王 振 閆 偉 張 剛 陳躍華(寧波大學(xué)海運(yùn)學(xué)院 浙江 寧波 315211)

0 引 言

斜拉索是斜拉橋的主要受力構(gòu)件，索力的準(zhǔn)確測(cè)量不僅關(guān)系到橋梁工程能否安全實(shí)施，更影響到建橋后主梁、主塔的線形是否符合工程要求。因此，準(zhǔn)確測(cè)量拉索索力是研究學(xué)者及橋梁建設(shè)者共同關(guān)注的問題。目前，對(duì)于拉索索力的測(cè)量方法包括振動(dòng)頻率法、傳感器測(cè)量法、垂度測(cè)量法、拉索靜態(tài)線形測(cè)量法等。振動(dòng)頻率法實(shí)測(cè)拉索的固有頻率，利用索的張力和固有頻率的關(guān)系計(jì)算拉索索力；傳感器測(cè)量法通常采用壓力傳感器測(cè)量索力，需要在每根拉索上安裝壓力傳感器，經(jīng)濟(jì)成本過高；而垂度法是依據(jù)拉索測(cè)量段的傾斜角、索長(zhǎng)和最大垂度推導(dǎo)出的索力公式計(jì)算拉索的平均索力值，考慮索力差值和索段位置來(lái)確定整個(gè)拉索的索力。因此，頻率法測(cè)量索力仍然是最為經(jīng)濟(jì)實(shí)用且測(cè)量較為準(zhǔn)確的方法[1-5]。

基于頻率法來(lái)測(cè)量索力，主要是利用數(shù)據(jù)采集儀器測(cè)量斜拉索的振動(dòng)頻率，再建立拉索頻率與索力之間的函數(shù)式，從而由頻率計(jì)算出拉索索力[6-9]。Ren等[10]基于能量法以及數(shù)據(jù)曲線擬合方法，考慮抗彎剛度和垂度對(duì)斜拉索振動(dòng)特性的影響，推導(dǎo)出可以計(jì)算斜拉索的索力公式，并主要考慮一階頻率進(jìn)行研究，采用基頻來(lái)計(jì)算其索力。Fang等[11]基于拉索的橫向振動(dòng)理論知識(shí)，采用曲線擬合技術(shù)，避免了采用迭代法求解非線性方程，得到了求解索力的實(shí)用公式，但該索力公式只考慮了抗彎剛度影響，忽略了拉索垂度作用的影響。Sun等[12]建立了靈活約束條件下拉索索力實(shí)用計(jì)算模型，提高了彈性約束條件和抗彎剛度下的拉索索力求解精度。Ma[13]提出了一種精確確定邊界條件未知的斜拉索張力的方法，該方法可以同時(shí)識(shí)別彈性邊界條件下的多個(gè)參數(shù)。但在實(shí)際應(yīng)用中影響拉力的因素過多，在較為準(zhǔn)確計(jì)算、檢測(cè)頻率的基礎(chǔ)上，需要對(duì)基頻-索力函數(shù)關(guān)系進(jìn)行修正。甘泉等[14]基于斜拉索橫向振動(dòng)方程的通解，通過在弦振動(dòng)理論公式的基礎(chǔ)上，引入剛度修正系數(shù)，并且提出了可用于兩端固支條件下的拉索索力計(jì)算的統(tǒng)一公式。Sun等[15]針對(duì)求解過程中忽略邊界條件及抗彎剛度對(duì)拉索的索力精度的影響，提出計(jì)算修正公式。Dan等[16]基于數(shù)值模擬方法對(duì)張力誤差進(jìn)行研究，并給出了經(jīng)驗(yàn)誤差修正公式用來(lái)擬合索力誤差之間的關(guān)系。

綜上，基頻的準(zhǔn)確計(jì)算與測(cè)量、頻率-索力求解方程的正確修正是索力測(cè)量的關(guān)鍵問題。本文考慮彈性邊界條件并基于弦振動(dòng)原理與切比雪夫級(jí)數(shù)方法建立頻率與索力之間的函數(shù)關(guān)系，并利用自適應(yīng)神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)合的方式，修正頻率-索力關(guān)系式以保證索力的準(zhǔn)確計(jì)算及測(cè)量。

1 彈性邊界下拉索的頻率特性及索力切比雪夫級(jí)數(shù)求解

1.1 彈性邊界下拉索的頻率特性求解

本文將任意邊界條件等效為拉索的左右兩端分別連接拉伸約束彈簧K1和K3、扭轉(zhuǎn)約束彈簧K2與K4，建立的彈性邊界條件拉索振動(dòng)模型如圖1所示,其中L為拉索的長(zhǎng)度。

圖1 彈性邊界條件下拉索振動(dòng)模型

通常，拉索的振動(dòng)微分方程可表述為[17]:

(1)

式中：EI為拉索抗彎剛度；T為拉索索力；ρΑ為拉索線密度；u(x,t)為拉索振動(dòng)位移函數(shù)。則拉索的彈性邊界約束表述為：

(2)

式中：k1=K1/EI,k2=K2/EI,k3=K3/EI,k4=K4/EI。

基于分離變量法，將拉索振動(dòng)函數(shù)分解為時(shí)間序列函數(shù)與振型函數(shù)Y(x)的乘積：

u(x,t)=Y(x)sin(ωt+φ)

(3)

式中：ω為拉索固有頻率；φ為相位角。將式(3)代入式(1)可得：

EIY(4)(x)-TY″(x)-ρAω2Y(x)=0

(4)

式(4)為振型函數(shù)的微分方程，將振型函數(shù)采用切比雪夫級(jí)數(shù)[18]進(jìn)行展開，設(shè)：

(5)

式中：ai為待定常數(shù)。式(5)中切比雪夫級(jí)數(shù)為：

將上式代入振動(dòng)函數(shù)式(3)，為使振動(dòng)函數(shù)滿足邊界條件，構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)和g(x)分別為：

(6)

式中：

若令：

Φi(x)=h(x)Ti(x)+g(x)

(7)

則滿足邊界條件式(2)的振型函數(shù)為：

(8)

由式(8)給出的振型函數(shù)不是式(4)的真實(shí)解，因此代入式(4)時(shí)，式(4)并不等于零。但根據(jù)虛位移原理，可以使其在虛位移上所做的功為零，即：

(9)

展開可得：

(10)

由于δaj是任意的，整理可得頻率方程為：

(11)

式中：

寫成矩陣的形式:

|D-ω2Ms|=0

(12)

顯然，求解矩陣形式的頻率方程式(12)，得到對(duì)應(yīng)的特征值與特征向量，即可得到振動(dòng)系統(tǒng)前n階的固有頻率。

1.2 彈性邊界條件下拉索的索力計(jì)算及分析

考慮圖1所示拉伸約束與扭轉(zhuǎn)約束共同作用彈性邊界條件下，推導(dǎo)拉索索力-頻率計(jì)算公式。根據(jù)所得計(jì)算公式，簡(jiǎn)化邊界條件，進(jìn)一步推導(dǎo)固支和鉸支條件下索力計(jì)算公式。

為求解彈性邊界條件下的索力計(jì)算公式，設(shè)振動(dòng)函數(shù)解如下：

u(x,t)=Y(x)ψ(t)

(13)

ψ(t)=A1sinωt+A2cosωt

(14)

Y(x)=a1sinαx+a2cosαx+a3sinhβx+a4coshβx

(15)

式中：ψ(t)為時(shí)間序列函數(shù)；Y(x)為振型函數(shù)；a1、a2、a3、a4為待定系數(shù)；ω為索自振頻率。α和β計(jì)算為：

(16)

將式(15)振型函數(shù)代入式(2)可得一般邊界條件下拉索的頻率-索力表達(dá)式：

(17)

欲使式(17)有非零解，則其方程組系數(shù)行列式應(yīng)為零，即可得：

(18)

將式(18)簡(jiǎn)化計(jì)算處理得到：

(19)

式(19)為一般邊界條件下索力-頻率的關(guān)系式。顯然，若將拉索邊界條件簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支-固支，則式(19)會(huì)大大簡(jiǎn)化，可得出彈性邊界條件下簡(jiǎn)化的索力表達(dá)式。

若拉索為簡(jiǎn)支約束條件，此時(shí)K1=K3=0,K2=K4=∞，則式(19)變?yōu)椋?/p>

(EI)2(α2+β2)2sinαLsinhβL=0

(20)

顯然，(EI)2(α2+β2)2和sinhβL不為零，因此有sinαL=0，即:

αL=nπn=1,2,…,n

(21)

將式(21)代入式(19)且忽略抗彎剛度影響，可得兩端簡(jiǎn)支邊界條件下拉索的頻率與索力之間的關(guān)系式：

(22)

式中：L為拉索的長(zhǎng)度；fn為第n階自振頻率。

若拉索為固支約束條件，此時(shí)K1=K3=K2=K4=∞，若省略式(19)中邊界條件的低次項(xiàng)，整理式(19)可得：

2αβ[1-cos(αL)cosh(βL)+(α2-β2)sin(αL)·

sinh(βL)]=0

(23)

由于式(23)是一個(gè)超越方程，不能直接得到索力-頻率的關(guān)系式。根據(jù)文獻(xiàn)[19]中的超越方程求解方法并且忽略抗彎剛度對(duì)拉索的影響，可得索力-頻率的關(guān)系表達(dá)式：

(1) 當(dāng)使用第一階振型的固有頻率時(shí)：

(24)

(2) 當(dāng)使用第二階振型的固有頻率時(shí)：

(25)

(3) 當(dāng)使用第高階(三階及以上)振型的固有頻率時(shí)：

(26)

顯然，簡(jiǎn)單邊界條件下索力計(jì)算公式是彈性邊界下索力計(jì)算公式的簡(jiǎn)化。而且彈性邊界下索力公式計(jì)算復(fù)雜，彈性邊界參數(shù)往往不可得，因此在計(jì)算拉索頻率與索力之間的表達(dá)式時(shí)存在很大難度。一般國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)斜拉索的索力計(jì)算公式均將彈性邊界約束條件下的索力表達(dá)式寫成對(duì)簡(jiǎn)支公式乘以修正系數(shù)，即：

(27)

式中：Δ為修正系數(shù)。在理論計(jì)算中，彈性邊界條件下的索力計(jì)算公式的修正系數(shù)很難求解得到，需要依靠實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)確定Δ的大小。因此，本文采用自適應(yīng)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合實(shí)驗(yàn)室數(shù)據(jù)方式對(duì)式(27)進(jìn)行修改。

2 實(shí) 驗(yàn)

2.1 數(shù)頻率特性實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

基于前面的理論部分的公式和結(jié)論，在實(shí)驗(yàn)室搭建拉索振動(dòng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)來(lái)驗(yàn)證，左右兩端采用2個(gè)基座用地腳螺栓連接固定在地面上，拉索兩端采用螺紋卡扣進(jìn)行固定。利用激勵(lì)力錘作用于拉索某一位置獲得其振動(dòng)數(shù)據(jù)信號(hào)，通過在L/4索長(zhǎng)處安裝壓電式加速度傳感器(YBY-10KN型)測(cè)量振動(dòng)信號(hào)。拉索的張緊力采用拉壓傳感器測(cè)量，拉索張緊力采用數(shù)據(jù)采集器(東華測(cè)試技術(shù)有限公司DH3820型)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，拉索振動(dòng)模態(tài)測(cè)試采用采集器(DH5922型)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集。將采集儀采集到的振動(dòng)信號(hào)傳輸?shù)竭B接好的電腦上，通過軟件進(jìn)行分析，測(cè)試儀器及分析軟件如圖2所示。

(a)

(b)圖2 DH3820型采集器及分析軟件界面

實(shí)驗(yàn)對(duì)象選擇型號(hào)304不銹鋼拉索，拉索的基本參數(shù)如下:拉索單位長(zhǎng)度質(zhì)量m=0.081 kg·m-1，拉索直徑d=4 mm，拉索彈性模量E=1.93×108Pa，拉索截面慣性矩I=1.257×10-11m4,T=3 960 N，拉索長(zhǎng)度L=6.8 m。分別在兩端固支和兩端固支-簡(jiǎn)支兩種邊界條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

表1給出了兩端固支邊界條件下實(shí)驗(yàn)結(jié)果與本文頻率特性求解方法得到的計(jì)算結(jié)果前十階固有頻率進(jìn)行對(duì)比分析的結(jié)果?？梢钥闯?，其最大相對(duì)誤差為3.388%，最小相對(duì)誤差為-0.989%。

表1 固支-固支邊界條件下拉索固有頻率

表2給出了固支-簡(jiǎn)支邊界條件下實(shí)驗(yàn)結(jié)果與本文頻率特性求解方法計(jì)算結(jié)果前十階固有頻率進(jìn)行對(duì)比分析的結(jié)果?？梢钥闯觯畲笙鄬?duì)誤差為3.284%，最小相對(duì)誤差為0.709%。通過對(duì)比分析再次驗(yàn)證本文邊界模擬方式與理論模型的正確性。在兩種邊界條件下估算出的Tmin均為3 780 N,Tmax均為4 210 N，索力相對(duì)誤差均為-4.545%-6.313%，由此可見本文方法可用于有效估算拉索索力。

通過搭建拉索振動(dòng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，在兩端固支和兩端固支-簡(jiǎn)支這兩種邊界條件下對(duì)拉索進(jìn)行模態(tài)實(shí)驗(yàn)，與計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，其相對(duì)誤差小于3.388%，表明本文方法在計(jì)算彈性邊界條件下拉索振動(dòng)模態(tài)是有效的，為后續(xù)擬合基頻-力的關(guān)系提供較為準(zhǔn)確的理論依據(jù)。

2.2 索力自適應(yīng)神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)修正及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

理論上可以利用基頻求解拉索索力，但是存在如下問題：(1) 拉索的索力計(jì)算公式?jīng)]有具體統(tǒng)一的形式，應(yīng)用條件限制較多。(2) 為簡(jiǎn)化索力計(jì)算公式，通常忽略抗彎剛度及垂度的影響，造成理論上很難保證計(jì)算的索力精確度。(3) 為提高索力計(jì)算精度，通常會(huì)在索力計(jì)算公式中添加補(bǔ)償項(xiàng)，計(jì)算形式較為復(fù)雜，很難進(jìn)行工程應(yīng)用。從上文推導(dǎo)頻率-索力計(jì)算公式中也可以看出，計(jì)算公式比較復(fù)雜，在計(jì)算過程中忽略較多因素(如抗彎剛度、索力增量等)，因此降低了索力的求解精度。彈性邊界一般在實(shí)際應(yīng)用中難以確定，導(dǎo)致索力求解難度增大。因此，對(duì)于基頻法求解拉索的索力時(shí)計(jì)算公式存在的問題，可以利用自適應(yīng)神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方式，在較為準(zhǔn)確計(jì)算和測(cè)量基頻情況下，采用實(shí)驗(yàn)方法(在一定條件下)來(lái)擬合基頻-力關(guān)系。

通過對(duì)自適應(yīng)神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)方法的學(xué)習(xí)和實(shí)踐，學(xué)習(xí)到自適應(yīng)神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)(ANFIS)最大的優(yōu)點(diǎn)是基于I/O數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的建模而不需要建立實(shí)際的理論模型，通過數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)逼近，最后更加逼近于實(shí)際數(shù)據(jù)輸出。該方法不是通過經(jīng)驗(yàn)得來(lái)的，因此對(duì)于那些認(rèn)識(shí)還存在模糊不清晰或者是非常復(fù)雜的系統(tǒng)，應(yīng)用自適應(yīng)神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)的方法，通過獲取實(shí)際數(shù)據(jù)，再進(jìn)行數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)逼近輸出，該方法具有的優(yōu)勢(shì)顯得尤為突出。本文采用五層結(jié)構(gòu)ANFIS，其示意圖如圖3所示。

第一層為輸入層，設(shè)有三個(gè)輸入：拉索長(zhǎng)度L、拉索基頻w、拉索單位質(zhì)量m。

第二層為輸入變量隸屬度函數(shù)層，對(duì)于第j組訓(xùn)練數(shù)據(jù)對(duì)(Lj，wj，mj)，數(shù)據(jù)訓(xùn)練前采用高斯函數(shù)進(jìn)行輸入函數(shù)的模糊化，即：

(28)

式中：i表示模糊子集數(shù)；cij、σij分別表示隸屬度函數(shù)的中心和寬度。

第三層為規(guī)則層，進(jìn)行模糊運(yùn)算，輸出各神經(jīng)元輸入取積后的歸一化值，即各條規(guī)則的激勵(lì)強(qiáng)度歸一化，各節(jié)點(diǎn)輸出為：

(29)

第四層為自適應(yīng)運(yùn)算層，該層結(jié)合27條控制規(guī)則完成自適應(yīng)運(yùn)算計(jì)算出每條規(guī)則的輸出，節(jié)點(diǎn)結(jié)果輸出為：

(30)

式中：pi、qi、ri(i=1,2,…,27)是該節(jié)點(diǎn)的結(jié)論參數(shù)。

第五層為輸出層，其結(jié)果為自適應(yīng)運(yùn)算層中各節(jié)點(diǎn)之和：

T=C1+C2+…+C27

(31)

在第四層與第五層中，使用最小二乘法單獨(dú)辨識(shí)結(jié)論參數(shù)可省掉求導(dǎo)的過程，相比梯度法效率更高。因此ANFIS將最速下降法與最小二乘法結(jié)合用來(lái)調(diào)整網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。

2.3 實(shí)驗(yàn)設(shè)置及結(jié)果

搭建拉索振動(dòng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，搭建方式與2.1節(jié)中彈性邊界條件下頻率特性實(shí)驗(yàn)相一致。利用激勵(lì)力錘作用于拉索獲得其振動(dòng)信號(hào)，通過在1/4索長(zhǎng)處安裝壓電式加速度傳感器測(cè)量該位置處的振動(dòng)數(shù)據(jù)信號(hào)，再將采集儀采集到的振動(dòng)信號(hào)傳輸?shù)诫娔X中，通過軟件對(duì)測(cè)量的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，拉索的索力測(cè)試系統(tǒng)如圖4所示。實(shí)驗(yàn)對(duì)象選擇型號(hào)304不銹鋼拉索，其基本參數(shù)與拉索頻率特性求解中的參數(shù)一致。

(a)

(b)圖4 拉索的索力測(cè)試系統(tǒng)

本文中的數(shù)據(jù)為實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，其中用于仿真研究的訓(xùn)練數(shù)據(jù)及測(cè)試數(shù)據(jù)如表3所示。分別測(cè)得不同長(zhǎng)度和不同索力下的拉索的頻率，從而利用自適應(yīng)神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)來(lái)進(jìn)行仿真研究頻率和索力的關(guān)系。

表3 拉索的索力訓(xùn)練數(shù)據(jù)及測(cè)試數(shù)據(jù)表

利用MATLAB中提供的自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)的圖形用戶界面編輯器(Anfis Editor)，將實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)分別加載到編輯器中的訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測(cè)試數(shù)據(jù)中，通過網(wǎng)格分割法自動(dòng)生成自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)。在索力計(jì)算中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入?yún)?shù)為3個(gè)，即：拉索長(zhǎng)度，拉索基頻，拉索單位質(zhì)量。為實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)神經(jīng)模糊系統(tǒng)的推理功能，輸入的3個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的模糊隸屬度函數(shù)數(shù)目設(shè)定為3，模糊隸屬度函數(shù)類型設(shè)定為鐘型。生成初始的模糊推理系統(tǒng)后本文選擇優(yōu)化方法為混合算法，訓(xùn)練次數(shù)為40次。

搭建的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)可靠性及準(zhǔn)確性在上一部分中已得到驗(yàn)證。為驗(yàn)證本文方法的正確性與有效性，保證本次實(shí)驗(yàn)測(cè)得數(shù)據(jù)的可靠性及準(zhǔn)確性。分別在兩端固支和固支-簡(jiǎn)支兩種邊界條件下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，圖5為兩種邊界條件下拉索基頻與索力關(guān)系圖。

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)過40次對(duì)自適應(yīng)神經(jīng)模糊系統(tǒng)的訓(xùn)練及測(cè)試后，可得訓(xùn)練模糊推理系統(tǒng)及測(cè)試模糊推理系統(tǒng)的誤差，圖6為自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)的訓(xùn)練結(jié)果及訓(xùn)練誤差，訓(xùn)練平均誤差達(dá)到0.138 92 N，相對(duì)誤差為0.003 47%。

圖7為自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)的測(cè)試結(jié)果，平均測(cè)試誤差達(dá)到0.291 1 N，相對(duì)誤差為0.007 27%，結(jié)果理想。

圖7 自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)的測(cè)試結(jié)果和測(cè)試誤差

通過上述分析可以得出，本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)可以保證推理系統(tǒng)的準(zhǔn)確性。實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)相結(jié)合，提高了拉索基頻與索力關(guān)系的精確度，減小了因理論模型誤差、計(jì)算公式誤差等帶來(lái)的索力計(jì)算精度無(wú)法滿足工程需要的不良影響。

3 結(jié) 語(yǔ)

(1) 基于弦振動(dòng)原理，分析了更加符合實(shí)際工程要求的拉索邊界，建立頻率與索力之間的關(guān)系函數(shù)，利用實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與拉索基頻相結(jié)合的方法，求解拉索基頻與索力的關(guān)系，提出的索力計(jì)算方法及研究結(jié)果可以為工程應(yīng)用中的索力估計(jì)提供有效的解決途徑。

(2) 以實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，自適應(yīng)神經(jīng)模糊系統(tǒng)結(jié)合基頻-索力求解公式推理出拉索基頻與索力的關(guān)系，簡(jiǎn)化了拉索理論數(shù)學(xué)模型建立的復(fù)雜度及繁瑣的索力計(jì)算公式。

(3) 經(jīng)過自適應(yīng)模糊推理系統(tǒng)得到的訓(xùn)練平均誤差在0.138 92 N，測(cè)試誤差達(dá)到在0.291 1 N，相對(duì)誤差分別為為0.003 47%和0.007 27%。表明拉索基頻與索力關(guān)系的準(zhǔn)確度較為理想，也表明本文方法能達(dá)到工程應(yīng)用中計(jì)算索力的要求。