杜振葉，藍師義

廣西民族大學數(shù)學與物理學院，廣西南寧 530006

隨機Loewner 演變（簡稱SLE） 是Schramm［1］研究回路刪除隨機游走與一致生成樹的尺度極限時引入的一類含有一個參數(shù)的隨機曲線族。這類隨機曲線可以通過求解一個驅動函數(shù)為時間改變的Brownian 運動的Loewner 微分方程來描述。已經(jīng)證明，SLE 可以用來描述若干來自統(tǒng)計力學的二維離散模型，包括Ising 模型［2-3］、臨界滲流［4］、回路刪除游走［5］、一致生成樹［5］、調和探索過程［6］、離散Gassian 自由場［7］與q=2的隨機簇模型［8］等。這為人們嚴格數(shù)學理解這些模型開辟了一條的新途徑。同時，SLE 也使關于平面Brownian 運動的若干長時間公開問題得到了解決，尤其是Mandelbrot 關于Brownian 運動邊界的Hausdorff 維數(shù)的猜測［9］與Brownian 運動相交指數(shù)值的決定［10-12］。近年來，隨著對SLE 研究的不斷深入，導致了人們對Loewner 微分方程的進一步研究［13-16］。最常見的Loewner 微分方程有下面3 種類型：一是上半平面內的通弦Loewner 方程，它導致的Loewner 鏈是一類從上半平面到上半平面子集的共形映射；二是單位圓盤內的徑向Loewner 方程，其產(chǎn)生的Loewner 鏈是一族從單位圓盤到單位圓盤子集的共形映射；三是帶形區(qū)域內的偶極Loewner 方程，它產(chǎn)生的Loewner 鏈是一類從帶形區(qū)域到帶形區(qū)域子集的共形映射。當然還有其他變式，有關Loewner微分方程的理論及其相關背景知識可參見文［15-16］等。

對于通弦與徑向Loewner 微分方程，文［14］與文［13］已經(jīng)分別討論了它們的解關于時間t方向變化的估計以及對應于兩個驅動函數(shù)的Loewner微分方程的解的差值可以通過這兩個驅動函數(shù)差的上確界范數(shù)來估計。在本文，我們所關心的是偶極Loewner 微分方程的相應問題。設ft(z)是偶極Loewner 微分方程的一個解，并且固定z，應用Bieberbach 定理［17］，我們給出ft(z)依時間方向變化的一個估計，準確的描述見第2 節(jié)的定理1。對于給定的兩個驅動函數(shù)與，設(z)與(z)為偶極Loewner 方程分別對應于與的兩個解，基于逆時間的偶極Loewner 方程我們導出了ft(1)(z)與ft(2)(z)的差值可以通過與差的上確界范數(shù)來估計，準確的描述見第3 節(jié)的定理2。這將通弦與徑向Loewner 微分方程的一些相應結果推廣到帶形區(qū)域內偶極Loewner 微分方程的情形。我們的工作與文［13-14］進行比較，雖然方法類似但有許多細節(jié)是不一樣的，因為我們所討論微分方程的表達式不同于前者，這導致我們的估計涉及三角函數(shù)與雙曲函數(shù)之間的關系及其相關性質。

1 Loewner微分方程

在這一節(jié)，我們將簡要介紹本文涉及Loewner微分方程的幾個版本以及一些基本概念，更詳細的相關背景知識可參見文［15-16，18-19］等。

1.1 通弦Loewner微分方程

若K是閉上半平面上的一個緊集使得HK是一個單連通區(qū)域且，則稱K為上半平面H 的一個殼。對任意一個殼K，都存在唯一一個共形映射gK，將上半平面HK映到H，并且gK(z)滿足規(guī)范化：，當z→∞時，有下面Laurent展開式

其中系數(shù)an(n=1，2，…)都是實數(shù)。定義a1=a1(K)為殼K的容量。

假設γ(t)(t≥0)是上一條連續(xù)的路徑且γ(0) ∈R，這里R表示實軸。規(guī)定γ(t)碰到自身或者R就立即彈到開闊的區(qū)域，這樣隨著時間的改變，我們就得到了一族遞增的殼{Kt：t≥0}；相應地，對于每一個殼Kt都有一個容量a1(Kt)，同時也得到一個從HKt到H 的共形映射gKt. 由于a1(Kt)是連續(xù)的，因此，我們可以參數(shù)化γ(t)使得a1(Kt)=2t. 在這種情形下，對于每一個t≥0，記gt∶=gKt，則Loewner 定理給出gt(z)滿足下面通弦Loewner微分方程

反之，若給定一個定義在[ 0，∞)上的連續(xù)實值函數(shù)Wt，則對于所有方程(1)在時間t之前是可解的，其中τ(w)表示gt(z) -Wt等于0 的第一時間。而且，對于任意t≥0，gt將HK共形映射到H上，我們稱Kt為這個Loewner鏈{gt}的殼。

如果令ft(z)為gt(z)的逆映射，即ft(z) =g-1t(z)，則對任意的z∈H，ft(z)滿足下面微分方程

1.2 徑向Loewner微分方程

令D表示單位圓盤，若K?是一個閉集使得DK是一個包含原點的單連通區(qū)域，則稱K為D的一個殼，記為D-殼。同樣地，也存在唯一一個共形映射gK(z)：DK→D 滿足gK(0)=0，g′K(0) ＞0.K的容量定義為capD(K)=lng′K(0). 在z=0處，gK(z)可以展開為

這里系數(shù)ck是復數(shù)。

假設γ(t)是一條在內從邊界?D 到原點的連續(xù)路徑，則對每個t，都產(chǎn)生一個D-殼(Kt)t≥0與相應的一個共形映射gKt(z)：DKt→D. 同樣地，我們可以參數(shù)化γ(t)，使得lng′K(0) =t，在這種情況下令gt∶=gKt，則gt滿足下面徑向Loewner微分方程

其中驅動項Wt=gt(γ(t)) ∈?D.

反過來，如果給定一個定義在[ 0，∞)上且取值于?D 的連續(xù)函數(shù)Wt，則對于所有z?Kt={w∈：τ(w) ≤t}，方程(3) 在時間t之前是可解的，其中τ(w) 表示gt(z)碰到Wt的第一時間。而且對于任意的t≥0，gt將DKt共形映射到D上，我們稱Kt為這個Loewner鏈{gt}的殼。

稱方程(4)為單位圓盤D 內的徑向Loewner微分方程，該方程的解{ft}(Loewner鏈)，是一類從單位圓盤D 到D的子集的共形映射。

1.3 偶極Loewner微分方程

考慮帶形區(qū)域Sπ={z∈C：0 ＜Imz＜π}. 設K?是一個緊集使得SπK是一個單連通區(qū)域且K=，則稱K為Sπ的一個殼。對每一個殼K，存在唯一共形映射gK(z)：SπK→Sπ. 記capSπ(K)為殼K的容量，則有

假設γ(t)是在Sπ內一條從原點出發(fā)到上邊界Rπ={z∈C：Imz=π}的連續(xù)路徑，則對每個t，都產(chǎn)生一個Sπ-殼(Kt)t≥0與相應的一個共形映射gKt(z)：SπKt→Sπ. 同樣地，我們可以參數(shù)化γ(t)，使得capSπ(K) =t，在這種情況下令gt?gKt，則gt滿足下面偶極Loewner微分方程

其中驅動項Wt是定義在[ )0，∞上的一個實值函數(shù)。

反過來，如果給定一個定義在[ 0，∞)內且取值于實軸上的連續(xù)函數(shù)Wt，則對于所有τ(w) ≤t}，方程(5) 在時間t之前是可解的，其中τ(w) 表示gt(z)碰到Wt的第一時間。而且對于任意的t≥0，gt將SπKt共形映射到Sπ上，我們稱Kt為這個Loewner鏈{gt}的殼。

固定t∈[ 0，∞)，w∈Sπ，令hs(w)(0 ≤s≤t)，為下面微分方程的解

則稱方程(6)為方程(5)的逆時間偶極Loewner微分方程。

稱方程(7)為帶形區(qū)域Sπ內的偶極Loewner 微分方程，這個方程的解{ft}(Loewner鏈)是一類從帶形區(qū)域Sπ到Sπ的子集的共形映射。

2 依時間方向變化的估計

通弦Loewner 微分方程(2)與徑向Loewner 微分方程(4)的解依時間變化的估計已經(jīng)分別在文［5］與［4］中給出。在這一節(jié)應用三角函數(shù)與雙曲函數(shù)之間的關系以及Bieberbach 定理導出了偶極Loewner 微分方程(7)的解按時間方向變化的一個估計，我們有下面的定理。

定理1假設ft是帶形區(qū)域Sπ內偶極Loewner微分方程的解，并且固定z=x+ iy∈Sπ. 則存在一個常數(shù)C＞0，使得當0 ≤s＜1M(y)時有

且

為了證明定理1，需要下面的引理。首先，關于三角函數(shù)和雙曲函數(shù)之間的關系，我們有

引理1令z=x+ iy∈C，則下面等式成立

(ii) csch2z=， 其中X=sinhxcosy，Y=coshxsiny.

證明應用歐拉公式并結合三角函數(shù)恒等式與雙曲函數(shù)的定義容易推出上面等式成立，也可參見文［20］。

其次，文［17］證明了關于S類單葉函數(shù)的如下結果。

引理2 (Bieberbach定理)設f(z) =z+a2z2+ …，z∈D是一個S類單葉函數(shù)，則有

定理1的證明對偶極Loewner方程(7)兩邊關于z求偏導并結合三角形不等式得

此外，由引理1(ii)有

這里X=sinhacosb，Y=coshasinb. 由此可得

從而有

將函數(shù)

在ξ=0處展開得

由引理2得

從而有

最后，將式(12)～(14)代入式(11)得

進一步可得

亦即

這推出式(9)成立，其中N. 于是完成了該定理的證明。

3 依驅動函數(shù)的上確界范數(shù)的估計

文［4-5］分別討論了徑向和通弦Loewner 方程對應于兩個不同驅動函數(shù)的解的差值。這差值可通過這兩個驅動函數(shù)差的上確界范數(shù)來估計。本節(jié)中將應用逆時間Loewner 方程(6)導出偶極Loewner 方程(7)的相應估計，確切地說，有

定理2給定0 ＜T＜∞. 假設對于每一個t∈[ 0，T]，函數(shù)與分別是驅動項為與的偶極Loewner方程(7)的解。如果令

則對每一個z=x+ iy∈Sπ，存在一個依賴于T的常數(shù)c＞1使得

證明首先固定t∈( 0，T]. 對于0 ≤s≤t，記同時固定z=x+ iy，并令

則有

下面估計|H(t)|. 對H(s)關于s求導并結合式(6)給出

這里

由于H(0)=0，因此有

由此可推出

注意到

從而有

兩邊對s積分就得到

對式(18)關于z求導，得到

這蘊含著

由此推出

兩邊對s求積分得

對于Reψ(s)，有

假定0 ＜ε＜1，則.同時，偶極Loewner 微分方程給出±capSπ(Ks) . 這蘊含存在一個只依賴于T的常數(shù)c1＞0 使得對于任意z∈Sπ有|H(s)| ≤c1. 從而可知，存在一個只依賴于T的常數(shù)c2＞0使得. 此外，

這里c＞1是一個依賴于位置的常數(shù)。于是，由式(21)并結合Cauchy-Schwarz不等式得

其中c＞1是一個僅依賴于T的常數(shù)的常數(shù)。因為

所以由式(19)，(20)得

對t求積分得

根據(jù)式(22)～(24)得

同時，由式(19)與式(24)推出

因此將式(25)，(26)代入式(17)且考慮到對任意的t＞0有sinht≥t，可推出式(16)，其中常數(shù)c＞1僅依賴于T.

另外，從ψ與ξ的定義推出一定存在常數(shù)＞0，|ψ(s)| ≤|ξ(s)|. 于是有

這里依賴于位置。把式(27)代入式(17) 并結合式(26)，可得到式(15)，其中常數(shù)c＞1僅依賴于T. 證畢。