賈超，方宗德，姚立綱，張俊，盧宗興

(1.福州大學(xué)機(jī)械工程及自動化學(xué)院，福建福州，350116；2.西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，陜西西安，710072)

大量研究和長期實(shí)踐表明，齒面修形可以減小齒輪傳動系統(tǒng)的振動和噪聲、減小齒面載荷、降低齒面閃溫，是改善齒輪傳動性能的有效措施因此，齒面修形一直是齒輪傳動研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)，在齒輪設(shè)計(jì)和制造中始終占有重要地位。

LITVIN 等[1]結(jié)合輪齒接觸分析(tooth contact analysis，TCA)技術(shù)對齒輪進(jìn)行了三維拓?fù)湫扌?，并?yīng)用商用有限元軟件研究了負(fù)載時的輪齒彎曲應(yīng)力、接觸應(yīng)力和齒面載荷分布情況；WAGAJ等[2?3]分析了齒面修形對齒輪副接觸應(yīng)力和磨損的影響，認(rèn)為通過合理的修形設(shè)計(jì)可以減小應(yīng)力和磨損；BRUYèRE 等[4]研究了傳動誤差最小的窄齒面圓柱齒輪的齒廓修形設(shè)計(jì)簡化方法，并通過與解析法計(jì)算結(jié)果的對比驗(yàn)證了簡化方法的合理性；李曉貞等[5]研究了面齒輪傳動系統(tǒng)中的圓柱齒輪齒面修形技術(shù)，通過齒面修形設(shè)計(jì)改善了面齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)性能；賈超等[6]基于TCA和輪齒承載接觸分析(loaded tooth contact analysis，LTCA)完成了高速內(nèi)嚙合人字齒輪的多目標(biāo)優(yōu)化修形；魏靜等[7]研究了考慮修形的斜齒輪傳動系統(tǒng)的非線性激勵與動力學(xué)特性；WANG等[8]分析了齒面三維修形對風(fēng)電傳動系統(tǒng)動力學(xué)性能的影響；SHEN 等[9]通過改變刀具齒廓形狀和預(yù)設(shè)幾何傳動誤差完成了面齒輪的三維修形；林騰蛟等[10]以海洋平臺升降齒輪箱為對象，研究了修形前后多級行星齒輪箱在復(fù)雜激勵作用下的振動噪聲；張俊等[11]為了抑制系統(tǒng)的振動和噪聲，以動態(tài)傳動誤差波動量為指標(biāo)，研究了斜齒行星輪系的修形策略；楊碩文等[12]構(gòu)建了一種直齒輪復(fù)合修形設(shè)計(jì)方法，并通過算例驗(yàn)證了提出的復(fù)合修形設(shè)計(jì)方法的有效性；XU 等[13]建立了行星輪的齒面修形模型，并基于此分析了修形參數(shù)對行星輪系時變嚙合剛度、傳動誤差、接觸印痕和動態(tài)響應(yīng)的影響；WANG 等[14]建立了考慮齒背接觸特性的電動汽車行星輪系非線性振動模型，并在此基礎(chǔ)上研究同時考慮齒面、齒背接觸狀態(tài)的齒面減振修形優(yōu)化；HUANGFU等[15]研究了齒面磨損條件下修形對薄壁齒輪動態(tài)特性的影響；WANG 等[16]基于輪齒接觸分析、輪齒承載接觸分析和系統(tǒng)動態(tài)分析，研究了斜齒輪齒面三維修形對齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)嚙合性能的影響。

通常，齒輪所受載荷越大則變形越大，所需修形量越大，齒面修形參數(shù)的設(shè)計(jì)與齒輪所受載荷密切相關(guān)。上述文獻(xiàn)研究大多基于某一載荷進(jìn)行齒面修形設(shè)計(jì)，然而，在實(shí)際工況中，齒輪所受載荷復(fù)雜多變，如機(jī)車運(yùn)行過程中需要提速、減速和緊急制動等[17]。齒面修形設(shè)計(jì)如何兼顧常用載荷和運(yùn)轉(zhuǎn)過程中的其他載荷是齒面修形設(shè)計(jì)研究中亟待解決的問題。本文基于載荷譜，設(shè)計(jì)一個當(dāng)量載荷作為齒面修形的設(shè)計(jì)載荷進(jìn)行齒面修形優(yōu)化設(shè)計(jì)，兼顧了工作載荷范圍中最常用載荷和其他載荷下的齒輪副嚙合性能改進(jìn)，為齒面修形設(shè)計(jì)在工程中的應(yīng)用提供了一種新思路。

1 基于載荷譜的當(dāng)量載荷設(shè)計(jì)

基于載荷譜中的載荷出現(xiàn)概率和載荷，設(shè)計(jì)當(dāng)量載荷作為齒面修形的設(shè)計(jì)載荷。出現(xiàn)概率為頻次與小輪總旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)數(shù)的比值(頻次為齒輪傳動系統(tǒng)測試期間此轉(zhuǎn)矩出現(xiàn)的小輪旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)數(shù))。出現(xiàn)概率最大的載荷為最常用載荷。

當(dāng)量載荷被設(shè)計(jì)為

式中：Teq為設(shè)計(jì)當(dāng)量載荷；Δi(i=1，…，m)為載荷的出現(xiàn)概率；Ti(i=1，2，…，m)為載荷譜中的載荷。

2 承載傳動誤差和嚙入沖擊力計(jì)算

齒輪減振降噪技術(shù)通過減少激勵和降低響應(yīng)來抑制齒輪傳動中的振動，其中，減少激勵是最根本措施。大量理論和試驗(yàn)研究表明，齒輪傳動誤差和嚙合沖擊是首要內(nèi)激勵源，齒面修形的直接目標(biāo)就是減少傳動誤差和嚙合沖擊的激勵作用。

本文通過TCA 和LTCA 得到輪齒法向位移等[18?19]，將輪齒法向位移轉(zhuǎn)化為嚙合線上位移，并用轉(zhuǎn)角表示承載傳動誤差。承載傳動誤差(loaded transmission error，LTE)和承載傳動誤差幅值(amplitude of loaded transmission error，ALTE)表示如下：

式中：Z為輪齒法向位移；Ze為承載傳動誤差；rb為大輪基圓半徑；β為螺旋角；FALTE為承載傳動誤差幅值。

通過TCA 和LTCA 可以計(jì)算嚙入點(diǎn)位置，基于轉(zhuǎn)速和載荷可以進(jìn)一步求得嚙入沖擊速度和沖擊點(diǎn)嚙合剛度，最后通過輪齒進(jìn)入嚙合瞬間的能量守恒原則計(jì)算嚙入沖擊力，具體嚙入沖擊力計(jì)算如下。

齒輪對的轉(zhuǎn)動慣量和誘導(dǎo)質(zhì)量分別為

式中：J1和J2分別為小輪和大輪的轉(zhuǎn)動慣量；ρ為齒輪材料密度；B為齒寬；rb1和rb2分別為小輪和大輪的基圓半徑；rh1和rh2分別為小輪和大輪輪轂內(nèi)孔半徑；m1和m2分別為小輪和大輪的誘導(dǎo)質(zhì)量。

齒輪進(jìn)入嚙合時，嚙入點(diǎn)沖擊動能為

式中：Ek為嚙入點(diǎn)沖擊動能；vs為嚙入沖擊速度。

由于沖擊作用，導(dǎo)致輪齒之間產(chǎn)生最大沖擊變形量δs，與之相對應(yīng)的沖擊力Fs則為最大沖擊力。根據(jù)沖擊力學(xué)理論[20]，F(xiàn)s可以表示為

式中：Ks為沖擊點(diǎn)嚙合剛度；δs為最大沖擊變形量；n為變形系數(shù)，可通過數(shù)據(jù)擬合獲得，本文取1.1。

彈性勢能Ek可以表示為

根據(jù)能量守恒原則，沖擊動能和彈性勢能Ek有如下關(guān)系：

根據(jù)式(7)可以得到最大沖擊變形量δs：

根據(jù)最大沖擊變形量δs可以得到最大沖擊力Fs：

3 齒面優(yōu)化修形

3.1 傳統(tǒng)修形設(shè)計(jì)

圖1所示為傳統(tǒng)修形設(shè)計(jì)，由圖1可見：齒廓和齒向修形曲線由2 段二階拋物線和1 段直線組成。圖中y1和y2分別為齒根和齒頂最大修形量，y3和y4分別為齒根和齒頂修形長度，y5和y6分別為齒向兩端最大修形量和中間不修形區(qū)域長度。傳統(tǒng)修形齒面可通過理論齒面與修形曲面疊加獲得，詳細(xì)構(gòu)造方法可見文獻(xiàn)[6]。

圖1 傳統(tǒng)修形設(shè)計(jì)Fig.1 Designation of traditional modification

3.2 基于重合度的改進(jìn)修形設(shè)計(jì)

改進(jìn)修形設(shè)計(jì)通過預(yù)設(shè)幾何傳動誤差和齒向修形相結(jié)合的方式實(shí)現(xiàn)。圖2所示為基于重合度的預(yù)設(shè)幾何傳動誤差設(shè)計(jì)。由圖2可見：預(yù)設(shè)的齒面幾何傳動誤差與該對齒輪共軛齒面在設(shè)計(jì)載荷下的承載傳動誤差大小相等、方向相反。

預(yù)設(shè)幾何傳動誤差可精確控制圖2所示的“三齒”和“兩齒”區(qū)域的修形量，實(shí)現(xiàn)ALTE的大幅下降。

圖2 基于重合度的預(yù)設(shè)幾何傳動誤差設(shè)計(jì)Fig.2 Designation of predesigned transmission error based on contact ratio

在常用修形類型中，齒向修形可以減小誤差敏感性，避免偏載，減小齒端邊緣效應(yīng)，在齒面修形的實(shí)際應(yīng)用中，齒向修形往往是必須的。在本研究中，加入齒向修形后可以減小嚙入沖擊力。圖3所示為基于重合度的改進(jìn)修形設(shè)計(jì)，由圖3可見：基于預(yù)設(shè)幾何傳動誤差修形的基礎(chǔ)上，同時對齒輪齒面進(jìn)行齒向修形，將同時減小ALTE和嚙入沖擊力。

圖3 基于重合度的改進(jìn)修形設(shè)計(jì)Fig.3 Designation of improved modification based on contact ratio

3.3 傳統(tǒng)修形齒面優(yōu)化模型及流程

優(yōu)化變量：y1，y2，y3，y4，y5和y6。

目標(biāo)函數(shù)：

約束條件：

式中：f1和f10分別為修形齒輪和未修形齒輪的ALTE；f2和f20分別為修形齒輪和未修形齒輪的嚙入沖擊速度；w1和w2為權(quán)重因子，都取0.5；δmin和δmax分別為修形量的上界和下界；hmin和hmax分別為齒廓修形長度的上界和下界；lmin和lmax為齒向不修形長度的上界和下界。

3.4 改進(jìn)修形齒面優(yōu)化模型及流程

優(yōu)化變量：ΔLi(i=1～k)，y5和y6。

目標(biāo)函數(shù)：

約束條件：

式中：k為將修形齒面連續(xù)加工過程離散后，刀具在走刀過程中的位置個數(shù)，其值等于TCA 計(jì)算中的接觸線數(shù)量；Li(i=1～k)為刀具在每個位置的附加位移；w1和w2都取0.5。

圖4(a)所示為傳統(tǒng)修形的優(yōu)化流程圖。傳統(tǒng)修形設(shè)計(jì)主要在齒根、齒頂以及齒向兩側(cè)區(qū)域進(jìn)行修形，通過遺傳算法獲得優(yōu)化的修形設(shè)計(jì)參數(shù)。圖4(b)所示為改進(jìn)修形的優(yōu)化流程圖。改進(jìn)修形設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)修形設(shè)計(jì)不同，改進(jìn)修形設(shè)計(jì)通過預(yù)設(shè)幾何傳動誤差設(shè)計(jì)考慮了齒輪對重合度的影響，能夠精確跟蹤齒輪嚙合傳動中齒面上不同嚙合區(qū)的修形需求，在齒根、齒頂、齒向兩側(cè)以及齒面中間區(qū)域都進(jìn)行了修形，以此來實(shí)現(xiàn)ALTE的大幅下降，同時結(jié)合齒向修形的雙向修形設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)ALTE和嚙入沖擊力的同時減小。

圖4 齒面修形優(yōu)化流程圖Fig.4 Flowchart of optimization of tooth modification

4 算例與分析

本文算例只針對小齒輪修形。所用遺傳優(yōu)化算法的種群個數(shù)設(shè)置為50，進(jìn)化代數(shù)設(shè)置為50，交叉概率設(shè)置為0.6，變異概率設(shè)置為0.1。表1所示為動車組所用齒輪箱斜齒輪副的基本參數(shù)[17]，其中小輪為左旋，大輪為右旋。表2所示為齒輪箱齒輪副的載荷譜。參考文獻(xiàn)[17]中，作者采集了北京—上海運(yùn)行區(qū)間動車組的實(shí)時運(yùn)行速度信號，根據(jù)其采集到的信號，可知在運(yùn)行區(qū)間內(nèi)，小齒輪每趟約為1.1×106r，齒輪副的載荷譜有9 種工況，分別對應(yīng)9種負(fù)載。

表1 齒輪副參數(shù)Table 1 Parameters of the gear-pair

根據(jù)式(1)和表2中的載荷譜，計(jì)算可得當(dāng)量載荷為2 339 N·m。從表2可見：1 948 N·m為最常用載荷；1 884 N·m 和3 994 N·m 為最小荷載和最大載荷，也是出現(xiàn)概率較大的載荷。為了檢驗(yàn)基于當(dāng)量載荷的齒面修形是否兼顧到最常用載荷和其他載荷，下面考察修形齒輪副在2 339，1 948，1 884和3 994 N·m下的嚙合性能。

表2 載荷譜Table 2 Load spectrum

圖5所示為設(shè)計(jì)載荷為2 339 N·m 時，傳統(tǒng)修形和改進(jìn)修形的修形量。圖6所示為標(biāo)準(zhǔn)齒面和設(shè)計(jì)載荷為2 339 N·m時的傳統(tǒng)修形和改進(jìn)修形的接觸印痕，從圖5和圖6可見：齒面修形后，齒面接觸路徑發(fā)生改變，避免邊緣接觸，這有助于改善齒輪副的嚙合性能。

圖5 設(shè)計(jì)載荷為2 339 N·m時的齒面修形量Fig.5 Tooth modification value at design load of 2 339 N·m

圖6 標(biāo)準(zhǔn)齒面和設(shè)計(jì)載荷等于2 339 N·m時的修形齒面接觸印痕Fig.6 Tooth contact pattern of standard tooth and modified tooth at design load of 2 339 N·m

圖7所示為設(shè)計(jì)載荷等于2 339 N·m 時，當(dāng)量載荷、最常用載荷以及2種較常用載荷下的標(biāo)準(zhǔn)齒面、傳統(tǒng)修形和改進(jìn)修形的ALTE 對比。由圖7可見：傳統(tǒng)修形和改進(jìn)修形都可實(shí)現(xiàn)最常用載荷和較常用載荷下的ALTE 下降。表3所示為設(shè)計(jì)載荷等于2 339 N·m時，在不同載荷下，傳統(tǒng)修形和改進(jìn)修形的ALTE 下降比例。由表3可見：傳統(tǒng)修形可在最常用載荷和較常用載荷下使ALTE下降30%以上；改進(jìn)修形可在最常用載荷和較常用載荷下使ALTE下降40%以上。

表3 設(shè)計(jì)載荷等于2 339 N·m時，齒面修形后各種載荷下的ALTE下降特征Table 3 Comparison of reduction characteristics of ALTE under various loads at design load of 2 339 N·m%

圖7 設(shè)計(jì)載荷等于2 339 N·m時，當(dāng)量載荷和工作載荷范圍內(nèi)其他載荷下的ALTE對比Fig.7 Comparison of ALTEs under equivalent load and other loads in working load range at design load of 2 339 N·m

圖8所示為設(shè)計(jì)載荷等于2 339 N·m 時，標(biāo)準(zhǔn)齒面、傳統(tǒng)修形和改進(jìn)修形的ALTE 隨載荷的變化。由圖8可見：隨負(fù)載增加，傳統(tǒng)修形和改進(jìn)修形的計(jì)算結(jié)果都呈現(xiàn)先減小后增大趨勢；載荷等于當(dāng)量載荷時，ALTE最小，載荷等于載荷譜中最常用載荷時，ALTE大幅下降；齒輪副在整個工作載荷范圍的載荷下ALTE都出現(xiàn)較大幅度下降。與傳統(tǒng)修形相比，改進(jìn)修形顯示了更大優(yōu)勢。

圖8 設(shè)計(jì)載荷等于2 339 N·m時，3種齒面的ALTE隨載荷的變化Fig.8 Variation of ALTEs of three types of tooth surfaces with load at design load of 2 339 N·m

圖9所示為設(shè)計(jì)載荷等于2 339 N·m，小輪轉(zhuǎn)速等于3 000 r/min時，當(dāng)量載荷、最常用載荷以及工作載荷范圍內(nèi)其他較常用載荷下的標(biāo)準(zhǔn)齒面、傳統(tǒng)修形和改進(jìn)修形的嚙入沖擊力對比。由圖9可見：傳統(tǒng)修形和改進(jìn)修形都可實(shí)現(xiàn)最常用載荷和較常用載荷下的嚙入沖擊力下降。表4所示為設(shè)計(jì)載荷等于2 339 N·m時，在不同載荷下，傳統(tǒng)修形和改進(jìn)修形的嚙入沖擊力下降比例。由表4可見：傳統(tǒng)修形可在最常用載荷和較常用載荷下的使嚙入沖擊力下降40%以上，改進(jìn)修形可在最常用載荷和較常用載荷下使嚙入沖擊力下降50%以上。

圖9 設(shè)計(jì)載荷等于2 339 N·m時，當(dāng)量載荷和工作載荷范圍內(nèi)其他載荷下的嚙入沖擊力對比Fig.9 Comparison of mesh-in impact forces under equivalent load and other loads in working load range at design load of 2 339 N·m

表4 設(shè)計(jì)載荷等于2 339 N·m時，齒面修形后各種載荷下的嚙入沖擊力下降比例Table 4 Comparison of percentage reduction of meshin impact force under various loads at design load of 2 339 N·m %

圖10所示為設(shè)計(jì)載荷等于2 339 N·m，小輪轉(zhuǎn)速等于3 000 r/min時，標(biāo)準(zhǔn)齒面、傳統(tǒng)修形和改進(jìn)修形嚙入沖擊力隨載荷的變化。由圖10可見：工作載荷范圍內(nèi)，載荷等于最常用載荷、最小載荷和最大載荷時的嚙入沖擊力都出現(xiàn)了較大幅度下降。與傳統(tǒng)修形相比，改進(jìn)修形顯示出一定優(yōu)越性，其嚙入沖擊力小于傳統(tǒng)修形齒面嚙入沖擊力。

綜合圖8和圖10可以發(fā)現(xiàn)，基于當(dāng)量載荷為2 339 N·m 的齒面優(yōu)化修形設(shè)計(jì)，保證了在最常用載荷1 948 N·m 下的齒輪副ALTE 和嚙入沖擊力大幅下降，同時兼顧了工作載荷范圍內(nèi)其他載荷下的齒輪副ALTE和嚙入沖擊力下降。

圖10 設(shè)計(jì)載荷等于2 339 N·m時，3種齒面的嚙入沖擊力隨載荷的變化Fig.10 Variation of mesh-in impact forces of three types of tooth surfaces with load at design load of 2 339 N·m

5 結(jié)論

1)在載荷譜中最常用載荷下，基于當(dāng)量載荷的修形齒面的齒輪副承載傳動誤差幅值和嚙入沖擊力出現(xiàn)了較大幅度下降。其中，傳統(tǒng)修形的承載傳動誤差幅值和嚙入沖擊力下降比例分別為38.6%和47.7%；改進(jìn)修形的承載傳動誤差和嚙入沖擊力的下降比例分別為68.3%和56.5%。

2)基于當(dāng)量載荷的齒面修形設(shè)計(jì)保證了載荷譜中幾種常用載荷下的齒輪副承載傳動誤差和嚙入沖擊力下降。其中，傳統(tǒng)修形可保證在幾種常用載荷下使承載傳動誤差下降30%以上，使嚙入沖擊力下降40%以上；改進(jìn)修形可保證在幾種常用載荷下使承載傳動誤差下降40%以上，使嚙入沖擊力下降50%以上。

3)考慮了實(shí)測載荷譜工況下的優(yōu)化修形齒面，在當(dāng)量載荷、最常用載荷以及工作載荷范圍內(nèi)的大部分載荷下，改進(jìn)修形都能夠比傳統(tǒng)修形更好地改進(jìn)齒輪副嚙合性能，可以更有效地減振降噪。