張保壘

1 問題邏輯的基本概念

問題邏輯（the logic of questions 或erotetic1英文單詞erotetic 源于希臘文單詞erotema，后者的意思是“問題”。（參見[6]，第1 頁）logic）是邏輯學(xué)的一個(gè)分支，又稱為問句邏輯（the logic of interrogatives 或the logic of questions）、問答邏輯（the logic of questions and answers）、詢問邏輯（interrogative logic）等，它主要研究與問題有關(guān)的話題，諸如：?jiǎn)柧洌╥nterrogatives 或questions）及問句所表達(dá)問題（questions或issues）的邏輯結(jié)構(gòu)，問題與解答（answers）的關(guān)系，問句的語義解釋，適用于問題的推理關(guān)系，互動(dòng)場(chǎng)景中提問（questioning）或問答行為對(duì)信息流的影響，問句的預(yù)設(shè)，語用及有關(guān)的哲學(xué)話題等。

漢語中的“問題”又稱作“問句”，與英文中的“interrogatives”或“questions”意思相近?！皢柧洹睂儆谝环N句子類型，存在于自然語言或形式語言中，“問題”的所屬則不那么明顯：有時(shí)它指一種特殊類型的句子，如“各種自然語言中的問題都有一些獨(dú)特的語法特征”；有時(shí)還可以指稱一種思維形式，如“我們提出問題時(shí)經(jīng)常借助疑問句”。英語中“questions”一詞的常見含義有三種：自然語言或形式語言中的問句（interrogatives）、作為行為方式的提問（questioning）和作為語義內(nèi)容的問題（issues）。2對(duì)question 一詞的詳細(xì)討論，參見[2]，第1059 頁。研究“questions”的不同學(xué)科尤其是問題邏輯中的不同進(jìn)路都有各自所關(guān)注的某種含義，舉例而言：語言學(xué)尤其是其語法部分主要研究第一種含義下的“questions”，語用學(xué)特別是言語行為理論主要研究第二種含義，第三種用法下問題的含義（sense），或提問行為的內(nèi)容（content）則是問題邏輯尤其是其邏輯語義部分的關(guān)注對(duì)象。

與問題有關(guān)的諸多概念中，最重要的一個(gè)可能就是“解答”（answers），作為語言形式的“問題”（即問句），其解答也是某種語言形式，作為問句之語義內(nèi)容的“問題”，其解答也是一個(gè)語義概念。問題邏輯研究中往往對(duì)解答做兩點(diǎn)規(guī)定：（[1]，第3 頁）

(i) 問句的解答是陳述句，相應(yīng)地，作為語義形式的問題，其解答是命題。

(ii) 解答所提供的信息，不多不少恰好是解決問題所需要的信息，即解答應(yīng)當(dāng)“完全地、且恰好完全地解決了問題”。

問題的預(yù)設(shè)也是問題邏輯研究中的一個(gè)重要概念，在“預(yù)設(shè)”一詞的直觀用法下，無論在語義還是語用層面上，一個(gè)問題都預(yù)設(shè)了很多東西，問題邏輯中研究的預(yù)設(shè)主要是一個(gè)語義概念，在語義層面，所有的邏輯規(guī)律都是任一問題的預(yù)設(shè)，但研究者希望在一個(gè)更狹窄的意義上談?wù)搯栴}的預(yù)設(shè)，其中貝爾納普對(duì)問題預(yù)設(shè)的定義被問題邏輯研究者普遍接受：“一個(gè)陳述是一個(gè)問題的預(yù)設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)該陳述的真是該問題有真解答的必要條件。”（[1]，第5 頁）在某問題的諸多預(yù)設(shè)中，可能有一些預(yù)設(shè)能衍推其他所有預(yù)設(shè)，這類預(yù)設(shè)在語義上對(duì)應(yīng)同一個(gè)命題，在語法上往往能定義出表征該命題的一個(gè)公式，這一公式常被稱作問題的唯一預(yù)設(shè)（the presupposition），本文使用“預(yù)設(shè)”一詞，多是在“唯一預(yù)設(shè)”的意義上使用。

2 “whether 問題”和“why 問題”

可將中的問題分為兩類，即：

（中的）“whether 問題”，指形如?{A1,...,An}（其中n ≥2 且A1,...,An都是經(jīng)典公式且互不相同）的表達(dá)式。whether 問題?{A1,...,An}可讀作“諸命題A1,...,An中哪個(gè)成立？”，形式的whether 問題一般用于表征自然語言中具有有限個(gè)解答的問題，后者被稱作自然語言中的whether 問題，如“Whether he is coming?”、“Who is coming,Ann or Bob?”、“今天是星期幾？”等。有一類特殊的whether 問題，即形如?{A,～A}的問題，稱作是非問題，其直觀含義是“A成立與否？”。本文規(guī)定，whether 問題?{A1,...,An}的所有解答構(gòu)成的解答集即{A1,...,An}3注意，{A1,...,An}是一個(gè)集合，但問題表達(dá)式?{A1,...,An}中的“{ }”不是集合符號(hào)，而是邏輯常量符號(hào)。，預(yù)設(shè)是A1∨...∨An。

（中的）“why 問題”，指形如?{A}的表達(dá)式，其中A是經(jīng)典公式。本文規(guī)定，why 問題?{A}預(yù)設(shè)即公式A，其解答是形如B1,...,Bn,((B1∧...∧Bn)→A)（其中n ≥1 且B1∧...∧Bn不同于A）的任一公式序列，這種why 問題所表征的只是自然語言中的一類why 問題，即詢問某個(gè)命題成立的原因、理由或充分條件的why 問題，例如問題“為什么電燈滅了？”及其一個(gè)解答“停電了，停電就導(dǎo)致電燈滅”可分別表征為?{A}和B,B →A（其中A表示“電燈滅了。”，B表示“停電了?！保?，再如“為什么桌面受到的空氣壓力增大了？”及其一個(gè)解答“空氣壓強(qiáng)增大了，桌面受力面積沒變，前兩者導(dǎo)致桌面所受壓力增大?！笨煞謩e表征為?{A}和B1,B2,(B1∧B2→A)（其中A表示“桌面受到的空氣壓力增大了。”，B1表示“空氣壓強(qiáng)增大了?！保珺2表示“桌面受力面積沒變?！保?。

Why 問題具有重要研究?jī)r(jià)值，科學(xué)哲學(xué)中對(duì)某個(gè)事實(shí)F的解釋可理解為對(duì)關(guān)于這一事實(shí)的why 問題“WhyF?”的回答，因而對(duì)why 問題的邏輯分析對(duì)于科學(xué)解釋而言是一項(xiàng)重要工作，歷史上很多科學(xué)哲學(xué)家都對(duì)why 問題有過討論。（[5]）Why 問題也具有特殊性，其本身及其解答的邏輯結(jié)構(gòu)似乎比其他問題更為復(fù)雜，本文無意解決與why 問題有關(guān)的種種困難，僅關(guān)注形式語言中的上述那類why 問題并構(gòu)建一種相應(yīng)的邏輯系統(tǒng)，這種構(gòu)建是在辛迪卡的有關(guān)工作基礎(chǔ)上進(jìn)行的，接下來先對(duì)辛迪卡的詢問探究模型進(jìn)行簡(jiǎn)要考察。

3 辛迪卡的詢問探究模型IMI

辛迪卡的詢問探究模型IMI在不同語境中含義可能不同，它有時(shí)指一種特定的思想范式，這種范式在探究者的推演行為之外特別強(qiáng)調(diào)提問行為在探究過程中的作用，這種用法下的IMI是一個(gè)專有名詞，即the interrogative model of inquiry，作為思想范式的IMI被辛迪卡描述為一種博弈活動(dòng)，即探究者（the Inquirer）和自然界（Nature）在某個(gè)固定模型基礎(chǔ)上的博弈，探究者的目標(biāo)是獲得某個(gè)特定結(jié)論或解決某個(gè)特定問題，為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)可采取提問行為或推演行為：借助提問，探究者向自然界獲取信息并將其用于后續(xù)探究，借助推演，探究者在已有信息的基礎(chǔ)上進(jìn)行普通的演繹推理。自然界在這一活動(dòng)中就像一個(gè)配角，其作用只是回答探究者的提問：在可以回答的時(shí)候給出回答。辛迪卡之所以用博弈論的術(shù)語表達(dá)IMI的思想，只是為了強(qiáng)調(diào)探究活動(dòng)中的策略因素，IMI的具體版本很少用到現(xiàn)代博弈論的結(jié)果。若要在技術(shù)上實(shí)現(xiàn)上述想法，就要構(gòu)建IMI的具體版本，諸如經(jīng)典命題邏輯版本、一階邏輯版本、認(rèn)知邏輯版本等，抽象意義上IMI中的推演行為和提問行為在具體版本中分別實(shí)現(xiàn)為演繹步驟（deductive moves）和詢問步驟（interrogative moves），兩類步驟在具體邏輯系統(tǒng)內(nèi)的實(shí)施則要借助各種邏輯規(guī)則。后文中IMI所處的語境將表明該詞是在哪種含義下被使用的。

辛迪卡在構(gòu)建IMI的形式系統(tǒng)時(shí)，采用的是以貫列（sequents）為結(jié)點(diǎn)的表列演算（tableau calculus）樣式，一般含有四類規(guī)則：結(jié)構(gòu)規(guī)則、聯(lián)結(jié)詞規(guī)則、特殊規(guī)則和提問規(guī)則，其中提問規(guī)則說的是：“若某問題的預(yù)設(shè)出現(xiàn)在了子表列的左側(cè)，探究者就可以向信息庫（the oracle）提出該問題，若信息庫做了解答，就將解答添加到子表列左側(cè)?！保╗3]，第51 頁）4辛迪卡只給出了提問規(guī)則的自然語言表述，且這種表述適用于IMI 的一系列版本。結(jié)構(gòu)規(guī)則、聯(lián)結(jié)詞規(guī)則、特殊規(guī)則隨著IMI 具體版本的不同而有所區(qū)別，一階版本IMI 中的這三類規(guī)則參見[3]，第48–53 頁。提問規(guī)則表明，IMI中的推導(dǎo)是探究者與信息庫之間互動(dòng)的結(jié)果，其中信息庫的唯一貢獻(xiàn)是回答探究者提出的問題，推導(dǎo)的主角是探究者，探究者在推導(dǎo)過程中既可運(yùn)用前三類規(guī)則從某個(gè)貫列得出一個(gè)新貫列，這類步驟類似于經(jīng)典演繹推理，稱作演繹步驟，探究者還可以從某個(gè)貫列基礎(chǔ)上依據(jù)提問規(guī)則提出問題，并將信息庫的回答納入推導(dǎo)序列中，這種步驟稱作詢問步驟，正因?yàn)樵试S詢問步驟，IMI系統(tǒng)中的推導(dǎo)才被稱作詢問推導(dǎo)（interrogative derivation）。

辛迪卡在分析IMI的形式系統(tǒng)時(shí)特別強(qiáng)調(diào)認(rèn)知因素，比如著力構(gòu)建認(rèn)知版本的IMI系統(tǒng)，而針對(duì)非認(rèn)知版本的IMI系統(tǒng)，則認(rèn)為其中的每個(gè)經(jīng)典公式A 都有一個(gè)隱藏的前綴認(rèn)知算子K（[3]，第190–191 頁），這樣一來，就可以用與問題求解有關(guān)的術(shù)語來描述詢問推導(dǎo)，以一階版本IMI為例，設(shè)其中某推導(dǎo)序列的初始貫列是T ?C（其中T是一個(gè)公式序列，C是一個(gè)公式），認(rèn)知視角下貫列結(jié)論C被看作某個(gè)問題Q的所需（因?yàn)镃之前被認(rèn)為有隱藏的認(rèn)知算子），由貫列結(jié)論開始的詢問推導(dǎo)過程即對(duì)問題Q的求解過程，故Q被稱作該詢問推導(dǎo)的首要問題（the principal question），在詢問推導(dǎo)過程中，還有可能產(chǎn)生一些向信息庫提出的問題，這些問題稱作操作問題（operative questions），首要問題和操作問題之分對(duì)辛迪卡使用IMI分析why 問題尤為重要。

辛迪卡對(duì)why 問題的分析是非常獨(dú)特的，這種分析需要從認(rèn)知角度進(jìn)行，在的任一經(jīng)典公式前均增加一個(gè)認(rèn)知算子后，可將辛迪卡對(duì)whether 問題和why問題的分析總結(jié)如下：whether 問題的預(yù)設(shè)、解答集、所需的邏輯形式分別是K(A1∨...∨An)、{KA1,...,KAn}、KA1∨...∨KAn，其中“問題的所需（the desideratum of a question）”，被定義為“提問者通過正常使用問題想要達(dá)到的特定認(rèn)知狀態(tài)”。（[4]，第25 頁）5定義中的“正常使用”指提問者確實(shí)不知道問題的正確解答并想通過提問改變這種無知狀態(tài)，這就排除了對(duì)問題的某些使用方式，包括教師用她們已知道答案的問題去測(cè)驗(yàn)學(xué)生，及對(duì)問題的修辭性用法等。辛迪卡認(rèn)為，why 問題是whether 問題退化為n=1 時(shí)的情形，故why問題的形式是?{A1}，這種退化不僅體現(xiàn)在why 問題的邏輯形式，還體現(xiàn)在其所需、預(yù)設(shè)、解答：whether 問題?{A1,...,An}的所需、預(yù)設(shè)、解答當(dāng)n=1 時(shí)均為KA1，從而why 問題?{A1}的預(yù)設(shè)、所需、解答的形式也都是KA1，基于這種分析，辛迪卡聲稱why 問題不像很多研究者所認(rèn)為的是一類邏輯結(jié)構(gòu)復(fù)雜的問題，而是一類邏輯上極為簡(jiǎn)單的問題。然而，辛迪卡的這種解讀方式偏離了對(duì)why 問題的傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)和直觀理解，與自然語言中why 問題的實(shí)際使用情況相去甚遠(yuǎn)。在自然語言中，人們?cè)儐枴癢hy A?”（?{A}），更多地是追問A之所以成立的原因、理由或充分條件，將這些原因、理由或充分條件作為解答是合理的，而辛迪卡用“知道A”（KA）來解答則令人費(fèi)解，并不適當(dāng)。本文采用對(duì)why 問題的傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)和直觀理解，結(jié)合自然語言的實(shí)際使用情況，構(gòu)建一個(gè)能處理這一類why 問題的新系統(tǒng)。

4 能處理一類“why 問題”的問題邏輯系統(tǒng)IMIpw

本節(jié)構(gòu)建問題邏輯系統(tǒng)IMIpw，它不僅能處理whether 問題，也能處理上述那類why 問題。IMIpw的形式語言即語言，IMIpw中的變形規(guī)則都是針對(duì)貫列的，貫列的定義如下：6本定義參考了[7]，第3 頁的定義1.1.4。

定義2(IMIpw中的貫列).IMIpw中的貫列指形如A1,...,An ?B1,...,Bk的表達(dá)式，其中：n ≥0，n ∈N（N 是全體自然數(shù)的集合），k ≥0，k ∈N，Ai ∈（1≤i ≤n），Bj ∈（1≤j ≤k）。推斷符號(hào)“?”左側(cè)的公式序列A1,...,An稱作該貫列的貫列前提（the antecedent），“?”右側(cè)的公式序列B1,...,Bk稱作該貫列的貫列結(jié)論（the succedent 或the consequent）。

當(dāng)貫列前提或貫列結(jié)論為空時(shí)，相應(yīng)地在“?”的左側(cè)或右側(cè)不寫任何記號(hào)，如“?B1,...,Bk”、“A1,...,An ?”、“?”都是貫列?！癆1,...,An ?B1,...,Bk”的直觀含義是：“（在系統(tǒng)IMIpw中）以序列A1,...,An為前提可推出序列B1,...,Bk”，改用語義術(shù)語即：“若A1,...,An ?B1,...,Bk的前提中每一個(gè)公式為真，則該貫列的結(jié)論中至少一個(gè)公式為真”，從而貫列前提中的逗號(hào)被看作合取，貫列結(jié)論中的逗號(hào)被看作析取。本章用α、β（均可加下標(biāo)）表示任意的貫列，用Γ、?（均可加下標(biāo)）表示任意的有限的經(jīng)典公式序列（可以沒有公式）。

系統(tǒng)IMIpw是在語言的基礎(chǔ)上，添加結(jié)構(gòu)規(guī)則、聯(lián)結(jié)詞規(guī)則、特殊規(guī)則和提問規(guī)則構(gòu)成的。IMIpw采用表列演算的樣式來進(jìn)行推理，其中前三類規(guī)則（即結(jié)構(gòu)規(guī)則、聯(lián)結(jié)詞規(guī)則和特殊規(guī)則）的直觀含義如下：規(guī)則的含義是：“若貫列α表示的推斷不成立，則貫列β表示的推斷也不成立”，規(guī)則的含義是：“若貫列α表示的推斷不成立，則貫列β1 或β2 表示的推斷至少有一個(gè)不成立”?！柏灹笑帘硎镜耐茢嗖怀闪ⅰ钡暮x是：“有可能α的貫列前提都為真且α的貫列結(jié)論都為假”。

下面分類列出IMIpw中的變形規(guī)則：

1.結(jié)構(gòu)規(guī)則分為弱化（weakening）規(guī)則、收縮（contraction）規(guī)則、交換（per mutation）規(guī)則7系統(tǒng)IMIpw 的貫列中，貫列前提和貫列結(jié)論都可能含有多個(gè)公式，所以每個(gè)結(jié)構(gòu)規(guī)則分為左右兩類：LW（左弱化）、LC（左收縮）、LP（左交換）、RW（右弱化）、RC（右收縮）、RP（右交換）。：

(LW)的直觀含義是：由較多前提推不出的東西，由較少前提也推不出；

(RW)的直觀含義是：由特定前提若推不出較多可能性中的一個(gè)，則也推不出較少可能性中的一個(gè)；

兩條收縮規(guī)則表明，同一公式出現(xiàn)多次和出現(xiàn)一次的效果相同；

交換規(guī)則表明，兩個(gè)公式在序列中的先后位置無關(guān)緊要。

2.聯(lián)結(jié)詞規(guī)則8關(guān)于析取和合取的規(guī)則參考了[3]，第49 頁，關(guān)于否定的規(guī)則出自[8]，第490 頁。

前兩類規(guī)則構(gòu)成了經(jīng)典命題邏輯的一種表列演算系統(tǒng)。

3.特殊規(guī)則9辛迪卡構(gòu)建的IMI 系統(tǒng)中僅將這條規(guī)則與規(guī)則(R.cont)單獨(dú)列出，系統(tǒng)IMI 中沒有稱它們?yōu)樘厥庖?guī)則，參見[3]，第52–53 頁，系統(tǒng)IMIpw 中用不到規(guī)則(R.cont)。

本規(guī)則在經(jīng)典命題邏輯中亦成立。對(duì)于IMIpw中的詢問步驟而言，此規(guī)則必不可少，故將其歸類為特殊規(guī)則。10該規(guī)則在本文的系統(tǒng)IMIpw 的地位與其在辛迪卡的某些IMI 系統(tǒng)中相同，所以在此不再詳細(xì)討論，可參見[3]，第40–42 頁。

4.提問規(guī)則提問規(guī)則涉及一個(gè)關(guān)鍵概念，即信息庫，信息庫在探究活動(dòng)中的角色是配角：僅對(duì)探究者的提問做回答。辛迪卡的IMI中一般假定信息庫滿足四個(gè)條件，即：11前三條參見[3]，第48 頁，第(iv)條是本文加上的。

(i) 一場(chǎng)探究活動(dòng)只有一個(gè)信息庫；

(ii) 信息庫所提供的解答集在探究過程中保持不變；

(iii) 信息庫所提供的解答都為真，且探究者知道其為真；

(iv) 當(dāng)某問題有解答在信息庫中時(shí)，信息庫一定要回答該問題。

IMIpw中的信息庫也滿足上述四點(diǎn)要求，為敘述方便，設(shè)IMIpw中信息庫能給出的回答構(gòu)成集合OP，OP是一個(gè)由中的經(jīng)典公式構(gòu)成的一致集（它可能是無限的，也可能是空集）12即無矛盾的集合，亦即有經(jīng)典模型的集合。，稱其為IMIpw中信息庫的解答集（the set of all answers of the oracle），在不致混淆時(shí)簡(jiǎn)稱其為（IMIpw的）信息庫。在IMIpw中，探究者一定知道信息庫的存在，從而在某些情形下會(huì)求助于信息庫，但探究者預(yù)先卻不知道信息庫解答集的外延（所以有可能信息庫無法回答任何問題，但探究者還是會(huì)向其提問），正因?yàn)槿绱?，詢問行為才可能?huì)擴(kuò)展探究者的知識(shí)，詢問探究模型中探究者所作的推理才不僅僅是演繹推理。在IMIpw中，探究者既可向信息庫提出中的whether 問題，也能提出中的why 問題，所以IMIpw中有兩條提問規(guī)則，分別表述如下：

whether 提問規(guī)則(L.Qwhe)：推導(dǎo)過程中，若whether 問題?{A1,...,An}的預(yù)設(shè)即A1∨...∨An是某貫列Γ??的一個(gè)前提公式，則探究者可以向信息庫提出問題?{A1,...,An}。若信息庫給出了回答Ai（1≤i ≤n），則可得出貫列Γ,Ai ??。

規(guī)則(L.Qwhe)的圖示是：其中Ai（∈OP）是信息庫對(duì)問題?{A1,...,An}的回答。

設(shè)α=Γ1,A1∨...∨An,Γ2??，而β=Γ1,A1∨...∨An,Γ2,Ai ??，規(guī)則(L.Qwhe)的直觀含義是：在信息庫的解答集OP中的元素都為真的前提下，若貫列α表示的推斷不成立，則貫列β表示的推斷也不成立。

why 提問規(guī)則(L.Qwhy)：對(duì)于貫列Γ,A ??，探究者可以向信息庫提出why問題?{A}。若信息庫給出回答B(yǎng)1,...,Bn,((B1∧...∧Bn)→A)（其中n ≥1 且B1∧...∧Bn不同于A），則探究者可得出貫列Γ,B1,...,Bn,((B1∧...∧Bn)→A)??。

規(guī)則(L.Qwhy)的圖示是：其中公式序列B1,...,Bn,((B1∧...∧Bn)→A)（其中每一公式均是OP中的元素且B1∧...∧Bn不同于A）是信息庫對(duì)why 問題?{A}的回答。

規(guī)則(L.Qwhy)的直觀含義與規(guī)則(L.Qwhe)的直觀含義類似，亦即在信息庫的解答集OP中的元素都為真的前提下，若規(guī)則(L.Qwhy)前提中貫列表示的推斷不成立，則結(jié)論中貫列表示的推斷也不成立。

IMIpw中的推導(dǎo)是一種詢問推導(dǎo)，其中不僅允許結(jié)構(gòu)規(guī)則、聯(lián)結(jié)詞規(guī)則和特殊規(guī)則所導(dǎo)致的演繹步驟，還允許提問規(guī)則所導(dǎo)致的詢問步驟，IMIpw中對(duì)貫列Γ??的詢問推導(dǎo)可表示為向下生長(zhǎng)的樹型表列，相關(guān)定義如下：

定義3(表列及其分枝13該定義中的有關(guān)術(shù)語參考了[7]，第5–6 頁中的定義1.1.6。).

(i) 由單個(gè)貫列“Γ??”構(gòu)成的圖示稱為“一個(gè)以Γ??為根的表列”，這個(gè)表列也是其自身唯一的分枝。

(ii) 由貫列“Γ??”出發(fā)，運(yùn)用IMIpw中的變形規(guī)則（結(jié)構(gòu)規(guī)則、聯(lián)結(jié)詞規(guī)則、特殊規(guī)則或提問規(guī)則）構(gòu)造的任一推導(dǎo)圖示，均是“一個(gè)以Γ??為根的表列”或稱“Γ??的一個(gè)表列”或“Γ??的一個(gè)推導(dǎo)”。設(shè)貫列序列α1(=Γ??),α2,...,αn（n ≥2）出現(xiàn)在以Γ??為根的某個(gè)表列T 中，其中每個(gè)αi+1（i=1,2,...,n ?1）都是由上一個(gè)貫列依據(jù)IMIpw中的變形規(guī)則得到的，且αn的下方?jīng)]有其他公式，亦即不對(duì)αn施加變形規(guī)則，則稱貫列序列α1(=Γ??),α2,...,αn（n ≥2）是表列T 的一個(gè)分枝，并稱任一αi（1≤i ≤n）為該分枝的一個(gè)結(jié)點(diǎn)。

(iii) 設(shè)T 是Γ??的一個(gè)表列，則Γ??的貫列前提中的公式亦稱作T 的初始前提（the initial premise），T 的所有初始前提組成的集合稱作T 的初始前提集，Γ??的貫列結(jié)論中的公式亦稱作T 的最終結(jié)論（the ultimate conclusion）。

Γ??表示的推理是否成立，將根據(jù)能否構(gòu)造出Γ??的一個(gè)封閉表列來判定，接下去給出封閉表列的定義：14該定義方式參考的是[3]，第50 頁。

定義4(封閉表列).一個(gè)表列是封閉的，當(dāng)且僅當(dāng)該表列的所有分枝是封閉的。其中，表列的一個(gè)分枝是封閉的，當(dāng)且僅當(dāng)其某個(gè)結(jié)點(diǎn)為以下三種貫列之一：

(i) 同一公式及其否定均是該結(jié)點(diǎn)的貫列前提；

(ii) 同一公式及其否定均是該結(jié)點(diǎn)的貫列結(jié)論；

(iii) 同一公式既是該結(jié)點(diǎn)的貫列前提又是其貫列結(jié)論。

如果在表列構(gòu)造過程中，一個(gè)分枝在某個(gè)結(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)封閉后，就不再對(duì)此結(jié)點(diǎn)施加變形規(guī)則，換言之，已經(jīng)封閉的分枝將停止生長(zhǎng)，因?yàn)樯鲜鋈N情形都意味著矛盾的出現(xiàn)，前文已指出對(duì)IMIpw變形規(guī)則中的貫列要按其不成立理解，即“有可能貫列前提都真且貫列結(jié)論都假”，情形(i)中，貫列前提不可能都真，情形(ii)中，貫列結(jié)論不可能都假，情形(iii)中，貫列前提都真則意味著貫列結(jié)論中至少有一個(gè)公式為真，三種情形都與該貫列的不成立相矛盾。從而若Γ??的某個(gè)表列的任意分枝都封閉，就意味著Γ??不成立會(huì)導(dǎo)致矛盾，故在系統(tǒng)IMIpw中，Γ??的一個(gè)封閉表列T 就是對(duì)Γ??的一個(gè)證明，若IMIpw中存在Γ??的一個(gè)證明，則意味著從Γ 到?的推導(dǎo)是成立的，這種推導(dǎo)概念的形式定義是：

定義5(IMIpw中的推導(dǎo)).設(shè)T={A1,...,An}（n ≥0）是一個(gè)由經(jīng)典公式構(gòu)成的公式集，C是一個(gè)經(jīng)典公式，M是使得OP中所有元素為真的一個(gè)經(jīng)典模型（即一個(gè)經(jīng)典賦值）。則稱“C是在模型M中基于初始前提集T經(jīng)詢問推導(dǎo)得出的”（記作：M:），當(dāng)且僅當(dāng)，在IMIpw中能構(gòu)造出貫列A1,...,An ?C的一個(gè)封閉表列。并稱T 是該詢問推導(dǎo)的初始前提集，C是該詢問推導(dǎo)的最終結(jié)論（ultimate conclusion）。

根據(jù)上述定義，IMIpw中的詢問推導(dǎo)與辛迪卡的IMI中的詢問推導(dǎo)類似，也是一個(gè)混合概念，是傳統(tǒng)真概念和邏輯后承概念的集成：

(i) 若推導(dǎo)過程中沒有提出任何問題，則這種推導(dǎo)是從T到C的經(jīng)典推導(dǎo)，即貫列A1,...,An ?C的封閉表列中未使用提問規(guī)則；

(ii) 若T為空集且推導(dǎo)過程中提出的問題（可以沒有問題）都得到了解答，這種情形下的詢問推導(dǎo)得出了C在M中的真，記作M |=C；

(iii) 若推導(dǎo)的初始前提T非空，且推導(dǎo)過程中用到了信息庫給出的解答（即使用了提問規(guī)則），則稱這種詢問推導(dǎo)的最終結(jié)論C是借助信息庫從前提集T得出的。

下面是IMIpw中的幾個(gè)推導(dǎo)實(shí)例：

例1.

該例沒有用到提問規(guī)則，從而這種詢問推導(dǎo)實(shí)質(zhì)上是經(jīng)典的演繹推導(dǎo)。

例2.設(shè)初始前提集T為空集?，下面是詢問推導(dǎo)M:p ∨q的一個(gè)封閉表列，它用到了規(guī)則(L.taut)和規(guī)則(L.Qwhe)：

(*)根據(jù)(L.Qwhe)提出?{q,～q}，并得到回答q。

其中在第二行借助(L.taut) 引入了重言式q ∨～q，這意味著可以提出問題?{q,～q}，第三行中借助(L.Qwhe)得到了解答q，這意味著q ∈OP。這種情形下詢問推導(dǎo)的最終結(jié)論是靠提問得出的，于是有：M |=q。

下面是一個(gè)既用到規(guī)則(L.Qwhe)又用到規(guī)則(L.Qwhy)的例子：

例3.設(shè)A和C ∧D均不同于B，以下是詢問推導(dǎo)M:～(～C ∧D)的一個(gè)封閉表列：

(*) 根據(jù)(L.Qwhe)提出?{A,B}并得到回答B(yǎng)

(**) 根據(jù)(L.Qwhy)提出?{B}并得到回答C、D和C ∧D →B

在上述表列的的詢問步驟中，信息庫對(duì)whether 問題?{A,B}的回答是B，信息庫對(duì)why 問題?{B}的回答是C、D和C∧D →B，由此可知，{B,C,D,C∧D →B}?OP，于是B、C、D和C ∧D →B都在模型M下為真。

接下去證明幾個(gè)元定理。IMIpw推導(dǎo)過程中，問題的解答可以作為進(jìn)一步推演的前提，從而由前提集T出發(fā)的詢問推導(dǎo)與以O(shè)P ∪T為前提的經(jīng)典演繹推導(dǎo)有某種聯(lián)系，下面的元定理就反映了這種聯(lián)系：15該定理的證明參考了辛迪卡對(duì)一階版本IMI 系統(tǒng)的完全性定理的證明，參見[3]，第53–54 頁。

定理1(詢問推導(dǎo)與經(jīng)典推導(dǎo)的關(guān)系定理).設(shè)T={A1,...,An}（n ≥0）為初始前提集，OP為IMIpw中信息庫的解答集，M是OP的一個(gè)經(jīng)典模型，則：結(jié)論C是在M中基于初始前提集T經(jīng)過詢問推導(dǎo)得出的（即M:C）當(dāng)且僅當(dāng)C是可由OP ∪T通過經(jīng)典演繹推導(dǎo)得出的，即OP ∪T ?C。16注意符號(hào)“?”的三種出現(xiàn)方式：“?”的左右兩邊均是公式序列時(shí)，Γ ?Δ 表示一個(gè)貫列；“?”的左邊是公式集T，右邊是單個(gè)公式C 時(shí)，T ?C 表示存在從T 到C 的經(jīng)典演繹推導(dǎo)；M :C 則表示系統(tǒng)IMIpw中存在從T 到C 的詢問推導(dǎo)。

證明.先證從左到右。設(shè)M:C，則此時(shí)IMIpw中存在貫列A1,...,An ?C的封閉表列T，可對(duì)T 分兩種情形討論：

? 情形一，T 中沒有使用提問規(guī)則，此時(shí)T 可直接作為從T到C的一個(gè)經(jīng)典演繹推導(dǎo)，于是有T ?C，再根據(jù)經(jīng)典演繹推導(dǎo)的單調(diào)性，即得OP ∪T ?C。

? 情形二，T 中使用了提問規(guī)則(L.Qwhe)或(L.Qwhy)，且整個(gè)過程中借助提問規(guī)則得到的解答依次是S1,...,Sn，則這一詢問推導(dǎo)可轉(zhuǎn)換為一個(gè)經(jīng)典演繹推導(dǎo){S1,...,Sn}∪T ?C：只需刪除原詢問推導(dǎo)表列中由提問規(guī)則得到的貫列并將S1,...,Sn添加到其余的每個(gè)貫列的前提中即可。例如，前述例3中的詢問推導(dǎo)M:A ∨B～(～C ∧D)中有兩次提問，分別得到解答B(yǎng)和C、D、C ∧D →B，刪除兩個(gè)提問規(guī)則得到的貫列，并將B，C，D，C ∧D →B添加到其余的每個(gè)貫列的前提中，則該詢問推導(dǎo)就可轉(zhuǎn)換為經(jīng)典演繹推導(dǎo){A ∨B,B,C,D,C ∧D →B}?～(～C ∧D)，推導(dǎo)表列如下：

而{S1,...,Sn}?OP，根據(jù)單調(diào)性，即得OP ∪T ?C。

再證從右到左。設(shè)OP∪T ?C，且該演繹推導(dǎo)中用到OP中的元素有S1,...,Sn，則在經(jīng)典命題邏輯中存在貫列A1,...,An,S1,...,Sn ?C的一個(gè)封閉表列，這一表列可按下述思路以轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)IMIpw中貫列A1,...,An ?C的一個(gè)詢問推導(dǎo)表列：從A1,...,An ?C出發(fā)，對(duì)i=1,...,n，依次使用規(guī)則(L.taut)引入Si ∨～Si，再根據(jù)提問規(guī)則(L.Qwhe)對(duì)問題?{Si,～Si}做解答Si。此后再根據(jù)弱化規(guī)則(LW)刪除每個(gè)Si ∨～Si并拼接上貫列A1,...,An,S1,...,Sn ?C的上述表列即可。例如，設(shè)T={A}，{B}?OP，C=A ∧B，則有OP ∪A ?A ∧B，因?yàn)橛幸韵碌姆忾]表列：

(*)根據(jù)(L.Qwhe)提出?{B,～B}得到回答B(yǎng)

前文提及，詢問推導(dǎo)推廣了模型真的概念，所以可以期待詢問推導(dǎo)在某種意義上的可靠性，即若前提集中所有元素也在給定模型中為真，則詢問推導(dǎo)的結(jié)論也真，不難證明這種可靠性確實(shí)成立：

定理2(詢問推導(dǎo)的可靠性定理).設(shè)T={A1,...,An}（n ≥0）為初始前提集，OP為IMIpw中信息庫的解答集，M是OP的一個(gè)經(jīng)典模型，若M:C，且前提集中T所有元素也在M中為真，則M |=C。

證明.若M:C，根據(jù)定理1，OP ∪T ?C，后者是經(jīng)典演繹推導(dǎo)，具有可靠性，故由OP和T 中的元素在M中都真即得M |=C。