示光學(xué)現(xiàn)象“海市蜃樓”提供了更定量的理論支撐和可操作性實驗裝置。