楊桃麗,周銀鳳

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,福建漳州363000）

比利時數(shù)學(xué)心理學(xué)家Doignon 和美國數(shù)學(xué)心理學(xué)家Falmagne 于1985年首次提出了知識空間理論（Knowledge Space Theory，簡稱KST）[1]，該理論是一種測試學(xué)習(xí)者認(rèn)知水平的數(shù)學(xué)心理模型.

知識空間理論自提出到現(xiàn)在已經(jīng)應(yīng)用在自適應(yīng)測評與輔助學(xué)習(xí)[2-3]，ALEKS 系統(tǒng)的學(xué)習(xí)與評估等領(lǐng)域[4-5].該理論的提出受到了國內(nèi)外學(xué)者的眾多關(guān)注.1996年Rucsh等[6]研究了知識空間理論與形式概念分析之間的聯(lián)系.Spoto等[7]將知識空間與形式概念分析聯(lián)系起來，提出了由形式背景構(gòu)造知識空間的方法.李進(jìn)金等[8]通過對形式背景與知識基的聯(lián)系進(jìn)行研究，提出了由形式背景構(gòu)造知識空間的另一種可行的方法.韓光明等[9]將布爾矩陣與知識空間相結(jié)合，研究了基于技能映射的知識空間的知識基，并給出了相關(guān)算法.周銀鳳等[10]基于技能與問題間的關(guān)系，研究了知識結(jié)構(gòu)與技能背景間的聯(lián)系.

知識基是知識空間理論的一個核心概念，在析取模型中它包含了知識空間的所有信息，從而由知識基可以張成一個知識空間.1993年Dowling[2]提出了由知識空間求知識基的方法.1999年受到該方法的啟發(fā)，Doignon[11]給出了由知識基求知識空間的方法.2011年Falmagne 等[12]改進(jìn)了Dowling 提出的方法并提高了求知識基的效率.

簡單擬陣是組合數(shù)學(xué)中的一個重要分支，其發(fā)展至今已廣泛應(yīng)用于整數(shù)規(guī)劃、網(wǎng)絡(luò)流和電網(wǎng)絡(luò)理論等領(lǐng)域[13].1976年Welsh[14]對簡單擬陣與有限幾何格進(jìn)行研究，得到了兩者之間的一一對應(yīng)關(guān)系.賴虹建[15]提出了簡單擬陣可由任意有限擬陣通過簡單化的算法轉(zhuǎn)化得到.毛華[16]研究了簡單擬陣與概念格的關(guān)系，得到在同構(gòu)意義下每個簡單擬陣對應(yīng)一個概念格的結(jié)論.

Wille 與李進(jìn)金等都對知識空間與形式背景之間的關(guān)系進(jìn)行了研究[6-8]，而在同構(gòu)意義下，簡單擬陣與形式背景之間也存在著對應(yīng)的關(guān)系.毛華[16]曾研究了簡單擬陣與形式背景的相互構(gòu)造.通過構(gòu)造一種格結(jié)構(gòu)，將知識空間與簡單擬陣聯(lián)系起來.

基于問題與技能之間的聯(lián)系，首先給出求知識基的另一種方法.其次定義了問題與技能的伽羅瓦聯(lián)絡(luò)，討論知識空間的伽羅瓦格與簡單擬陣的幾何格之間的關(guān)系.隨后在討論技能映射與擬陣的關(guān)系的基礎(chǔ)上，通過構(gòu)造一種格結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步研究知識空間與簡單擬陣之間的聯(lián)系.最后得出了知識空間與簡單擬陣是一一對應(yīng)的結(jié)論.

1 預(yù)備知識

1.1 知識空間理論概述

知識狀態(tài)是知識空間理論的基本概念之一.學(xué)習(xí)者在理想環(huán)境下能夠正確回答問題域Q中的問題子集稱為知識狀態(tài)(knowledge state)，記為K.顯然K?Q.

定義1[12]設(shè)Q是非空問題集，K是由問題集Q的子集構(gòu)成的知識狀態(tài)集族，且K中至少包含?和Q，稱(Q,K)為知識結(jié)構(gòu)(knowledge structure).在問題集Q明確的條件下，直接稱K為知識結(jié)構(gòu).

定義2[12]若知識結(jié)構(gòu)K滿足并封閉，即對?Ki,Kj∈K，有Ki∪Kj∈K，則稱(Q,K)為知識空間(knowledge space)，也可以稱K為知識空間.

一般地，問題集Q是有限的，故本文所討論的知識空間也是有限的.

定義3[12]設(shè)G,G′分別為兩個集族，若G′是包含G中所有有限個元素的并所構(gòu)成的集合，則稱集族G'是G的張成(span)，或稱G張成G′.

顯然，G′是關(guān)于并封閉的.在知識空間中，若存在一組非空子集族，這組子集族可通過并運(yùn)算生成完整的知識空間，像這樣的一組最小子集族，我們稱之為知識空間的基(base).Falmagne 和Diognon 指出，知識空間是由它的基所確定的，在有限的知識空間中，有且僅有一個基與它對應(yīng)[1].

定義4[12]設(shè)F為非空集族.對?q∈∪F，F(xiàn)中包含q的極小集合稱為q的原子(atom).若對?q∈∪F，X是位于q的原子，那么稱集合X∈F.

需要注意的是，空集不是原子.在有限的知識結(jié)構(gòu)中，每個問題至少有一個原子，而所有問題的原子組成的集合是知識基.

定義5[12]設(shè)三元組(Q,S,τ)是一個技能映射，其中Q為非空問題集，S為非空技能集，τ是從Q到2S{?}的映射.

技能和問題之間常見的聯(lián)系有“或”和“與”關(guān)系，它們分別對應(yīng)著兩種模型，即析取模型和合取模型.析取模型表示為學(xué)習(xí)者僅需掌握與問題q的求解相關(guān)的某些技能便足以解決問題q；合取模型表示為學(xué)習(xí)者需掌握與問題q的求解相關(guān)的全部技能方能解決問題q.

在Falmagne 和Doignon 的研究中發(fā)現(xiàn)，技能映射通過析取模型誘導(dǎo)的知識結(jié)構(gòu)必定為知識空間，通過合取模型誘導(dǎo)的知識結(jié)構(gòu)為閉包空間[1].本文僅考慮技能映射的析取模型.

定義6[1]在析取模型下，技能子集T?S確定的知識狀態(tài)為K={q∈Q|τ(q) ∩T≠?}.當(dāng)T取遍S中所有的子集（包括?和S）時，可獲得由技能映射(Q,S,τ)在析取模型下誘導(dǎo)的知識結(jié)構(gòu)，記為K，且K滿足并封閉，即K是一個知識空間.

例1設(shè)(Q,S,τ)是一個技能映射，其中Q={a,b,c,d}，S={s,t,u}，定義：τ(a)={t,u}，τ(b)={s,t}，τ(c)={u}，τ(d)={s,u}.則該技能映射的Q?S表如表1所示.

表1 技能映射的Q?S表Tab.1 The Q?S table of skill mapping

因此，在析取模型下，每個技能子集T?S都可確定一個知識狀態(tài)，所得到的這些知識狀態(tài)包括?和Q就組成了一個關(guān)于并封閉的知識空間，即

根據(jù)Dowling求知識基的方法[2]，可得到知識空間K的知識基

1.2 格論與擬陣的概述

在經(jīng)典的擬陣論中，Welsh指出了有限幾何格與有限簡單擬陣的一一對應(yīng)關(guān)系[14].引入格論與擬陣的一些定義和引理.

定義7[17]設(shè)X是非空問題集，≤是X上的二元關(guān)系，如果

1)自反性：x≤x，?x∈X；

2)傳遞性：若x≤y,y≤z，則x≤z，?x,y,z∈X；

3)反對稱性：若x≤y,y≤x，則x=y，?x,y∈X，

則稱≤為X上的偏序關(guān)系，稱(X,≤)為偏序集.在不導(dǎo)致沖突的情況下，也將偏序集簡記為X.

定義8[17]設(shè)X是偏序集，若X的每個子集A都有上確界以及下確界，即?A?X，supA與infA恒存在，則稱X為完備格.

定義9[14]若對于?x,y∈L，有：x和y覆蓋x∧y?x∨y覆蓋x和y，稱格L是半模格.如果一個格是半模格并且每一元都是原子的并，則稱它是幾何格.

定義10[18]設(shè)X是一個集合，一個基B是X的一個子集族，用FB表示由B的并產(chǎn)生的族，即FB=稱B是FB的一個生成元.顯然，族FB是關(guān)于并封閉的.

定義11[18]在集合的包含關(guān)系下，F(xiàn)B是冪格2Q的一個并-子格.因此，完備格(FB,?)被稱為FB的覆蓋圖.在B是由給定的技能映射確定的情況下，為簡單起見，我們可以用F表示FB.

定義12[19]設(shè)E是一個有限集，F(xiàn)是由E的子集構(gòu)成的集族，若滿足以下條件：

1)?∈F；

2)若X∈F且Y?X，則Y∈F；

3)若X,Y∈F且|X|<|Y|，則存在y∈YX，使X∪{y}∈F，則(E,F)稱為擬陣(matroid)，記為M=(E,F).

任意的X∈F是擬陣的獨立集(independent set)，非獨立集的E的子集Y∈2EF稱為擬陣的相關(guān)集(dependent set).這里的“獨立”是線性無關(guān)概念的推廣，而“相關(guān)”是線性相關(guān)概念的推廣.

定義13[19]設(shè)M=(E,F)是一個擬陣，若{x}?E是M的相關(guān)集，則稱x是擬陣M的環(huán)(loop).若x,y∈E不是M的環(huán)，但{x,y}是一個相關(guān)集，則稱x,y是M的平行元素(parallel element)，簡稱為M的平行元，或x平行于y.沒有環(huán)和平行元的擬陣稱為簡單擬陣(simple matroid).

引理1[12]設(shè)(F,?)為一個幾何格，(F,?)與定義在其原子集合上的擬陣之間是有限幾何格族與簡單擬陣族之間的一個雙射.

注若幾何格(F,?)有唯一的最小元和最大元，我們將用0代替?表示該最小元，用1代替Q表示該最大元，則覆蓋0的元且被1覆蓋的元就稱為原子，記為0 ?B?1.本節(jié)中所提到的原子即為(F,?)的原子.

2 問題與技能的伽羅瓦聯(lián)絡(luò)

我們知道在技能映射中有限的非空問題集與非空技能集是偏序集，并且它們在集合的包含關(guān)系下可以構(gòu)成一個Galois 聯(lián)絡(luò).給出求知識基的另一種方法，進(jìn)一步討論由該知識基張成的知識空間的伽羅瓦格與完備格(F,?)的同構(gòu)關(guān)系.

在知識結(jié)構(gòu)(Q,K)中，?q1,q2∈Q，如果一個學(xué)習(xí)者能夠正確解決問題q2，那么他一定能正確解決問題q1，即q1≤q2，稱問題q1先于問題q2.則非空問題集Q是一個偏序集.

類似地，非空技能集S也是一個偏序集.下面給出問題與技能之間的伽羅瓦聯(lián)絡(luò)的定義.

定義14設(shè)(Q,S,τ)是一個技能映射，(Q,≤)和(S,≤)是偏序集，f∶Q→S與g∶S→Q是映射，如果f,g滿足：?q∈Q,?s∈S，有s≤f(q) ?q≤g(s)，則稱(f,g)是Q與S之間的Galois 聯(lián)絡(luò)，簡稱(f,g)是(Q,S)的Galois聯(lián)絡(luò).

例2設(shè)(Q,S,τ)是一個技能映射，其中Q={a,b,c,d},S={s,t,u,v}，定義：τ(a)={t,u},τ(b)={s,u},τ(c)={s,v},τ(d)={t,v}.對?M?Q,?T?S，令f(M)={x∈S|?q∈M,x∈τ(q)},g(T)={q∈Q|?x∈T,x∈τ(q)}.

若M={b,c},T={u,v}，則f(M)={s,u,v},g(T)={a,b,c,d}.從而

Gal(K)表示為S→Q的所有伽羅瓦聯(lián)絡(luò)形成的集合.在集合的包含關(guān)系下，Gal(K)是一個偏序集，其中K是有最小元?并且滿足并封閉的知識空間，從而是一個完備格.

定義15設(shè)K 是由技能映射(Q,S,τ)誘導(dǎo)的知識空間.對于偏序集(Q,≤)，?s∈S，定義↓s={q∈Q|s?τ(q)}.于是可得如下結(jié)論.

定理1設(shè)(Q,S,τ)是技能映射，則由該技能映射確定的知識基為B={Q↓s|?s∈S}.

證明在技能映射(Q,S,τ)中，對?s∈S，?q∈Q，使得s?τ(q)成立，于是Q↓s∈B.另一方面，對?q∈Q，?s∈S，使得s?τ(q)成立，于是問題q處的原子均可表示為Q↓s，從而(Q,S,τ)確定的基為B={Q↓s|?s∈S}.

由定義15與定理1可知，在給定技能映射的情況下，可以快速求出知識基.

定理2令技能映射(Q,S,τ)確定的知識空間K是偏序集，B為知識基，(F,?)是完備格.定義映射f∶F→Gal(K)是一個雙射（f與f?1保序），那么(F,?) ?Gal(K).

證明下證?A?F，f(A)的上、下確界存在.?A?F，由(F,?)是完備格知，supA∈F.又由f為雙射知，f(supA) ∈Gal(K)，f(supA)≥f(a)(?a∈A)，故f(supA)是{f(a)|a∈A}的上界.設(shè)b∈f(Gal(K))是f(A)的上界，由f是雙射知，?a∈F，使得?x∈A,b=f(a)≥f(x)，則由f?1保序知，?x∈A,a=f?1(b)≥x，故a≥supA.再由f保序知，f(a)≥f(supA)，即b≥f(supA)，從而f(supA)是f(A)的上確界，即f(supA)=supf(A).同理可證?A?F，f(A)的下確界存在.從而可得(F,?) ?Gal(K).

例3在例1中，知識空間K={?,{a,b},{b,d},{a,b,d},{a,c,d},Q} ，它的基B={{a,b},{b,d},{a,c,d}}，F(xiàn)是B的張成.若A={{a,b},{a,b,d}}，supA={a,b,d}∈F，有f({a,b,d})={a,b,d}∈Gal(K)，從而f是(F,?)與Gal(K)之間的同構(gòu)映射.

3 簡單擬陣與知識空間

知識空間與形式背景之間具有相互轉(zhuǎn)換的關(guān)系，而在形式背景的伽羅瓦格與幾何格同構(gòu)意義下，簡單擬陣與形式背景之間也存在著對應(yīng)的關(guān)系.這時(F,?)中所有原子的集合指的就是知識基B.基于此，討論技能映射與擬陣的關(guān)系，通過構(gòu)造一種格結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步研究知識空間與簡單擬陣之間的聯(lián)系.

3.1 由簡單擬陣構(gòu)造知識空間

對技能映射與擬陣之間的關(guān)系進(jìn)行討論，當(dāng)擬陣中的有限集和閉集族被與技能映射有關(guān)的一些元所取代時，仍具有擬陣中的一些性質(zhì).于是有以下結(jié)論.

定理3設(shè)(Q,S,τ)是一個技能映射.M=(E,F)是一個擬陣，其中E是非空問題集Q的子集族，F(xiàn)是由E的并構(gòu)成的集族，則滿足以下性質(zhì)：

1)?∈F；

2)若E1∈F且E2?E1，則E2∈F；

3)若E1,E2∈F且|E1|<|E2|，則存在q∈E2E1，使E1∪{q}∈F.

證明由定義10知，F(xiàn)=

1)由于?滿足|?|=0，于是?∈F.

2)對?E1,E2?Q且E2?E1，若E1∈F，則E2∈F.

3)對?E1,E2?Q，令E1,E2∈F且|E1|<|E2|，若對?q∈E2E1，均有E1∪{q}∈F.從而3)成立.

特別地，當(dāng)M=(E,F)是簡單擬陣時，E是知識基B，F(xiàn)是由B張成的集族，記為M=(B,F).

根據(jù)定理3中技能映射與擬陣的關(guān)系，可進(jìn)一步研究知識空間與簡單擬陣的關(guān)系.

定義16設(shè)K1,K2是兩個知識空間.若存在雙射f∶Q1→Q2滿足：對于?K?Q1，有K∈K1?f(K) ∈K2，則稱K1同構(gòu)于K2，記為K1?K2.

將此處的兩個知識空間同構(gòu)視為同一結(jié)構(gòu).兩個技能映射誘導(dǎo)的知識空間同構(gòu)，它們的伽羅瓦格也是同構(gòu)的.

定理4設(shè)M=(B,F)是一個簡單擬陣，其中B是由技能映射(Q,S,τ)確定的知識基，F(xiàn)是B的張成.存在一個知識空間K滿足Gal(K) ?(F,?).即在同構(gòu)意義下，一個簡單擬陣M可唯一確定一個知識空間K.

證明由引理1知，(F,?)是一個幾何格.設(shè)M=(B,F)是一個簡單擬陣，(Q,S,τ)是一個技能映射，由定理2 可知，存在知識空間K滿足Gal(K) ?(F,?).因為知識空間K的伽羅瓦格與幾何格同構(gòu)，而B既是F的張成又為K的張成，從而簡單擬陣M可唯一確定一個知識空間K.

例4設(shè)M=(B,F)是一個簡單擬陣.設(shè)(Q,S,τ)是一個技能映射，其中Q={a,b,c,d}，S={s,t,u,v}，定義：τ(a)={s,v},τ(b)={t,v},τ(c)={u,v},τ(d)={t,u}，可作出技能映射的Q?S表，如表2所示.

表2 技能映射的Q?S表Tab.2 The Q?S table for skill mapping

可求得知識基B={Q↓s|?s∈S}={{a},{b,d},{c,d}}.由B張成的F={0,{a},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},1}=K，所以Gal(K) ?(F,?).圖1表示格(F,?)的示意圖，在伽羅瓦格與幾何格同構(gòu)的意義下，該圖也表示為知識空間的伽羅瓦格Gal(K)的示意圖.

圖1 格(F,?)Fig.1 L(F,?)

推論1設(shè)M1=(B1,F1)，M2=(B2,F2)為兩個簡單擬陣.若M1?M2，則KM1?KM2.

證明若M1?M2，由引理1 知(F1,?)和(F2,?)均為幾何格，則有(F1,?) ?(F2,?).又由定理2得Gal(KM1)?(F1,?)，Gal(KM2)?(F2,?)，故Gal(KM1)?Gal(KM2)，即KM1?KM2.

例4中，在同構(gòu)的意義下，得到了由簡單擬陣構(gòu)造的知識空間.接下來，將考慮定理4的逆命題是否成立.也就是說，在什么情況下，一個知識空間可以建立一個簡單擬陣.

3.2 由知識空間建立簡單擬陣

毛華在研究擬陣與概念格的關(guān)系時，得到了任意幾何格是完備格，但任意完備格不一定是幾何格的結(jié)果[20].引理2將是判斷完備格是不是幾何格的關(guān)鍵.

引理2[16]設(shè)B是知識空間K的基.若B滿足以下條件，則(F,?)是一個幾何格.

1)(F,?)是原子格，即B1,B2∈B?B1?B2.

2)(F,?) 是半模格，令{B1,…,Bg}?B，并 且{Bt1,…,Btn},{Bs1,…,Bsm}∈B{}B1,…,Bg.設(shè)F=B1∪…∪Bg滿足：

對于?B∈B{B1,…,Bg}，有F∪B≠F，F(xiàn)1=F∪Bt1=…=F∪Btn，滿足：對?B∈B{}

B1,…,Bg,Bt1,…,Btn有F1≠F∪B，并且對?B∈B{B1,…,Bg,Bs1,…,Bsm}，有F2=F∪Bs1=…=F∪Bsm滿足F2≠F∪B.

若F1≠F2.則對?B∈B{B1,…,Bg,Bt1,…,Btn,Bs1,…Bsm}，有F1∪F2∪B≠F1∪F2.

結(jié)合定義9與定義11可知(F,?)是一個幾何格.

定理5設(shè)K1,K2是兩個知識空間，K1,K2的基分別為B1和B2，且它們滿足引理2 的條件1)和2).若K1?K2，在同構(gòu)意義下，有(B1,F1)?(B2,F2)，即在同構(gòu)意義下，一個知識空間K確定唯一一個簡單擬陣(B,F).

證明設(shè)M1=(B1,F1)，M2=(B2,F2)為兩個簡單擬陣.若K1?K2，則由定義16有Gal(K1)?Gal(K2).因為知識基B1和B2滿足引理2 的條件1)和2)，所以(F1,?),(F2,?) 都是幾何格.又由定理2,Gal(K)?(F,?)得Gal(K1)?(F1,?),Gal(K2)?(F2,?).故(F1,?)?(F2,?)，從而(B1,F1)?(B2,F2).

例5設(shè)K是由(Q,S,τ)確定的知識空間，B為知識空間K的基，其中Q={a,b,c,d,e}，S={s,t,u}，定義：τ(a)={s}，τ(b)={s,t},τ(c)={s,u},τ(d)={t},τ(e)={u}，技能映射的Q?S表如表3所示.

表3 技能映射的Q?S表Tab.3 The Q?S table for skill mapping

可得到K的基B為{{a,b,c},{b,d},{c,e}}，其中B1={a,b,c},B2={b,d},B3={c,e}.在(F,?)中 ，必有 0 ?Bi(i=1,2,3).易得B1∪B2={a,b,c,d},B1∪B3={a,b,c,e},B2∪B3={b,c,d,e},B1∪B2∪B3=Q.綜上可知，B滿足引理2的條件1)和2).

根據(jù)F的定義得，F(xiàn)={}0,Bi(i=1,2,3),Bi∪Bj(i≠j;i,j=1,2,3),B1∪B2∪B3.再由定理5 知，(B,F)是由知識空間K確定的簡單擬陣，其中F是其閉集族.

推論2設(shè)M1=(E1,F1)，M2=(B2,F2)為兩個簡單擬陣.若M1?M2，則KM1?KM2，BM1和BM2分別是KM1，KM2的基且滿足引理2的條件1)和2)，即(F1,?),(F2,?)均為幾何格.

證明若M1?M2，即(E1,F1)?(E2,F2).因為BM1和BM2滿足引理2 的條件1)和2)，從而(F1,?) ?(F2,?).由Gal(KM)?(F,?)得Gal(KM1)?Gal(KM2)，故KM1?KM2.

在伽羅瓦格與幾何格同構(gòu)的意義下，可以得到一個知識空間，并且它的基滿足引理2 的條件1)和2)，與定義在其基上的簡單擬陣之間的對應(yīng)關(guān)系.從而有下面的結(jié)論.

定理6設(shè)K是由技能映射(Q,S,τ)確定的知識空間.定義雙射f∶S→B，B是K的知識基且B滿足引理2的條件1)和2)，MK為B上的簡單擬陣.在同構(gòu)意義下，則K→MK為一個雙射.

證明由定理2、定理4和定理5即證.

例6例5 中知識基B={}{a,b,c},{b,d},{c,e}，S={s,t,u}，定義雙射f∶S→B，則有f(s)={a,b,c}，f(t)={b,d}，f(u)={c,e}.B滿足引理2的條件1)和2)，從而(F,?)是一個幾何格.又由知識基B張成的知識空間K={}?,{b,d},{c,e},{a,b,c},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{b,c,d,e},Q=F，即K與F是同一結(jié)構(gòu).故K→MK是一個雙射.

根據(jù)引理2 的條件1)和2)可以快速判斷(F,?)的幾何性，在同構(gòu)意義下，使由知識空間建立簡單擬陣成為現(xiàn)實.

4 結(jié)束語

基于技能映射中的技能與問題之間的聯(lián)系，主要探討了知識空間與簡單擬陣的關(guān)系.首先給出求知識基的另一種方法，該方法在一定程度上降低了計算知識基的時間復(fù)雜度，可快速地求出知識基.其次定義了問題與技能的伽羅瓦聯(lián)絡(luò)，討論由知識基張成的知識空間的伽羅瓦格與幾何格的同構(gòu)關(guān)系.然后討論技能映射與擬陣的關(guān)系，在伽羅瓦格與幾何格同構(gòu)的意義下，對知識空間與簡單擬陣之間的關(guān)系進(jìn)行研究.最后得出了知識空間與簡單擬陣的一一對應(yīng)關(guān)系.因此，研究知識空間與簡單擬陣的關(guān)系是可行的.主要針對技能映射的析取模型進(jìn)行研究，在以后的研究中，進(jìn)一步挖掘知識空間與簡單擬陣的關(guān)系，進(jìn)一步考慮將技能映射的其他模型用于研究知識空間與簡單擬陣的關(guān)系中.